高一數(shù)學(xué)課件：已知三角函數(shù)值求角11.ppt

( ),( ),( ),( ),4.11.1 已知三角函數(shù)值求角（一）,（口答）求下列三角函數(shù)值,=,=,=,=,=,sinX= ,如何求角X？,由正弦曲線可知：,例1.求滿足下列條件的角X的集合.,（1）sinX= ， 且X 0 ， ,X,O,1,-1,Y,解：,y=sinX在 0 ， 上是增函數(shù),sin =,符合條件的角有且只有 一個， .,即第一象限的角,于是所求的角X的集合是 ,（2）sinX= ， 且X ， ,所求角X的集合是 ,已知三角函數(shù)值求角（一）,X,O,1,-1,Y,求角X，關(guān)鍵在于找出滿足條件的相應(yīng)銳角,（3）sinX= ， 且X ， ,0,已知三角函數(shù)值求角（一）,sinX= 0且X 0， ,（3）sinX= ， 且X ， ,0,解：,X是第一，二象限的角,由正弦曲線的單調(diào)性,sin （ - ) =sin =,X,O,1,-1,Y,可知在X 0， 上 符合條件的角有且只有兩個：第一象限的角 或 第二象限的角 - 即,于是所求角X的集合是 ， ,（4）sinX= ， 且X ， ,0,所求角X的集合是 ， ,又 sin =,已知三角函數(shù)值求角（一）,已知三角函數(shù)值求角的步驟可概括為：,（1）定象限；,（2）找銳角；,（3）寫形式,（1）sinX= ， 且X 0 ， ,（2）sinX= ， 且X ， ,（3）sinX= ， 且X ， ,0,（4）sinX= ， 且X ， ,0,所求角X的集合是 ， ,所求角X的集合是 ， ,所求角X的集合是 ,所求的角X的集合是 ,我們發(fā)現(xiàn)：角的范圍不同，所求角的集合有時相同，有時不相同.,因此已知三角函數(shù)值求角時一定要注意角的范圍。,已知三角函數(shù)值求角（一）,可知在 X 0， 上 符合條件的角有且只有兩個，即第三象限 的角 + = 或第四象限的角 + = .,例 2（1） 已知sinX= ，且X 0 ， ，求X的取值集合,sinX= 0 且X 0 ， ,X是第三，四象限的角,由正弦函數(shù)的單調(diào)性和 sin( + )=sin( - )=-sin = ,于是所求的角X的集合是 ， ,而滿足條件sinX= 的銳角為 ,解：,找銳角時，如果正弦值為負(fù)，則求出與其絕對值對應(yīng)的銳角 ；,如果正弦值為正，則可直接求出對應(yīng)的銳角 .,已知三角函數(shù)值求角（一）,滿足條件sinX= 0.5 的銳角X =,( 已知非特殊三角函數(shù)值求角： 除在求相應(yīng)銳角時利用計算器外，其余步驟同前。,利用計算器可求得滿足條件sinX= -0.3332 的銳角為 ,解析,于是所求的角X的集合是 ， ,（2）已知sinX= - 0.3332,且X 0 ， ，求角X的取值集合.,上題答案也可以寫成： + arcsin 0.3332 , - arcsin0.3332 ,滿足條件sinX= -0.3332 的銳角X =,滿足條件sinX= 0.65 的銳角X =,滿足條件sinX= 的銳角X =,反正弦,定義 一般的， 在閉區(qū)間 ， 上，符合條件,記做arcsin a,即X=arcsin a,其中X ， ，,sinX=a（-1 a 1 ）,的角X，叫做實數(shù)a的反正弦，,且a=sinX,因為sinX=-0.33320,且X 0 ， ，所以角X是第三，四象限的角,已知三角函數(shù)值求角（一）,（1）sinX=0.3332 , 且X 0 ， ，,課堂練習(xí),1、求滿足下列條件的角X的集合.,（2）cosX= ， 且X 0 ， ，,2、已知sin( - X ) = , 且 X 0 ， ，求角X的集合.,已知三角函數(shù)值求角（一）,答案為 ， ,2、已知sin( - X ) = , 且 X 0 ， ，求角X的集合.,解析：應(yīng)用誘導(dǎo)公式得sinX= .,（1）sinX=0.3332 , 且X 0 ， ，,答案為 ， ,（2）cosX= ， 且X 0 ， ，,答案為 ， ,本節(jié)課我們重點研究了給值求角的步驟，當(dāng)三角函數(shù)值不是 1和0時可概括為： 定象限，找銳角，寫形式，如果要求出 0 ， 范圍以外的角則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值寫出結(jié)果。,本講小結(jié)：,若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。,用反正弦符號表示角。,作業(yè)：,課本：P77 1T、（1）（2） 2T、（1）（2） 3T、（1）（2）（3） 4T、（3）（4）,思考題,求滿足下列條件的角X的集合,（1）sinX=1,( 2 ) sinX=,已知特殊三角函數(shù)值求角,已知非特殊三角函數(shù)值求角,知識回顧,cosX=a（-1 a 1 ）,（2） ， ,（1）滿足條件cosX= -0.7660 的銳角為,于是所求的角X的集合為 ,上題（2）的答案可以寫成 - arccos0.7660, +arccos(-0.7660),解析1：,X,O,1,-1,Y,- 0.7660,定義 在閉區(qū)間 0 ， 上， 符合條件,記做arccos a,即X=arccos a, 其中X 0 ， ，,的角X，叫做實數(shù)a的反余弦，,且a=cosX,反余弦,求出對應(yīng)的銳角；,根據(jù)角的象限，利用誘導(dǎo)公式寫 0 ， 間的角（ ， - ， + ， - ）；,由已知正弦值確定角所在的象限；,具體可分如下三步（為方便先不考慮軸線角）：,（定象限）,（找銳角）,（寫形式）,已知三角函數(shù)值求角（一）,課堂練習(xí)：,cosX= - 0.7660 0且X 0 , ,X是第二象限的角,利用計算器可求得滿足條件 cosX= -0.7660 的銳角為 ( ),注意：除在求相應(yīng)銳角時需 利用計算器，其余步驟同前。,可知在 0 ， 內(nèi)符合條件的角有且只有一個，即第二象限的角,于是所求的角X的集合是 ,解：,由余弦函數(shù)的單調(diào)性和,cos（ - ）= - cos = - 0.7660,X,O,1,-1,Y,-0.7660,根據(jù)余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)，為了使符合條件cosX=a（-1 a 1 ）的角有且只有一個，我們選擇閉區(qū)間 0 ， 作為基本的范圍。在這個閉區(qū)間上，符合條件cosX=a(-1 a 1) 的角X，叫做實數(shù)a的反余弦，,記做arccos a,即X=arccos a,其中X 0 ， ，且a=cosX,例如： =arccos(-0.7663) ,=arccos,練習(xí) 已知cosX=-0.7660，且X 0， ，求滿足條件的角X的集合.,X,Y,O,1,-1,例 2（1） 已知sinX= ，且X 0 ， ，求X的取值集合,已知三角函數(shù)值求角（一）,（1）已知sinX= ，且X 0 ， ，求X的取值集合,課堂練習(xí)：,（2） 已知sinX=-0.3332,且X 0 ， ，求滿足條件 的角X,由正弦曲線可知：,增函數(shù),且sin =,因此符合條件的角有且只有一個，即 .,于是所求的角X的集合是 ,解：,sin X= ，且X , .,y=sinX在 ， 上是,X,Y,O,1,-1,X是第一象限的角,例1 (1) 已知sin X= ，且X , ，求X的取值集合.,學(xué)習(xí)要求,知識講解,課堂練習(xí),本課小結(jié),課后作業(yè),學(xué)習(xí)要求,利用三角函數(shù)的圖象、符號規(guī)律、誘導(dǎo)公式及使用計算器的方法等項知識和技能，學(xué)會已知一個三角函數(shù)值，求與它對應(yīng)的角的方法；為今后學(xué)習(xí)解三角方程、三角不等式等奠定基礎(chǔ)。,4.11.1 已知三角函數(shù)值求角（一）,2.答案為 ，- 解析：應(yīng)用誘導(dǎo)公式得sinX= ，所角X是第一，二象限角， 求得銳角 = ，故第一象限的角為 或第二象限 的角 - = ，所以所求角的集合為 ， ,1.答案為 ,解析：在 ABC中cosA = 0.7660，所以 A 是銳角，因此,A的集合為 ,答案可以寫成 arccos0.7660 ,已知角的一個三角函數(shù)值求角,要結(jié)合角所屬范圍和三角函 數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性來確定。一般說來，所得的解不是唯一的， 而是有無數(shù)多個， 其解法步驟可概括為： （1） 由已知函數(shù)值的正、負(fù)確定所求角所在的象限（定象限）； （2） 如函數(shù)值為正，若函數(shù)值是非特殊值，則用計算器，先求 出對應(yīng)的銳角 ；如果函數(shù)值為負(fù)，則先求出與其絕對值 對應(yīng)的銳角 （ 找銳角）； （3） 根據(jù)所在的象限，得出0360間的角（寫形式）； （4） 如果要求 0 ， 范圍以外的角，則可利用終邊相同的角的 表達(dá)式寫出（求全角）。,本講小結(jié)：,若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。,sinX= 0且X 0， ,因此在X 0， 上符合條件的角有且只有兩個： 第一象限的角 或第二象限的角 - 即,例1 已知sin X = ，且 X 0 , ，求X的取值集合.,X是第一，二象限的角,由正弦曲線可知： y=sinX在0， 上是,增函數(shù),且sin =,Y=sinX在 ， 上是,減函數(shù)，,且sin （ - ) =sin =,于是所求的X的集合是 ， ,X,Y,O,1,-1,解：,=arcsin ，,定義 在閉區(qū)間 ， 上， 符合條件,記做arcsin a,即X=arcsin a,其中X ， ，且a=sinX,反正弦,sinX=a（-1 a 1 ）,的角X，叫做實數(shù)a的反正弦，,例如：,= - arcsin, arcsin , - arcsin ,(2) 已知sin X= ，且X 0 , ，求X的取值集合.,X,Y,O,1,-1,答案也可以寫成： + arcsin( ) , - arcsin( ) ,注意：由以上幾例的解答, 已知正弦三角函數(shù)值求給定區(qū)間的角具有共同的規(guī)律：,例3 已知cosX= ，且X 0， ，求X的取值集合。,cosX= 0 且X 0 ， ,解：,X是第二，三象限的角,而滿足條件tanX= 的銳角為,由余弦函數(shù)的單調(diào)性和 cos( + )=cos( - )=-cos =,可知在 X 0， 上 符合條件的角有且只有兩個，即第二象限 的角 - = 或第四象限的角 - = .,于是所求的角X的集合是 ， ,X,Y,O,1,-1,=arccos( )，,定義 在閉區(qū)間