自動(dòng)控制理論第版鄒伯敏課件第章2.ppt

1,第三章,控制系統(tǒng)的時(shí)域分析,自動(dòng)控制理論,普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材,2,典型輸入信號(hào)。 條件： 1 能反映實(shí)際輸入； 2 在形式上盡可能簡(jiǎn)單，便于分析； 3 使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。,1,考查系統(tǒng)對(duì)恒值信號(hào)的跟蹤能力,第一節(jié) 典型的測(cè)試信號(hào),3,R=1，稱單位斜坡函數(shù),記為 t，,2. 斜坡函數(shù) （等速度函數(shù)）,考查系統(tǒng)對(duì)勻速信號(hào)的跟蹤能力,4,3. 拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）,R=1，稱單位拋物線函數(shù),記為,考查系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)跟蹤能力,5,4. 脈沖函數(shù),具有左圖形狀的信號(hào)被稱為矩型脈動(dòng)信號(hào), 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,由圖可見(jiàn), 脈動(dòng)信號(hào) 的面積為R. 當(dāng)脈動(dòng),信號(hào)的寬度,時(shí), 其高度為, 但,面積乃為R. 把寬度,時(shí)的矩型脈動(dòng)信號(hào)定義為脈,沖信號(hào), 而其面積R稱為脈沖信號(hào)的脈沖強(qiáng)度.,6,當(dāng)R=1時(shí), 叫做單位脈沖信號(hào), 用,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為,而其面積為:,單位脈沖信號(hào),用下圖表示:,強(qiáng)度不為1而為R的脈沖信號(hào)用,表示.,表示,考查系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)下的恢復(fù)情況,7,各函數(shù)間關(guān)系：,（5）正弦函數(shù),8,補(bǔ)充：時(shí)域性能指標(biāo),c(t) = ct(t) + css(t) = 暫態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng),1. 暫態(tài)性能指標(biāo),圖32,9,(1) 延遲時(shí)間td：c(t)從0到0.5c()的時(shí)間。,(2)上升時(shí)間tr：c(t)第一次達(dá)到c()的時(shí)間。無(wú)超調(diào)時(shí), c(t)從0.1 c()到0.9 c()的時(shí)間。,(3) 峰值時(shí)間tp： c(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間,(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts： c(t)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)2%或5%所需的時(shí)間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號(hào)表示， 即 =2%或 =5% 。,(5)超調(diào)量 ：c(t) 最大峰值偏離穩(wěn)態(tài)值的部分，常用百分?jǐn)?shù)表示，描述的系統(tǒng)的平穩(wěn)性。,10,2. 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差ess：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。即,最后一節(jié)細(xì)講。,11,凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。,TRC，時(shí)間常數(shù)。 其典型傳遞函數(shù)及結(jié)構(gòu)圖為：,第二節(jié) 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng),一、 數(shù)學(xué)模型,12, T 2T 3T 4T,當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。,二、 單位階躍響應(yīng),響應(yīng)曲線在0，） 的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)。 無(wú)振蕩,0.632,0.95,0.982,0.865,1.0,13,一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo),一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個(gè)重要的特點(diǎn)： 可以用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。 響應(yīng)曲線的初始斜率等于1/T。,T反映了系統(tǒng)的慣性。 T越小慣性越小，響應(yīng)快！ T越大，慣性越大，響應(yīng)慢。,14,三、 單位斜坡響應(yīng) r(t) = t ,r(t)= t,c(t) = t T + Tet/T,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。,T,T,穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤項(xiàng)+常值）,暫態(tài)分量,15,表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。 比較階躍響應(yīng)曲線和斜坡響應(yīng)曲線：,在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，最終趨于0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；無(wú)差跟蹤 在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最終趨于常值T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于0。有差跟蹤。,16,四、單位脈沖響應(yīng) R(s)=1,它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。,求系統(tǒng)閉環(huán)傳函提供了實(shí)驗(yàn)方法，以單位脈沖輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)，測(cè)定出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)。,對(duì)應(yīng),17,線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì),2. 在零初始條件下，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)時(shí)間的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出對(duì)時(shí)間的積分，積分常數(shù)由零初始條件決定。,1.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)。,18,例：已知一階元件的傳遞函數(shù)為,K0,G (s),KH,r,C(s),今系統(tǒng)采用負(fù)反饋的辦法將過(guò)渡時(shí)間ts減小為原來(lái)的0.1 倍，并保證總放大系數(shù)不變 ，求K0,KH,19,解：,20,21,一、 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 標(biāo)準(zhǔn)化二階 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù) (阻尼比)和n(無(wú)阻尼振蕩頻率) 。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。,第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,22,微分方程式為：,對(duì)于不同的二階系統(tǒng)，阻尼比和無(wú)阻尼振蕩頻率的含義是不同的。,例如: RLC電路,23,二、 二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn),二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即 s 2 + 2n s + n2 = 0,其兩個(gè)特征根為：,上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比 的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說(shuō)在s平面上有 不同的分布規(guī)律。分述如下：,s1,s2, 1 時(shí)，特征根為一對(duì)不等值的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過(guò)阻尼的。,24,(3) 0 1 時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面 的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼的。,(2) =1時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的。,s1= s2 = n,n,s1,s2,jd, n,25,(4) =0 時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的等幅振蕩過(guò)程。,jn,(5) 0 時(shí)，特征根位于s平面的右半平面，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為幅值隨時(shí)間增加而發(fā)散。,s1,s2,26,阻尼比取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)根的分布, 1, = 1,0 1, = 0,27,三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),由式,，其輸出的拉氏變換為,式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。,對(duì)上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s 平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面分別加以討論。,28,1、欠阻尼情況 01,（1）、單位階躍響應(yīng),查表可得：,29,欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率d，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù) 和n決定。,1,衰減振蕩,(2)響應(yīng)曲線,30,Mp,（3）動(dòng)態(tài)性能指標(biāo),常用tr , tp , Mp , ts 四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。,1,0.5,0.05 或 0.02,tr,tp,ts,td,31,上升時(shí)間tr ：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr 越小，響應(yīng)越快。,峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。,32,超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。,33,Mp只是 的函數(shù)，其大小與自然頻率n無(wú)關(guān)。 Mp,調(diào)節(jié)時(shí)間ts ：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)5%所需要的時(shí)間。,工程上，當(dāng)0.1 0.9 時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。, = 5% c(), = 2% c(),34,延遲時(shí)間td ：從零第一次上升至穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。,35,總結(jié)：,各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。,36,例3-1 單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示,(1) 確定系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自然頻率 。 (2) 若K = 16(rad/s)、T = 0.25(s)，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 解: (1) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,與典型二階系統(tǒng)比較可得： K/T= n2 1/T = 2n,37,(2) K = 16，T = 0.25時(shí),( =0.05 ),K/T= n2 1/T = 2n,38,例3-2 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。,解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時(shí)間。 Mp = 30% tp = 0.1,求解上述二式，得到 = 0.357，n= 33.65(rad/s)。 于是二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,39,(2)無(wú)阻尼情況=0,等幅振蕩,40,（3）臨界阻尼情況=1 s1,2= n,此時(shí)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1 的非周期上升過(guò)程，其變化率 t = 0，變化率為0； t 0變化率為正，c(t) 單調(diào)上升； t ，變化率趨于0。整個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差0。,1,41,（4）過(guò)阻尼情況 1,響應(yīng)特性包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)， 且它們的代數(shù)和不會(huì)超過(guò)1，因而響應(yīng)是非振蕩的。調(diào)節(jié)速度慢。（不同于一階系統(tǒng)）,42,（5）不穩(wěn)定系統(tǒng) 0，不討論,總結(jié)： 1）1時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無(wú)超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢； 3）0時(shí)，無(wú)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩； 4）01時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，合理選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把0.707的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)；,43,G(s)，H(s) 一般是復(fù)變量s 的多項(xiàng)式之比，故上式可記為,第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析,一、 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。,其閉環(huán)傳遞函數(shù)為,44,式中0 k 1 。即系統(tǒng)有q 個(gè)實(shí)極點(diǎn)和r 對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。 稱為系統(tǒng)閉環(huán)特征根，或閉環(huán)極點(diǎn)。,根據(jù)能量的有限性，分子多項(xiàng)式的階次m不高于分母多項(xiàng)式的階次n。對(duì)上式進(jìn)行因式分解，可以表示為,45,取拉氏反變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式：,于是，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換：,式中 ；k =arccos k ；Ak、Bk是與C(s)在對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。,46,上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的各暫態(tài)分量都將隨時(shí)間的增長(zhǎng)而趨近于零，這時(shí)稱高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 二、 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由 pi ，kn決定，也即閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)的分量衰減越快。 2）各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)由系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布決定。 3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。,47,4）對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 條件： 1 距離s平面虛軸較近，且周圍沒(méi)有其它的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)； 對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減緩慢，起主要作用。 不會(huì)構(gòu)成閉環(huán)偶極子，產(chǎn)生零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。 2 其實(shí)部的絕對(duì)值比其它極點(diǎn)小5倍以上。 應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。 一般情況，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)近似估計(jì)。,48,穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。,一 穩(wěn)定的概念和定義,如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)； 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)(t)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。,第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,49,二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 根據(jù)定義輸入擾動(dòng)(t)，設(shè)擾動(dòng)響應(yīng)為Cn(t)。如果當(dāng) t時(shí)， Cn(t)收斂到原來(lái)的平衡點(diǎn)，即有,那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,50,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面（不包括虛軸）。 根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號(hào)。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，后面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。,不失一般性，設(shè)n 階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,51,三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,式中，si（i =1,2 , , n）是系統(tǒng)的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論（韋達(dá)定理），下列關(guān)系式成立：,52,從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件為： ai aj 0 ( i, j =1,2, , n) 即，閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面講解勞斯穩(wěn)定判據(jù)。,必要條件只起否定作用, 也即只要不滿足必要條件, 系 統(tǒng)必不穩(wěn)定, 必要條件不起保證作用, 也即滿足必要條件, 系統(tǒng)不一定穩(wěn)定.,53,一、 勞斯判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。 若不滿足，則不穩(wěn)定。 并且勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。,第六節(jié) 勞斯穩(wěn)定判據(jù),54,表中：1）最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作 用，不參與計(jì)算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。,a0 a2 a4 a1 a3 a5 b1 b2 b3 an,sn sn1 sn2 s1 s0,勞斯表的構(gòu)造：,55,二. 勞斯判據(jù)的應(yīng)用 1、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例3-3 設(shè)有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。 解：勞斯表,第一列元素 符號(hào)改變了2次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平面有2個(gè)根。,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 5 2 4,6,1,5,5,56,例3-4 系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 3s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。 解：系統(tǒng)的勞斯表為,第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。對(duì)此情況，可作如下處理：,s3 s2 s1 s0,1 3 0 2 ,用一個(gè)很小的正數(shù) 來(lái)代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。,57,0+時(shí)，b1 0，勞斯表中第一列元素符號(hào)改變了兩次 系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。,用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0,s3 s2 s1 s0,1 3 0() 2,2,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 6 3 7 2/3 6 20 6,會(huì)得到相同的判斷結(jié)果,58,例3-5 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解: 該系統(tǒng)的勞斯表如下,第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對(duì)此情況，可作如下處理：,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 2 1 1 2 2 0 0,59,由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過(guò)解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根： s1=1 和 s2= 1 。 對(duì)本例題，可用長(zhǎng)除法求出另二個(gè)根，分別為 s3=1 和 s4= 2 。,用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助 方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 2 1 1 2 2,4 2,F(s) = 2s2+ 2 F(s)= 4s,60,2、分析參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響 例3-6 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。,解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0,要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。 0 K 6,s3 s2 s1 s0,1 2 3 K (6 K)/3 K,61,3、確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,例3-7 檢驗(yàn)多項(xiàng)式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線 s = 1的右邊？,解：1),勞斯表中第一列元素均為正 系統(tǒng)在s 右半平面沒(méi)有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2) 令 s1 = s + 1 坐標(biāo)平移， 得新特征方程為 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0,s3 s2 s1 s0,2 13 10 4 12.2 4,62,勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號(hào) 改變了一次，故系統(tǒng)在s1 右半平面有一個(gè)根。因此，系 統(tǒng)在垂直線 s = 1的右邊有一個(gè)根。,s13 s12 s11 s10,2 1 4 1 0.5 1,63,第七節(jié) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,一、誤差的基本概念,1. 誤差的定義 誤差的定義有兩種： 從系統(tǒng)輸入端定義，它等于系統(tǒng)的輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差，即 E(s)=R(s) B(s), 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的期望值與實(shí)際值之差。 E(s) =R (s) C(s) R (s)：輸出的期望值,64,由此可見(jiàn)，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可以直接或間接地表示從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。,2. 兩種定義的關(guān)系,對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。,3. 穩(wěn)態(tài)誤差ess：誤差的終值,4. 終值定理法,終值定理的條件： 除原點(diǎn)外，在虛軸及s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)。,65,例3-8 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為：,當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s3,試求當(dāng)輸入信號(hào)分別為r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：,66,(2) 當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/s,(3) 當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s2,67,(4) 當(dāng)r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2),終值定理的條件不成立！,終值定理的條件： 除原點(diǎn)外，在虛軸及s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)。,68,二、 給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(靜態(tài)誤差系數(shù)法),不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可寫(xiě)為：, = 0 稱為 0 型系統(tǒng)； = 1 稱為型系統(tǒng)； = 2 稱為型系統(tǒng)。等等,在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：,69,1. 階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,令,稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù),0 型系統(tǒng)： Kp = K ess = A/ (1+ K) 型及型以上系統(tǒng)： Kp = ess = 0,70,2. 斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,令,靜態(tài)速度誤差系數(shù),0 型系統(tǒng)：Kv = 0 ess = ，0型系統(tǒng)無(wú)法跟蹤斜坡輸入 型系統(tǒng)：Kv = K ess = A/ K， 有差跟蹤 型及型以上系統(tǒng)： Kv = ess = 0， 無(wú)差跟蹤,71,3. 加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,令,靜態(tài)加速度誤差系數(shù),0 型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = 型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = 型系統(tǒng)： Ka = K ess = A/ K 型及型以上系統(tǒng)：Ka = ess = 0,72,階躍、斜坡、加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,r(t)=At2/2,r(t)=A t,r(t)=A1(t),靜態(tài)誤 差系數(shù),系統(tǒng) 型別,ess=A/Ka,ess=A/Kv,ess=A/(1+ Kp ),Kp Kv Ka,A/(1+ K ),K 0 0,0,A/K,0,0, K,2,A/K,0, K 0,1,73,例3-9 已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，試分別求