人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下28.2《解直角三角形的應(yīng)用》測(cè)試題（含答案及解析）

解直角三角形的應(yīng)用 測(cè)試題時(shí)間：100分鐘 總分： 100題號(hào)一二三四總分得分一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）1. 小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等.小明將PB拉到PB的位置，測(cè)得PBC=(BC為水平線(xiàn))，測(cè)角儀BD的高度為1米，則旗桿PA的高度為()A. 11-sinB. 11+sinC. 11-cosD. 11+cos2. 如圖，長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角ACD為45，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為()A. 23mB. 26mC. (23-2)mD. (26-2)m3. 一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線(xiàn)，CA是水平線(xiàn)，BA與CA的夾角為.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要()A. (4+4sin)米2B. 4cos米2C. (4+4tan)米2D. (4+4tan)米24. 上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處(如圖).從A、B兩處分別測(cè)得小島M在北偏東45和北偏東15方向，那么在B處船與小島M的距離為()A. 20海里B. 202海里C. 153海里D. 203海里5. 如圖，某游樂(lè)場(chǎng)一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為a，那么滑梯長(zhǎng)m為()A. hsinB. htanC. hcosD. h-sin6. 如圖所示，為了測(cè)得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測(cè)角儀CD，測(cè)得電視塔頂端A的仰角為30，再向電視塔方向前進(jìn)120米達(dá)到F處，又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為60，則這個(gè)電視塔的高度AB(單位：米)為()A. 603B. 61C. 603+1D. 1217. 某校八年級(jí)生物興趣小組租兩艘快艇去微山湖生物考察，他們從同一碼頭出發(fā)，第一艘快艇沿北偏西70方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20方向航行50千米，如果此時(shí)第一艘快艇不動(dòng)，第二艘快艇向第一艘快艇靠攏，那么第二艘快艇航行的方向和距離分別是()A. 南偏東25，502千米B. 北偏西25，502千米C. 南偏東70，100千米D. 北偏西20，100千米8. 如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向，距離燈塔60nmile的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東30方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為()A. 603nmileB. 602nmileC. 303nmileD. 302nmile9. 如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，則壩底AD的長(zhǎng)度為()A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10. 如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面示意圖，已知AD/BC，且AD、BC之間的距離為15米，背水坡CD的坡度i=1：0.6，為提高大壩的防洪能力，需對(duì)大壩進(jìn)行加固，加固后大壩頂端AE比原來(lái)的頂端AD加寬了2米，背水坡EF的坡度i=3：4，則大壩底端增加的長(zhǎng)度CF是()米A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）11. 為加強(qiáng)防汛工作，某市對(duì)一攔水壩進(jìn)行加固，如圖，加固前攔水壩的橫斷面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=123米，B=60，加固后攔水壩的橫斷面為梯形ABED，tanE=3133，則CE的長(zhǎng)為_(kāi) 米.12. 如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30，測(cè)得底部C的俯角為60，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為_(kāi) 米.(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：31.73)13. 小明沿著坡度i為1：3的直路向上走了50m，則小明沿垂直方向升高了_ m.14. 如圖，長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角ACD為45，則調(diào)整后樓梯AC長(zhǎng)為_(kāi) 米.15. 如圖，一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為34的斜坡，從A滑行至B，已知AB=500米，則這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了_米.(參考數(shù)據(jù)：sin340.56，cos340.83，tan340.67)16. 如圖，為測(cè)量某棟樓房AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30，朝樓房AB方向前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D，再次測(cè)得A點(diǎn)的仰角為60，則此樓房的高度為_(kāi) 米(結(jié)果保留根號(hào))17. 如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30、45，如果此時(shí)熱氣球C處的高度為200米，點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上，則AB兩點(diǎn)間的距離是_米(結(jié)果保留根號(hào))18. 如圖，水庫(kù)堤壩的橫斷面是梯形，測(cè)得BC長(zhǎng)為30m，CD長(zhǎng)為205m，斜坡AB的坡比為1：3，斜坡CD的坡比為1：2，則壩底的寬AD為_(kāi)m.19. 如圖，某堤壩的斜坡AB的斜角是，坡度是1：3，則=_20. 某興趣小組借助無(wú)人飛機(jī)航拍，如圖，無(wú)人飛機(jī)從A處飛行至B處需12秒，在地面C處同一方向上分別測(cè)得A處的仰角為75，B處的仰角為30.已知無(wú)人飛機(jī)的飛行速度為3米/秒，則這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度為(結(jié)果保留根號(hào)) _ 米.三、計(jì)算題（本大題共4小題，共24.0分）21. 如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一棟五層居民樓CD的高度.該樓底層為車(chē)庫(kù)，高2.5米；上面五層居住，每層高度相等.測(cè)角儀支架離地1.5米，在A處測(cè)得五樓頂部點(diǎn)D的仰角為60，在B處測(cè)得四樓頂部點(diǎn)E的仰角為30，AB=14米.求居民樓的高度(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：31.73)22. 某興趣小組借助無(wú)人飛機(jī)航拍校園.如圖，無(wú)人飛機(jī)從A處水平飛行至B處需8秒，在地面C處同一方向上分別測(cè)得A處的仰角為75，B處的仰角為30.已知無(wú)人飛機(jī)的飛行速度為4米/秒，求這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度.(結(jié)果保留根號(hào))23. 如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測(cè)得教學(xué)樓頂部D的仰角為18，教學(xué)樓底部B的俯角為20，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB=30m(1)求BCD的度數(shù)(2)求教學(xué)樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan200.36，tan180.32)24. 如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角DCE=30，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線(xiàn)上(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大樓AB的高度(結(jié)果保留根號(hào))四、解答題（本大題共2小題，共16.0分）25. 如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45(點(diǎn)B，C，E在同一水平直線(xiàn)上)，已知AB=80m，DE=10m，求障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù)：21.414，31.732)26. 如圖，某湖中有一孤立的小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PQ通往小島，某同學(xué)在觀光道AB上測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=100米，PAB=45，PBA=30.請(qǐng)求出小橋PQ的長(zhǎng).(21.414,31.732，結(jié)果精確到0.1米)答案和解析【答案】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514. 2615. 28016. 5317. 200(3+1)18. 13019. 3020. 93+921. 解：設(shè)每層樓高為x米，由題意得：MC=MC-CC=2.5-1.5=1米，DC=5x+1，EC=4x+1，在RtDCA中，DAC=60，CA=DCtan60=33(5x+1)，在RtECB中，EBC=30，CB=ECtan30=3(4x+1)，AB=CB-CA=AB，3(4x+1)-33(5x+1)=14，解得：x3.17，則居民樓高為53.17+2.518.4米22. 解：如圖，作ADBC，BH水平線(xiàn)，由題意得：ACH=75，BCH=30，AB/CH，ABC=30，ACB=45，AB=32m，AD=CD=16m，BD=ABcos30=163m，BC=CD+BD=(163+16)m，則BH=BCsin30=(83+8)m23. 解：(1)過(guò)點(diǎn)C作CEBD，則有DCE=18，BCE=20，BCD=DCE+BCE=18+20=38；(2)由題意得：CE=AB=30m，在RtCBE中，BE=CEtan2010.80m，在RtCDE中，DE=CDtan189.60m，教學(xué)樓的高BD=BE+DE=10.80+9.6020.4m，則教學(xué)樓的高約為20.4m24. 解：(1)在RtDCE中，DC=4米，DCE=30，DEC=90，DE=12DC=2米；(2)過(guò)D作DFAB，交AB于點(diǎn)F，BFD=90，BDF=45，BFD=45，即BFD為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x米，四邊形DEAF為矩形，AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，在RtABC中，ABC=30，BC=ABcos30=x+232=2x+43=3(2x+4)3米，BD=2BF=2x米，DC=4米，DCE=30，ACB=60，DCB=90，在RtBCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2=(2x+4)23+16，解得：x=4+43，則AB=(6+43)米25. 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DFAB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CHDF于點(diǎn)H則DE=BF=CH=10m，在直角ADF中，AF=80m-10m=70m，ADF=45，DF=AF=70m在直角CDE中，DE=10m，DCE=30，CE=DEtan30=1033=103(m)，BC=BE-CE=70-10370-17.3252.7(m)答：障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離約為52.7m26. 解：設(shè)PQ=x米，在直角PAQ中，tanPAQ=xAQ，AQ=xtan45=x，在直角PBQ中，tanPBQ=xBQ，BQ=xtan30=3x，AB=100米，x+3x=100，解得：x=503-5036.6(米)答：小橋PQ的長(zhǎng)度約是36.6米【解析】1. 解：設(shè)PA=PB=PB=x， 在RTPCB中，x-1x=sin，x-1=xsin，(1-sin)x=1，x=11-sin故選：A設(shè)PA=PB=PB=x，在RTPCB中，根據(jù)，列出方程即可解決問(wèn)題本題考查解直角三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列方程，屬于中考?？碱}型2. 解：在RtABD中，sinABD=ADAB，AD=4sin60=23(m)，在RtACD中，sinACD=ADAC，AC=23sin45=26(m)故選B先在RtABD中利用正弦的定義計(jì)算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定義計(jì)算AC即可本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i=1：m的形式.把坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡度i與坡角之間的關(guān)系為：i=tan3. 解：在RtABC中，BC=ACtan=4tan(米)，AC+BC=4+4tan(米)，地毯的面積至少需要1(4+4tan)=4+4tan(米2)；故選：D由三角函數(shù)表示出BC，得出AC+BC的長(zhǎng)度，由矩形的面積即可得出結(jié)果本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形面積的計(jì)算；由三角函數(shù)表示出BC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵4. 解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BNAM于點(diǎn)N由題意得，AB=4012=20海里，ABM=105作BNAM于點(diǎn)N在直角三角形ABN中，BN=ABsin45=102在直角BNM中，MBN=60，則M=30，所以BM=2BN=202(海里)故選B過(guò)點(diǎn)B作BNAM于點(diǎn)N.根據(jù)三角函數(shù)求BN的長(zhǎng)，從而求BM的長(zhǎng)解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線(xiàn)5. 解：sina=hm，m=hsina故選A根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解本題考查了三角函數(shù)的定義，理解定義是關(guān)鍵6. 【分析】根據(jù)題意求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，理解仰角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵【解答】解：由題意得，CE=DF=120m，EAC=AEG-ACE=30，EAC=ECA，AE=DF=120m，AG=AEsinAEG=603m，AB=AG+GB=(603+1)m故選：C7. 解：第一艘快艇沿北偏西70方向，第二艘快艇沿南偏西20方向，BOA=90，BO=AO=50km，AB=502km，B=OAB=45，第二艘快艇沿南偏西20方向，1=CAO=20，2=45-20=25，第二艘快艇航行的方向和距離分別是：北偏西25，502千米故選：B根據(jù)題意得出AO=BO以及BOA=90，進(jìn)而得出第二艘快艇航行的方向和距離此題主要考查了方向角以及勾股定理，正確把握方向角的定義是解題關(guān)鍵8. 解：如圖作PEAB于E在RtPAE中，PAE=45，PA=60nmile，PE=AE=2260=302nmile，在RtPBE中，B=30，PB=2PE=602nmile，故選：B如圖作PEAB于E.在RtPAE中，求出PE，在RtPBE中，根據(jù)PB=2PE即可解決問(wèn)題本題考查方向角、直角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí).解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線(xiàn)9. 解：壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，AE=1.5BE=18米，BC=10米，AD=2AE+BC=218+10=46米，故選：D先根據(jù)坡比求得AE的長(zhǎng)，已知CB=10m，即可求得AD此題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的坡度坡角的問(wèn)題及等腰梯形的性質(zhì)的掌握情況，將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合更利于解題10. 解：過(guò)D作DGBC于G，EHBC于H，GH=DE=2，DG=EH=15，背水坡CD的坡度i=1：0.6，背水坡EF的坡度i=3：4，CG=9，HF=20，CF=GH+HF-CG=13米，故選C過(guò)D作DGBC于G，EHBC于H，解直角三角形即可得到結(jié)論本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，難度一般11. 解：分別過(guò)A、D作AFBC，DGBC，垂點(diǎn)分別為F、G，如圖所示在RtABF中，AB=12米，B=60，sinB=AFAB，AF=1232=63，DG=63在RtDGC中，CD=123，DG=63米，GC=CD2-DG2=18在RtDEG中，tanE=3133，63GE=3133，GE=26，CE=GE-CG=26-18=8即CE的長(zhǎng)為8米故答案為8分別過(guò)A、D作下底的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為F、G.在RtABF中，已知坡面長(zhǎng)和坡角的度數(shù)，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長(zhǎng)；在RtCDG中，由勾股定理求CG的長(zhǎng)，在RtDEG中，根據(jù)正切函數(shù)定義得到GE的長(zhǎng)；根據(jù)CE=GE-CG即可求解本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理.作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解答此類(lèi)題的一般思路12. 解：由題意可得：tan30=BDAD=BD90=33，解得：BD=303，tan60=DCAD=DC90=3，解得：DC=903，故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=1203208(m)，故答案為：208分別利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出該建筑物的高度此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵13. 解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BEAC于點(diǎn)E， 坡度：i=1：3，tanA=1：3=33，A=30，AB=50m，BE=12AB=25(m)他升高了25m故答案為：25首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由坡度為1：3，可求得坡角A=30，又由小明沿著坡度為1：3的山坡向上走了50m，根據(jù)直角三角形中，30所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可求得答案此題考查了坡度坡角問(wèn)題.此題比較簡(jiǎn)單，注意能構(gòu)造直角三角形并用解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用14. 解：在RtABD中，sinABD=ADAB，AD=4sin60=23(m)，在RtACD中，sinACD=ADAC，AC=23sin45=26(m)故答案是：26先在RtABD中利用正弦的定義計(jì)算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定義計(jì)算AC即可本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中的坡度坡角問(wèn)題，難度不大，注意細(xì)心運(yùn)算即可15. 解：如圖在RtABC中，AC=ABsin34=5000.56280m，這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了280m故答案為280如圖在RtABC中，AC=ABsin34=5000.56280m，可知這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了280m本題考查解直角三角形、坡度坡角問(wèn)題、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型16. 解：在直角三角形ADB中，D=30，ABBD=tan30，BD=ABtan30=3AB，在直角三角形ABC中，ACB=60，BC=ABtan60=33AB，CD=10，CD=BD-BC=3AB-33AB=10，解得：AB=53故答案為：53首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊AB及CD=BD-BC=10構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可解，即可求出答案本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形17. 解：從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30、45，BCD=90-45=45，ACD=90-30=60，CDAB，CD=200m，BCD是等腰直角三角形，BD=CD=200m，在RtACD中，CD=200m，ACD=60，AD=CDtan60=2003=2003m，AB=AD+BD=2003+200=200(3+1)m故答案為：200(3+1)先根據(jù)從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30、45可求出BCD與ACD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)求出AD與BD的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AD+BD即可得出結(jié)論本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵18. 解：作BEAD于E，CFAD于F，斜坡CD的坡比為1：2，即CFDF=12，DF=2CF，又CD=205m，CF=20m，DF=40m，由題意得，四邊形BEFC是矩形，BE=CF=20m，EF=BC=30m，斜坡AB的坡比為1：3，BEAE=13，即AE=3BE=60m，AD=AE+EF+DF=130m，故答案為：130m作BEAD于E，CFAD于F，根據(jù)坡度的概念分別求出AE、DF，結(jié)合圖形計(jì)算即可本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵，掌握矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用19. 解：tan=1：3，則=30故答案是：30根據(jù)坡度就是坡角的正切值即可求解本題主要考查了坡度的定義，理解坡度和坡角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵20. 解：如圖，作ADBC，BH水平線(xiàn)，由題意得：ACH=75，BCH=30，AB/CH，ABC=30，ACB=45，AB=312=36m，AD=CD=18m，BD=ABcos30=183m，BC=CD+BD=(183+18)m，BH=BCsin30=(93+9)m故答案為：93+9作ADBC，BH水平線(xiàn)，根據(jù)題意確定出ABC與ACB的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD