2018-年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽A-卷試題及解析(含一試及加試).pdf

2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A 卷） 一、填空題：本大題共 8 小題，毎小題8 分，滿分 64 分 1 設(shè)集合1,2,3,.,99A ，2 |Bx xA， |2CxxA， 則BC的元素個數(shù)為_ 2設(shè)點 P 到平面的距離為3，點 O 在平面上，使得直線與所成角不小于 30且不大于 60，則這樣的點O 所構(gòu)成的區(qū)域的面積為_ 3將 1，2，3，4，5，6 隨機排成一行，記為 a，b，c，d，e，f，則abcdef是偶數(shù)的概率為 _ 4 在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左右焦點分別為 1 F， 2 F橢圓 C 的弦ST 與 UV 分別平行于 x 軸與 y 軸，且相交于 P，己知線段 PU，PS，PV，PT 的長分別為 1，2， 3，6，則PF1F2的面積為：_ 5設(shè)( )f x是定義在 R 上的以 2 為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間0,1上嚴(yán)格遞減，且滿足( )1f， (2 )1f，則不等式組 12 1( )2 x f x 的解集為_ 6設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足1z ，使得關(guān)于 x 的方程 2 220zxzx有實裉，則這樣的復(fù)數(shù) z 的和為 _ 7設(shè) O 為ABC 的外心，若2AOABAC，則sinBAC的值為_ 8設(shè)整數(shù)數(shù)列 1210 ,a aa滿足 101135 3 ,2aa aaa，且 1 1,2 iii aaa ，i=l，2，9，則 這樣的數(shù)列的個數(shù)為_ 二、解答題：本大題共 3 小題，滿分 56 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 9 （本題滿分 16 分）己知定義在及 R+上的函數(shù) fx為 3 |log1|,00 = 4,9 xx f x x x ，設(shè) a,b,c 是三個互不相同的實數(shù)，滿足( )( )( )f af bf c，求 abc 的取值范圍 10 （本題滿分 20 分）己知數(shù)列 123 ,a a a滿足：對任意正整數(shù) n，有21 nnn Saa，其中 n S 表示數(shù)列的前 n 項和。證明： （1）對任意正整數(shù) n,有2 n an； （2）對任意正整數(shù) n,有 +1 1 nn a a 11 （本題滿分 20 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè) AB 是拋物線 2 4yx的過點 F（1,0）的 弦，AOB 的外接圓交拋物線于點 P（不同于點 O，A，B） 若 PF 平分APB求PF的所有 可能值 2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（A 卷） 一、 （本題滿分 40 分） 設(shè) n 是正整數(shù)， 12 , n a aa， 12 , n b bb， A， B 均為正實數(shù)， 滿足 ii ab， ii aA，1,2,in，且 1 2 12 n n bbbB a aaA 證明： 12 12 ( +1)(+1)(1)+1 (+1)(+1)(1)+1 n n bbbB aaaA 二、 （本題滿分 40 分）如圖，ABC 為銳角三角形，ABbO）的左、右焦點 。4b 分別是F；、凡，橢l2llc的弦 ST與UV分別￥行于x剿l與y軸，且相交子點P. 己 知線段PU,PSPV、PT的長分另lj為L 2. 3. 6，則MF.,凡的朋積為 答案：-Jl5. 解： 由對稱性，不妨設(shè)P（，飛，)p）在第一象限，則由條件知 Xp =-(IPTI扣I)=2, YP = -(IPVI-IPUI) =I, 即P(2,J). 進而自Xp=IPUI= I,IPSl=2得U(2,2), S(4, I)，代入梢囚C的方程知 l l l l , , 4-:-+4-,-= 16-:-+-c-= l，解待。2=20 b =5. b血b 從而 s6PF,F,= 1 I磯lIYPI匯F)lp =JIS. 5.設(shè)（x）是定義在ER上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間O, 1）上嚴(yán)格邊減， 11 -J；，故必有 孔J;, s.+, = .J,古丁， 此時 從而 ?！?,r;士占可. a.+1 = .Ji+i-.J; ?！??！?1O、k,.k2主l可知 20分 但二主之L叢A(k,?。ǜ?） 豆o, A+I A+I A+! (A+!)“ - 因.tltn =2時結(jié)論成立 .30分 設(shè)n=m時給論成立，貝I當(dāng)n=m+l時，利用歸納假設(shè)知， m叫LA牛l ( m kA+! k A牛l kk k A牛lk J+I 日立了 ！日節(jié)了）寸了豆斗 刀一虧了 (k-I)x. 1肯形一：q是奇數(shù)，則由知， 2 f q, 2lq, 20分 綜合，可知，x-1土！主n一（xqr）主！xq，從而q_!i_(xq + r），從而一二L土二.！r二墜， 2k-l 2(2k-l) 2/i-l 2k-l 故qI，設(shè)m有k個不同2菜因子，我 們對k歸納證明m在?！敝谐霈F(xiàn)記S.,=a，氣，.，?: 1. k =I 時，m是紊數(shù)方怒，設(shè)JJ1= p，其中0 p是紊數(shù)假設(shè)m不在J 中出現(xiàn)由于aJ各項互不相同，因此存在正整數(shù)N，當(dāng)n?:N時，都有a pa.著 對某個11?:N, pfS” ，那么 pa與S互絮，又a,an仨1習(xí)無一項是f，故由數(shù)列 定義知n+I$ Pa，但是?！盜pa，矛盾！ 因此對每個n?:N，都有川s但由川s ，及pjS知川a.葉 ， 從而(ln+I與孔 不互索，這與a.刊的定義矛盾 10分 假設(shè)k呈2，且結(jié)論對k-1成立. i9: m的標(biāo)準(zhǔn)分解，為111= p;pf p ：.假設(shè)m 不在?！敝谐霈F(xiàn) ，于是存在正整數(shù)F，當(dāng)n主N時，都有a.m.取充分大的正 孩數(shù)1，/Jk-1，使得 lvf ee pfPf-i 盟滬 我們證明，對n?: N，有。腫盧 .M. . 20分 對任意n主N ， 若S， ，與 P iP2 Pk 互漿，則m與S，互絮，又m：在a1,.a， 小均 未出現(xiàn)，而an+1 m，這與數(shù)列的定義矛盾因此我們推出： 對任意”主N ，s ，與P iP2 P不互索 （） 悄形1.若存在，（！主i三k-1），使得Pi IS” 因（an！s.)= 1，故Afa時，從而 a,1 *M （因P,I Ad）. 30分 f齋形2.若對每個i(l三，三k-1），均有P,f S”則由（）知必有必Is.于是 Pk fa，時，進而P*f S, +a ，.，Ell) Pk f s +1 故白的知，存在日（I主、王k-1），使得 幾1s ，再由s. 1 =S.。”令i及I油麗的假設(shè)P1f S.(J