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文檔簡介

1,一、三重積分的概念,二、三重積分的計算,2,一、 三重積分的概念,采用,引例：設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻 的物質(zhì)，,密度函數(shù)為,求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的質(zhì)量 M .,可得,“分割，近似，求和，取極限”,3,定義: 設(shè),存在 ,稱為體積元素,若對 作任意分割,及任意取點 , 下列“乘積和式”的極限,則稱此極限為函數(shù),在上的三重積分.,在直角坐標系下也常寫作,4,性質(zhì),中值定理: 設(shè) 在有界閉域 上連續(xù),使得,其中V為 的體積.,三重積分的性質(zhì)與二重積分相似 , 例如,計算方法,則存在,一點,5,1、直角坐標系中將三重積分化為三次積分,二、三重積分的計算,如圖，,在直角坐標系下,6,化三重積分為三次積分,7,其中為三個坐標面及平面,例1. 計算三重積分,所圍成的閉區(qū)域 .,解:,8,解,9,10,解,如圖，,11,12,解,13,解,14,原式,15,3、利用柱面坐標計算三重積分,規(guī)定：,16,柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為,如圖，三坐標面分別為,圓柱面；,半平面；,平 面,17,如圖，柱面坐標系中的體積元素為,18,其中為由柱面,例1. 計算三重積分,所圍成半圓柱體.,解: 在柱面坐標系下,及平面,19,例2. 計算三重積分,解: 在柱面坐標系下,20,解,知交線為,21,22,解,所圍成的立體如圖，,23,所圍成立體的投影區(qū)域如圖，,24,25,26,4、利用球面坐標計算三重積分,27,規(guī)定：,如圖，三坐標面分別為,圓錐面；,球 面；,半平面,28,球面坐標與直角坐標的關(guān)系為,如圖，,29,球面坐標系中的體積元素為,如圖，,30,例1. 計算三重積分,其中為,解: 在球面坐標系下,所圍立體.,錐面,與球面,31,32,33,34,例3. 求半徑為R 的球面與半頂角為 的,內(nèi)接錐面所

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