第18章 勾股定理 學(xué)案.doc

八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第1頁(yè)共7頁(yè)18.1勾股定理（1）班級(jí)姓名座號(hào)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解勾股定理的推導(dǎo)過(guò)程，牢記勾股定理并能利用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：勾股定理及及其應(yīng)用。難點(diǎn)：理解勾股定理的推導(dǎo)。三、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）閱讀課本第64頁(yè)，并完成思考題：1、畢達(dá)哥拉斯在地板上的發(fā)現(xiàn)：（1）圖中線(xiàn)條加黑的三個(gè)小正方形圍成了一個(gè)；（2）若設(shè)兩個(gè)較小正方形邊長(zhǎng)均為a，則它們的面積都為，設(shè)較大的正方形邊長(zhǎng)為c，則它的面積為。（3）再次觀察，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和較大的正方形面積，即有=。（4）因?yàn)槿齻€(gè)正方形邊長(zhǎng)恰好是圍成的等腰直角三角形的三條邊，由=可知，等腰直角三角形的兩條邊的平方等于邊的平方。2、由第1題知等腰三角形具有上述性質(zhì)，是否一般的直角三角形也具有這樣的性質(zhì)呢？觀察下圖，嘗試探究.（如圖，每個(gè)小方格的面積均為1）觀察圖（1）正方形A中含有_個(gè)小方格，即A的面積是_個(gè)單位面積；正方形B中含有_個(gè)小方格，即B的面積是_個(gè)單位面積；正方形C中含有_個(gè)小方格，即C的面積是_個(gè)單位面積圖（2）正方形A中含有_個(gè)小方格，即A的面積是_個(gè)單位面積；正方形B中含有_個(gè)小方格，即B的面積是_個(gè)單位面積；正方形C中含有_個(gè)小方格，即C的面積是_個(gè)單位面積3、根據(jù)上述觀察分析，你能得出什么結(jié)論（提示：以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，等于某個(gè)正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積）（二）歸納：直角三角形三邊關(guān)系：勾股定理：；用公式表示為。變式：。直角三角形性質(zhì)歸納：如圖，直角ABC的主要性質(zhì)是：C=90，（用幾何語(yǔ)言表示）（1）兩銳角之間的關(guān)系：；（2）若B=30，則B的對(duì)邊和斜邊：；（3）直角三角形斜邊上的等于斜邊的。（4）三邊之間的關(guān)系：。（5）已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三邊，則c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）b=。（已知a、c，求b）.（三）例題精講例1、如圖，一根旗桿在離地面9m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前有多高?例2：在RtABC，C=90已知a=b=5，求c。已知a=1，c=2,求b。已知c=17，b=8,求a。已知ab=12，c=5,求a。已知b=15，A=30，求a，c。（四）課堂基礎(chǔ)訓(xùn)練1、求出下列直角三角形中未知的邊2、（1）在RtABC，C=90，a=8，b=15，則c=。（2）在RtABC，C=90，a=6，b=8，則c=。（3）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和5cm，則第三邊長(zhǎng)為。3、如圖：所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2。ABCABC圖（1）圖（2）ACBabc103035104581144xABCD7cmFE第3題八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第2頁(yè)共7頁(yè)18.1勾股定理（2）班級(jí)姓名座號(hào)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)能運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重難點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理及方程的思想解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。三、知識(shí)回顧1、直角三角形性質(zhì)有：如圖，直角ABC的主要性質(zhì)是：C=90，（用幾何語(yǔ)言表示）（1）兩銳角之間的關(guān)系：；（2）若B=30，則B的對(duì)邊和斜邊：；（3）直角三角形斜邊上的等于斜邊的。（4）三邊之間的關(guān)系：。（5）已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三邊，則c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）b=。（已知a、c，求b）.2、（1）在RtABC，C=90，a=3，b=4，則c=。（2）在RtABC，C=90，a=6，c=8，則b=。（3）在RtABC，C=90，b=12，c=13，則a=。四、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）例題嘗試?yán)?：一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示若有一塊長(zhǎng)3米，寬0.8米的薄木板，問(wèn)怎樣從門(mén)框通過(guò)？若薄木板長(zhǎng)3米，寬1.5米呢？若薄木板長(zhǎng)3米，寬2.2米呢？（注意解題格式）當(dāng)堂練習(xí)：如下圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)測(cè)得CB60m，AC20m，你能求出A、B兩點(diǎn)間的距離嗎?例2：長(zhǎng)3米的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時(shí)AO的距離為2.5米求梯子的底端B距墻角O多少米？如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C，請(qǐng)同學(xué)們猜一猜，底端也將滑動(dòng)0.5米嗎？算一算，底端滑動(dòng)距離的近似值你還能對(duì)例題提供的問(wèn)題情景進(jìn)行變式訓(xùn)練嗎？（結(jié)果均保留兩位小數(shù)）例3：某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3m，消防隊(duì)員取來(lái)65m長(zhǎng)的云梯，如果梯子的底部離墻基的水平距離是25m，請(qǐng)問(wèn)消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火?（三）鞏固練習(xí)1、一個(gè)高1.5米、寬0.8米的長(zhǎng)方形門(mén)框，需要在其相對(duì)的頂點(diǎn)間用一條木條加固，則需木條長(zhǎng)為。2、從電桿離地面5m處向地面拉一條長(zhǎng)為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線(xiàn)桿底部B的距離為。3、有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少為（結(jié)果保留根號(hào)）4、一旗桿離地面6m處折斷，其頂部落在離旗桿底部8m處，則旗桿折斷前高。5、如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，ACB為直角，已知滑桿AB長(zhǎng)100cm，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為60cm，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)20cm時(shí)，滑桿頂端A下滑多長(zhǎng)？ACBabcBC1m2mA實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型OBDCABAC第2題AEBDC八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第3頁(yè)共7頁(yè)18.1勾股定理（3）班級(jí)姓名座號(hào)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)能運(yùn)用勾股定理在數(shù)軸上畫(huà)出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。三、知識(shí)回顧1、（1）在RtABC，C=90，a=3，b=4，則c=。（2）在RtABC，C=90，a=5，c=13，則b=。2、如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則它的對(duì)角線(xiàn)AC=。四、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）問(wèn)題引入：1、你能畫(huà)出長(zhǎng)為2cm的線(xiàn)段嗎？小組討論后說(shuō)說(shuō)你的辦法。2、你能在數(shù)軸上找出表示2的點(diǎn)嗎？請(qǐng)作圖說(shuō)明。3、在數(shù)軸上表示3、4、5、n的點(diǎn)又如何表示呢？4、你能找到5、13、17、20、，在數(shù)軸上更簡(jiǎn)便的畫(huà)法嗎？（二）例題嘗試?yán)河脠A規(guī)與尺子在數(shù)軸上作出表示13的點(diǎn)，并補(bǔ)充完整作圖方法。步驟如下：1在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA；2作直線(xiàn)l垂直于OA，在l上取一點(diǎn)B，使AB；3以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為表示13的點(diǎn)當(dāng)堂練習(xí)：課本第69頁(yè)練習(xí)第1題例2：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，求第三邊。例3：已知：如圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)是6cm。（1）求等邊ABC的高。（2）求SABC。（三）小結(jié)在數(shù)軸上尋找無(wú)理數(shù)：_。（四）達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和5cm，則第三邊長(zhǎng)為。2、已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2cm，則它的高為，面積為。3、已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是16，求這個(gè)等腰三角形的面積。4、在數(shù)軸上作出表示29的點(diǎn)。5、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，在圖中畫(huà)出一個(gè)三角形，使三角形的三邊長(zhǎng)分別是10，5，13。6、（B組）已知：在RtABC中，C=90，CDAB于D，A=60，CD=3，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)。ABCDDCBACABD八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第4頁(yè)共7頁(yè)18.2勾股定理逆定理（1）班級(jí)姓名座號(hào)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解勾股定理的逆定理的證明方法和過(guò)程；理解互逆命題、互逆定理、勾股數(shù)的概念及互逆命題之間的關(guān)系；能利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形.二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其應(yīng)用難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明三、知識(shí)回顧1、勾股定理：直角三角形的兩條_的平方_等于_的_，即_.2、已知在RtABC中，C=90，a、b、c是ABC的三邊，則（1）c。（已知a、b，求c）（2）a。（已知b、c，求a）（3）b。（已知a、c，求b）3、填空題（1）在RtABC，C=90，a8，b15，則c。（2）在RtABC，B=90，a3，b4，則c。（如圖）4、直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角是；（2）兩個(gè)銳角，（3）兩直角邊的平方和等于斜邊的平方：（4）在含30角的直角三角形中，30的角所對(duì)的邊是邊的一半四、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）閱讀課本第73頁(yè)，并完成思考題：1、對(duì)于一個(gè)直角三角形，如果知道任意的兩條邊，我們可以根據(jù)勾股定理的公式及其變形求出第三邊，例如RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，試求AB的長(zhǎng)？2、如果已知一個(gè)三角形的三邊分別為5，12，13，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？3、若一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿(mǎn)足222cba，試證明ABC是直角三角形，請(qǐng)簡(jiǎn)要地寫(xiě)出證明過(guò)程嘗試證明你的結(jié)論？（二）歸納定理及知識(shí)點(diǎn)1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊a、b、c滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。2、命題：對(duì)一件事情做出的語(yǔ)句。命題由和組成，命題可以改寫(xiě)成“如果，那么”的形式。3、逆命題：把一個(gè)命題的和調(diào)換位置后，稱(chēng)這個(gè)命題是原命題的逆命題。4、原命題與逆命題的關(guān)系：在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。原命題成立，逆命題成立（填“一定”或“不一定”）。5、互逆定理：原命題與它的逆命題經(jīng)過(guò)都是正確的，這樣的兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。（三）例題精講例1：判斷由線(xiàn)段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：（1）17,8,15cba；（2）15,14,13cba方法小結(jié)：給出三邊判斷組成的三角形是否為直角三角形，應(yīng)驗(yàn)證“較兩邊平方和=較大邊的平方”，如相等，則是且較長(zhǎng)邊為斜邊，如不相等，則不能組成直角三角形。當(dāng)堂練習(xí)：課本P76習(xí)題第1題例2：說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題成立嗎?（1）兩條直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（4）在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等當(dāng)堂練習(xí)：課本P76習(xí)題第2題（4分鐘）（三）達(dá)標(biāo)練習(xí)1、以下列各組線(xiàn)段為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成三角形的是_，能構(gòu)成直角三角形的是_（填序號(hào)）3，4，51，3，44，4，66，8，105，7，213，5，127，25，242、在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中，能組成直角三角形的是（）A5，6，7B1，4，9C5，12，13D5，11，123、在下列以線(xiàn)段a、b、c的長(zhǎng)為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A、a=9，b=41，c=40B、a=b=5，c=25C、abc=345Da=11，b=12，c=154、若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的平方分別為：32，42，x2，則此三角形是直角三角形的x2的值是（）A42B52C7D52或75、命題“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”（1）它的逆命題是。（2）這個(gè)逆命題正確嗎？（3）如果這個(gè)逆命題正確，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果它不正確，請(qǐng)舉出反例。ABCabcABCBCA勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)。八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第5頁(yè)共7頁(yè)18.2勾股定理逆定理（2）班級(jí)姓名座號(hào)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)能利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀；并解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重難點(diǎn)：利用勾股定理的逆定理解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。三、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)練習(xí)1、判斷由線(xiàn)段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：（1）5,2,1cba；（2）5.2,2,5.1cba（3）6,5,5cba2、寫(xiě)出下列真命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否為真命題。（1）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行；解：逆命題是：；它是命題。（2）如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；解：逆命題是：；它是命題。（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；解：逆命題是：；它是命題。（4）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；解：逆命題是：；它是命題。（二）例題精講例1：“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？反思：（1）解應(yīng)用問(wèn)題的三個(gè)基本過(guò)程：建立數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)模型回到實(shí)際問(wèn)題中去；（2）本題的關(guān)鍵在于判斷PQR的形狀。當(dāng)堂檢驗(yàn)：完成課本P76練習(xí)第3題，習(xí)題第3題（獨(dú)立按照格式完成）例2：如圖，有一塊四邊形地ABCD，90B,4ABm，3BCm，12CDm，13ADm，求該四邊形地ABCD的面積?反思：構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。（三）達(dá)標(biāo)練習(xí)（5分鐘）1下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()A1，2，3B7，24，25C58，10D7，12，152“內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行”的逆命題是.3一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊為.4在RtABC中,90C,若5AC,3BC,則AB.5在RtABC中,90C,oA45,10b,則c.6在RtABC中,90B,oA30,則cba:.7.已知ABC的三邊為a、b、c，且2:1:1:cba，求三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比8.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它是否正確(1)等腰三角形的兩底角相等；(2)三角形的三內(nèi)角之比為l：1：2，則三角形為等腰直角三角形；(3)正方形的四個(gè)內(nèi)角都是直角9ABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足0)40(32|50|2cbaba試判斷ABC的形狀（四）課后補(bǔ)充作業(yè)：課本P76習(xí)題第5題ABCD八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第6頁(yè)共7頁(yè)第18章勾股定理全章復(fù)習(xí)班級(jí)姓名座號(hào)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)勾股定理及其逆定理，能利用它們求三角形的邊長(zhǎng)或證明三角形是直角三角形.二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；難點(diǎn)：利用定理解決實(shí)際問(wèn)題.三、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）知識(shí)要點(diǎn)1：直角三角形中，已知兩邊求第三邊1.勾股定理：若直角三角形的三邊分別為a，b，c，90C，則。公式變形：若知道a，b，則c；公式變形：若知道a，c，則b；公式變形：若知道b，c，則a；例1：求圖中的直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度：b，c.(1)在RtABC中，若90C，4a，b3，則c.(2)在RtABC中，若oB90，9a，41b，則c.(3)在RtABC中，若90A，7a，5b，則c.（二）知識(shí)要點(diǎn)2：利用勾股定理在數(shù)軸找無(wú)理數(shù)。例2：在數(shù)軸上畫(huà)出表示5的點(diǎn).在數(shù)軸上作出表示10的點(diǎn)（三）知識(shí)要點(diǎn)3：判別一個(gè)三角形是否是直角三角形。例3：分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，試找出哪些能夠成直角三角形。1、在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中，能組成直角三角形的是（）A12，15，17B9，16，25C5a，12a，13a（a0）D2，3，42、判斷由下列各組線(xiàn)段a，b，c的長(zhǎng)，能組成的三角形是不是直角三角形，說(shuō)明理由.（1）5.6a，5.7b，4c；（2）11a，60b，61c；（3）38a，2b，310a；（4）433a，2b，414c；（四）知識(shí)要點(diǎn)4：利用列方程求線(xiàn)段的長(zhǎng)例4：如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）與公路（直線(xiàn)L）的距離為300米，又與公路車(chē)站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)小商店（C點(diǎn)），使之與該校A及車(chē)站D的距離相等，求商店與車(chē)站之間的距離（五）知識(shí)要點(diǎn)5：構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題例5：如圖，小明想知道學(xué)校旗桿AB的高，他發(fā)現(xiàn)固定在旗桿頂端的繩子垂下到地面時(shí)還多l(xiāng)米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能求出旗桿的高度嗎?一透明的玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底部半徑為6cm，杯深16cm.今有一根長(zhǎng)為22cm的吸管如圖2放入杯中，露在杯口外的長(zhǎng)度為2cm，則這玻璃杯的形狀是體.練一練915b1024c練一練練一練練一練ADEBCABC練一練八年級(jí)下冊(cè)章莊中學(xué)審定：祝彪第7頁(yè)共7頁(yè)四、課后鞏固練習(xí)（一）填空選擇1、寫(xiě)出一組全是偶數(shù)的勾股數(shù)是.2、直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長(zhǎng)為13cm，則它的面積為.3、斜邊長(zhǎng)為l7cm，一條直角邊長(zhǎng)為l5cm的直角三角形的面積