高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.11.5.2 曲邊梯形的面積、定積分課件 蘇教版選修22.ppt

1 5 1曲邊梯形的面積1 5 2定積分 第1章1 5定積分 1 了解定積分的概念 2 理解定積分的幾何意義 3 通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程 了解 以直代曲 以不變代變 的思想 4 能用定積分的定義求簡單的定積分 學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程1 曲邊梯形的面積 1 曲邊梯形 由直線x a x b a b y 0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形 如圖 所示 答案 y f x 2 求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間 a b 分成許多小區(qū)間 進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 對(duì)每個(gè) 以直代曲 即用矩形的面積近似代替的面積 得到每個(gè)小曲邊梯形面積的 對(duì)這些近似值 就得到曲邊梯形面積的 如圖 所示 3 求曲邊梯形面積的步驟 2 求變速直線運(yùn)動(dòng)的 位移 路程如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng) 速度函數(shù)v v t 那么也可以采用 的方法 求出它在a t b內(nèi)所作的位移s 答案 小曲邊梯形 小曲邊梯形 小曲邊梯形 近似值 求和 近似值 分割 以直代曲 作和 逼近 分割 以直 代曲 作和 逼近 思考 1 如何計(jì)算下列兩圖形的面積 答案 答案 直接利用梯形面積公式求解 轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解 2 求曲邊梯形面積時(shí) 對(duì)曲邊梯形進(jìn)行 以直代曲 怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差 答案為了減小近似代替的誤差 需要先分割再分別對(duì)每個(gè)小曲邊梯形 以直代曲 而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多 得到的面積的誤差越小 答案 知識(shí)點(diǎn)二定積分的概念設(shè)函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上有定義 將區(qū)間 a b 等分成n個(gè)小區(qū)間 每個(gè)小區(qū)間長度為 x x 在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn) 依次為x1 x2 xi xn 作和sn f x1 x f x2 x f xi x f xn x 如果當(dāng) x 0 亦即n 時(shí) sn s 常數(shù) 那么稱常數(shù)s為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作s 其中a與b分別叫做與 區(qū)間 a b 叫做 函數(shù)f x 叫做 x叫做 f x dx叫做 答案 積分下限 積分上限 積分區(qū)間 被積函數(shù) 積分變量 被積式 思考 1 如何理解定積分 答案定積分是一個(gè)數(shù)值 極限值 它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上 下限 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) 答案 答案 答案 分割 將區(qū)間 a b n等分 記第i個(gè)小區(qū)間為 xi 1 xi 區(qū)間長度 x xi xi 1 逼近 知識(shí)點(diǎn)三定積分的幾何意義與性質(zhì)1 定積分的幾何意義由直線x a x b a b x軸及一條曲線y f x 所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為s 則有 1 在區(qū)間 a b 上 若f x 0 則s 如圖 1 所示 即 2 在區(qū)間 a b 上 若f x 0 則s 如圖 2 所示 即 答案 答案 即 sa sb表示所在區(qū)域的面積 答案 返回 思考設(shè)v v t 在時(shí)間區(qū)間 t1 t2 上連續(xù)且恒有v t 0 定積分的意義是什么 答案定積分表示做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間 t1 t2 內(nèi)經(jīng)過的路程 這就是定積分的物理意義 題型探究重點(diǎn)突破 解析答案 題型一對(duì)定積分的理解例1用定積分的定義求曲線y x3 1與x 0 x 1及y 0所圍成的曲邊梯形的面積 過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線 從而得到n個(gè)小曲邊梯形 它們的面積分別記為 s1 s2 si sn 解析答案 解析答案 反思與感悟 反思與感悟 對(duì)圖形進(jìn)行分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積 但這僅是近似值 分割得越細(xì) 近似程度就會(huì)越高 這就是 以直代曲 方法的應(yīng)用 解析答案 跟蹤訓(xùn)練1求由直線x 0 x 1 y 0和曲線y x x 1 圍成的圖形的面積 解析答案 解 1 分割 將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形 過各分點(diǎn)作x軸的垂線 把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形 它們的面積分別記作 s1 s2 si sn 2 以直代曲 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積 為了計(jì)算方便取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn) 解析答案 解析答案 3 作和 因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值 所以n個(gè)小矩形面積的和 就是曲邊梯形面積s的近似值 4 逼近 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多 即 x愈小時(shí) 和式 的值就愈接近曲邊梯形的面積s 因此 當(dāng)n 即 x 0時(shí) 和式 的逼近值就是所求曲邊梯形的面積 解析答案 題型二求汽車行駛的路程例2汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí) 經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程為s vt 如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng) 在時(shí)刻t的速度為v t t2 2 v的單位 km h t的單位 h 那么它在1 t 2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s 單位 km 是多少 反思與感悟 解將區(qū)間 1 2 等分成n個(gè)小區(qū)間 反思與感悟 反思與感悟 利用類比轉(zhuǎn)化的思想 把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時(shí)間 速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積 再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2一物體自200m高空自由落下 求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離 g 9 8m s2 解自由落體的下落速度為v t gt 以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度 故該物體在下落后第3s至第6s之間的距離是132 3m 解析答案 題型三由定積分的幾何意義求定積分例3利用定積分的幾何意義 求 以3為半徑的上半圓 如圖 1 所示 解析答案 解在坐標(biāo)平面上 f x 2x 1為一條直線 反思與感悟利用定積分的幾何意義求定積分 關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象 以及積分區(qū)間 正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積 求不規(guī)則圖形的面積常用分割法 注意分割點(diǎn)的選取 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練3利用定積分的幾何意義計(jì)算 解如圖 所示 定積分為圖中陰影部分面積a減去b 解如圖 所示 定積分為圖中陰影部分面積 例4如圖所示 f x 在區(qū)間 a b 上 則陰影部分的面積s為 易錯(cuò)易混 因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤 解析答案 返回 防范措施 錯(cuò)解錯(cuò)填 或 或 錯(cuò)因分析錯(cuò)誤的原因在于對(duì)定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹 防范措施 若在 a c 上 f x 0 在 c b 上 f x 0 返回 定積分的幾何意義是在x軸上半部計(jì)算的面積取正值 在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值 防范措施 當(dāng)堂檢測(cè) 1 2 3 4 解析答案 1 把區(qū)間 1 3 n等分 所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為 與f x 和積分區(qū)間 a b 有關(guān) 與 i的取法無關(guān) 與f x 有關(guān) 與區(qū)間 a b 以及 i的取法無關(guān) 與f x 以及 i的取法有關(guān) 與區(qū)間 a b 無關(guān) 與f x 積分區(qū)間 a b 和 i的取法都有關(guān) 答案 1 2 3 4 3 求由曲線y x2與直線x 1 x 2 y 0所圍成的平面圖形面積時(shí) 把區(qū)間5等分 則面積的近似值 取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn) 是 解析答案 1 02 1 2 3 4 4 根據(jù)定積分的幾何意義 用不等號(hào)連接下列式子 答案 1 2 3 4 課堂小結(jié) 1 求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟 1 分割 n等分區(qū)間 a b