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隨機(jī)過(guò)程與排隊(duì)論,數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院 胡朝明 Email:math_ 2019年7月14日星期日,2019/7/14,胡朝明,282,上一講內(nèi)容回顧,獨(dú)立增量過(guò)程 正態(tài)過(guò)程 維納過(guò)程,2019/7/14,胡朝明,283,本講主要內(nèi)容,泊松過(guò)程 泊松過(guò)程的兩個(gè)定義及其等價(jià)性 泊松過(guò)程的概率分布 泊松過(guò)程的數(shù)字特征 泊松過(guò)程的性質(zhì) 非齊次泊松過(guò)程 復(fù)合泊松過(guò)程 更新計(jì)數(shù)過(guò)程,2019/7/14,胡朝明,284,3.泊松過(guò)程,泊松過(guò)程是一種很重要的計(jì)數(shù)過(guò)程,它在隨機(jī)過(guò) 程的理論和應(yīng)用方面都起著重要的作用,特別在 運(yùn)籌學(xué)和排隊(duì)論中的作用更為顯著。 泊松過(guò)程的實(shí)例很多,例如:在0,t)時(shí)間內(nèi), 到達(dá)某超級(jí)市場(chǎng)的顧客數(shù)N(t); 某電話(huà)交換臺(tái)的呼喚數(shù)N(t); 某車(chē)間發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)N(t); 某計(jì)數(shù)器接受到的粒子數(shù)N(t); 某通信系統(tǒng)出現(xiàn)的誤碼數(shù)N(t); 等等,N(t),t0都是泊松過(guò)程的典型實(shí)例。,2019/7/14,胡朝明,285,泊松過(guò)程的定義1,如果取非負(fù)整數(shù)值的計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t),t0滿(mǎn)足: N(0)0; 具有獨(dú)立增量; 對(duì)任意0st,N(t)-N(s)服從參數(shù)為(t-s)泊松分布,,則稱(chēng)N(t),t0為參數(shù)(或平均率、強(qiáng)度)為的(齊次)泊松過(guò)程。,2019/7/14,胡朝明,286,泊松過(guò)程的定義2,如果取非負(fù)整數(shù)值得計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t),t0滿(mǎn)足下 列條件: N(0)0; 具有平穩(wěn)獨(dú)立增量; PN(h)=1h+o(h); PN(h)2o(h) 則稱(chēng)N(t),t0為參數(shù)(或平均率、強(qiáng)度)為的(齊次) 泊松過(guò)程。,2019/7/14,胡朝明,287,等價(jià)定理,定理 泊松過(guò)程的定義1與定義2是等價(jià)的。,證明 12:條件a)與1)相同。條件b)可由2)和3)直接得到。 PN(h)=1PN(h)-N(0)=1,即d)。,h1-h+o(h)h+o(h) 即c)。,2019/7/14,胡朝明,288,證明,21:條件1)與a)相同。條件2)由b)直接得到。只要證明:N(t)(t0)服從參數(shù)為t泊松分布。 設(shè)pk(t)PN(t)=k,利用歸納法證明:,(1) k=0,p0(t+h)PN(t+h)=0 PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0 PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0,解得:p0(t)e-t。,獨(dú)立增量過(guò)程,平穩(wěn)性, PN(t)=0PN(h)=0 p0(t)1-h+o(h),因?yàn)?2019/7/14,胡朝明,289,證明(續(xù)1),(2) k1,pk(t+h)PN(t+h)=k,pk(t)1-h+o(h)+pk-1(t)h+o(h)+o(h),,2019/7/14,胡朝明,2810,證明(續(xù)2),k=1時(shí),解得:p1(t)te-t,所以k=1時(shí)結(jié)論成立。,假設(shè)k-1時(shí)結(jié)論成立,,解,得,結(jié)論成立。 由歸納法知,對(duì)一切k=0,1,2,,結(jié)論成立。 得證,再由平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì),對(duì)一切0st,得出3)。,2019/7/14,胡朝明,2811,泊松過(guò)程的概率分布和數(shù)字特征,一維概率分布及均值和方差函數(shù) 對(duì)任意t0,N(t)(t), PN(t)=k,均值函數(shù) m(t)EN(t)t; 方差函數(shù) D(t)DN(t)t。 一維特征函數(shù),2019/7/14,胡朝明,2812,泊松過(guò)程的概率分布和數(shù)字特征,二維概率分布,PN(s)=j, N(t)=k PN(s)=j,N(t)-N(s)=k-j,ts,PN(s)=jPN(t-s)=k-j,2019/7/14,胡朝明,2813,泊松過(guò)程的概率分布和數(shù)字特征,協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù) 協(xié)方差函數(shù) C(s,t)min(s,t), 相關(guān)函數(shù) R(s,t)min(s,t)2st。,證明 R(s,t)EN(s)N(t) EN(s)N(t)-N(s)+N(s) st EN(s)EN(t)-N(s)+EN2(s) s(t-s)+s+(s)2s+2st C(s,t)R(s,t)-m(s)m(t)s+2st-sts 一般地,C(s,t)min(s,t), R(s,t)min(s,t)2st。,2019/7/14,胡朝明,2814,泊松過(guò)程的性質(zhì)1,泊松過(guò)程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程;,設(shè)N(t)表示區(qū)間0,t)內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù),N(t), t0是參數(shù)為的泊松過(guò)程,設(shè)1,2,n分別表示事件第1、2、n次出現(xiàn)的時(shí)間,稱(chēng)k為事件第k次出現(xiàn)的等待時(shí)間;Tk(k1)表示事件第k-1次出現(xiàn)到第k次出現(xiàn)的點(diǎn)間間距。 Tkk-k-1,kT1+T2+Tk, k=1,2,n,0=0,2019/7/14,胡朝明,2815,泊松過(guò)程的性質(zhì)2,設(shè)N(t),t0是參數(shù)為的泊松過(guò)程,Tn,n=1,2,為點(diǎn) 間間距序列,則Tn,n=1,2,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變 量,且都服從參數(shù)為的(負(fù))指數(shù)分布。,證明 因?yàn)門(mén)1表示事件第1次出現(xiàn)以前所需要的時(shí)間,所以事件T1t表示在0,t)內(nèi)泊松事件還沒(méi)有出現(xiàn),因此,事件T1t的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有泊松事件在在0,t)內(nèi)出現(xiàn),于是對(duì)t0,有 P T1tPN(t)=0e-t P T1t1- P T1t 1- e-t 對(duì)tt0 因此,T1的分布函數(shù)為,2019/7/14,胡朝明,2816,T1的概率密度為,即T1服從參數(shù)為的(負(fù))指數(shù)分布。 T2表示事件第1次出現(xiàn)至第2次出現(xiàn)的點(diǎn)間間距 P T2t|T1=s1P在(s,s+t)內(nèi)沒(méi)有事件出現(xiàn)|T1=s1 P在(s1,s1+t)內(nèi)沒(méi)有事件出現(xiàn) P N(s1+t)N(s1)=0 P N(t)=0e-t,2019/7/14,胡朝明,2817,當(dāng)s0時(shí),可見(jiàn)T2也服從參數(shù)為的(負(fù))指數(shù)分布且T2與T1獨(dú)立同分布。 類(lèi)似地,可用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時(shí),Tn,n=1,2,相互獨(dú)立,都參數(shù)為的(負(fù))指數(shù)分布。,2019/7/14,胡朝明,2818,泊松過(guò)程的性質(zhì)3,設(shè)N(t),t0是參數(shù)為的泊松過(guò)程,n,n=1,2, 為等待時(shí)間序列,則 n(n,),即概率密度 為:,即n階愛(ài)而朗分布。,2019/7/14,胡朝明,2819,非齊次泊松過(guò)程,如果計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t),t0滿(mǎn)足下列條件: N(0)0; N(t),t0是獨(dú)立增量過(guò)程; PN(t+t)-N(t)=1(t)t+0(t); PN(t+t)-N(t)20(t) 則稱(chēng)N(t),t0為參數(shù)(或平均率、強(qiáng)度)為(t)的非齊次泊松過(guò)程。特別,當(dāng)(t)=時(shí),即為齊次泊松過(guò)程。,定理 若過(guò)程N(yùn)(t),t0是非齊次泊松過(guò)程,則在時(shí)間間距t0,t0+t)內(nèi)事件A出現(xiàn)k次的概率為:,式中,2019/7/14,胡朝明,2820,例,某鎮(zhèn)有一小商店,每日8:00開(kāi)始營(yíng)業(yè)。從8:00到11:00平均顧客到達(dá)率線(xiàn)性增加,在8:00顧客平均到達(dá)5人/小時(shí);11:00到達(dá)率達(dá)最高峰20人/小時(shí)。從11:00到13:00平均顧客到達(dá)率為20人/小時(shí)。從13:00到17:00平均顧客到達(dá)率線(xiàn)性下降,17:00顧客到達(dá)率為12人/小時(shí)。假設(shè)在不相交的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的,試問(wèn)在8:30到9:30時(shí)間內(nèi)無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為多少?在這段時(shí)間機(jī)內(nèi)到達(dá)商店的顧客的均值為多少?,2019/7/14,胡朝明,2821,解,設(shè)8:00為t=0,11:00為t=3,13:00為t=5,17:00為t=9,第二天8:00可以為t=9。于是,顧客到達(dá)率是周期為9的函數(shù):,(t)(t-9),根據(jù)題意,在0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(t),t0是一個(gè)非齊次泊松過(guò)程。 在8:30到9:30無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為,在8:30到9:30到達(dá)商店的顧客均值為,2019/7/14,胡朝明,2822,復(fù)合泊松過(guò)程,設(shè)N(t),t0是參數(shù)為的泊松過(guò)程,Yn,n=1,2,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且N(t),t0與Yn,n=1,2,相互獨(dú)立,令,稱(chēng)X(t),t0為復(fù)合泊松過(guò)程。,2019/7/14,胡朝明,2823,更新計(jì)數(shù)過(guò)程,設(shè)N(t),t0是計(jì)數(shù)過(guò)程,如果它的時(shí)間間距T1,T2,Tn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,則稱(chēng)N(t),t0為更新計(jì)數(shù)過(guò)程,稱(chēng)時(shí)間間距為更新間距。,例 電話(huà)臺(tái)呼喚流 設(shè)有一個(gè)不斷受到呼喚的電話(huà)臺(tái),電話(huà)呼喚到達(dá)的時(shí)間為1,2,n,時(shí)間間距T1=1,T2= 2-1,Tn=n-n-1是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。令N(t)表示在時(shí)間0,t)內(nèi)收到的呼喚數(shù),則N(t),t0是更新過(guò)程。,2019/7/14,胡朝明,2824,更新過(guò)程的概率分布,設(shè)N(t),t0是更新過(guò)程,其到達(dá)的時(shí)間為1,2, n。時(shí)間間距T1=1,T2=2-1,Tn=n-n-1相互獨(dú)立都與隨機(jī)變量T同分布。設(shè)T的分布函數(shù)為FT(t),故Tk的分布函數(shù)為FTk(t)FT(t),k=1,2,令更新計(jì)數(shù)過(guò)程的分布函數(shù)為FN(t)(k)PN(t)k,則,由時(shí)間間距T的特征函數(shù)T(u),計(jì)算到達(dá)時(shí)間k 的特征函數(shù):,由k的特征函數(shù)k(u)確定k的概率密度f(wàn)k(t)和分布函數(shù)Fk(t); 由Fk(t)確定更新計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t),t0的分布函數(shù)。,由于事件kt與事件N(t)k等價(jià),從而 PktPN(t)k1-PN(t)k 即 Fk(t)1FN(t)(k) 故 FN(t)(k)1Fk(t),2019/7/14,胡朝明,2825,更新過(guò)程的均值函數(shù),設(shè)N(t),t0是更新過(guò)程,
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