高中數(shù)學(xué)第三章3.1函數(shù)與方程3.1.2用二分法求方程的近似解學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.1.2用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二分法的原理及其適用條件.2.掌握二分法的實(shí)施步驟.3.體會(huì)二分法中蘊(yùn)含的逐步逼近與程序化思想知識(shí)點(diǎn)一二分法對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解知識(shí)點(diǎn)二用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟：(1)確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度；(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)；若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f(a)f(c)0，則令bc(此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b)(4)判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)(4)以上步驟可簡(jiǎn)化為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷1如果函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，不適合用二分法求此零點(diǎn)近似值()2要用二分法，必須先確定零點(diǎn)所在區(qū)間()3用二分法最后一定能求出函數(shù)零點(diǎn)()4達(dá)到精確度后，所得區(qū)間內(nèi)任一數(shù)均可視為零點(diǎn)的近似值()類型一二分法的適用條件例1以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)判斷是否能用二分法求解零點(diǎn)答案C解析使用二分法必先找到零點(diǎn)所在區(qū)間a，b，且f(a)f(b)0，但C中找不到這樣的區(qū)間反思與感悟運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是()考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)判斷是否能用二分法求解零點(diǎn)答案A類型二二分法的操作例2用二分法求函數(shù)f(x)x33的一個(gè)零點(diǎn)(精確度0.02)考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法求方程的近似解解由于f(0)30，f(1)20，f(2)50，故可取區(qū)間(1,2)作為計(jì)算的初始區(qū)間用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)值(或近似值)(1,2)1.50.375(1,1.5)1.251.047(1.25,1.5)1.3750.400(1.375,1.5)1.43750.030(1.4375,1.5)1.468750.168(1.4375,1.46875)1.4531250.068(1.4375,1.453125)因?yàn)閨1.4531251.4375|0.0156250.02，所以函數(shù)f(x)x33的零點(diǎn)的近似值可取為1.4375.反思與感悟用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是初始區(qū)間的選取，符合條件(包括零點(diǎn))，又要使其長(zhǎng)度盡量小；二是進(jìn)行精確度的判斷，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算跟蹤訓(xùn)練2借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x3x7的近似解(精確度0.1)考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法求方程的近似解解原方程即2x3x70，令f(x)2x3x7，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)2x3x7的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x012345678f(x)2x3x762310214075142273觀察圖或表可知f(1)f(2)0，說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)x0.取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x11.5，用計(jì)算器算得f(1.5)0.33.因?yàn)閒(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5)再取區(qū)間(1,1.5)的中點(diǎn)x21.25，用計(jì)算器算得f(1.25)0.87.因?yàn)閒(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375,1.4375)由于|1.3751.4375|0.06250.1，所以原方程的近似解可取為1.4375.類型三二分法思想的考查例3函數(shù)f(x)lnxx23的零點(diǎn)x0與的大小關(guān)系為_考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案x0解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出ylnx，y3x2的圖象如圖由圖可知，ylnx與y3x2有唯一的交點(diǎn)x0(1，)即f(x)lnxx23有唯一的零點(diǎn)x0(1，)代入?yún)^(qū)間中點(diǎn)x，則ln1.ln32.x0.反思與感悟在實(shí)際考查中，不一定要求把二分法進(jìn)行多少次，但可以要求利用二分法縮小零點(diǎn)所在區(qū)間跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)2xx32在(0,1)內(nèi)有無零點(diǎn)？若有，該零點(diǎn)是在內(nèi)還是在內(nèi)？考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間解f(x)為R上的增函數(shù)且f(0)200320，f(x)在(0,1)內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)x0.又f320，x0.1下列函數(shù)中，只能用二分法求其零點(diǎn)的是()Ayx7By5x1Cylog3xDyxx考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)判斷是否能用二分法求解零點(diǎn)答案D2下列圖象所表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是()考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)判斷是否能用二分法求解零點(diǎn)答案C3方程2x1x5的根所在的區(qū)間為()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)考點(diǎn)用二分法求函數(shù)的近似解題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案C4定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有一個(gè)零點(diǎn)x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0時(shí)，當(dāng)f0時(shí)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是_考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法求方程的近似解答案5用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的唯一零點(diǎn)的近似值時(shí)，驗(yàn)證f(2)f(4)0，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x13，計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是_考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案(2,3)1二分就是平均分成兩部分二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)2二分法求方程近似解的適用范圍：在包含方程解的一個(gè)區(qū)間上，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)3求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，所要求的精確度不同，得到的結(jié)果也不相同一、選擇題1下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)判斷是否能用二分法求解零點(diǎn)答案C解析只有選項(xiàng)C中零點(diǎn)左右的函數(shù)值符號(hào)相反且函數(shù)圖象連續(xù)，可以利用二分法求解2用“二分法”可求近似解，對(duì)于精確度說法正確的是()A越大，零點(diǎn)的精確度越高B越大，零點(diǎn)的精確度越低C重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是D重復(fù)計(jì)算次數(shù)與無關(guān)考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)二分法的概念答案B解析依“二分法”的具體步驟可知，越大，零點(diǎn)的精確度越低3設(shè)f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，則方程3x3x80的根落在區(qū)間()A(1.25,1.5) B(1,1.25)C(1.5,2) D不能確定考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案A解析易知f(x)在R上是增函數(shù)由題意可知f(1.25)f(1.5)0，故函數(shù)f(x)3x3x8的零點(diǎn)落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)故選A.4用二分法求函數(shù)f(x)lnx的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間大致可選在()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(e，)考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案B解析由于f(2)ln210，f(3)ln30，f(2)f(3)0，故初始區(qū)間可選(2,3)5已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，并且在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，當(dāng)a1.2，b1.4，精確度0.1時(shí)，應(yīng)將區(qū)間(a，b)等分的次數(shù)至少為()A1B2C3D4考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)分析二分法計(jì)算的次數(shù)答案B6若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.4065)0.052那么方程x3x22x20的一個(gè)近似根(精確度0.05)為()A1.5B1.375C1.438D1.25考點(diǎn)用二分法求函數(shù)的近似解題點(diǎn)用二分法求方程的近似解答案C解析f(1.4065)0，f(1.4065)f(1.438)a，則f(x0)的值滿足()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)a時(shí)，2x0，故f(x0)0.8函數(shù)f(x)log3x在區(qū)間1,3內(nèi)有零點(diǎn)，則用二分法判斷含有零點(diǎn)的區(qū)間為()A.B.C.D.考點(diǎn)用二分法求函數(shù)的近似解題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案C解析f(1)0，f(2)log32log32log3log3log3log30，因此，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.二、填空題9用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)的零點(diǎn)時(shí)，需要的條件是_(填序號(hào))f(x)在a，b上連續(xù)不斷；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)二分法的概念答案解析由二分法適用條件直接可得10若函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，而由f(1)f(2)f(4)0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一個(gè)小于0，函數(shù)f(x)在(0,4)內(nèi)有零點(diǎn)11用二分法求方程x3x210的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將一個(gè)實(shí)數(shù)根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間為_考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案解析令f(x)x3x21，則f(1)10，f(2)30，f0，所以ff(1)0，故可斷定該實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間為.三、解答題12用二分法求方程x220的一個(gè)正實(shí)數(shù)解的近似值(精確到0.1)考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法求方程的近似解解令f(x)x22，由于f(0)20，f(2)20，可確定區(qū)間0,2作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)或中點(diǎn)橫坐標(biāo)計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間a00，b02f(0)2，f(2)20,2x01f(x0)101,2x11.5f(x1)0.2501,1.5x21.25f(x2)0.43801.25,1.5x31.375f(x3)0.10901.375,1.5x41.4375f(x4)0.06601.375,1.437 5由上表的計(jì)算可知，區(qū)間1.375,1.437 5的長(zhǎng)度為1.43751.3750.06250.1.故1.4可作為所求方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)解的近似值13(2017山東萊蕪期中)已知函數(shù)f(x)ax32ax3a4在區(qū)間(1,1)上有一個(gè)零點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a，用二分法求方程f(x)0在區(qū)間(1,1)上的根考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法求方程的近似解解(1)若a0，則f(x)4，與題意不符，a0.由題意，得f(1)f(1)8(a1)(a2)0，即或1a0，f(0)0，f(1)0，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)上，又f0，方程f(x)0在區(qū)間(1,1)上的根為.四、探究與拓展14設(shè)方程2x2x10的根為，所在區(qū)間為(n，n1)，則n_.考點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值題點(diǎn)用二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案2解析設(shè)f(x)2x2x10，則f(x)在R上為單調(diào)增函數(shù)，又f(0)9，f(1)6，f(2)2，f(3)4，f(2)f(3)0，(2,3)，n2.15在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(質(zhì)量比真金的略輕)現(xiàn)只有一臺(tái)天平，請(qǐng)問：利用二分法的思想，你至多幾次就一定可以找出這枚假幣？考點(diǎn)二分法的概念題點(diǎn)二分