數(shù)學建模簡介課件.ppt

數(shù)學建模簡介 2011年12月,數(shù)學建模的基本概念 數(shù)學建模的方法、步驟 實例分析,數(shù)學建模簡介,數(shù)學建模的基本概念,原型（Prototype） 人們在現(xiàn)實世界里關(guān)心、研究、或從事生產(chǎn)、管理的實際對象。 原型有：現(xiàn)時對象、研究對象、實際問題等。 模型（Model) 為某個目的將原型的某一部分信息進行簡縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。 模型有：直觀模型、物理模型、思維模型、計算模型等, 按研究方法和對象的數(shù)學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等。,數(shù)學模型的分類：, 按研究對象的實際領(lǐng)域（或所屬學科）分：人口模型、交通模 型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等。,模型,數(shù)學模型 是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。 簡單地說 數(shù)學模型就是系統(tǒng)的某種特征(或本質(zhì))的數(shù)學表達式（或是用數(shù)學術(shù)語對部分現(xiàn)實世界的描述），即用數(shù)學式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。,數(shù)學建模 利用數(shù)學方法解決實際問題的一種實踐過程。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學方式表達，建立起數(shù)學模型，然后運用先進的數(shù)學方法及計算機技術(shù)進行求解。,數(shù)學建模其實并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學就需要用數(shù)學去解決實際問題，就一定要用數(shù)學的語言、方法去近似地刻劃實際問題，這種刻劃的數(shù)學表述的就是一個數(shù)學模型，其過程就是數(shù)學建模的過程。數(shù)學模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計算、證明等）來求解并驗證，其中大量的計算往往是必不可少的，高性能的計算機的出現(xiàn)使數(shù)學建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個高潮。,數(shù)學建模的方法、步驟,數(shù)學建模的基本方法,建立數(shù)學模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： 機理分析 測試分析方法 機理分析：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義 測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型 測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識 將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法,數(shù)學建模的一般步驟,模 型 準 備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個 比較清晰 的問題,模型準備 模型假設(shè) 模型構(gòu)成 模型驗證 模型分析 模型求解 模型應(yīng)用,模 型 假 設(shè),針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學工具,模型 求解,各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗,與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗模型的合理性、適用性,模型應(yīng)用,現(xiàn)實對象與數(shù)學模型的關(guān)系,現(xiàn)實對象信息,數(shù)學模型,數(shù)模的解答,現(xiàn)實對象的解答,用數(shù)學語言表述,歸納,求解,演繹,解釋,驗證,表述,求解,解釋,驗證,根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題,選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答,將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象,用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答,實踐,簡單實例分析,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,實例1 如何預報人口的增長,模型1,今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,模型2,模型假設(shè) 1）時刻t人口增長的速率與當時人口數(shù)成正比， 增長率為常數(shù)r。 2）以x(t)表示時刻t某地區(qū)（或國家）的人口數(shù)， 設(shè)人口數(shù)x(t)足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理， 且x(t)關(guān)于t連續(xù)可微,人口指數(shù)增長模型（馬爾薩斯Malthus，1766-1834）,模型建立及求解,據(jù)模型假設(shè)，在t到 t + t 時間內(nèi)人口數(shù)的增長量為,如果設(shè) t = t0時刻的人口數(shù)為，則x(t)滿足初值問題：,t,x(t),19世紀以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以很好的吻合。19世紀以后的許多國家，模型遇到了很大的挑戰(zhàn)。 注意到 ，我們的地球是有限的，故指數(shù)增長模型（Malthus模型）對未來人口總數(shù)預測非?；闹?，不合常理，應(yīng)該予以修正。,模型檢驗,我們把人口數(shù)僅僅看成是時間的函數(shù)，忽略了個體間的差異（如年齡、性別、大小等）對人口增長的影響。 2. 假定是連續(xù)可微的。這對于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個時間段內(nèi)是隨機的，可認為是近似成立的。 3. 人口增長率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時間改變的定常的環(huán)境當中。 4. 模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。,模型討論,不難看出，這些假設(shè)是苛刻的、不現(xiàn)實的，所以模型2只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預測未來人口。,人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,模型3,阻滯增長模型(Logistic模型),x(t)S形曲線, x增加先快后慢,參數(shù)估計,用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,模型檢驗,用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較,實際為281.4 (百萬),模型應(yīng)用預報美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù),Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量),復雜的人口模型,可見數(shù)學模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化。,考慮人口年齡分布的偏微分方程模型。,考慮女性人口比例和人口遷移等因素 有宋健-于景元人口模型。,實例2 商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk) 過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk 第k次渡船上的商人數(shù),vk 第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk) 決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 編程上機,圖