（機械設計及理論專業(yè)論文）橢圓齒輪機構傳動動力學研究.pdf

摘要 由于數控機床的發(fā)展，非圓齒輪的加工成本大大下降，現已廣泛 應用于機床，自動化設備，印刷機，紡織機械，儀器及解算裝置中， 作為自動進給機構或用于實現函數關系，或用來改善運動和動力性能 阱1 ，同時還出現了諸如非圓齒輪行星輪系低速大扭矩液壓馬達等不同 于一般非圓齒輪的系統(tǒng)。然而，隨著這些機械工作條件日益向高速、 重載發(fā)展，使得非圓齒輪的動態(tài)特性日益凸顯，并直接影響到整個設 備能否正常、高效的運行。這就使得對于非圓齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性的 研究成為一個十分緊迫和意義重大的課題。 目前對于圓齒輪的動力學問題，國內外已經有了相對成熟的研究 結果“1 ”，建立了包括齒輪嚙合動態(tài)激勵基本原理、齒輪振動分析模 型、齒輪系統(tǒng)參數振動學口”、齒輪系統(tǒng)間隙非線性動力學等較為成 熟的系統(tǒng)理和方法。對于斜齒輪等特殊的圓齒輪的動力學問題的研究 也以有了不小的進展”。而對于橢圓齒輪的動態(tài)特性的研究卻仍然處 于空白階段。由于橢圓齒輪本身固有的質量偏心，其在傳動過程中所 產生的震動要比圓齒輪強烈得多。圓齒輪的內部激勵主要是時變嚙合 剛度、輪齒傳遞誤差、嚙入嚙出沖擊等。而橢圓齒輪的內部激勵除開 上述因素，還有因為偏心質量而導致的離心力和因轉速變化導致的慣 性力所產生的振動。橢圓齒輪與圓齒輪的另一本質區(qū)別就足在傳動過 程中其輪齒嚙合的法線方向是不斷變化的，這使得橢圓齒輪傳動時， 其嚙合力具有本質的動態(tài)特征。 對于具有質量偏心的回轉系統(tǒng)，相對于目前的其他各種建模方 法，拉格朗日鍵合圖方法具有其特殊的優(yōu)勢，能方便的建立系統(tǒng)的模 型。因此，本文采用此方法建立了非圓齒輪系統(tǒng)的動力學模型，并使 用s i m u l i n k m a t l a b 對橢圓齒輪的嚙合情況進行了仿真分析，并進行 了試驗測試，為研究非圓齒輪系統(tǒng)動力學作了些初步的探索。 關鍵詞：橢圓齒輪動力學模型鍵合圖 a b s t r a c t a st h ed e v e l o p m e n to fn u m e r i c a lc o n t r o l l e dm a c h i n et o o l s 。t h ec a s t s o fn o n c i r c u l a rg e a r s m a n u f a c t o r yi sb e c o m i n gl e s sa n dl e s s t o d a y , n o n c i r c u l a r g e a r sa r ew i l d l yu s e di n m a c h i n et o o l s ，a u t om a c h i n e s ， p r e s s w o r km a c h i n e sa n ds p i nm a c h i n e s t h e s eg e a r sw e r eh e l pt oa u t o c o n t r o lm a c h i n e sa n dt o p r o v i d e f u n c t i o n e dm o v e m e n t a st h e s e m a c h i n e sw o r kc o n d i t i o ni s s t e a d i l yb e c o m eh i 曲一s p e e d e da n dh e a v y l o a d e d ，t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co ft h en o n c i r c u l a rg e a r si nt h e s e m a c h i n e si s b e c o m i n gm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t i td e t e r m i n e st h e p e r f o r m a n c eo ft h ee n t i r em a c h i n es y s t e m i nt h i sc a s e ，t h es t u d yo f d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fn o n - c i r c u l a rg e a r sh a sb e c o m eae s s e n t i a l p r o b l e mi nd e s i g na n dm a i n t e n a n c eo f t h e s em a c h i n e s a sn o w , w eg o tm a t u r ec o n c l u s i o n si nt h er e s e a r c ha r e ao fd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c so fc i r c u l a rg e a r s w eh a v ee s t a b l i s h e da ne n t i r es y s t e m ， w h i c hw a sc o m p o u n d e db ys e v e r a ls u b f i e l d s ，t os o l v et h ep r o b l e m so f t h i sk i n d a n di na d d i t i o n ，w eh a v ea l s og o tp r o g r e s si nr e s e a r c h i n gb e v e l w h e e l s b u t ，t h es t u d yo fd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fn o n - c i r c u l a rg e a r si s s t i l lab l a n k i nm o s tc a s e ，n o n - c i r c u l a rg e a r sh a v ee c c e n 仃i c i t y , i tm a k e s m u c hm o r ev i b r a t i o nc o m p a r et oc i r c u l a rg e a rp a i r s f o r c e si n s p i r i t e d n o n - c i r c u l a rg e a r sa r ec o m p l e t e l yd i f f e r e n tf r o mt h ef o r c e si n s p i r i t e d c i r c u l a r g e a r s t h e m a i nf o r c e i n s p i r i t e d n o n c i r c u l a r g e a r s a r e e c c e n t r i c i t yf o r c eb r i n gu pb yt h ee c c e n t r i c i t yo ft h eg e a ri t s e l f t h i s m a k e st h en o n c i r c u l a rg e a r s v i b r a t i o ni n h e r e n ta n dn a t u r a l t h i sp a p e rs e t u pam e t h o do fm o d e l i n gn o n - c i r c u l a rg e a r sb a s e do n t h el a g r a n g eb o n d g r a p ht h e o r y a n de s t a b l i s h e dad y n a m i cm o d eo fa p a i ro fn o n - c i r c u l a rg e a r s t h es i m u l a t i o np a r to ft h i sp a p e ri sd o n eb y s i m u l i n k m a t l a b s o f t w a r e e x p e r i m e n t sa n dt e s t s a r ea l s od o n et o v a l i d a t et h ec o n c l u s i o n so f t h es i m u l a t i o n sp a r t k e yw o r d s ：e l l i p s eg e a r s d y n a m i cm o d e l b o n dg r a p h 作者簽名：蘭趾日期： 矽二上年旦月笪日 關于學位論文使用授權說明 本人了解中南大學有關保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校 有權保留學位論文，允許學位論文被查閱和借閱；學?？梢怨紝W譬 論文的全部或部分內容，可以采用復印、縮印或其它手段保存學位論 文；學?？筛鶕一蚝鲜∮嘘P部門規(guī)定送交學位論文。 日期：業(yè)年生月三至日 進標撼鈽啊導加阿報臼 指別詠胡m師特烈粥“ 一一一 明 垃敝鰳涮描 枷 一一一一 一 一一一一 原篙囂刪 肌 一一一呈劃雕翔樹一粼燃蝴 碩士學位論史第一章概述 1 1 齒輪動力學的發(fā)展簡介 第一章概述 齒輪系統(tǒng)動力學是研究齒輪系統(tǒng)在傳遞動力和運動過程種動力學行為的一 門科學，齒輪系統(tǒng)包括齒輪副，傳動軸、支承軸承和箱體，也可以包括與齒輪傳 動有關的聯軸器、飛輪、原動機和負載等。齒輪系統(tǒng)種零部件結構及相互連接關 系是一個復雜的彈性機械系統(tǒng)。 齒輪系統(tǒng)的動力學行為包括輪齒動態(tài)嚙合力和動載系數，以及齒輪系統(tǒng)的振 動和噪聲特性等。通過齒輪系統(tǒng)動力學的研究，可以了解齒輪系統(tǒng)結構形式、幾 何參數、加工方法等對這些動力學行為的影響，從而指導高質量齒輪系統(tǒng)的設計 與制造。齒輪系統(tǒng)中動力和運動是通過輪齒共軛齒面間連續(xù)的相互作用而傳遞 的，因此齒輪副嚙合傳動問題就是其核心問題之一。 齒輪系統(tǒng)是各種機器和機械設備中應用最廣的動力傳遞裝置，隨著近代機械 日趨高速、重載，其力學行為和工作性能對整個機器有重要影響。因此，齒輪系 統(tǒng)動力學問題近百年以來一直受到人們的廣泛關注，并對此問題進行了大量深入 的分析研究，取得了相當的進展，已經形成了一個比較完整的理論體系，如圖1 - 1 所示呻l 。 圖1 - 1 碩t 學位論文第一章 概述 齒輪動力學的發(fā)展是從研究齒輪動載荷開始的。1 8 6 8 年，h w a l k e r 首先提 出了動載系數的定義。到2 0 世紀3 0 年代，e b u c k i n g h a m 3 公布了a s m e 一個研 究小組的結果，提出了齒輪動載的計算公式，考慮了有效質量、有效誤差和速度 的影響。其中一些公式經修正還沿用至今。5 0 年代以前，主要以嚙合沖擊作為 描述和解釋齒輪動態(tài)激動態(tài)響應的基礎，將齒輪簡化為單自由度系統(tǒng)。以沖擊下 的單自由度系統(tǒng)的動態(tài)響應來表達齒輪系統(tǒng)的動力學行為。5 0 年代以后，將齒 輪系統(tǒng)作為彈性的機械系統(tǒng)，以振動理論為基礎，分析在嚙合剛度、傳遞誤差和 嚙合沖擊作用下，系統(tǒng)的動力學行為。這一發(fā)展奠定了現代齒輪系統(tǒng)的動力學的 基礎。 齒輪系統(tǒng)動力學在振動理論的框架內，經歷了由線性振動理論向非線性振動 理論的發(fā)展( 時變剛度、齒側日j 隙、嚙合誤差等) 。在線性振動理論范疇內，人 們以平均嚙合剛度代替時變嚙合剛度，并由此計算齒輪副的固有頻率和振型，利 用數值積分方法計算系統(tǒng)的動態(tài)響應，不考慮因時變剛度引起的動態(tài)穩(wěn)定問題， 且避免研究由齒側間隙引起的非線性及多對齒輪副、齒輪副與支承軸承、軸承間 隙等時變剛度間的相互關系、相互作用對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。齒輪系統(tǒng)的非線 性振動理論，在考慮了嚙合剛度的時變性、齒側間隙、齒輪嚙合誤差等非線性因 素的情況下，將齒輪系統(tǒng)作為一種非線性的參數振動系統(tǒng)研究其基本理論、基本 方法和基本性質。從而由振動理論的基本概念出發(fā)，將嚙合齒輪抽象為時變的彈 性元件，統(tǒng)一描述和研究齒輪嚙合中剛度的時變激勵、誤差的周期性激勵和嚙 入嚙出期間的沖擊瞬態(tài)性激勵，并將這種彈性元件作為整個齒輪系統(tǒng)的一個組成 部分，可以在一個完整的彈性機械系統(tǒng)中來考察激勵、系統(tǒng)、相應問的作用和相 互影響，從激勵和系統(tǒng)的統(tǒng)一性出發(fā)研究系統(tǒng)參數與結構的優(yōu)化選擇與配置。齒 輪系統(tǒng)動力學的研究對象也經歷了由一對齒輪組成的簡單系統(tǒng)向同時包含齒輪、 傳動軸、軸承和箱體結構的復雜系統(tǒng)過渡。將整個齒輪系統(tǒng)作為分析對象，可以 全面研究齒輪系統(tǒng)的動態(tài)性能，齒輪嚙合過程以及系統(tǒng)其他零件對嚙合過程動態(tài) 激勵的影響，還可以研究動態(tài)激勵在系統(tǒng)中的傳遞特性和傳遞路線，同時可以研 究齒輪動態(tài)嚙合力、軸承支承反力、齒輪、傳動軸和箱體的振動特性以及系統(tǒng)振 動噪聲的產生、傳播與輻射。 齒輪動力學的基本問題是求激勵系統(tǒng)特性和響應三者之間的關系。齒輪系統(tǒng) 的激勵分為內部激勵和外部激勵，外部激勵是系統(tǒng)外部對其的作用，主要是指原 動機的主動力矩和負載的阻力矩。內部激勵是由齒輪副的齒輪嚙合過程產生的， 內部激勵問題是齒輪系統(tǒng)動力學研究的重點之一，包括剛度激勵、誤差激勵和嚙 合沖擊激勵。剛度激勵是因嚙合輪齒對數的變化導致嚙合綜合剮度隨著時日j 周期 變化而引起齒輪輪齒嚙合力周期變化，它是一種參數激勵。其力學效應使齒輪系 2 碩士學位論文 第一竄概述 統(tǒng)處于參數振動狀態(tài)。這樣即使在外載荷為零或常量的情況下，系統(tǒng)也會因剛度 激勵而產生振動。由于齒輪加工、安裝誤差引起的齒廓表面相對于理想齒廓位置 的偏移是齒輪系統(tǒng)的誤差激勵。誤差激勵是嚙合輪齒問的一種周期性位移激勵。 研究誤差激勵對于系統(tǒng)的影響、了解各種輪齒加工誤差與系統(tǒng)動態(tài)特性的關系， 可以為齒輪設計中精度等級的確定和加工方法的選擇提供指導 此外，由于輪齒受載變形和加工誤差，輪齒載進入和推出嚙合時，齒面之間 會產生沖擊，引起嚙合沖擊激勵。這種激勵的不同之處在于它是一種周期性的載 荷激勵。 隨著人們對傳動性能的要求不斷提高，齒輪動力學越來越廣泛地受到學者的 重視。從目前的齒輪嚙合方面的文獻資料來看，齒輪動力學研究的主要方向是： 一系統(tǒng)的動態(tài)響應、動力穩(wěn)定性 在動態(tài)激勵作用下齒輪系統(tǒng)的動態(tài)相應是齒輪系統(tǒng)動力學的重要研究內容 睜”l ，主要包括齒輪動態(tài)嚙合力，齒輪激勵在系統(tǒng)中的傳遞，傳動系統(tǒng)中各個零 件的動態(tài)響應以及箱體結構的動態(tài)響應。研究齒輪的動態(tài)力，可以了解系統(tǒng)動態(tài) 激勵產生的機理、大小和性質，確定齒輪的動載荷和動載系數，對齒輪強度和 可靠性設計具有重要意義；研究動態(tài)激勵的傳遞與零件的動態(tài)響應，目的在于通 過研究系統(tǒng)設計與時間響應間的關系，進行結構修改，減少動態(tài)激勵的傳遞，降 低系統(tǒng)中備零件的振動，減小支承的受載，提高系統(tǒng)的工作壽命，并降低箱體結 構的振動和噪聲。齒輪系統(tǒng)是一種參數激勵系統(tǒng)，與一般的振動系統(tǒng)的重要區(qū)別 在于它具有動力穩(wěn)定問題。通過齒輪系統(tǒng)的參數激勵動力穩(wěn)定性分析，確定影響 穩(wěn)定性的因素等，為齒輪系統(tǒng)的設計提供指導。 二振動和噪聲的控制 齒輪降噪是傳動動力學的重要課題 4 , 1 6 - 2 5 1 。齒輪傳動產生振動和噪聲的原因 除了齒輪的時變嚙合剛度之外，另一個主要原因是齒輪的嚙入嚙出沖擊和節(jié)圓沖 擊。齒輪系統(tǒng)動力學的研究，即從動態(tài)激勵、系統(tǒng)設計、響應特性三方面全面研 究齒輪的振動和噪聲的機理、性質、特點和影響因素，采取相應的措施降低齒輪 系統(tǒng)的振動和噪聲，是齒輪系統(tǒng)動力學的重要應用領域之一在這方面人們已經 進行了卓有成效的工作。 三狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷 齒輪系統(tǒng)作為機器設備的動力和運動傳遞系統(tǒng)口 2 1 ，其工作狀態(tài)對整個機器 設備的運行會有重要影響，齒輪系統(tǒng)故障可能產生嚴重后果，因此，該系統(tǒng)的狀 碩 學位論文第一章 概述 態(tài)監(jiān)測和故障診斷非常重要。其中，系統(tǒng)振動信號和噪聲信號的測試和分析是一 種主要的監(jiān)測和診斷手段。因此，開展系統(tǒng)振動和噪聲產生機理的研究有助于采 用更可靠，更有效的狀態(tài)監(jiān)控和故障診斷方法。 1 2 非圓齒輪傳動簡介 非圓齒輪作為一種比較特殊的齒輪傳動方式口3 塒, 4 5 4 3 ，廣泛應用于各種自動 機械、儀器及解算裝置中。 非圓齒輪的機構的傳動關系，可用主動構件和從動構件回轉角間的非線性關 系來表示。因此，這種機構可以用來傳遞變速比運動。 根據非圓齒輪的使用特點，可以列出非圓齒輪應用在機器中的情況： 1 為了使機器的工作機構和控制機構具有變速運動； 2 為了協(xié)調平行工作的機構的循環(huán)時間； 3 用非圓齒輪帶動鉸鏈機構的主動構件，使鉸鏈機構的運動特性具有所需 要的形式。 機器中通常所使用的非圓齒輪，其節(jié)曲線形狀有橢圓形、卵形和相對于回轉 中心有一定偏心矩的圓形等集中形狀。其具體形狀由給定的傳動比變化規(guī)律來 確定。 1 2 1 非圓齒輪的嚙合原理簡介 平面嚙合用于傳遞兩平行軸之間的運動。一般情況下，傳動比是變化的，這 就是非圓齒輪傳動；特殊情況下，傳動比是常量，這就是圓齒輪傳動。 齒輪的節(jié)曲線是齒輪傳動時的滾動曲線。齒輪傳動時，兩個相滾動曲線接觸 點上的相對速度為零，顧接觸點就是兩齒輪的瞬時回轉中心。因此，齒輪的節(jié)曲 線就是瞬心線。 當一對非圓齒輪傳動時，若主動輪轉過破角時，從動輪轉過九角，則轉角關 系可以表示為： 如= f ( 破) ( 1 一1 ) 式( 1 1 ) 就是 圓齒輪傳動的位置函數。 若主動輪的瞬時角速度為q ，從動輪的瞬時角速度為吐，則瞬時角速度比 為： 如：墮：盟：墮：輿；上( i - - 2 ) “d t d t d 如f ( 0 0 式中f m ) 是，( 辦) 對磊的一階導函數。 同理可得： 4 堡蘭竺絲蘭苧二要墮查 1 21 - - - - 詈卸( 1 - - 3 ) f ( 氟) 稱為瞬時傳動比函數，簡稱傳動比函數。傳動比函數得自變量為主動 輪的轉角a 非圓齒輪傳動時的位置函數晚= f ( 破) 和傳動比函數，m ) 都可以代表非圓 齒輪副的幾何特性。這是因為非圓齒輪副中的主動齒輪，無論其運動規(guī)律在時間 上怎樣變化，都不會影響這兩種函數的特性。 1 2 2 橢圓齒輪的傳動特性 橢圓齒輪是非圓齒輪中最常見的一種。當兩個相同的橢圓齒輪傳動時，隨著 橢圓偏心率的不同，可得到不同的傳動比變化曲線。以完成各種機構的變速運動， 或作為速度和加速度調節(jié)之用。 橢圓齒輪的回轉中心在其上的一個焦點上。當主動齒輪轉過氟角時，從動輪 轉過以角。這時，從動齒輪的向徑蜀與從動輪向徑足之和應等于兩輪的中心距 a ，即： 墨+ 心= 4 ( 1 - - 4 ) 當以回轉中心e 為原點，鼻肘方向為級軸時，則主動橢圓齒輪的節(jié)曲線方 程式為： 兄：竺【! 二壘 1 - k e c o s 萌l 式中磊向徑r 。的極角 口橢圓的長半軸 。橢圓的偏心率。：旦：二竺 c 橢圓對稱中心到焦點的距離 b 橢圓的短半軸 因墨+ 如= 2 a ，得： r 2 = 2 a - 蜀= 等篡鏟 ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) 由式( 1 5 ) 和式( 1 6 ) 可得兩齒輪的傳動比函數f 2 1 = 詈= 魯為： 硬士學位論文第一章概述 1 2 1 2 = l 。+ 。2 。e 。c 。o 。s 。t + 。e 。2 由此可得橢圓齒輪的位置函數為： 唬= r f 2 。粥 積分后得： 智魯= 鼉略 若主動齒輪以等角速度以回轉，從動齒輪的瞬時角速度為： 盟=q罷=q研-e2dt 1 - i - 2 e c o se 見 1 破+ 。 當我= 0 時，從動輪具有最小角速度 警叫n 嘲篝 當破= 1 8 0 。時，從動輪具有最大角速度 墮d t ( = q 蘭a 、7 1 一c 1 3 本文的研究內容及其意義 ( i 一7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 一l o ) ( 1 1 2 ) 從前面的分析可以看出，對于圓齒輪系統(tǒng)的動力學問題，目前已經形成了成 熟、完整的理論體系，可以較好地解決工程實踐中遇到的一般問題。但是對于非 圓齒輪系統(tǒng)的動力學問題，還未見有深入的探索。而在工程實踐中，隨著非圓齒 輪的應用日趨廣泛，這類齒輪的動力學問題日益凸現出來。 圖卜2 非圓齒輪行星輪圖卜3 非圓液壓馬達節(jié)曲線 為了提出一種可行的理論方法和研究工具來分析這些問題，本文做出了如下 6 碩士學位論文 第一章 概述 內容的研究： 1 、對幾種比較復雜的，對非圓齒輪系統(tǒng)具有一定參考價值的圓齒輪模型進 行分析，并建立其相應的模型。 2 、在拉格朗日鍵合圖的基礎上，針對平面旋轉系統(tǒng)進行了拓展，并由此提 出了一種建立非圓齒輪系統(tǒng)動力學模型的思路和方法。 3 、針對一對嚙合的橢圓齒輪，通過運動學和力學分析，使用該方法建立了 其動力學模型。并通過數學變型，使它能方便的由計算機進行仿真模擬和分析。 4 、通過實驗測試數據與仿真數據的對比，說明了本文提出方法的正確性。 研究意義： 隨著非圓齒輪和非圓行星輪( n o n - c i r c u l a rp l a n e t a r yg e a r ) 等非常規(guī)齒輪 的應用，非圓齒輪的動力學問題開始引起人們的關注。對于相對于目前比較成熟 的圓齒輪動力學研究，非圓齒輪動力學研究的相關學術論文至今還未見發(fā)表。本 文針對這一空白領域進行了嘗試和探索，并取得了一些有意義的結論。因此，本 文的研究內容對于非圓齒輪或其他非圓傳動方式的動力學研究具有指導意義。 此外，本文有關橢圓齒輪振動仿真和分析的部分為橢圓齒輪的振動分析提供 了一種工具，這一工具對橢圓齒輪的設計制造和使用維護都不無裨益，具有的一 定工程意義。 7 碩t 學位論史 第二章相關圓兇輪系統(tǒng)振功模型簡介 第二章相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型 目前，對于橢圓齒輪的研究，主要集中在設計參數、加工工藝等問題d 3 3 4 4 5 彤l 的研究，并未發(fā)現針對非圓齒輪進行動力學研究論文。這就使得本文對于這一問 題的研究，必須以目前相對成熟的圓齒輪動力學分析為基礎。 本章對常見的幾種圓齒輪動力學模型分析進行了介紹，從簡單到復雜的四種 模型，這些模型的建立，為研究非圓齒輪動力學建模提供了思路和方法。 2 1 圓齒輪副扭轉振動分析模型 扭轉型分析模型是僅考慮系統(tǒng)扭轉振動的模型，在齒輪系統(tǒng)的振動分析中， 若不需考慮傳動軸的橫向和軸向變形以及支承系統(tǒng)的彈性變形，則可將系統(tǒng)簡化 成純扭轉的振動系統(tǒng)，相應的分析模型稱為扭轉分析模型。此外，由于不存在扭 轉角位移自由度與橫向線位移或軸向線位移自由度間的耦合關系，因此這種模型 是一種非耦合的模型。 在不考慮傳動軸、支承軸承和箱體等的彈性變形時，圓柱齒輪系統(tǒng)可以簡化 為齒輪副的扭轉系統(tǒng)，典型的一對齒輪副的扭轉振動動力學模型如圖2 - l 所示： 圖2 - 1圓齒輪副扭轉振動分析模型 設齒輪副的重合度在1 - 2 之間，則由圖可推得，一對齒輪副的扭轉振動分析 8 碩士學位論文 第二翥相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 模型為了： 7 p 嘭+ 五，。m ( r ，巳一r s 以) 一r p 。- 。1 - g p c 2 。2 + r ，k ( r p o p 一胄s 噥) ( 2 1 1 一r p 女，1 一r p k 2 e 2 = t p j 。巳+ 尺g c m ( r = a s 一巳) 一心c - j t 一& c ：0 2 + r t k m ( 心巳一r p 啡) 但- 2 ) + r g k i e l + r g k 2 e 2 = 一乙 式中，只( f = a g ) 為主、被動齒輪的扭轉振動位移；諺，茸( f _ p ，g ) 為主、被動 齒輪的扭轉振動速度和加速度；j ，o = ，g ) 為主、被動車輪的轉動慣量；r o = n g ) 為主、被動齒輪的基圓半徑；t ( f = 1 ，2 ) 為第i 對輪齒的綜合剛度；c s “= k 2 ) 為第 i 對輪齒的阻尼系數；七卅為齒輪副的嚙合綜合剛度；c 。為齒輪副的嚙合阻尼； p 。( j = l ，2 ) 為第i 對輪齒的誤差；z ( f = l ，2 ) 為作用在主、被動齒輪上的外載荷力矩。 設定義嚙合線上兩齒輪的相對位移x 為： j = r p 巳一r # 巳 ( 2 3 ) 從而由式( 2 1 ) 和式( 2 ，2 ) 可以表示為： 脅。j + j + k 工= w( 2 4 ) m 。= 一( i p r s 土2 + ! l i s r p 2 ) ( 2 5 ) w = w o + c i 毛+ c 2 毒2 + k l e l + j p 2 ( 2 6 ) = 巹= 至r s ( 2 7 ) 式中，腳。為等效質量；w 為等效載荷。由式( 2 4 ) ，略去動態(tài)項( 慣性力項和 阻尼力項1 ，則可以得到靜傳遞誤差為： t ：+ 墜獸堂 ( 2 8 ) 鏟芒+ 。i 。 u 岱 而輪齒之問的動態(tài)嚙合力可以表示為： 阡0 = c j a a 一c ，e ，+ k 。x k ，e 一k ，e ，( 2 9 1 2 2 圓齒輪系統(tǒng)嚙合耦合振動分析模型 在不考慮摩擦的情況下，典型直齒圓柱齒輪副的嚙合耦合型動力學模型如圖 2 - - 2 所示。由于不考慮傳動軸等的具體振動形式，因此可以將傳動軸、軸承和 箱體等的支承剛度和阻尼等效為k ，、t 。c m 、c 膳來表示。 碩士學位論文 第二章相關嘲齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 戶 圖2 2 圓齒輪系統(tǒng)嚙合耦合振動分析模型 可以看出，這時的動力學模型是一個二維平面振動系統(tǒng)，由于不考慮齒面 摩擦，齒輪的動態(tài)耦合力沿嚙合線方向作用，因此模型具有4 個自由度，分別為 主、被動齒輪繞旋轉中心轉動自由度和y 方向的平移自由度。設這4 個自由度的 振動位移分別為b 、島和兒、y ：，則系統(tǒng)的廣義位移陣列可以表示為： 戡= y p8 py | e g 這樣，若主、被動齒輪的嚙合點位移方向分別為乃、 動位移間的關系可以表示為： 了p = p + r p ( 2 1 0 ) 乃，則它們與系統(tǒng)振 ( 2 1 1 ) 兄= 一r p o p ( 2 1 2 ) 式中，r p , r 。分別為主、被動輪的基圓半徑。 而嚙合輪齒間的彈性嚙合力疋和粘性嚙合力c 則可分別表示為： 吒5 k ，一只一8 ) ( 2 1 3 ) = k ( y p + 巳一+ r g 巳一e ) 和 l o 碩t 學位論文第二章相關四兇輪系統(tǒng)振動模型簡介 c 2 ( 歹，一 一 ( 2 1 4 ) 2 c 。op + r p 一，| + r s e s 一幻 式中，k c 。分別為齒輪副嚙合綜合剛度和綜合阻尼。 因此作用在主、被動齒輪上的輪齒動態(tài)嚙合力和分別為： c = e + c( 2 1 5 ) = 一= 一( e + 疋) ( 2 1 6 ) 由上述各式可以看出，轉動自由度和平動自由度分別禍合在彈性嚙合力方程 和粘性嚙合力方程中，這種現象稱為具有彈性耦合和粘性耦合，而且由于這種禍 合是由齒輪的相互嚙合引起的，使得齒輪的扭轉振動與平移振動相互的影響，因 此又稱為耦合型彎扭耦合，此外，在一般情況下，由于阻尼力的影響較小，分 析中常常略去嚙合耦合型振動中的粘性耦合。 根據上述分析，可推得系統(tǒng)的分析模型為： m p p + c 汀，p + k 口 p = 一f p q 1 7 1 巳= 一r p 一弓 ( 2 1 8 ) m g g + c 盯弘s + k f 多| = 一f g = f p q 1 9 i 9 8 | = 一f | r g t | = f p r g t p q 2 0 因此 所，以+ 。夕，+ 一以2 - c m ，+ 巳一以+ 也巳一。) ( 2 2 1 ) 一k 。op + r p y s + r i e g 一曲 ip 8 p 2 七m o p + r p 6 p 一，g + r s 9 s 一曲 【2 。2 2 ) + 吒( + 睇巳一y 。+ r g 吃p ) 】邱一 m g s + c f ，g “。y 9 2 c m p + r p 8 p 一，s + r g e g 一曲 【2 。2 3 ) + k ( y p + r ，巳一y s + r g 巳一e ) 7 ，巳。h 杪，+ q 巳一以+ 吃巳一。) ( 2 2 4 ) 式中，朋，o = p ，g ) 為主、被動齒輪的質量和轉動慣量；c p y , c ，為主、被動 齒輪平移振動阻尼系數；k m , k ，為主、被動齒輪平移振動的剛度系數。 方程的矩陣形式為： 【所】 占) + 【c 】 彥) + 【t 】 田= p ( 2 2 5 ) 碩t 學位論文 第二章相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 咖】= 坼1 = 【】= k _ + k 。 七。尺p k 一七刪題 p ) = i p c m r p c ，r 口 一c 。尺， 一c m r p r | 女。心 t ，q 2 一k m r p k m r g r p k t 。巧 k 。+ k t 。墨 c 。e + 。e c e r p + t 。e r e 一弓 一c 。e k e c ， 以一k , 。b r g 一乏 2 3 具有質量偏心的圓齒輪副分析模型 c r g c m r g r e c 。b c 。b 2 t 。r 譬 t 。& r ， 一 ，b k 2 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 在圓齒輪的動力學模型之中，最接近非圓齒輪的模型就是齒輪副具有質量偏 心的動力學模型。若齒輪副具有質量偏心，則在齒輪系統(tǒng)的彎扭耦合振動分析 中，會產生有質量偏心所引起的離心力和慣性力。其具體模型分析如下： 矗冀 一 c 慨如以 一_ 碩t 學位論文 第一二章相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 戶 圖2 3 具有質量偏心的圓齒輪副分析模型 某一級齒輪傳動系統(tǒng)可簡化為圖2 - 3 所示的力學模型。不考慮齒面摩擦的情 況，該系統(tǒng)是一個4 自由度的彎扭禍合振動系統(tǒng)。這4 個自由度分別為主、被 動齒輪沿嚙合線方向 方向) 的平移振動和繞旋轉軸線的扭轉振動，其廣義位移 陣列可表示為： = l y pe py | 8 s q 3 0 ) 這樣，嚙合線與主、被動齒輪的切點p 和g 的y 方向位移昴，死表示為： p = yp ep s i n o l r l ，g = y z e | s i n 0 2 一r 9 0 2 b = 珊，t o p 島= m g t o s ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 式中，e ，( f = p ，g ) 為主、被動齒輪的質量偏心量：q ，島為主、被動齒輪的旋 轉角度；。，：為主、被動齒輪的轉動角速度，以圖示方向為正。 碩 學位論文 第二章相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 根據齒輪嚙合的基本原理，齒輪嚙合的動態(tài)嚙合力可表示為： = ( 免一兌一t ) + k ( 砟一只一力 ( 2 3 5 ) 將式( 2 3 1 ) - ( 2 3 4 ) 帶入式( 2 3 5 ) ，得 f = c 。f 眇，一e p ( 一巳) c o s 島一r v ( ，一巳) 】 一眇；一。( 一一吃) 。0 8 島一( # 一噥) 卜。( ) ( 2 3 6 ) + t 。 眇，一e ，s i n o , 一r v 只】 一l y g e gs i n 8 2 一r s o d e ( f ) 另一方面，由于齒輪的質量偏心，在齒輪旋轉過程中將產生離心力，經推導 可得主、被動齒輪的離心力在y 方向的分量阡南和，即 = ，e v ( o v + ，) 2s i n o t ( 2 3 7 ) = 歷g ( 六十) 2s i n 0 2 ( 2 3 8 ) 而由于扭轉振動位移加速度引起的質心沿y 向的平移加速度，會使兩齒輪產 生沿y 方向的慣性力和，即 阡o = m ，e ，o lc o s o l ( 2 3 9 ) = e j 0 2c o s 0 2 ( 2 4 0 ) 因此，對圖2 - 4 所示的主、被動齒輪的受力圖，如不考慮支承系統(tǒng)和齒輪嚙 合的阻尼，可推得系統(tǒng)的動力學方程為： 1 4 碩士學位論文 第二章相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 圖2 4 蚱+ 蜘= 一一 巳= p ，c o s 0 i 一吒c o s 0 一( r p + p ，c o s 0 , ) m g _ j j g + 七穢y g = 阡0 穢一砰_ p 一 巳= 阡名c o s 8 2 一阡名c o s 島 + ( r s + p gc o s o o 2 4 考慮齒面摩擦和軸承橫向振動的分析模型 f 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) f 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 在考慮齒面摩擦的影響時，還必須考慮齒輪在垂直于嚙合線方向的平移自由 度，相應的系統(tǒng)動力學模型如圖2 5 所示。 碩上學位論文 第二毒相關圓齒輪系統(tǒng)振功模型簡介 圖2 - 5 考慮齒面摩擦和軸承橫向振動的分析模型 可以看，這時的系統(tǒng)是6 自由度的二維平面振動系統(tǒng)，其中4 個平移自由度， 2 個轉動自由度，系統(tǒng)的廣義位移陣列可表示為： 占) = y p0ky s 咚 。 ( 2 4 5 ) 與不考慮齒面摩擦的情況相類似，齒輪的動態(tài)嚙合力可以表示為： 嚙合力可以是： 2 k ( + b 啡一雎+ b 咚一8 ( 2 4 6 ) + c m p + r p 一 g + r g e g 一曲 。 而齒面摩擦力可以近似表示為： f r = a 擇p q 4 7 1 式中，為等效摩擦系數；a 為輪齒摩擦力方向系數，只沿x 方向時取為“+ l ”反之取為“一l ”。 從而可以推得系統(tǒng)得分析模型為： m p + c p + k x p = f f q 4 8 m , , y p + 1 7 v p + k 口y p = 一f p ( 2 4 9 ) l 乒p = 一f p r p t p + f ：c r , t g a h 、 q 5 0 ) 1 6 碩f - 學位論文 第二黿相關圍齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 即： m g i s + c p i s + k g = 一f ， m s g + c 口i + k 口y s = f p 吃；一& 一l + f a t g p + n ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) m ，+ c p ! k r2 f 。 k , ( y v r 乒p y g + r 9 6 s 一曲b 5 吣 + 氣i , p + b 巳一以+ 吃吃一i ) 】 ”一蟛+ 弗+ 2 - 【k + 彤巳一+ b 吃一8 ( 2 5 5 ) + 嘶+ 易一以+ b 島一j ) 】 l 參p = 一r 恥心p + r p y p + r 乒s 一曲 + c 塒坼+ b 0 一夕，+ 毽b 一6 ) 1 ( 2 5 6 ) + l f ( r s t g f l 一日) 【k 坼+ 睇巳一以+ 乜b p ) + 嘶+ 紼幺一以+ b 吃一j ) 卜 ”k 咚+ + k s , x g = 一五九k ( 蚱+ 彤巳一以+ 乜吃一e ) + ( 夕，+ b 吃一以+ 恐吃一j ) 】 m g g + c 。虬：k a y 9 2 k m 9 r + r 乒p y i + r 9 6 z 一曲q 。5 躑 + c 。u p + r p 一孓| + r | 一曲 q = 一毽【k ( 以+ r ，巳一+ & 巳一e ) + 氣坼+ 睇巳一以+ b 咚一。) 】 ( 2 5 9 ) + ( 愿喀盧十日) 【k 饑+ 酈0 一虼+ b 巴一p ) + c 。( 以+ 彤0 一以+ 巳一) 卜 寫成矩陣形式，則分析模型表示為： 【塒1 = 【朋】 占 + 【c 】 占 + 【七1 j ) = p 1 7 ，窖 ( 2 6 0 ) ( 2 6 0 碩t 學位論文 第二章相關阿齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 m = 其中 【七】= c m 一 ，c 。 0 c r y + c 脯 0 c 卅( 一彤) 0 x 忙。 0 一c m 0 c 塒( 毽一毽) 一a 知m r 。0 c m r p 0 吩( b 一彤) 0 m e r pc p 吒墨0 ( b 一毽) 0 丸是。 一 ( 唯+ 彤) 一九扛。 + c * ( 噬+ & ) 夏，= a f t r 9 8 一h 、 瓦= 2 f ( r g t g f l + h ) 一a 艮m r g b ( q b ) a 扛。r g 一毽 c 卅毽( & 一b ) 一k 口 一露。 一九皿m r p 0 a 批m a 耍。r g 0 k 口+ k 。k 。r p 0 一k ， k 。r s 0 k ( & 一嘭) 吒b ( 咋一巧) 0一k ( 唯一) 七塒辟( 彤一) 0 傳。 九j l c 。r pk f 一 批m 承m r g 0 一k 。 一k m r p 0 k 9 七k 。 一k 。r e 0 吒( 吒一毽) k r v ( 忍一心) 0 一k ( 咚一毽) k b ( 墨一匙) 2 5 本章小節(jié) p = 一a 知k 。一2 j c m k p + a k p + r ，c 肼 一k p 一嘩c e 一毛 九扣k 。七a 窮c 。 一k p 一氣 色吒8 + 巳4 一乜k p 一墨c 卅a 一 ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) 本章介紹了4 種不同復雜程度的圓齒輪系統(tǒng)動力學模型，這些模型是建立非 圓齒輪系統(tǒng)模型的基礎： 第一種圓齒輪副扭轉振動分析模型，是以振動理論分析一對圓齒輪嚙合的最 基本模型，它是建立其他圓齒輪振動模型以及非圓齒輪振動模型的基礎。第二種 圓齒輪系統(tǒng)嚙合耦合振動分析模型，考慮了支撐系統(tǒng)的橫向振動，這種振動在非 圓齒輪系統(tǒng)中尤其明顯。 第三種具有質量偏心的齒輪副分析模型，是考慮當圓齒輪由于加工誤差和裝 配誤差存在偏心時，系統(tǒng)的模型。偏心距在圓齒輪系統(tǒng)中并非本質因素，但對于 1 8 碩 學位論文 第二章相關圓齒輪系統(tǒng)振動模型簡介 許多中非圓齒輪( 如橢圓齒輪等) 系統(tǒng)來說卻是本質的，同時也是引發(fā)振動的最 主要原因。第四種考慮齒面摩擦和軸承橫向振動的分析摸型，是一個平面六自由 度的振動模型，也是非圓齒輪最常見的振動模型，它的建立，對于非圓齒輪振動 模型是一個很好的參考。 下一章，本文將以這些振動模型的建模思想為基礎，使用新的方法完成非圓 齒輪系統(tǒng)進行動力學模型的建立。 1 9 碗十學位論文 第三章非圓齒輪動力學系統(tǒng)建模方法 第三章非圓齒輪傳動動力學系統(tǒng)建模方法 從第二章對于不同復雜程度的圓齒輪系統(tǒng)動力學模型的分析，可以看出：隨 著系統(tǒng)的復雜程度增加，特別是質量偏心的出現，使用傳統(tǒng)的解振動微分方程的 方法來建立系統(tǒng)的模型是相當煩瑣和不方便的。 而基于系統(tǒng)的動能、勢能和廣義力的拉格朗日方程則能夠方便的實現坐標變 換，使得不同場的不同坐標能夠通過坐標變換統(tǒng)一為系統(tǒng)的廣義坐標，從而方便 的建立系統(tǒng)的方程。 廣義坐標表達的拉格朗日方程只涉及系統(tǒng)的動能、勢能和廣義力。因此利用 拉格朗日方程一般可以很快的求得系統(tǒng)方程。但是由于要對拉格朗日函數進行求 導運算，因此很難利用這一方法由計算機自動產生系統(tǒng)方程。另一方面，拉格朗 日方程是耦合的、隱式的二階微分方程，在許多情況下很難把它轉換成一階微分 方程。因此直接利用拉格朗日方程對系統(tǒng)進行仿真將是比較困難的。 傳統(tǒng)鍵合圖提供了將系統(tǒng)方程從二階轉變?yōu)橐浑A的方法，將這種方法應用到 拉格朗日方程中，就可以克服上述缺點，方便的生成系統(tǒng)方程。 3 1 拉格朗日鍵合圖簡介 3 1 1 拉格朗日鍵合圖的結構 許多系統(tǒng)的鍵合圖模型可以用下圖所示的網絡及其連接的場來表示，而網絡 則由描述廣義坐標的一階倒數( 即廣義速度) 的l 結以及聯系廣義速度和各個場 的流變量的調制變換器組成。 一個系統(tǒng)的廣義坐標就是一套完全描述該系統(tǒng)運動的獨立坐標。廣義坐標的 維數就是所描述系統(tǒng)的自由度數。設n 維廣義坐標為q 。；口維容性場( c 場) 廣義 位移向量為q 。；維慣性場( i 場) 廣義位移向量為q ，；m 維阻性場( r 場) 流向量 為；勢源場( 場地) r 維流向量為。又設由尊。到的變換矩陣為；由軋 到卓，的變換矩陣為巧；由到珞的變換矩陣為r s ；由尊。到的變換矩陣為瓦。 則一個在勢源場作用下的系統(tǒng)可以用如圖3 1 的鍵圖模型來表示： 碩十學位論丈 第三章非網齒輪動力學系統(tǒng)建模方法 上 1v s 上 m t f ，上 c 鈾1qm t f 叫1p m t f 一1 卜3 m 八， 上 1v r 上 圖3 1 3 1 2 拉格朗日鍵合圖到系統(tǒng)方程的轉化 口維容性場廣義位移量g ?？捎胣 維的廣義坐標表示如下： 叮c = f ( q g ) 對方程( 3 1 ) 求導一次得： 由變換矩陣的定義： 咖鬻釓 可知，( 口塒) 維的流變換矩陣為： l ：塹紲 。d ( q g ) ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 維的慣性場廣義位移向量g ，與廣義坐標g 。的關系可以寫成 q ，= ( )( 3 - 4 ) 對式( 3 _ 4 ) 求導一次得： ( 3 5 ) 鬻“ 碩士學位論文 第三章非圓齒輪動力學系統(tǒng)建模方法 由變換矩陣乃的定義 尊，= 巧扎 可知，( ”) 維的流變換矩陣乃為： l ：叢盟 d ( q g ) ( 3 - 6 ) 根據流變換矩陣瓦和瓦的定義，和以及和口g z f q l 拘關系可以寫成 = 尊g ( 3 - 7 ) k = 瓦尊g( 3 - 8 ) 式中，瓦和瓦分別為( m 以) 維和( 蚪塒) 維矩陣 設b 、巨和分別表示在上的輸入勢向量以及容性場、慣性場 和阻性場的勢向量，則可以列出共流結的勢方程為 e j t + e ce = e s - e r ( 3 9 ) 式( 3 - 9 ) 中的e s 、易、e 1 和e r 可以通過