【高考輔導(dǎo)資料】物理競賽輔導(dǎo)教案：磁場

第十部分 磁場第一講 基本知識(shí)介紹磁場部分在奧賽考剛中的考點(diǎn)很少，和高考要求的區(qū)別不是很大，只是在兩處有深化：a、電流的磁場引進(jìn)定量計(jì)算；b、對帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了更深入的分析。一、磁場與安培力1、磁場a、永磁體、電流磁場磁現(xiàn)象的電本質(zhì)b、磁感強(qiáng)度、磁通量c、穩(wěn)恒電流的磁場*畢奧-薩伐爾定律（Biot-Savart law）：對于電流強(qiáng)度為I 、長度為dI的導(dǎo)體元段，在距離為r的點(diǎn)激發(fā)的“元磁感應(yīng)強(qiáng)度”為dB 。矢量式d= k，（d表示導(dǎo)體元段的方向沿電流的方向、為導(dǎo)體元段到考查點(diǎn)的方向矢量）；或用大小關(guān)系式dB = k結(jié)合安培定則尋求方向亦可。其中 k = 1.0107N/A2 。應(yīng)用畢薩定律再結(jié)合矢量疊加原理，可以求解任何形狀導(dǎo)線在任何位置激發(fā)的磁感強(qiáng)度。畢薩定律應(yīng)用在“無限長”直導(dǎo)線的結(jié)論：B = 2k ；*畢薩定律應(yīng)用在環(huán)形電流垂直中心軸線上的結(jié)論：B = 2kI ；*畢薩定律應(yīng)用在“無限長”螺線管內(nèi)部的結(jié)論：B = 2knI 。其中n為單位長度螺線管的匝數(shù)。2、安培力a、對直導(dǎo)體，矢量式為 = I；或表達(dá)為大小關(guān)系式 F = BILsin再結(jié)合“左手定則”解決方向問題（為B與L的夾角）。b、彎曲導(dǎo)體的安培力整體合力折線導(dǎo)體所受安培力的合力等于連接始末端連線導(dǎo)體（電流不變）的的安培力。證明：參照圖9-1，令MN段導(dǎo)體的安培力F1與NO段導(dǎo)體的安培力F2的合力為F，則F的大小為F = = BI = BI關(guān)于F的方向，由于FF2PMNO，可以證明圖9-1中的兩個(gè)灰色三角形相似，這也就證明了F是垂直MO的，再由于PMO是等腰三角形（這個(gè)證明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中點(diǎn)了。證畢。由于連續(xù)彎曲的導(dǎo)體可以看成是無窮多元段直線導(dǎo)體的折合，所以，關(guān)于折線導(dǎo)體整體合力的結(jié)論也適用于彎曲導(dǎo)體。（說明：這個(gè)結(jié)論只適用于勻強(qiáng)磁場。）導(dǎo)體的內(nèi)張力彎曲導(dǎo)體在平衡或加速的情形下，均會(huì)出現(xiàn)內(nèi)張力，具體分析時(shí)，可將導(dǎo)體在被考查點(diǎn)切斷，再將被切斷的某一部分隔離，列平衡方程或動(dòng)力學(xué)方程求解。c、勻強(qiáng)磁場對線圈的轉(zhuǎn)矩如圖9-2所示，當(dāng)一個(gè)矩形線圈（線圈面積為S、通以恒定電流I）放入勻強(qiáng)磁場中，且磁場B的方向平行線圈平面時(shí)，線圈受安培力將轉(zhuǎn)動(dòng)（并自動(dòng)選擇垂直B的中心軸OO，因?yàn)橘|(zhì)心無加速度），此瞬時(shí)的力矩為M = BIS幾種情形的討論增加匝數(shù)至N ，則 M = NBIS ；轉(zhuǎn)軸平移，結(jié)論不變（證明從略）；線圈形狀改變，結(jié)論不變（證明從略）；*磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉(zhuǎn)角，則M = BIScos ，如圖9-3；證明：當(dāng) = 90時(shí)，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有垂直轉(zhuǎn)軸的的分量Bcos才能產(chǎn)生力矩磁場B垂直O(jiān)O軸相對線圈平面旋轉(zhuǎn)角，則M = BIScos ，如圖9-4。證明：當(dāng) = 90時(shí)，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有平行線圈平面的的分量Bcos才能產(chǎn)生力矩說明：在默認(rèn)的情況下，討論線圈的轉(zhuǎn)矩時(shí)，認(rèn)為線圈的轉(zhuǎn)軸垂直磁場。如果沒有人為設(shè)定，而是讓安培力自行選定轉(zhuǎn)軸，這時(shí)的力矩稱為力偶矩。二、洛侖茲力1、概念與規(guī)律a、 = q，或展開為f = qvBsin再結(jié)合左、右手定則確定方向（其中為與的夾角）。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)。b、能量性質(zhì)由于總垂直與確定的平面，故總垂直 ，只能起到改變速度方向的作用。結(jié)論：洛侖茲力可對帶電粒子形成沖量，卻不可能做功?；颍郝鍋銎澚墒箮щ娏Ｗ拥膭?dòng)量發(fā)生改變卻不能使其動(dòng)能發(fā)生改變。問題：安培力可以做功，為什么洛侖茲力不能做功？解說：應(yīng)該注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)”這句話的確切含義“宏觀體現(xiàn)”和“完全相等”是有區(qū)別的。我們可以分兩種情形看這個(gè)問題：（1）導(dǎo)體靜止時(shí)，所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力（這個(gè)證明從略）；（2）導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子參與的是沿導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)v1和導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)v2的合運(yùn)動(dòng)，其合速度為v ，這時(shí)的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導(dǎo)體棒，它們是不可能相等的，只能說安培力是洛侖茲力的分力f1 = qv1B的合力（見圖9-5）。很顯然，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者說f1的正功和f2的負(fù)功的代數(shù)和為零）。（事實(shí)上，由于電子定向移動(dòng)速率v1在105m/s數(shù)量級，而v2一般都在102m/s數(shù)量級以上，致使f1只是f的一個(gè)極小分量。）如果從能量的角度看這個(gè)問題，當(dāng)導(dǎo)體棒放在光滑的導(dǎo)軌上時(shí)（參看圖9-6），導(dǎo)體棒必獲得動(dòng)能，這個(gè)動(dòng)能是怎么轉(zhuǎn)化來的呢？若先將導(dǎo)體棒卡住，回路中形成穩(wěn)恒的電流，電流的功轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱。而將導(dǎo)體棒釋放后，導(dǎo)體棒受安培力加速，將形成感應(yīng)電動(dòng)勢（反電動(dòng)勢）。動(dòng)力學(xué)分析可知，導(dǎo)體棒的最后穩(wěn)定狀態(tài)是勻速運(yùn)動(dòng)（感應(yīng)電動(dòng)勢等于電源電動(dòng)勢，回路電流為零）。由于達(dá)到穩(wěn)定速度前的回路電流是逐漸減小的，故在相同時(shí)間內(nèi)發(fā)的焦耳熱將比導(dǎo)體棒被卡住時(shí)少。所以，導(dǎo)體棒動(dòng)能的增加是以回路焦耳熱的減少為代價(jià)的。2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運(yùn)動(dòng)a、時(shí)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r = ，周期T = b、與成一般夾角時(shí)，做等螺距螺旋運(yùn)動(dòng)，半徑r = ，螺距d = 這個(gè)結(jié)論的證明一般是將分解（過程從略）。但也有一個(gè)問題，如果將分解（成垂直速度分量B2和平行速度分量B1 ，如圖9-7所示），粒子的運(yùn)動(dòng)情形似乎就不一樣了在垂直B2的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)？其實(shí)，在圖9-7中，B1平行v只是一種暫時(shí)的現(xiàn)象，一旦受B2的洛侖茲力作用，v改變方向后就不再平行B1了。當(dāng)B1施加了洛侖茲力后，粒子的“圓周運(yùn)動(dòng)”就無法達(dá)成了。（而在分解v的處理中，這種局面是不會(huì)出現(xiàn)的。）3、磁聚焦a、結(jié)構(gòu)：見圖9-8，K和G分別為陰極和控制極，A為陽極加共軸限制膜片，螺線管提供勻強(qiáng)磁場。b、原理：由于控制極和共軸膜片的存在，電子進(jìn)磁場的發(fā)散角極小，即速度和磁場的夾角極小，各粒子做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)可以認(rèn)為螺距彼此相等（半徑可以不等），故所有粒子會(huì)“聚焦”在熒光屏上的P點(diǎn)。4、回旋加速器a、結(jié)構(gòu)&原理（注意加速時(shí)間應(yīng)忽略）b、磁場與交變電場頻率的關(guān)系因回旋周期T和交變電場周期T必相等，故 =c、最大速度 vmax = = 2Rf5、質(zhì)譜儀速度選擇器&粒子圓周運(yùn)動(dòng)，和高考要求相同。第二講 典型例題解析一、磁場與安培力的計(jì)算【例題1】兩根無限長的平行直導(dǎo)線a、b相距40cm，通過電流的大小都是3.0A，方向相反。試求位于兩根導(dǎo)線之間且在兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)的、與a導(dǎo)線相距10cm的P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。【解說】這是一個(gè)關(guān)于畢薩定律的簡單應(yīng)用。解題過程從略?！敬鸢浮看笮?.0106T ，方向在圖9-9中垂直紙面向外?！纠}2】半徑為R ，通有電流I的圓形線圈，放在磁感強(qiáng)度大小為B 、方向垂直線圈平面的勻強(qiáng)磁場中，求由于安培力而引起的線圈內(nèi)張力?！窘庹f】本題有兩種解法。方法一：隔離一小段弧，對應(yīng)圓心角 ，則弧長L = R 。因?yàn)?0（在圖9-10中，為了說明問題，被夸大了），弧形導(dǎo)體可視為直導(dǎo)體，其受到的安培力F = BIL ，其兩端受到的張力設(shè)為T ，則T的合力T = 2Tsin再根據(jù)平衡方程和極限= 0 ，即可求解T 。方法二：隔離線圈的一半，根據(jù)彎曲導(dǎo)體求安培力的定式和平衡方程即可求解【答案】BIR 。說明如果安培力不是背離圓心而是指向圓心，內(nèi)張力的方向也隨之反向，但大小不會(huì)變。學(xué)員思考如果圓環(huán)的電流是由于環(huán)上的帶正電物質(zhì)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成（磁場仍然是進(jìn)去的），且已知單位長度的電量為、環(huán)的角速度、環(huán)的總質(zhì)量為M ，其它條件不變，再求環(huán)的內(nèi)張力。提示此時(shí)環(huán)的張力由兩部分引起：安培力，離心力。前者的計(jì)算上面已經(jīng)得出（此處I = = R），T1 = BR2 ；后者的計(jì)算必須應(yīng)用圖9-10的思想，只是F變成了離心力，方程 2T2 sin = M2R ，即T2 = 。答B(yǎng)R2 + ?！纠}3】如圖9-11所示，半徑為R的圓形線圈共N匝，處在方向豎直的、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，線圈可繞其水平直徑（絕緣）軸OO轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)質(zhì)量為m的重物掛在線圈下部，當(dāng)線圈通以恒定電流I后，求其靜止時(shí)線圈平面和磁場方向的夾角?！窘庹f】這是一個(gè)應(yīng)用安培力矩定式的簡單問題，解題過程從略?！敬鸢浮縜rctg 。二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)【例題4】電子質(zhì)量為m 、電量為q ，以初速度v0垂直磁場進(jìn)入磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中。某時(shí)刻，電子第一次通過圖9-12所示的P點(diǎn)，為已知量，試求：（1）電子從O到P經(jīng)歷的時(shí)間；（2）OP過程洛侖茲力的沖量?！窘庹f】圓周運(yùn)動(dòng)的基本計(jì)算。解題過程從略。值得注意的是，洛侖茲力不是恒力，故沖量不能通過定義式去求，而應(yīng)根據(jù)動(dòng)量定理求解?！敬鸢浮浚?） ；（2）2mv0sin 。【例題5】如圖9-13所示，S是粒子源，只能在紙面上的360范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m 、電量為q的電子。MN是一塊足夠大的擋板，與S相距= L 。它們處在磁感強(qiáng)度為B 、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，試求：（1）要電子能到達(dá)擋板，其發(fā)射速度至少應(yīng)為多大？（2）若發(fā)射速率為，則電子擊打在擋板上的范圍怎樣？【解說】第一問甚簡，電子能擊打到擋板的臨界情形是軌跡與擋板相切，此時(shí) rmin = ；在第二問中，先求得r = L ，在考查各種方向的初速所對應(yīng)的軌跡與擋板相交的“最遠(yuǎn)”點(diǎn)。值得注意的是，O點(diǎn)上方的最遠(yuǎn)點(diǎn)和下方的最遠(yuǎn)點(diǎn)并不是相對O點(diǎn)對稱的?！敬鸢浮浚?） ；（2）從圖中O點(diǎn)上方距O點(diǎn)L處到O點(diǎn)下方距O點(diǎn)L處的范圍內(nèi)。【例題6】如圖9-14甲所示，由加速電壓為U的電子槍發(fā)射出的電子沿x方向射入勻強(qiáng)磁場，要使電子經(jīng)過x下方距O為L且xOP = 的P點(diǎn)，試討論磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向的取值情況。【解說】以一般情形論：電子初速度v0與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成任意夾角 ，電子應(yīng)做螺旋運(yùn)動(dòng)，半徑為r = ，螺距為d = ，它們都由 、B決定（v0 =是固定不變的）。我們總可以找到適當(dāng)?shù)陌霃脚c螺距，使P點(diǎn)的位置滿足L 、的要求。電子運(yùn)動(dòng)軌跡的三維展示如圖9-14乙所示。如果P點(diǎn)處于（乙圖中）螺線軌跡的P1位置，則 = ，B ；如果P點(diǎn)處于P2或P3位置，則 ，B與成一般夾角。對于前一種情形，求解并不難只要解L = kd（其中k = 1，2，3，）方程即可；而對后一種情形，要求出B的通解就難了，這里不做討論。此外，還有一種特解，那就是當(dāng)B時(shí)，這時(shí)的解法和【例題4】就完全重合了。【答案】通解不定。當(dāng)B時(shí)，B =（其中k = 1，2，3，）；當(dāng)B時(shí)，B =。問題存疑兩個(gè)特解能不能統(tǒng)一？三、帶電粒子在電磁復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)一般考慮兩種典型的復(fù)合情形：B和E平行，B和E垂直。對于前一種情形，如果v0和B（E）成角，可以將v0分解為v0和v0n ，則在n方向粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在方向粒子做勻加速運(yùn)動(dòng)。所以，粒子的合運(yùn)動(dòng)是螺距遞增（或遞減）的螺線運(yùn)動(dòng)。對于后一種情形（垂直復(fù)合場），難度較大，必須起用動(dòng)力學(xué)工具和能量（動(dòng)量）工具共同求解。一般結(jié)論是，當(dāng)v0和B垂直而和E成一般夾角時(shí)，粒子的軌跡是擺線（的周期性銜接）?！纠}7】在三維直角坐標(biāo)中，沿+z方向有磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，沿z方向有電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場。在原點(diǎn)O有一質(zhì)量為m 、電量為q的粒子（不計(jì)重力）以正x方向、大小為v的初速度發(fā)射。試求粒子再過z軸的坐標(biāo)與時(shí)間?！窘庹f】過程甚簡，粒子運(yùn)動(dòng)情形見圖9-15?！敬鸢浮縵 = ，t = 。（其中k = 1，2，3，）【例題8】在相互垂直的勻強(qiáng)電、磁場中，E、B值已知，一個(gè)質(zhì)量為m 、電量為+q的帶電微粒（重力不計(jì)）無初速地釋放，試定量尋求該粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。【解說】在相互垂直的電、磁場中，粒子受力的情形非常復(fù)雜，用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的手段也有相當(dāng)?shù)睦щy，必須用到一些特殊的處理方法。鑒于粒子只能在垂直B的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，可以在該平面內(nèi)建立如圖9-16所示的直角坐標(biāo)。在這個(gè)坐標(biāo)中，從以下四個(gè)角度考查粒子運(yùn)動(dòng)的定量規(guī)律（1）電場方向的最大位移Y能量關(guān)系 qEY =m 在x方向上用動(dòng)量定理，有t = mvP 且 = qB （注意 t = Y）解式可得 Y = （2）軌跡頂點(diǎn)P的曲率半徑r在P點(diǎn)有動(dòng)力學(xué)關(guān)系 qvPB qE = m ，而vP在第（1）問中已經(jīng)求得?？山獬觯簉 = （3）垂直電場方向的“漂移”速度針對OP過程，y方向有動(dòng)力學(xué)關(guān)系 = m即 qE = m ，即 qE qB= m 。而 = = 0所以 = *（4）粒子從O到P做經(jīng)歷的時(shí)間t解法一：擺線亦稱旋輪線，是由輪子在水平面無滑滾動(dòng)時(shí)輪子邊緣形成的軌跡（如圖9-17所示）。在本題的E、B疊加場中，可以認(rèn)為“輪子”的旋轉(zhuǎn)是由洛侖茲力獨(dú)立形成的。而從O到P的過程，輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角應(yīng)為，故對應(yīng)時(shí)間為 t = 。解法二：參照擺線方程x = a（t sint）y = a（1 cost）得到 xP = a = = 。再根據(jù) t = = /所以 t = ?！敬鸢浮柯??！驹u說】在垂直復(fù)合場中，尋求能量關(guān)系比較容易，但動(dòng)力學(xué)關(guān)系（或動(dòng)量關(guān)系）只能啟用平均的思想，這也是一種特殊的處理方法。四、束縛問題帶電實(shí)物受到斜面、繩子或桿子的束縛，在電、磁場中的運(yùn)動(dòng)問題稱為束縛問題。束縛問題涉及的受力情形復(fù)雜，且常常伴隨邊界條件的討論，因此有更大的挑戰(zhàn)性?！纠}9】單擺的擺長為L ，擺球帶電+q ，放在勻強(qiáng)磁場中，球的擺動(dòng)平面跟磁場垂直，最大擺角為 。為使其能正常擺動(dòng)，磁場的磁感強(qiáng)度B值有何限制？【解說】這是第九屆初試題，解題的關(guān)鍵所在是要分析清楚：小球“最有可能脫離圓弧”的點(diǎn)是否一定在最低點(diǎn)？下面的定量討論完成之后，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)：這個(gè)答案是否定的。針對某個(gè)一般位置P ，設(shè)方位角（如圖9