2014年五一高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽提高班后端習(xí)題1答案

2014 年 五一 高中 數(shù)學(xué)聯(lián)賽 提高班 后端習(xí)題 答案 （第 一 次） 試卷說明 本測試與 2014 年 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 加試 難度相當(dāng) ，并與實際授課難度接近 。 希望學(xué)員經(jīng)由本試卷了解數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試題型及難度，對 14 年 10 月 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 舉辦之前的學(xué)習(xí)進(jìn)度給出合理安排。 本 習(xí)題為李建泉教授為清北學(xué)堂 2014 年 寒假集訓(xùn)課程數(shù)學(xué)聯(lián)賽提高班命制的試題。 本習(xí)題用于學(xué)生對水平進(jìn)行自我評估， 如有學(xué)員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進(jìn)行評閱并進(jìn)行個性化分析。 第二套后端習(xí)題將于 2014年 5月 15日 12:00發(fā)布。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程后端 習(xí)題答 案 （ 2014 年 五一 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-1-4 2014-5-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學(xué)競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂 內(nèi)部習(xí)題清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年五一高中 數(shù)學(xué)聯(lián)賽 提高班后端習(xí)題 1 答案 1.已知銳角 ABC 中 ,BC內(nèi)的旁心分別為 23,II， 圓 23,II圓 分別與直線 BC 切于點,XY， 2IX與 AC 的延長線交于點 N ， 3IY與 AB 的延長線交于點 M ， ABN 與 ACM的外接圓的不同于 A 的交點為 D ，若 ABC 的外心為 O ，證明 ,AOD 三點共線。 證明 連 , , .DB DC DM DN，因為 ,M B D A N D A M D N C D ，所以 MBD CND ，于是 s ins inB M B D B A DC N D N C A D 。又因為 12B Y C X A B A C B C ，所以 c o s c o sB M A B C C N A C B ，于是 c o s s i nc o s s i nA C B B M B A DA B C C N C A D。 設(shè) AD 與 BC 交于點 E ，由分角線定理可得 s i n s i n s i n s i n c o s s i n 2s i n s i n s i n s i n c o s s i n 2B E A B B A D A C B B A D A C B A C B A C BE C A C C A D A B C C A D A B C A B C A B C 。 設(shè)直線 AO 與 BC 交于點 1E ，則 11s i n s i n s i n 2s i n s i n s i n 2B E O B B O E A O B A C BE C O C C O E A O C A B C 。于是 11BEBEEC EC ，從而 1EE ，即 ,AOD 三點共線。 清北學(xué)堂 內(nèi)部習(xí)題清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 2.已知函數(shù) :f N N 滿足 1 , 2 , 3 ,f f f 是 1,2,3, 的一個排列，證明 1對于任意正整數(shù) a ，都存在正整數(shù) d ，使得 2f a f a d f a d ； 2 若對于任意滿足條件的函數(shù) f ，均有 2f a f a d f a d f a nd ，則正整數(shù)4n 。 證明 1 對于任意正整數(shù) a ，不超過 fa的正整數(shù)只有有限個，因此存在正整數(shù) m ，使得對于任意正整數(shù) km ，均有 f k f a 。設(shè)正整數(shù) cm ，則 23, 2 , 2 , 2 ,f a c f a c f a c f a c 均 大 于 fa 。若 232 2 2f a c f a c f a c f a c ，則有無窮多個不同的正整數(shù) 232 , 2 , 2 ,f a c f a c f a c 大于 fa，小于 f a c ，矛盾，因此一定存在非 負(fù) 整 數(shù) l ， 使 得 122llf a c f a c 。設(shè) 2ldc ，則有 2f a f a d f a d ； 2 假設(shè) 5n ，設(shè) 1 , 2 , 3 ,f f f 為 1, 2, 4, 3, 8, 7, 6, 5,16,，其中從第 3 項開始，對于任意正整數(shù) i ，第 21i 至第 12i 項分別為 112 , 2 1, , 2 1i i i，從而可知函數(shù) f在區(qū)間 12 1,2ii內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)下降。 由 345f a d f a d f a d ，可知 3f a d ， 4f a d ， 5f a d分別在三個不同的單調(diào)區(qū)間內(nèi)。因為 4ad 所在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)正整數(shù)的個數(shù)4 22adtd，所以 2 5 3 2d a d a d t d ，矛盾，因此 4n 。 清北學(xué)堂 內(nèi)部習(xí)題清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 3.求方程 22 2014x y x y 的所有正整數(shù)解。 解 將 2014 分解為 2014 2 19 53 。 先 利用反證法證明 ： x,y均為 19 的倍數(shù)。如下： 因為 22 2014x y x y ，若 x非 19 倍數(shù)，則可令 x=19k+a（ k 為自然數(shù)， a 為正整數(shù)），可知 2 2 2(1 9 ) 3 8x k ak a ，因等式左右兩邊均為 19 的倍數(shù)，則可知 y 不是 19 的倍數(shù)，則 2 2 2(1 9 ) 3 8y d bd b ，則 22ba 必為 19 的倍數(shù)才能使等式兩邊均為 19 的倍數(shù)，根據(jù)下表可知不存在這樣的 ,ab滿足條件。故 ,xy必為 19 的倍數(shù)。 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 2a 除以 19 的余數(shù) 1 4 9 16 6 17 11 7 5 注： 2a 與 219 a 對 19的取余相等，在此不再一一列出 又 22 2 0 1 4 ( )x y x y ，若 ,xy均為奇數(shù)，則 22 2 m od 4xy ，而 201 4( ) 0 m od 4xy ，所以不符合題意。若 ,xy有一為奇數(shù)，顯然等式左邊為奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，亦不符合題意。所以 ,xy均為偶數(shù)。 綜上所述， ,xy均為 38 的倍數(shù)。 則可令 x=38m,y=38n（ m,n 均為正整數(shù)），則原式轉(zhuǎn)化為： 2 2 2 2( 3 8 ) ( 3 8 ) 2 0 1 4 ( 3 8 3 8 )x y m n m n 化簡得： 22 53( )m n m n ，即 2 2 2( 5 3 ) ( 5 3 ) 2 5 3mn 故 22( 5 3 ) 2 5 3 , 5 3 7 4nn ,故 1 21n , 則檢驗 n 從 121 的正整數(shù)分別代入檢驗，可知當(dāng)且僅當(dāng) n=10 時， m 存在正整數(shù)解 35和 18。故 38 35 1330x ,或 38 18 684x ， 38 10 380y 。 清北學(xué)堂 內(nèi)部習(xí)題清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 4.若平面上有 n 個點，任意三點不共線，每個點都被染為紅、黃、藍(lán)、綠色之一，且滿足下述條件： 1 任意三個紅點構(gòu)成的三角形內(nèi)至少有一個黃點； 2 任意三個黃點構(gòu)成的三角形內(nèi)至少有一個藍(lán)點； 3 任意三個藍(lán)點構(gòu)成的三角形內(nèi)至少有一個綠點； 4 任意三個綠點構(gòu)成的三角形內(nèi)至少有一個紅點，證明 32n 。 證明 設(shè)有 a 個紅點，這 a 個紅點的凸包為 1 ， 1 為凸 0a 邊形，則 1 能被剖分為 0 0 02 2 2 2a a a a a 個三角形，每個三角形的三個頂點均為紅色。設(shè) 1 內(nèi)有 b 個黃點，則 022b a a 。 設(shè)這 b 個黃點的凸包為 2 ， 2 為凸 0b 邊形，則 0bb 。設(shè) 2 內(nèi)有 c 個藍(lán)點，類似地可得 02 2 2c b b b 。 設(shè)這 c 個藍(lán)點的凸包為 3 ， 3 為凸 0c 邊形，則 0cc 。設(shè) 3 內(nèi)有 d 個綠點，類似地可得 02 2 2d c c c