（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第六章數(shù)列6.3等比數(shù)列課件.pptx

6.3 等比數(shù)列,高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用),五年高考,A組 自主命題江蘇卷題組,1.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3= ,S6= ,則a8= .,答案 32,解析 本題考查等比數(shù)列及其前n項和. 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q. 當q=1時,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合題意,q1, 由題設(shè)可得 解得 a8=a1q7= 27=32.,評析 在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,有兩個處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡 化為一元問題,雖運算量比較大,但思路簡單,目標明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)去解 決問題.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件,有時需要進行適當變形.,2.(2016江蘇,20,16分)記U=1,2,100.對數(shù)列an(nN*)和U的子集T,若T=,定義ST=0;若T =t1,t2,tk,定義ST= + + .例如:T=1,3,66時,ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3 的等比數(shù)列,且當T=2,4時,ST=30. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)對任意正整數(shù)k(1k100),若T1,2,k,求證:STak+1; (3)設(shè)CU,DU,SCSD,求證:SC+SCD2SD.,解析 (1)由已知得an=a13n-1,nN*. 于是當T=2,4時,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1. 又ST=30,故30a1=30,即a1=1. 所以數(shù)列an的通項公式為an=3n-1,nN*. (2)因為T1,2,k,an=3n-10,nN*, 所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1= (3k-1)3k. 因此,STak+1. (3)下面分三種情況證明. 若D是C的子集,則SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD. 若C是D的子集,則SC+SCD=SC+SC=2SC2SD. 若D不是C的子集,且C不是D的子集. 令E=CUD,F=DUC,則E,F,EF=. 于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,進而由SCSD得SESF. 設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k1,l1,kl.,由(2)知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-1k,即lk.又kl,故lk-1. 從而SFa1+a2+al=1+3+3l-1= = , 故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1, 即SC+SCD2SD+1. 綜合得,SC+SCD2SD.,解后反思 本題背景新穎,正確理解題意是關(guān)鍵.(1)考查等比數(shù)列的通項公式的求法.(2)數(shù)列 求和與不等式放縮結(jié)合,注意放縮要適度.(3)要分情況討論,有一定難度.,評析 本題有三個特點:一是數(shù)列的新定義,利用新定義確定等比數(shù)列的首項,再代入數(shù)列通項 公式求解;二是利用放縮法求證不等式,放縮的目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列,從而利用 特殊數(shù)列的性質(zhì),以算代證;三是結(jié)論含義的應(yīng)用,實質(zhì)又是一個新定義,只不過是新定義的性 質(zhì)應(yīng)用.,B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組,考點一 等比數(shù)列的概念及運算,1.(2019課標全國理改編,5,5分)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15,且a5=3a3+ 4a1,則a3= .,答案 4,解析 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì);以等比數(shù)列的前n項和公式為載體考查學(xué)生的運算求解 能力;考查了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由題意知,an0,q0.由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,q=2.由S4 = =15,解得a1=1.a3=a1q2=4.,易錯警示 對通項公式an=a1qn-1和Sn= (q1)未能熟練掌握,從而導(dǎo)致失分.,2.(2019上海,8,5分)已知數(shù)列an前n項和為Sn,且滿足Sn+an=2,則S5= .,答案,解析 n=1時,S1+a1=2,a1=1. n2時,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 兩式相減得an= an-1(n2), an是以1為首項, 為公比的等比數(shù)列, S5= = .,3.(2019課標全國文,14,5分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a1=1,S3= ,則S4= .,答案,解析 本題主要考查等比數(shù)列的有關(guān)概念;考查學(xué)生的運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué) 運算. 設(shè)公比為q(q0), 則S3=a1+a2+a3=1+q+q2= , 解得q=- , a4=a1q3=- , S4=S3+a4= - = .,4.(2019課標全國理,14,5分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a1= , =a6,則S5= .,答案,解析 本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算;考查學(xué)生的運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù) 學(xué)運算. 設(shè)an的公比為q,由 =a6,得 =a4q2,a4=q2. 又a4=a1q3,a1q3=q2,又a1= ,q=3. 由等比數(shù)列求和公式可知S5= = .,解題關(guān)鍵 由an=a1qn-1=amqn-m求出公比q是關(guān)鍵.,5.(2018北京理改編,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計 算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份, 依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等 于 .若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為 .,答案 f,解析 本題主要考查等比數(shù)列的概念和通項公式及等比數(shù)列的實際應(yīng)用. 由題意知,十三個單音的頻率構(gòu)成首項為f,公比為 的等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列為an,則a8=a1 q7,即a8= f.,易錯警示 本題是以數(shù)學(xué)文化為背景的應(yīng)用問題,有以下幾點容易造成失分:讀不懂題意,不 能正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.對要用到的公式記憶錯誤.在求解過程中計算錯誤.,6.(2017課標全國理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 = .,答案 -8,解析 本題考查等比數(shù)列的通項. 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意得 解得 a4=a1q3=-8.,7.(2015湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an= .,答案 3n-1,解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),依題意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+ q2.又3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1 =3n-1.,8.(2018課標全國文,17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列bn是不是等比數(shù)列,并說明理由; (3)求an的通項公式.,解析 (1)由條件可得an+1= an. 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得 = ,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得 =2n-1,所以an=n2n-1.,方法規(guī)律 等比數(shù)列的判定方法: 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項法,通項公式法及前n項和公式法只用于填空 題中的判定.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.,9.(2018課標全國理,17,12分)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通項公式; (2)記Sn為an的前n項和.若Sm=63,求m.,解析 本題考查等比數(shù)列的概念及其運算. (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn= . 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6.,解后反思 等比數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略 (1)求通項.求出等比數(shù)列的兩個基本量a1和q后,通項便可求出. (2)求特定項.利用通項公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解. (3)求公比.利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)建立方程(組)求解. (4)求前n項和.直接將基本量代入等比數(shù)列的前n項和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.,10.(2018天津文,18,13分)設(shè)an是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*);bn是等比數(shù)列,公比大于0, 其前n項和為Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.,解析 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)列 求和的基本方法和運算求解能力. (1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.由q0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn= =2n-1. 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n, 所以,Sn= . (2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得 +2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍去)或n=4. 所以,n的值為4.,11.(2017課標全國文,17,12分)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通項公式; (2)若T3=21,求S3.,解析 本題考查了等差、等比數(shù)列. 設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5得2d+q2=6. 聯(lián)立和解得 (舍去),或 因此bn的通項公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 當q=-5時,由得d=8,則S3=21. 當q=4時,由得d=-1,則S3=-6.,12.(2017課標全國文,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.,解析 本題考查等差、等比數(shù)列. (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得 解得q=-2,a1=-2. 故an的通項公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n . 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 =2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.,方法總結(jié) 等差、等比數(shù)列的常用公式: (1)等差數(shù)列: 遞推關(guān)系式:an+1-an=d,常用于等差數(shù)列的證明. 通項公式:an=a1+(n-1)d. 前n項和公式:Sn= =na1+ d. (2)等比數(shù)列: 遞推關(guān)系式: =q(q0),常用于等比數(shù)列的證明. 通項公式:an=a1qn-1. 前n項和公式:Sn= (3)在證明a,b,c成等差、等比數(shù)列時,還可以利用等差中項: =b或等比中項:ac=b2來證明.,考點二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,1.(2018浙江改編,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,則下列正 確的序號是 . a1a3,a2a4 a1a3,a2a4,答案 ,解析 設(shè)f(x)=ln x-x(x0),則f (x)= -1= , 令f (x)0,得01, f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+)上為減函數(shù), f(x)f(1)=-1,即有l(wèi)n xx-1. 從而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1, a41,公比q0,矛盾. 若q0,ln(a1+a2+a 3)ln a10,也矛盾.-10,a1a3. 同理, =q2a2.,思路分析 (1)由題中的選項可知要判斷01. (2)由條件可知要利用不等式ln xx-1(x0),得a40,而a20,利用-1q0得結(jié)論.,2.(2016課標全國,15,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為 .,答案 64,解析 設(shè)an的公比為q,于是a1(1+q2)=10, a1(q+q3)=5, 聯(lián)立得a1=8,q= , an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)= = 26=64.a1a2an的最大值為64.,3.(2015課標全國改編,9,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1= ,a3a5=4(a4-1),則a2= .,答案,解析 設(shè)an的公比為q,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a3a5= , =4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2, 則q3= = =8,得q=2, 則a2=a1q= 2= .,4.(2019課標全國文,18,12分)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通項公式; (2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列bn的前n項和.,解析 本題主要考查等比數(shù)列的概念及運算、等差數(shù)列的求和;考查學(xué)生的運算求解能力;體 現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通項公式為an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此數(shù)列bn的前n項和為1+3+2n-1=n2.,5.(2016課標全國,17,12分)已知數(shù)列an的前n項和Sn=1+an,其中0. (1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5= ,求.,解析 (1)由題意得a1=S1=1+a1, 故1,a1= ,a10. (2分) 由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以 = . 因此an是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列, 于是an= . (6分) (2)由(1)得Sn=1- . 由S5= 得1- = ,即 = . 解得=-1. (12分),C組 教師專用題組,考點一 等比數(shù)列的概念及運算,1.(2017課標全國理改編,3,5分)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠望巍巍 塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞 燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有 盞燈.,答案 3,解析 本題主要考查數(shù)學(xué)文化及等比數(shù)列基本量的計算. 由題意可知,由上到下燈的盞數(shù)a1,a2,a3,a7構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,S7= =381,a 1=3.,2.(2014江蘇,7,5分)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是 .,答案 4,解析 由a8=a6+2a4,兩邊都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0(q2-2)(q2+1)=0,q2=2. a2=1,a6=a2q4=122=4.,3.(2014安徽,12,5分)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q= .,答案 1,解析 設(shè)an的公差為d,則a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由題意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5). (a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a1+1)+4(d+1), (a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1), d=-1,a3+3=a1+1, 公比q= =1.,4.(2013天津,19,14分)已知首項為 的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*),且S3+ a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)設(shè)Tn=Sn- (nN*),求數(shù)列Tn的最大項的值與最小項的值.,解析 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5 -a5,即4a5=a3,于是q2= = . 又an不是遞減數(shù)列且a1= ,所以q=- .故等比數(shù)列an的通項公式為an= =(-1)n-1 . (2)由(1)得Sn=1- = 當n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小, 所以1Sn- S2- = - =- .,綜上,對于nN*,總有- Sn- . 所以數(shù)列Tn最大項的值為 ,最小項的值為- .,評析 本題主要考查等差數(shù)列的概念,等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知 識.考查分類討論的思想,考查運算能力、分析問題和解決問題的能力.,考點二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,1.(2015課標全國改編,4,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7= .,答案 42,解析 設(shè)an的公比為q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(負值舍去).a3+a5+a7=a1q2+ a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.,思路分析 用a1,q表示a3,a5,代入已知等式求出q2值,進而利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2得結(jié)果.,2.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+ln a20= .,答案 50,解析 因為等比數(shù)列an中,a10a11=a9a12, 所以由a10a11+a9a12=2e5,可解得a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.,3.(2014課標全國,17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明 是等比數(shù)列,并求an的通項公式; (2)證明 + + .,解析 (1)由an+1=3an+1得an+1+ =3 . 又a1+ = ,所以 是首項為 ,公比為3的等比數(shù)列. an+ = ,因此an的通項公式為an= . (2)證明:由(1)知 = . 因為當n1時,3n-123n-1,所以 . 于是 + + 1+ + = . 所以 + + .,評析 本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮求和是本題的難點.,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點基礎(chǔ)題組,考點一 等比數(shù)列的概念及運算,1.(2019七大市三模,7)已知an是等比數(shù)列,前n項和為Sn.若a3-a2=4,a4=16,則S3的值為 .,答案 14,解析 設(shè)公比為q, 由a3-a2=4得a1q2-a1q=4, 由a4=16得a1q3=16, 得q2-4q+4=0,q=2,a1=2, 則S3= =14.,2.(2019如皋檢測,6)正項等比數(shù)列an中,Sn為其前n項和,已知a3= ,S3= ,則S6= .,答案,解析 因為a3= ,S3= , 所以 所以S6= = .,一題多解 S3=a1+a2+a3= + +a3= ,a3= , + +1=7,6q2-q-1=0,q= 或q=- (舍去), S6=S3+q3S3= + = .,3.(2019淮安五校聯(lián)考,7)數(shù)列an滿足an+1=an+a(a為常數(shù)且不為0,nN*),若a2,a3,a6成等比數(shù)列, 則該等比數(shù)列的公比是 .,答案 3,解析 an+1=an+a,an=a1+(n-1)a, 又a2,a3,a6成等比數(shù)列, =a2a6, (a1+2a)2=(a1+a)(a1+5a), +4a1a+4a2= +6a1a+5a2, 2a1a+a2=0, 又a0,a=-2a1, 等比數(shù)列的公比為 = =3.,4.(2019南通期末三縣聯(lián)考,6)設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4,則它的前5項和S5= .,答案 62,解析 設(shè)q為等比數(shù)列an的公比, 則由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4, 即q2-q-2=0, 解得q=2或q=-1(舍去), 因此q=2,S5= =62.,評析 本題考查等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式,是基礎(chǔ)題.,考點二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,1.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查二,7)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若a6=2a2,則 = .,答案,解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則由a6=2a2,得q4=2, 所以 = = = = .,評析 本題考查等比數(shù)列的通項公式、求和公式,屬于基本量的計算問題,是基礎(chǔ)題.,2.(2019南通、揚州、泰州、蘇北四市七市一模,10)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,有下列四個命 題: 數(shù)列|an|是等比數(shù)列;數(shù)列anan+1是等比數(shù)列; 數(shù)列 是等比數(shù)列;數(shù)列l(wèi)g 是等比數(shù)列. 其中正確的命題有 個.,答案 3,解析 因為數(shù)列an是等比數(shù)列,所以 =q. 對于, = =|q|,所以數(shù)列|an|是等比數(shù)列,正確; 對于, =q2,所以數(shù)列anan+1是等比數(shù)列; 對于, = = ,所以數(shù)列 是等比數(shù)列; 對于, = ,不是常數(shù),所以數(shù)列l(wèi)g 不是等比數(shù)列. 共有3個命題正確.,3.(2019揚州中學(xué)3月檢測,10)已知數(shù)列an為正項的遞增等比數(shù)列,a1+a5=82,a2a4=81,記數(shù)列 的前n項和為Tn,則使不等式2 019 1成立的最大正整數(shù)n的值是 .,答案 6,解析 設(shè)數(shù)列an的公比為q(q1), 由 解得 則q=3,an=3n-1, 則Tn= + + + =2 =3 , 2 019 1, 即2 019 1,得3n2 019,此時正整數(shù)n的最大值為6.,4.(2019南通、如皋二模,11)已知數(shù)列an的首項a1= ,數(shù)列bn是等比數(shù)列,且b5=2,若bn= , 則a10= .,答案 64,解析 因為bn= ,所以an+1=anbn, 所以a2=a1b1, a3=a2b2=a1b1b2, a4=a3b3=a1b1b2b3, a10=a9b9=a1b1b2b3b9=a1 = 29=64.,思路點撥 看到 需想到累乘法,于是就有 = =b1b2b9,從而解決問題,在解 題過程中,知道一些常見方法,合理聯(lián)系,是提高解題速度的重要方面.,5.(2018泰州中學(xué)二模,6)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=7,S6=63.則S9= .,答案 511,解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列, 即7,56,S9-63成等比數(shù)列, 562=7(S9-63),解得S9=511.,評析 本題主要考查等比數(shù)列的前n項和、等比數(shù)列的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注 意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.,6.(2019蘇州期中,16)已知等差數(shù)列an的前n項和為An,a3=5,A6=36.數(shù)列bn的前n項和為Bn,且 Bn=2bn-1. (1)求數(shù)列an和bn的通項公式; (2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項和Sn.,解析 (1)設(shè)an的公差為d, 由a3=5,A6=36,得 (2分) 所以 所以an=2n-1. (4分) 由Bn=2bn-1可知,當n=1時,b1=1; (5分) 當n2時,Bn-1=2bn-1-1,所以Bn-Bn-1=2bn-2bn-1, 從而bn=2bn-1(n2), (7分) 又b1=1,所以 =2(n2),所以bn是等比數(shù)列, (8分) 所以bn=2n-1(nN*). (9分) (2)因為cn=anbn,所以cn=(2n-1)2n-1, Sn=c1+c2+c3+cn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1, 2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, (11分) 所以-Sn=120+221+222+22n-1-(2n-1)2n=1+2 -(2n-1)2n, 所以Sn=(2n-3)2n+3. (14分),評析 本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式以及錯位相減法求和.屬于基礎(chǔ)題.,7.(2019海安中學(xué)檢測,19)已知數(shù)列an與bn滿足:bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn= ,nN*,且a1= 2,a2=4. (1)求a3,a4,a5的值; (2)設(shè)cn=a2n-1+a2n+1,nN*,證明cn是等比數(shù)列; (3)設(shè)Sk=a2+a4+a2k,kN*,證明 (nN*).,解析 (1)由bn= ,nN*, 可得bn= 對于bnan+an+1+bn+1an+2=0, 當n=1時,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3; 當n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5; 當n=3時,a3+a4+2a5=0,可得a5=4. (2)證明:對任意nN*, a2n-1+a2n+2a2n+1=0, 2a2n+a2n+1+a2n+2=0, a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0, -,得a2n=a2n+3, 將代入,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),即cn+1=-cn(nN*).又c1=a1+a3=-1,故cn0,因此 =-1.所 以cn是等比數(shù)列.,(3)證明:由(2)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k,于是,對任意kN*且k2,有a1+a3=-1,-(a3+a5)=-1,a5+a7=-1, (-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1. 將以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1), 即a2k-1=(-1)k+1(k+1),此式當k=1時也成立. 由得a2k=(-1)k+1(k+3). 從而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3, 所以,對任意nN*,n2, = = = = + + + +,= + + = + - + .,思路分析 本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和的基礎(chǔ)知識和基本計算. (1)由已知條件bn= ,bnan+an+1+bn+1an+2=0,a1=2,a2=4,依次代入n=1,2,3,求出a3,a4,a5的值. (2)由bn= 和bnan+an+1+bn+1an+2=0得出a2n-1,a2n,a2n+1,a2n+2,a2n+3間的關(guān)系式,此步的目的是與cn =a2n-1+a2n+1形式統(tǒng)一,從而導(dǎo)出cn+1,cn的關(guān)系式,進而證明cn是等比數(shù)列. (3)由(2)有a2k-1+a2k+1=(-1)k,通過累加法得a2k-1=(-1)k+1(k+1),則有a2k=(-1)k+1(k+3).通過a2k,a2k-1的通項 求出S2k-1,S2k的通項,代入 ,通過放縮法證明.,一、填空題(每小題5分,共25分),B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 (時間：40分鐘 分值：57分),1.(2019如皋期末,8)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和,若6a6,a8,8a4成等差數(shù)列,且S2k=65Sk,則正 整數(shù)k的值是 .,答案 6,解析 數(shù)列an是等比數(shù)列,且6a6,a8,8a4成等差數(shù)列,2a8=6a6+8a4,即2a1q7=6a1q5+8a1q3,q4= 3q2+4,解得q2=4或q2=-1(舍), S2k=65Sk, =65 ,qk=64,即k=6.,評析 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),通項公式以及等比數(shù)列求和公式的運用,解 題的關(guān)鍵是對等比、等差數(shù)列的性質(zhì)的熟練掌握.屬于基礎(chǔ)題.,2.(2019無錫期中,10)九章算術(shù)中研究盈不足問題時,有一道題是“今有垣厚五尺,兩鼠對 穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢?”題意為“有厚墻五尺, 兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻,大老鼠第一天打一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也打一 尺,以后每天減半,問幾天后兩鼠相遇?”一古城墻厚33尺,大、小老鼠按上述方式打洞,相遇時 是第 天.,答案 6,解析 設(shè)第x天相遇, 大鼠每天打洞尺數(shù)構(gòu)成以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則x天共打洞尺數(shù)為 =2x-1; 小鼠每天打洞尺數(shù)構(gòu)成以1為首項, 為公比的等比數(shù)列,則x天共打洞尺數(shù)為 =2- . 根據(jù)題意得2x-1+2- 33,即2x- 32, 令f(x)=2x- =2x- , 當x0時, f(x)是增函數(shù),又f(5)=32- 32,所以相遇時是第6天.,評析 本題是等比數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用,考查理解轉(zhuǎn)化能力,主要是題干的后半部分的理 解.屬于基礎(chǔ)題.,3.(2019海安期中,10)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(0q1),前n項和為Sn.若存在mN*,使得am+am+2 = am+1,且Sm=1 022am+1,則m的值為 .,答案 9,解析 由am+am+2= am+1,得am+amq2= amq,即1+q2= q,因為0q1,所以q= , 又Sm=1 022am+1, 所以 =1 022a1 ,即 = , 所以m=9.,4.(2017鹽城三模,11)設(shè)an的首項a1=1,且滿足a2n+1=2a2n-1,a2n=a2n-1+1,則S20= .,答案 2 056,解析 因為a2n+1=2a2n-1,a2n=a2n-1+1, 所以a1,a3,a5,a19構(gòu)成首項為1,公比為2的等比數(shù)列, a2=a1+1,a4=a3+1,a6=a5+1,a20=a19+1, 因為a1=1,所以S20=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a19+a20 =2(a1+a3+a5+a7+a19)+10 =2 +10=2 056.,5.(2017如東、前黃、栟茶、馬塘四校聯(lián)考,8)已知等差數(shù)列cn的首項為c1=1,若2cn+3為等 比數(shù)列,則c2 017= .,答案 1,解析 由cn為等差數(shù)列可以得出2cn+3也為等差數(shù)列,又2cn+3為等比數(shù)列,所以2cn+3為 常數(shù)列,從而2c2 017+3=2c1+3,故c2 017=c1=1.,思路分析 由cn為等差數(shù)列可以得出2cn+3也為等差數(shù)列,又2cn+3為等比數(shù)列,所以2cn +3為常數(shù)列,進而求出c2 017的值.,二、解答題(共32分) 6.(2019常州期末,19)已知數(shù)列an中,a1=1,且an+1+3an+4=0,nN*. (1)求證:an+1是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式; (2)數(shù)列an中是否存在不同的三項按照一定順序重新排列后,構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出滿 足條件的項;若不存在,說明理由.,解析 (1)由an+1+3an+4=0得an+1+1=-3(an+1),nN*.(2分) 因為a1=1,所以a1+1=20,可得an+10,nN*. (4分) 所以 =-3,nN*,所以an+1是以2為首項,-3為公比的等比數(shù)列. (6分) 所以an+1=2(-3)n-1, 則數(shù)列an的通項公式為an=2(-3)n-1-1,nN*. (8分) (2)假設(shè)數(shù)列an中存在三項am,an,ak(mnk)符合題意,其中k-n,k-m,n-m都是正整數(shù). (9分) 分以下三種情形: am位于中間,則2am=an+ak,則22(-3)m-1-1=2(-3)n-1-1+2(-3)k-1-1, 所以2(-3)m=(-3)n+(-3)k,兩邊同時除以(-3)m得2=(-3)n-m+(-3)k-m,右邊是3的倍數(shù),舍去; an位于中間,則2an=am+ak,即22(-3)n-1-1=2(-3)m-1-1+