【高考輔導(dǎo)資料】2008年高考試題——數(shù)學(xué)理(江西卷)(有答案解析及評分標(biāo)準(zhǔn))

絕密啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷1至2頁，第卷3至4頁，共150分。第卷考生注意：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上，考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致。2. 第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。第卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答。若在試題卷上作答，答案無效。3. 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。參考公式如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件，相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑 一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2定義集合運(yùn)算:設(shè),則集合的所有元素之和為A0 B2 C3 D63若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是A B C D4A B C D不存在5在數(shù)列中， ，則 A B C D6函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是 7已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是A B C D8 展開式中的常數(shù)項為 A1 B46 C4245 D42469若，則下列代數(shù)式中值最大的是A B C D 10連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，有下列四個命題：弦、可能相交于點(diǎn) 弦、可能相交于點(diǎn)的最大值為5 的最小值為1其中真命題的個數(shù)為A1個 B2個 C3個 D4個11電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59的每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個數(shù)字之和為23的概率為A B C D12已知函數(shù)，若對于任一實數(shù)，與至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A B C D 絕密啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)第卷注意事項： 第卷2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，若在試題上作答，答案無效。二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請把答案填在答題卡上13直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，若為線段的三等分點(diǎn)，則= 14不等式的解集為 15過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 16如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P。如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)（圖2）。有下列四個命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點(diǎn)C任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是： （寫出所有真命題的代號）三.解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）在中，角所對應(yīng)的邊分別為，求及18（本小題滿分12分）某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5. 若實施方案二，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6. 實施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立。令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)（1）寫出的分布列；（2）實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？（3）不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益10萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？19（本小題滿分12分）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，.（1）求；（2）求證.20（本小題滿分12分）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、兩兩垂直，且長度均為2、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作平面與側(cè)棱、或其延長線分別相交于、，已知（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?1（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，定點(diǎn).（1）求證：三點(diǎn)共線。（2）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程.22（本小題滿分14分）已知函數(shù)，當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；對任意正數(shù)，證明：絕密啟用前 秘密啟用后2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)參考答案 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。題號123456789101112答案DDBAADCDACCB1.因所以對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，2.因，3.令，則，4.5. . ，6D. 函數(shù)7 .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則又,所以8. 常數(shù)項為9. A. 10. 解：正確，錯誤。易求得、到球心的距離分別為3、2，若兩弦交于，則，中，有，矛盾。當(dāng)、共線時分別取最大值5最小值1。11. . 一天顯示的時間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.12. 解：當(dāng)時，顯然不成立當(dāng)時，因當(dāng)即時結(jié)論顯然成立；當(dāng)時只要即可即則二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13. 14. 15. 16. B、D13. 由已知得,則1415. 16 解：真命題的代號是： BD 。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經(jīng)過點(diǎn)P，故B正確；C的錯誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點(diǎn)P將露出水面。三. 解答題：本大題共6小題，共74分。17.解：由得 ，又由得 即 由正弦定理得18.解：（1）的所有取值為的所有取值為,、的分布列分別為：0.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.150.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，,可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大（3）令表示方案所帶來的效益，則101520P0.350.350.3101520P0.50.180.32所以可見，方案一所帶來的平均效益更大。19解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，依題意有由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解得故（2）20解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。又是的中點(diǎn)，所以，則。因為，所以面，則，因此面。（2）作于，連。因為平面，根據(jù)三垂線定理知，就是二面角的平面角。作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，在中，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以所以平面由得，故：平面(2)由已知設(shè)則由與共線得:存在有得 同理:設(shè)是平面的一個法向量,則令得 又是平面的一個法量所以二面角的大小為（3）由（2）知，平面的一個法向量為。則。則點(diǎn)到平面的距離為21證明：（1）設(shè)，由已知得到，且，設(shè)切線的方程為：由得從而,解得因此的方程為：同理的方程為：又在上，所以，即點(diǎn)都在直線上又也在直線上,所以三點(diǎn)共線（2）垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以 解得由 可得即為重心所在曲線方程22解：、當(dāng)時，求得 ，于是當(dāng)時，；而當(dāng) 時，即在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減 （2）.對任意給定的，由 ，若令 ，則 ，而 （一）、先證；因為，又由 ，得 所以（二）、再證；由、式中關(guān)于的對稱性，不妨設(shè)則（）、當(dāng)，則，所以，因為 ，此時 （）、當(dāng) ，由得 ,，因為 所以 同理得 ，于是 今證明 , 因為 ，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)，此為顯然 因此得證故由得 綜上所述，對任何正數(shù)，皆有絕密啟用前 秘密啟用后2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)參考答案及評分參考 四. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。題號123456789101112答案DDBAADCDACCB五. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13. 14. 15. 16. B、D六. 解答題：本大題共6小題，共74分。17.解：由得1分 2分，又 3分 5分由得 即 7分 8分 9分由正弦定理得 12分18.解：（1）的所有取值為 1分的所有取值為, 2分、的分布列分別為：0.80.91.01.1253分1.25P0.20.150.350.150.150.80.961.01.24分1.44P0.30.20.180.240.08（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，, 5分 6分可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大7分（3）令表示方案所帶來的效益，則10158分20P0.350.350.310159分20P0.50.180.32所以 11分可見，方案一所帶來的平均效益更大。 12分19解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)， 2分依題意有4分由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解得 7分故 8分（2） 9分 10分 12分20解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。 2分又是的中點(diǎn)，所以，則。 3分因為，所以面，則， 4分因此面。5分（2）作于，連。因為平面，根據(jù)三垂線定理知， 7分就是二面角的平面角。 8分作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，10分在中，則，。11分所以，故二面角為。12分解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 2分所以所以 3分所以平面 4分由得，故：平面5分(2)由已知設(shè)則6分由與共線得:存在有得同理: 8分設(shè)是平面的一個法向量,則令得又是平面的一個法量 11分所以二面角的大小為 12分21證明：設(shè)，由已知得到，且，1分（1）垂線的方程為：，由得垂足，2分設(shè)重心所以 3分解得 4分由 可得7分即為重心所在曲線方程（2）設(shè)切線的方程為：由得8分從而,解得9分因此的方程為：同理的方程為：10分又在上，所以，即點(diǎn)都在直線上 11分又也在直線上,所以三點(diǎn)共線12分2