第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答.doc

第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案283.1 微分中值定理1 填空題（）函數(shù)在上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的是（）設(shè)，則有 3 個(gè)實(shí)根，分別位于區(qū)間中2 選擇題（）羅爾定理中的三個(gè)條件:在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立的（ B ） A 必要條件 B充分條件 C 充要條件 D 既非充分也非必要條件（）下列函數(shù)在上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（ C ）A. B. C. D. （）若在內(nèi)可導(dǎo)，且是內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn)，使下式成立（ B ）A B 在之間C D 3證明恒等式：證明： 令，則，所以為一常數(shù)設(shè)，又因?yàn)?，?4若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中 ，證明:在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得證明：由于在上連續(xù),在可導(dǎo),且，根據(jù)羅爾定理知，存在， 使 同理存在，使 又在上符合羅爾定理的條件，故有，使得5 證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根證明：設(shè)，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理至少存在一個(gè)， 使得另一方面，假設(shè)有，且，使，根據(jù)羅爾定理，存在使，即，這與矛盾故方程只有一個(gè)實(shí)根6 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，且，其中是介于之間的一個(gè)實(shí)數(shù) 證明： 存在, 使成立.證明： 由于在內(nèi)可導(dǎo)，從而在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)又因?yàn)?，根?jù)零點(diǎn)存在定理，必存在點(diǎn)，使得 同理，存在點(diǎn)，使得因此在上滿足羅爾定理的條件，故存在， 使成立7. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). 試證:至少存在一點(diǎn), 使 證明： 只需令，利用柯西中值定理即可證明.8證明下列不等式（）當(dāng)時(shí)，證明： 設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，且, 故, 即 ()因此， 當(dāng)時(shí)，（）當(dāng) 時(shí)，證明：設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理得條件，有因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，從?3.1 洛畢達(dá)法則1 填空題（） （） 0 （）= （）1選擇題（）下列各式運(yùn)用洛必達(dá)法則正確的是（ B ）A B C 不存在D =（） 在以下各式中，極限存在，但不能用洛必達(dá)法則計(jì)算的是（ C ）A B C D 3 求下列極限（） 解： =（）解： = （） 解：（） 解：（） 解：，（） 解：（） 解：（） 解： =（） 解： 因?yàn)?，所?13.3 泰勒公式按的冪展開多項(xiàng)式解： ， 同理得，且由泰勒公式得：=2 求函數(shù)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式解：因?yàn)?，所?=3 求一個(gè)二次多項(xiàng)式，使得解：設(shè)，則，故 ，則 為所求4利用泰勒公式求極限解：因?yàn)?，所以 =，故 5 設(shè)有三階導(dǎo)數(shù),且,證明在內(nèi)存在一點(diǎn),使證明： 因?yàn)?，所以由麥克勞林公式得： （介于0與之間），因此 ，由于，故3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1 填空題（） 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間（）若函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)存在，且，則在上是單調(diào) 增加 （）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，則（）若點(diǎn)（1，3)為曲線的拐點(diǎn)，則，曲線的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為 2 單項(xiàng)選擇題（）下列函數(shù)中，（ A ）在指定區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的函數(shù).A. B. C. D. （）設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)（ B ）A. 單調(diào)增加，曲線為凹的 B. 單調(diào)減少，曲線為凹的 C.單調(diào)減少，曲線為凸的 單調(diào)增加，曲線為凸的（）在內(nèi)可導(dǎo), 且,當(dāng) 時(shí), ,則( D )A. 任意 B. 任意C. 單調(diào)增 D. 單調(diào)增（）設(shè)函數(shù)在上二階導(dǎo)數(shù)大于0, 則下列關(guān)系式成立的是（ B ）A. B. C. D. 2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）解：，當(dāng)時(shí)，,所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增加； 當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)減少（）解：，當(dāng)，或時(shí)，,所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)減少（）解： ，故函數(shù)在單調(diào)增加3 證明下列不等式（）證明： 對(duì)任意實(shí)數(shù)和, 成立不等式證明：令，則， 在內(nèi)單調(diào)增加.于是, 由 , 就有 , 即 （）當(dāng)時(shí), 證明：設(shè)， ，由于當(dāng)時(shí)，, 因此在單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), , 故在單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), 有.故當(dāng)時(shí), 因此（）當(dāng) 時(shí)，證明：設(shè), ，當(dāng)，所以在單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), , 故在單調(diào)遞增, 從而當(dāng) 時(shí), 有. 因此當(dāng) 時(shí)，4 討論方程(其中為常數(shù))在內(nèi)有幾個(gè)實(shí)根解：設(shè) 則在連續(xù), 且，由，得為內(nèi)的唯一駐點(diǎn)在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加 故為極小值，因此在的最大值是,最小值是（） 當(dāng)或時(shí),方程在內(nèi)無(wú)實(shí)根； （） 當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)根；（） 當(dāng)時(shí)，有唯一實(shí)根5 試確定曲線中的a、b、c、d，使得處曲線有水平切線，為拐點(diǎn)，且點(diǎn)在曲線上解： ,，所以解得： 6求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間（） 解： , ,令,得，當(dāng)時(shí)不存在當(dāng)或時(shí), ,當(dāng)或時(shí), 故曲線在上是凸的, 在區(qū)間和上是凹的，曲線的拐點(diǎn)為 （）拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間解： ，當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)， 故曲線在上是凸的, 在上是凹的，是曲線的拐點(diǎn), 7利用凹凸性證明: 當(dāng)時(shí), 證明：令, 則, 當(dāng)時(shí), , 故函數(shù)的圖形在上是凸的, 從而曲線在線段（其中）的上方，又, 因此,即3.5 函數(shù)的極值與最大值最小值1 填空題（）函數(shù)取極小值的點(diǎn)是（） 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為 2選擇題（） 設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，問還要滿足以下哪個(gè)條件，則必是的最大值？（C ）A 是的唯一駐點(diǎn) B 是的極大值點(diǎn)C 在內(nèi)恒為負(fù) D不為零（） 已知對(duì)任意滿足，若，則（B）A. 為的極大值 B. 為的極小值C. 為拐點(diǎn) D. 不是極值點(diǎn), 不是拐點(diǎn)（）若在至少二階可導(dǎo), 且,則函數(shù)在處( )A 取得極大值 B 取得極小值 C 無(wú)極值 D 不一定有極值3 求下列函數(shù)的極值（）解：由，得，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極小值（）解：定義域?yàn)?，令得駐點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此為極大值4 求的在上的最大值與最小值解：由，得, 而, 所以最大值為132，最小值為75 在半徑為的球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓錐體，問此圓錐體的高、底半徑為何值時(shí)，其體積最大解：設(shè)圓錐體的高為, 底半徑為,故圓錐體的體積為，由于，因此 ，由，得，此時(shí)由于內(nèi)接錐體體積的最大值一定存在,且在的內(nèi)部取得. 現(xiàn)在在內(nèi)只有一個(gè)根,故當(dāng), 時(shí), 內(nèi)接錐體體積的最大6. 工廠與鐵路線的垂直距離為, 點(diǎn)到火車站的距離為. 欲修一條從工廠到鐵路的公路, 已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為，為了使火車站與工廠間的運(yùn)費(fèi)最省, 問點(diǎn)應(yīng)選在何處？解: 設(shè), 與間的運(yùn)費(fèi)為, 則 （）， 其中是某一正數(shù) 由 , 得. 由于, , , 其中以為最小, 因此當(dāng)AD=km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省7 寬為的運(yùn)河垂直地流向?qū)挒榈倪\(yùn)河. 設(shè)河岸是直的,問木料從一條運(yùn)河流到另一條運(yùn)河去,其長(zhǎng)度最長(zhǎng)為多少?解： 問題轉(zhuǎn)化為求過點(diǎn)的線段的最大值. 設(shè)木料的長(zhǎng)度為, ，木料與河岸的夾角為，則，且 , 則 ，由得, 此時(shí)，故木料最長(zhǎng)為3.6 函數(shù)圖形的描繪求的漸近線.解：由 ，所以為曲線的鉛直漸近線因?yàn)?所以為曲線的斜漸近線2作函數(shù)的圖形。解： 函數(shù)的定義域?yàn)榱?，得；令，得列表討論如下：極大值拐點(diǎn)由于， ，所以，是曲線的斜漸近線又因?yàn)?，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)綜合上述討論，作出函數(shù)的圖形如下232-13.7 曲率1 填空題:（） 曲線上任一點(diǎn)的曲率為，上任一點(diǎn)的曲率為_0_（） 曲線在其頂點(diǎn)處曲率為_2_，曲率半徑為（） 曲線的弧微分2 求常數(shù)，使在處與曲線相切，且有相同的凹向與曲率解： 由題設(shè)可知 函數(shù)與在處由相同的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)值，二階導(dǎo)數(shù)值，故3 曲線弧上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最小?求出該點(diǎn)的曲率半徑解： , 曲線在一點(diǎn)處的曲率為令 , ，當(dāng)時(shí),故在上單調(diào)增加, 因此在上的最大值是, 即在點(diǎn)處的曲率半徑最小, 其曲率半徑為4求橢圓 在點(diǎn)處的曲率及曲率半徑解：因此曲率，曲率半徑3.7方程的近似解1. 試證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用切線法求這個(gè)根的近似值，使誤差不超過0.01.證明: 令，函數(shù)在單調(diào)遞增在上連續(xù)，且,故方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根求近似值的過程略第三章 綜合練習(xí)題1填空題（） 0 （） 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（） 曲線的漸近線是（） 1 2 求下列極限（） 解：（） 解：=3 求證當(dāng)時(shí)， 證明： 令, 則 , 當(dāng)時(shí), ，故在單調(diào)增 當(dāng)時(shí)，有，即 4 設(shè)在上可導(dǎo)且，證明：存在點(diǎn)使.證明： 設(shè), 則，且由拉格朗日中值定理知, 存在，使, 即5 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值, 且, , 證明： 存在,使得證明： 設(shè)分別在取得最大值， 則, 且 令當(dāng)時(shí), , 由羅爾定理知, 存在, 使, 進(jìn)一步由羅爾定理知, 存在，使，即當(dāng)時(shí), ,，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使 由于，由前面證明知, 存在，使，即6 設(shè),證明方程有且僅有一個(gè)正的實(shí)根證明：設(shè)當(dāng)，顯然只有一個(gè)正的實(shí)根下考慮時(shí)的情況先證存在性：因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，且，由零點(diǎn)存在定理知，至少存在一個(gè)，使，即至