江蘇省高考數(shù)學(xué) 科考試說明及典型題示例 蘇教版.doc

2013年江蘇省高考說明數(shù)學(xué)科一、命題指導(dǎo)思想根據(jù)普通高等學(xué)校對新生文化素質(zhì)的要求，2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)學(xué)科（江蘇卷）命題將依據(jù)中華人民共和國教育部頒發(fā)的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗），參照普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實驗版），結(jié)合江蘇普通高中課程教學(xué)要求，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和方法，又考查進入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所必須的基本能力.1突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，貼近教學(xué)實際，既注意全面，又突出重點，注重知識內(nèi)在聯(lián)系的考查，注重對中學(xué)數(shù)學(xué)中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法的考查.2重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查數(shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理這幾方面的能力.（1）空間想象能力的考查要求是:能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g圖形進行分解和組合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能夠通過對實例的探究,發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；能夠從給定的信息材料中概括出一些結(jié)論，并用于解決問題或作出新的判斷.（3）推理論證能力的考查要求是：能夠根據(jù)已知的事實和已經(jīng)獲得的正確的數(shù)學(xué)命題，運用歸納、類比和演繹進行推理，論證某一數(shù)學(xué)命題的真假性.（4）運算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進行運算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計或近似計算.（5）數(shù)據(jù)處理能力的考查要求是：能夠運用基本的統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，以解決給定的實際問題.數(shù)學(xué)綜合能力的考查，主要體現(xiàn)為分析問題與解決問題能力的考查，要求能夠綜合地運用有關(guān)的知識與方法，解決較為困難的或綜合性的問題.3注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識的考查，要求能夠運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決.創(chuàng)新意識的考查要求是:能夠綜合，靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和思想方法，創(chuàng)造性地解決問題.二、考試內(nèi)容及要求數(shù)學(xué)試卷由必做題與附加題兩部分組成.選修測試歷史的考生僅需對試題中的必做題部分作答；選修測試物理的考生需對試題中必做題和附加題這兩部分作答.必做題部分考查的內(nèi)容是高中必修內(nèi)容和選修系列1的內(nèi)容；附加題部分考查的內(nèi)容是選修系列2（不含選修系列1）中的內(nèi)容以及選修系列4中專題4-1幾何證明選講、4-2矩陣與變換、4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程、4-5不等式選講這4個專題的內(nèi)容（考生只需選考其中兩個專題）.對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用a、b、c表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.具體考查要求如下：1必做題部分內(nèi) 容要 求abc1集合集合及其表示子集交集、并集、補集2函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的基本性質(zhì)指數(shù)與對數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)冪函數(shù)函數(shù)與方程函數(shù)模型及其應(yīng)用3基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、三角恒等變換三角函數(shù)的概念同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)兩角和（差）的正弦、余弦及正切二倍角的正弦、余弦及正切4解三角形正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用5平面向量平面向量的概念平面向量的加法、減法及數(shù)乘運算平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積平面向量的平行與垂直平面向量的應(yīng)用6數(shù)列數(shù)列的概念等差數(shù)列等比數(shù)列7不等式基本不等式一元二次不等式線性規(guī)劃8復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的幾何意義9導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的運算利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用10算法初步算法的含義流程圖基本算法語句11常用邏輯用語命題的四種形式充分條件、必要條件、充分必要條件簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞12推理與證明合情推理與演繹推理分析法與綜合法反證法13概率、統(tǒng)計抽樣方法總體分布的估計總體特征數(shù)的估計變量的相關(guān)性（刪除）隨機事件與概率古典概型幾何概型互斥事件及其發(fā)生的概率14空間幾何體柱、錐、臺、球及其簡單組合體柱、錐、臺、球的表面積和體積15點、線、面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)直線與平面平行、垂直的判定及性質(zhì)兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì)16平面解析幾何初步直線的斜率和傾斜角直線方程直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系兩條直線的交點兩點間的距離、點到直線的距離圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系空間直角坐標(biāo)系（刪除）17圓錐曲線與方程中心在坐標(biāo)原點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)2附加題部分內(nèi) 容要 求abc選修系列：不含選修系列中的內(nèi)容1圓錐曲線與方程曲線與方程頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)2空間向量與立體幾何空間向量的概念空間向量共線、共面的充分必要條件空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的數(shù)量積空間向量的共線與垂直直線的方向向量與平面的法向量空間向量的應(yīng)用3導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4推理與證明數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用5計數(shù)原理加法原理與乘法原理排列與組合二項式定理6概率、統(tǒng)計離散型隨機變量及其分布列超幾何分布條件概率及相互獨立事件次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布離散型隨機變量的均值與方差內(nèi)容要求abc 選修系列中個專題 7幾何證明選講相似三角形的判定與性質(zhì)定理射影定理圓的切線的判定與性質(zhì)定理圓周角定理，弦切角定理相交弦定理、割線定理、切割線定理圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理8矩陣與變換矩陣的概念二階矩陣與平面向量常見的平面變換矩陣的復(fù)合與矩陣的乘法二階逆矩陣二階矩陣的特征值與特征向量二階矩陣的簡單應(yīng)用9.坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系的有關(guān)概念簡單圖形的極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化參數(shù)方程直線、圓及橢圓的參數(shù)方程參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程的簡單應(yīng)用10不等式選講不等式的基本性質(zhì)含有絕對值的不等式的求解不等式的證明（比較法、綜合法、分析法）算術(shù)-幾何平均不等式與柯西不等式利用不等式求最大（?。┲颠\用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式三、考試形式及試卷結(jié)構(gòu)（一）考試形式閉卷、筆試，試題分必做題和附加題兩部分.必做題部分滿分為160分，考試時間120分鐘；附加題部分滿分為40分，考試時間30分鐘.（二）考試題型1必做題 必做題部分由填空題和解答題兩種題型組成.其中填空題14小題，約占70分；解答題6小題，約占90分.2附加題 附加題部分由解答題組成，共6題.其中，必做題2小題，考查選修系列2（不含選修系列1）中的內(nèi)容；選做題共4小題，依次考查選修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5這4個專題的內(nèi)容，考生只須從中選2個小題作答.填空題著重考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，只要求直接寫出結(jié)果，不必寫出計算和推理過程；解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（三）試題難易比例必做題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的比例大致為4：4：2.附加題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的比例大致為5：4：1.四、典型題示例a.必做題部分1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的實部是_【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念,基本運算.本題屬容易題.【答案】12. 設(shè)集合，則實數(shù)的值為_ 【解析】本題主要考查集合的概念、運算等基礎(chǔ)知識.本題屬容易題.結(jié)束kk +1開始k1k25k+40n輸出k y【答案】1.3. 右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是 【解析】本題主要考查算法流程圖的基礎(chǔ)知識，本題屬容易題.【答案】54. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 【解析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，本題屬容易題.【答案】5.某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的根中，有_ _根棉花纖維的長度小于.【解析】本題主要考查統(tǒng)計中的抽樣方法與總體分布的估計.本題屬容易題.【答案】由頻率分布直方圖觀察得棉花纖維長度小于的頻率為,故頻數(shù)為.6. 現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是 dabc【解析】本題主要考查等比數(shù)列的定義，古典概型.本題屬容易題.【答案】0.6.7. 如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【解析】本題主要考查四棱錐的體積，考查空間想象能力和運算能力.本題屬容易題.【答案】6.8.設(shè)為等差數(shù)列的前項和若,公差,則正整數(shù) 【解析】本題主要考查等差數(shù)列的前項和及其與通項的關(guān)系等基礎(chǔ)知識本題屬容易題【答案】59.設(shè)直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值是 .【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法.本題屬中等題.【答案】.10函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則【解析】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查特殊角的三角函數(shù)值本題屬中等題 【答案】.11. 已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則實數(shù)的值為 【解析】本題主要考查用坐標(biāo)表示的平面向量的加、減、數(shù)乘及數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識.本題屬中等題.【答案】.12在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是 【解析】本題主要考查圓的方程、圓與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用相關(guān)知識解決問題的能力本題屬中等題【答案】13. 已知函數(shù),則滿足不等式的的取值范圍是_ 【解析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,簡單不等式的解法,以及數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想；考查靈活運用有關(guān)的基礎(chǔ)知識解決問題的能力. 本題屬難題.【答案】.14.滿足條件的三角形的面積的最大值是_.【解析】本題主要考查靈活運用有關(guān)的基礎(chǔ)知識解決問題的能力.本題屬難題.【答案】二、解答題15在中，, .（1）求值； (2)設(shè)，求的面積.【解析】本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.本題屬容易題.【參考答案】（1）由及,得故并且即得(2)由(1)得.又由正弦定理得所以因為所以因此，16如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點 不同于點），且為的中點求證：（1）平面平面； （2）直線平面 【解析】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力本題屬容易題【參考答案】證明：（1）是直三棱柱，平面，又平面，.又平面，平面,又平面，平面平面.（2），為的中點，.又平面，且平面，.又平面，平面.由（1）知，平面，.又平面平面，直線平面.17. 請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，在上是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè).（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積s（cm）最大，試問應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積v（cm）最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值?！窘馕觥勘绢}主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實際問題的能力本題屬中等題【參考答案】設(shè)包裝盒的高為,底面邊長為.由題設(shè)知(1)所以當(dāng)時,取得最大值(2),由得(舍)，或.當(dāng)時,遞增；當(dāng)時, 遞減所以當(dāng)時,取得極大值，此時由題設(shè)的實際意義可知時，取得最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為。18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓 于兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)，并延長交橢圓于點，設(shè)直線的斜率為.（1）當(dāng)時，求點到直線的距離；（2）對任意，求證：.【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力本題屬中等題【參考答案】(1)直線的方程為,代入橢圓方程得,解得因此,于是,直線的斜率為,故直線的方程為.因此，點到直線的距離為.(2)解法一：將直線的方程代人,解得記,則,于是,從而直線的斜率為,其方程為.代入橢圓方程得,解得或.因此,于是直線的斜率,因此所以解法二：設(shè),則且設(shè)直線pb，ab的斜率分別為因為c在直線ab上，所以從而因此所以19. (1)設(shè)是各項均不為零的項等差數(shù)列，且公差若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列.(i)當(dāng)時，求的數(shù)值；(ii)求的所有可能值(2)求證：存在一個各項及公差均不為零的項等差數(shù)列，任意刪去其中的項都不能使剩下的項(按原來的順序)構(gòu)成等比數(shù)列【解析】本題以等差數(shù)列、等比數(shù)列為平臺，主要考查學(xué)生的探索與推理能力本題屬難題【參考答案】 首先證明一個“基本事實”一個等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項成等比數(shù)列，則這個數(shù)列的公差.事實上，設(shè)這個數(shù)列中的連續(xù)三項成等比數(shù)列，則由此得，故(1)(i)當(dāng)時，由于數(shù)列的公差故由“基本事實推知，刪去的項只可能為或若刪去，則由成等比數(shù)列，得.因故由上式得即此時數(shù)列為滿足題設(shè)若刪去，則由成等比數(shù)列，得因故由上式得即此時數(shù)列為滿足題設(shè)綜上可知的值為或1 (ii)當(dāng)時，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去任意一項后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項，從而這三項既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實”知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項數(shù)又因題設(shè)故或當(dāng)時，由(i)中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列當(dāng)時，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列則由“基本事實”知，刪去的項只能是，從而成等比數(shù)列，故及分別化簡上述兩個等式，得及故矛盾因此，不存在滿足題設(shè)的項數(shù)為5的等差數(shù)列 綜上可知，只能為4我們證明：若一個等差數(shù)列的首項與公差的比值為無理數(shù)，則此等差數(shù)列滿足題設(shè)要求 證明如下：假設(shè)刪去等差數(shù)列中的項后，得到的新數(shù)列(按原來的順序)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)此新數(shù)列中的連續(xù)三項為于是有化簡得由知，與同時為零或同時不為零若且則有即得從而矛盾因此，與都不為零，故由式得因為均為非負整數(shù)，所以式右邊是有理數(shù)，而是一個無理數(shù)，所以式不成立這就證明了上述結(jié)果因是一個無理數(shù)因此，取首項公差則相應(yīng)的等差數(shù)列是一個滿足題設(shè)要求的數(shù)列20. 已知是實數(shù)，函數(shù) 和是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間i上恒成立，則稱和在區(qū)間i上單調(diào)性一致（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值【解析】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力本題屬難題【參考答案】(1)由題意知在上恒成立，因為，故，進而，即在區(qū)間上恒成立，所以因此的取值范圍是.(2)令,解得,若,由得又因為,所以函數(shù)和在上不是單調(diào)性一致的因此現(xiàn)設(shè)當(dāng)時,；當(dāng)時,因此，當(dāng)時,故由題設(shè)得且,從而,于是.因此且當(dāng)時等號成立,又當(dāng)時,從而當(dāng)時,故函數(shù)和在上單調(diào)性一致.因此的最大值為.b附加題部分1選修 幾何證明選講如圖，是圓的直徑，為圓上一點，過點作圓的切線交的延長線于點,若,求證:【解析】本題主要考查三角形與圓的一些基礎(chǔ)知識，如三角形的外接圓、圓的切線性質(zhì)等,考查推理論證能力本題屬容易題【參考答案】連結(jié),因為是圓的直徑，所以因為是圓的切線，所以,又因為所以于是從而即得故2選修矩陣與變換在直角坐標(biāo)系中，已知的頂點坐標(biāo)為，求在矩陣對應(yīng)的變換下所得到的圖形的面積，這里矩陣【解析】本題主要考查矩陣的運算、矩陣與變換之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識本題屬容易題【參考答案】方法一：由題設(shè)得由可知三點在矩陣對應(yīng)的變換下所得到的點分別是計算得的面積為l所以abc在矩陣對應(yīng)的變換下所得到的圖形的面積為1方法二：在矩陣對應(yīng)的變換下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形；在矩陣作用下，一個圖形變換為與之關(guān)于直線對稱的圖形因此，在矩陣對應(yīng)的變換下所得到的圖形，與全等從而其面積等