(電大復(fù)習(xí))本科工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料（胡巨川）

工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 一、 線性代數(shù) 1、 矩陣的初等行變換： 1）兩行互換， 2）某一行乘以一個(gè)非零常數(shù)， 3）某一行的 K 倍加到另一行 。 2、 階梯型矩陣： 1）全為 0 的行寫在最下面， 2）首非零元的列標(biāo)隨行標(biāo)的 增大而增大。如2 3 0 1 3 10 1 4 6 5 00 0 0 1 2 40 0 0 0 0 03、 行簡(jiǎn)化階梯型矩陣：滿足下列條件的階梯型矩陣： 1）首非零元全為 1， 2）首非零元所在列其余元素全為 0。如：1 0 1 0 2 50 1 4 0 3 10 0 0 1 2 30 0 0 0 0 04、 求矩陣 A 的秩： A 初等行變換 階梯型矩陣。階梯型矩陣非零行的行數(shù)既為矩 陣 A 的秩 即 r(A) 例： 設(shè)矩陣1 1 5 1 21 1 2 3 53 1 8 1 91 3 9 7 8A，求矩陣 A 的秩 解：用初等行變換將矩陣化為階梯形 68144034720347202151187931918135321121511 1 1 5 1 20 2 7 4 30 0 0 0 00 0 0 0 0由此可知矩陣的秩為 2 5、 求矩陣方程 AX=B：（ A B） 初等行變換 (I X)或 X= 1A B 求矩陣 A 的逆矩陣：（ A I） 初等行變換 （ I 1A ） 1. 例： 設(shè)矩陣 A=322121011 ,B=500050002 ,求 A1 B. 或解矩陣方程 AX=B 解：（ AB） =50032205012100201150434052110002011 5201210005211005410152012100515100105158001 BA1 52012515105158例： 設(shè)矩陣 ,100110132A ，求： 1A 解： 100100010110001132IA 10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 10011012/32/11A 6 、 n 元線性方程組解的判定 1） AX=b ： r(A b)=r(A)時(shí)，方程組有解個(gè)自由未知量時(shí)，有無(wú)窮多解，且有時(shí)，方程組有唯一解r-n)()()()(nrArAbrnArAbr r(Ab) r(A)時(shí)，方程組無(wú)解 AX=0： 方程組一定有解個(gè)自由未知量時(shí)，有非零解，且有時(shí)，方程組有唯一零解r-n)()(nrArnAr 2） 求齊次線性方程組 AX=0 的基礎(chǔ)解系：將 方程組中的自由未知量分別?。?k， 0， 0） ,(0,k,0),(0,0,k)形式所得到的解向量 3）求 AX=0 的一般解和全部解： 方程組的全部解基礎(chǔ)解系方程組的一般解行簡(jiǎn)化階梯型矩陣初等行變換 A 求 AX=b 的一般解和全部解： 方程組的全部解原方程組的一個(gè)特解解系相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)方程組的一般解行簡(jiǎn)化階梯型矩陣初等行變換 )( Ab 例：設(shè)齊次線性方程組 0AX 的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換，得 000023200102A 求此齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解 解： 因?yàn)?000012/31002/101000023200102得一般解： 432312321xxxxx （其中43,xx是自由元） 令 0,243 xx，得 02311X ； 令 1,043 xx，得 10102X 所以， 21 , XX是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 方程組的通解為： X2211 XkXk ，其中21,kk是任意常數(shù) 例： 2.線性方程組262124204831234321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的全部解 解 ： （ A b ） =216211241201483112313085030850322101123100000121020032210854010000065100980101615001 方程組的一般解43424156891516xxxxxx 將常數(shù)項(xiàng)視為零，取14 x 得 相應(yīng)齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系15815，取 04 x 原方程組的一個(gè)特解06916故 方程組的全部解 X=06916+C15815例：當(dāng) 取何值時(shí)，線性方程組 1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情況下求方程組的全部解 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 191022201051110212111147963712212111000010511108490110000105111021211由此可知當(dāng) 1 時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng) 1 時(shí)，方程組有解。 此時(shí)齊次方程組化為 43243151149xxxxxx 分別令 x x3 41 0 ,及 x x3 40 1 ,，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 1054,01119 21 XX 令 x x3 40 0 ,，得非齊次方程組的一個(gè)特解 001080X由此得原方程組的全部解為 X X k X k X 0 1 1 2 2 （其中 k k1 2,為任意常數(shù)） 二、 概率部分 1、 假設(shè) BA, 為兩事件，已知 4.0)(,6.0)(,5.0)( ABPBPAP ，求 )( BAP 解： 2.04.05.0)()()( ABPAPBAP 4.02.06.0)()()( BAPBPABP 7.0)()()()( ABPBPAPBAP 2、正態(tài)分布 X ),( 2N )()( bbXP , )()()( abbXaP ,P(Xb)=1-P（ Xb） =1- )( b ),(1)( xx 5.0)0( 例： .設(shè) X N(2,9),試求（ 1） P(X11)；(2)P（ 5X8） .（已知（ 1） =0.8413， （ 2） =0.9772，（ 3） =0.9987） 解： P(X11)= (3211)= (3)=0.9987 P(5X1.96 故認(rèn)為這批磚的抗斷強(qiáng)度不合格 例：某鋼廠生產(chǎn)了一批管材，每根標(biāo)準(zhǔn)直徑 100mm,今對(duì)這批管材進(jìn)行檢驗(yàn)，隨機(jī)取出 9 根，測(cè)得它們直徑的平均值為99.9mm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s=0.47,已知管材直徑服從正態(tài)分布，