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文檔簡介
1 .第二十六章 二次函數(shù) 本章知識重點 1 探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律 2 結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的意義,并了解二次函數(shù)的有關(guān)概念 3 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象,能通過圖象和關(guān)系式認識二次函數(shù)的性質(zhì) 4 會運用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸 5 會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程(組)的近似解 6 會通過對現(xiàn)實情境的分析,確定二次函數(shù)的表 達式,并能運用二次函數(shù)及其性質(zhì)解決簡單的實際問題 26 1 二次函數(shù) 本課知識重點 通過具體問題引入二次函數(shù)的概念,在解決問題的 過程中體會二次函數(shù)的意義 MM 及創(chuàng)新思維 ( 1)正方形邊長為 a( cm),它的面積 s( cm2)是多少? ( 2)矩形的長是 4 厘米,寬是 3 厘米,如果將其長與寬都增加 x 厘米,則面積增加 y 平方厘米,試寫出 y 與 x 的關(guān)系式 請觀察上面列出的兩個式子,它們是不是函數(shù)?為什么?如果是函數(shù),請你結(jié)合學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念的經(jīng)驗,給它下個定義 實踐與探索 例 1 m 取哪些值時,函數(shù) )1()( 22 mmxxmmy 是以 x 為自變量的二次函數(shù)? 分析 若函數(shù) )1()( 22 mmxxmmy 是二次函 數(shù),須滿足的條件是:02 mm 解 若函數(shù) )1()( 22 mmxxmmy 是二次函數(shù),則 02 mm 解得 0m ,且 1m 因此,當(dāng) 0m ,且 1m 時,函數(shù) )1()( 22 mmxxmmy 是二次函數(shù) 回顧與反思 形如 cbxaxy 2 的函數(shù)只有在 0a 的條件下才是二次函數(shù) 探索 若函數(shù) )1()( 22 mmxxmmy 是以 x 為自變量的一次函數(shù),則 m 取哪些 2 值? 例 2寫出下列各函數(shù)關(guān)系,并判斷它們是什么類型的函數(shù) ( 1)寫出正方體的表面積 S( cm2)與正方體棱長 a( cm)之間的函數(shù)關(guān)系; ( 2)寫出圓的面積 y( cm2)與它的周長 x( cm)之間的函數(shù)關(guān)系; ( 3)某種儲蓄的年利率是 1.98%,存入 10000 元本金,若不計利息,求本息和 y(元)與所存年數(shù) x 之間的函數(shù)關(guān)系; ( 4)菱形的兩條對角線的和為 26cm,求菱形的面積 S( cm2)與一對角線長 x( cm)之間的函數(shù)關(guān)系 解 ( 1)由題意,得 )0(6 2 aaS ,其中 S 是 a 的二次函數(shù); ( 2)由題意,得 )0(42 xxy,其中 y 是 x 的二次函數(shù); ( 3)由題意,得 10000%98.110000 xy ( x 0 且是正整數(shù)), 其中 y 是 x 的一次函數(shù); ( 4)由題意,得 )260(1321)26(21 2 xxxxxS,其中 S 是 x 的二次函數(shù) 例 3正方形鐵片邊長為 15cm,在四個角上各剪去一個邊長為 x( cm)的小正方形,用余下的部分做成一個無蓋的盒子 (1)求盒子的表面積 S( cm2)與小正方形邊長 x( cm)之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)小正方形邊長為 3cm 時,求盒子的表面積 解 ( 1) )2150(4225415 222 xxxS; ( 2)當(dāng) x=3cm 時, 1 89342 25 2 S ( cm2) 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)? ( 1) 02 xy ( 2) 2)1()2)(2( xxxy ( 3)xxy 12 ( 4) 322 xxy 2當(dāng) k 為何值時,函數(shù) 1)1( 2 kkxky 為二次函數(shù)? 3已知正方形的面積為 )( 2cmy ,周長為 x( cm) (1)請寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式; (2)判斷 y 是否為 x 的二次函數(shù) 本課課外作業(yè) 3 A 組 1 已知函數(shù) 72)3( mxmy 是二次函數(shù),求 m 的值 2 已知二次函數(shù) 2axy ,當(dāng) x=3 時, y= -5,當(dāng) x= -5 時,求 y 的值 3 已知一個圓柱的高為 27,底面半徑為 x,求圓柱的體積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式若圓柱的底面半徑 x 為 3,求此時的 y 4 用一根長為 40 cm 的鐵絲圍成一個半徑為 r 的扇形,求扇形的面積 y 與它的半徑 x 之間的函數(shù)關(guān)系式這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎?請寫出半徑 r 的取值范圍 B 組 5對于任意實數(shù) m,下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是 ( ) A 22)1( xmy B 22)1( xmy C 22 )1( xmy D 22 )1( xmy 6下列函數(shù)關(guān)系中,可以看作二次函數(shù) cbxaxy 2 ( 0a )模型的是 ( ) A 在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時間的關(guān)系 B 我國人口年自然增長率為 1%,這樣我國人口總數(shù)隨年份的 變化關(guān)系 C 豎直向上發(fā)射的信號彈,從發(fā)射到落回地面,信號彈的高度與時間的關(guān)系(不計空氣阻力) D 圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系 本課學(xué)習(xí)體會 26.2 用函數(shù)觀點看一元二次方程(第一課時) 教學(xué)目標(biāo) (一 )知識與技能 1經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系 2理解二次函數(shù)與 x 軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系,理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數(shù)和沒有實根 3理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與 y=h(h是實數(shù) )交點的橫坐標(biāo) (二 )過程與方法 1經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神 2通過觀察二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點個數(shù),討論一元二次方程的根的情況,進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想 3通過學(xué)生共同觀察和討論培養(yǎng)大家的合作交流意識 (三 )情感態(tài)度與價值觀 1經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng) 4 造感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性, 2具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力 教學(xué)重 點 1體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系 2理解何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數(shù)和沒有實根 3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與 y=h(h是實數(shù) )交點的橫坐標(biāo) 教學(xué)難點 1探索方程與函數(shù)之間的聯(lián)系的過程 2理解二次函數(shù)與 x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系 教學(xué)過程 .創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課 1.我們學(xué)習(xí)了一元一次方程 kx+b=0(k 0)和一次函數(shù) y kx+b(k 0)后,討論了它們之間的關(guān)系當(dāng)一次函數(shù)中的函數(shù)值 y=0 時, 一次函數(shù) y=kx+b 就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函數(shù) )y=kx+b(k 0)的圖象與 x軸交點的橫坐標(biāo)即為一元一次方程 kx+b 0的解 現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了一元二次方程 ax2+bx+c 0(a 0)和二次函數(shù) y ax2+bx+c(a 0),它們之間是否也存在一定的關(guān)系呢 ? 2.選教材提出的問題,直接引入新課 合作交流 解讀探究 1.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系 探究:教材問題 師生同步完成 . 觀察:教材 22頁,學(xué)生小組交流 . 歸納:先由學(xué)生完成,然后師生評價,最后教師歸納 . .應(yīng)用遷移 鞏固提高 1 .根據(jù)二次函數(shù)圖像看一元二次方程的根 同期聲 2 .拋物線與 x軸的交點情況求待定系數(shù)的范圍 . 3 .根據(jù)一元二次方程根的情況來判斷拋物線與 x軸的交點情況 總結(jié)反思 拓展升華 本節(jié)課學(xué)了如下內(nèi)容: 1經(jīng)歷了探索二次函數(shù)與一元:二次方程的關(guān)系的過程,體會了方程與函數(shù)之間的聯(lián)系 2理解了二次函數(shù)與 x軸交點的個數(shù) 與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系,理解了何時方程有兩個不等的實根 ,兩個相等的實根和沒有實根 . 3.數(shù)學(xué)方法 :分類討論和數(shù)形結(jié)合 . 反 思:在判斷拋物線與 x軸的交點情況時,和拋物線中的二次項系數(shù)的正負有無關(guān)系? 拓展:教案 5 課后作業(yè) P231.3.5 26 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 1) 本課知識重點 會用描點法畫出二次函數(shù) 2axy 的圖象,概括出圖象的特點及函數(shù)的性質(zhì) MM 及創(chuàng)新思維 我們已經(jīng)知道,一次函數(shù) 12 xy ,反比例函數(shù)xy 3的圖象分別是 、 ,那么二次函數(shù) 2xy 的圖象是什么呢? ( 1)描點法畫函數(shù) 2xy 的圖象前,想一想,列表時如何合理選值?以什么數(shù)為中心?當(dāng) x 取互為相反數(shù)的值時, y 的值如何? ( 2)觀察函數(shù) 2xy 的圖象,你能得出什么結(jié)論? 實踐與探索 例 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象,并指出它們有何共同點?有何不同點? ( 1) 22xy ( 2) 22xy 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 22xy 18 8 2 0 2 8 18 22xy -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 分別描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,這兩個函數(shù)的圖象都是拋物線,如圖 26 2 1 共同點:都以 y 軸為對稱軸,頂點都在坐標(biāo)原點 不同點: 22xy 的圖象開口向上,頂點是拋物線的最低點,在對稱軸的左邊,曲線自左向右下降;在對稱軸的右 邊,曲線自左向右上升 22xy 的圖象開口向下,頂點是拋物線的最高點,在對稱軸的左邊,曲線自左向右上升;在對稱軸的右邊,曲線自左向右下降 回顧與反思 在列表、描點時,要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性,因為圖象是拋 6 物線,因此,要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接 例 2已知 42)2( kkxky 是二次函數(shù),且當(dāng) 0x 時, y 隨 x 的增大而增大 ( 1)求 k 的值; ( 2)求頂點坐標(biāo)和對稱軸 解 ( 1)由題意,得02242kkk , 解得 k=2 ( 2)二次函數(shù)為 24xy ,則頂點坐標(biāo)為( 0, 0),對稱軸為 y 軸 例 3已知正方形周長為 Ccm,面積為 S cm2 ( 1)求 S 和 C 之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫出圖象; ( 2)根據(jù)圖象,求出 S=1 cm2 時,正方形的周長; ( 3)根據(jù)圖象,求出 C 取何值時, S 4 cm2 分析 此題是二次函數(shù)實際應(yīng)用問題,解這類問題時要注意自變量的取值范圍;畫圖象時,自變量 C 的取值應(yīng)在取值范圍 內(nèi) 解 ( 1)由題意,得 )0(161 2 CCS 列表: C 2 4 6 8 2161 CS 41 1 49 4 描點、連線,圖象如圖 26 2 2 ( 2)根據(jù)圖象得 S=1 cm2時,正方形的周長是 4cm ( 3)根據(jù)圖象得,當(dāng) C 8cm 時, S 4 cm2 回顧與反思 ( 1)此圖象原點處為空心點 ( 2)橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母 C、 S,不要習(xí) 慣地寫成 x、 y ( 3)在自變量取值范圍內(nèi),圖象為拋物線的一部分 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象,并分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo) ( 1) 23xy ( 2) 23xy ( 3) 231xy2( 1)函數(shù) 232xy的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標(biāo)是 ; ( 2)函數(shù) 241 xy 的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標(biāo)是 3已知等邊三角形的邊長為 2x,請將此三角形的面積 S 表示成 x 的函數(shù),并畫出圖象的 7 草圖 本課課外作業(yè) A 組 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象 ( 1) 24xy ( 2) 241 xy2填空: ( 1)拋物線 25xy ,當(dāng) x= 時 , y 有最 值,是 ( 2)當(dāng) m= 時,拋物線 mmxmy 2)1( 開口向下 ( 3)已知函數(shù) 122 2)( kkxkky 是二次函數(shù),它的圖象開口 ,當(dāng) x 時, y隨 x 的增大而增大 3已知拋物線 102 kkkxy 中,當(dāng) 0x 時, y 隨 x 的增大而增大 ( 1)求 k 的值; ( 2)作出函數(shù)的圖象(草圖) 4已知拋物線 2axy 經(jīng)過點( 1, 3),求當(dāng) y=9 時, x 的值 B 組 5底面是邊長為 x 的正方形,高為 0 5cm 的長方體的體積為 ycm3( 1)求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式;( 2)畫出函數(shù)的圖象;( 3)根據(jù)圖象,求出 y=8 cm3 時底面邊長 x 的值;( 4)根據(jù)圖象,求出 x 取何值時, y 4 5 cm3 6二次函數(shù) 2axy 與直線 32 xy 交于點 P( 1, b) ( 1)求 a、 b 的值; ( 2)寫出二次函數(shù)的關(guān)系式,并指出 x 取何值時,該函數(shù)的 y 隨 x 的增大而減小 7 一個函數(shù)的圖象是以原點為頂點, y 軸為對稱軸的拋物線,且過 M( -2, 2) ( 1)求出這個函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象; ( 2)寫出拋物線上與點 M 關(guān)于 y 軸對稱的點 N 的坐標(biāo),并求出 MON 的面積 本課學(xué)習(xí)體會 26 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 2) 本課知識重點 會畫出 kaxy 2 這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質(zhì) MM 及創(chuàng)新思維 同學(xué)們還記得一次函數(shù) xy 2 與 12 xy 的圖象的 關(guān)系嗎? 8 ,你能由此推測二次函數(shù) 2xy 與 12 xy 的圖象之間的關(guān)系嗎? ,那么 2xy 與 22 xy 的圖象之間又有何關(guān)系? 實踐與探索 例 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù) 22xy 與 22 2 xy 的圖象 解 列表 描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,如圖 26 2 3 所示 回顧與反思 當(dāng)自變量 x 取同一數(shù)值時,這兩 個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系?反映在圖象上,相應(yīng)的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系? 探索 觀察這兩個函數(shù),它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此說出函數(shù) 22xy 與 22 2 xy 的圖象之間的關(guān)系嗎? 例 2在同一直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù) 12 xy 與 12 xy 的圖象,并說明,通過怎樣的平移,可以由拋物線 12 xy 得到拋物線 12 xy 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 22xy 18 8 2 0 2 8 18 22 2 xy 20 10 4 2 4 10 20 x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,如圖 26 2 4 所示 可以看出,拋物線 12 xy 是由拋物線 12 xy 向下平移兩個單位得到的 回顧與反思 拋物線 12 xy 和拋物線 12 xy 分別是由拋物線 2xy 向上、向下平移一個單位得到的 探索 如果要得到拋物線 42 xy ,應(yīng)將拋物線 12 xy 作怎樣的平移? 例 3一條拋物線的開口方向、對稱軸與 221 xy相同,頂點縱坐標(biāo)是 -2,且拋物線 經(jīng)過點( 1, 1),求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式 解 由題意可得,所求函數(shù)開口向上,對稱軸是 y 軸,頂點坐標(biāo)為( 0, -2), 因此所求函數(shù)關(guān)系式可看作 )0(22 aaxy , 又拋物線經(jīng)過點( 1, 1), 所以, 211 2 a , 解得 3a 故所求函數(shù)關(guān)系式為 23 2 xy 回顧與反思 kaxy 2 ( a、 k 是常數(shù), a 0)的圖象的開口方向 、對稱軸、頂點坐標(biāo)歸納如下: kaxy 2 開口方向 對稱軸 頂點坐標(biāo) 0a 0a 12 xy -8 -3 0 1 0 -3 -8 12 xy -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 10 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1 在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列二次函數(shù)的圖象: 221 xy , 221 2 xy , 221 2 xy 觀察三條拋物線的相互關(guān)系,并分別指出它們的開口方向及對稱軸、頂點的位置 你能說出拋物線 kxy 221的開口方向及對稱軸、頂點的位置嗎? 2拋物線 941 2 xy的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標(biāo)是 ,它可以看作是由拋物線 241 xy向 平移 個單位得到的 3函數(shù) 33 2 xy ,當(dāng) x 時,函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小當(dāng) x 時,函數(shù)取得最 值,最 值 y= 本課課外作業(yè) A 組 1已知函數(shù) 231xy, 331 2 xy, 231 2 xy ( 1)分別畫出它們的圖象; ( 2)說出各個圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo); ( 3)試說出函數(shù) 531 2 xy的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo) 2 不畫圖象,說出函數(shù) 341 2 xy的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo),并說明它是由函數(shù) 241 xy 通過怎樣的平移得到的 3若二次函數(shù) 22 axy 的圖象經(jīng)過點( -2, 10),求 a 的值這個函數(shù)有最大還是最小值?是多少? B 組 4在同一直角坐標(biāo)系中 baxy 2 與 )0,0( babaxy 的圖象的大致位置是( ) 11 5已知二次函數(shù) 7)1(8 2 kxkxy ,當(dāng) k 為何值時,此二次函數(shù)以 y 軸為對稱軸?寫出其函數(shù)關(guān)系式 本課 學(xué)習(xí)體會 26 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 3) 本課知識重點 會畫出 2)( hxay 這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質(zhì) MM 及創(chuàng)新思維 我們已經(jīng)了解到,函數(shù) kaxy 2 的圖象,可以由函數(shù) 2axy 的圖象上下平移所得,那么函數(shù) 2)2(21 xy的圖象,是否也可以由函數(shù) 221 xy平移而得呢?畫圖試一試,你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎 ? 實踐與探索 例 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象 221 xy , 2)2(21 xy , 2)2(21 xy ,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo) 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 221 xy 292 210 212 29 2)2(21 xy 210 212 2258 225 2)2(21 xy 2258 29 2 210 21 12 描點、連線,畫出這三個函數(shù)的圖象,如圖 26 2 5 所示 它們的開口方向都向上;對稱軸分別是 y 軸、直線 x= -2 和直線 x=2;頂點坐標(biāo)分別是 ( 0, 0),( -2, 0),( 2, 0) 回顧與反思 對于拋物線 2)2(21 xy,當(dāng) x 時,函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) x 時,函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大;當(dāng) x 時,函數(shù)取得最 值,最 值 y= 探索 拋物線 2)2(21 xy和拋物線2)2(21 xy分別是由拋物線 221 xy向左、向右平移兩個單位得到的如果要得到拋物線 2)4(21 xy,應(yīng)將拋物線 221 xy作怎樣的平移? 例 2不畫出圖象,你能說明拋物線 23xy 與 2)2(3 xy 之間的關(guān)系嗎 ? 解 拋物線 23xy 的頂點坐標(biāo)為( 0, 0);拋 物線 2)2(3 xy 的頂點坐標(biāo)為( -2,0) 因此,拋物線 23xy 與 2)2(3 xy 形狀相同,開口方向都向下,對稱軸分別是 y軸和直線 2x 拋物線 2)2(3 xy 是由 23xy 向左平移 2 個單位而得的 回顧與反思 2)( hxay ( a、 h 是常數(shù), a 0)的圖象的開口方向、對 稱軸、頂點坐標(biāo)歸納如下: 2)( hxay 開口方向 對稱軸 頂點坐標(biāo) 0a 0a 13 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1畫圖填空:拋物線 2)1( xy 的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標(biāo)是 ,它可以看作是由拋物線 2xy 向 平移 個單位得到的 2在同一直角坐標(biāo)系中,畫 出下列函數(shù)的圖象 22xy , 2)3(2 xy , 2)3(2 xy ,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo) 本課課外作業(yè) A 組 1已知函數(shù) 221 xy , 2)1(21 xy, 2)1(21 xy ( 1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象; ( 2)分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo); ( 3)分別討論各個函 數(shù)的性質(zhì) 2根據(jù)上題的結(jié)果,試說明:分別通過怎樣的平移,可以由拋物線 221 xy 得到拋物線 2)1(21 xy和 2)1(21 xy? 3函數(shù) 2)1(3 xy ,當(dāng) x 時,函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小當(dāng) x 時,函數(shù)取得最 值,最 值 y= 4不畫出圖象,請你說明拋物線 25xy 與 2)4(5 xy 之間的關(guān)系 B 組 5將拋物線 2axy 向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標(biāo)為 -2,且新拋物線經(jīng)過點 ( 1, 3),求 a 的值 本課學(xué)習(xí)體會 26 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 4) 本課知識重點 1掌握把拋物線 2axy 平移至 2)( hxay +k 的規(guī)律; 2會畫出 2)( hxay +k 這類函數(shù)的圖象,通 過比較,了解這類函數(shù)的性質(zhì) MM 及創(chuàng)新思維 14 由前面的知識,我們知道,函數(shù) 22xy 的圖象,向上平移 2 個單位,可以得到函數(shù)22 2 xy 的圖象;函數(shù) 22xy 的圖象,向右平移 3個單位,可以得到函數(shù) 2)3(2 xy的圖象,那么函數(shù) 22xy 的圖象,如何平移,才能得到函數(shù) 2)3(2 2 xy 的圖象呢? 實踐與探索 例 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象 221 xy , 2)1(21 xy , 2)1(21 2 xy ,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo) 解 列表 描點、連線,畫出這 三個函數(shù)的圖象,如圖 26 2 6 所示 它們的開口方向都向 ,對稱軸分別為 、 、 ,頂點坐標(biāo)分別為 、 、 請同學(xué)們完成填空,并觀察三個圖象之間的關(guān)系 回顧與反思 二次函數(shù)的圖象的上下平移,只影響二次函數(shù) 2)( hxay +k 中 k 的值;左右平移,只影響 h 的值,拋物線的形狀不變,所以平移時,可根據(jù)頂點坐標(biāo)的改變,確x -3 -2 -1 0 1 2 3 221 xy 29 2 21 0 21 2 29 2)1(21 xy 8 292 210 212 2)1(21 2 xy 6 25 0 23-2 230 15 定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平 移的路徑此外,圖象的平移與平移的順序無關(guān) 探索 你能說出函數(shù) 2)( hxay +k( a、 h、 k 是常數(shù), a 0)的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)嗎?試填寫下表 2)( hxay +k 開口方向 對稱軸 頂點坐標(biāo) 0a 0a 例 2 把拋物線 cbxxy 2 向上平移 2 個單位,再向左平移 4 個單位,得到拋物線2xy ,求 b、 c 的值 分析 拋物線 2xy 的頂點為( 0, 0),只要求出拋物線 cbxxy 2 的頂點,根據(jù)頂點坐標(biāo)的改變,確定平移后的函數(shù)關(guān)系式,從而求出 b、 c 的值 解 cbxxy 2 cbbbxx 442224)2(22 bcbx 向上平移 2 個單位,得到 24)2(22 bcbxy , 再向左平移 4 個單位,得到 24)42(22 bcbxy , 其頂點坐標(biāo)是 )24,42(2 bcb ,而拋物線 2xy 的頂點為( 0, 0),則 0240422bcb解得 148cb 探索 把拋物線 cbxxy 2 向上平移 2 個單位,再向左平移 4 個單位,得到拋物線2xy ,也就意味著把拋物線 2xy 向下平移 2 個單位,再向右平移 4 個單位,得到拋 16 物線 cbxxy 2 那么,本題還可以用更簡潔的方法來解,請你試一試 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1將拋物線 1)4(2 2 xy 如何平移可得到拋物線 22xy ( ) A向左平移 4 個單位,再向上平移 1 個單位 B向左平移 4 個單位,再向下平移 1 個單位 C向右平移 4 個單位,再向上平移 1 個單位 D向右 平移 4 個單位,再向下平移 1 個單位 2把拋物線 223 xy 向左平移 3 個單位,再向下平移 4 個單位,所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 3拋物線 22121 xxy 可由拋物線 221 xy 向 平移 個單位,再向 平移 個單位而得到 本課課外作業(yè) A 組 1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象 23xy , 2)2(3 xy , 1)2(3 2 xy ,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo) 2將拋物線 522 xxy 先向下平移 1 個單位,再向左平移 4 個單位,求平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式 3將拋物線2321 2 xxy如何平移,可得到拋物線 3221 2 xxy? B 組 4把拋物線 cbxxy 2 向右平移 3 個單位,再向下平移 2 個單位,得到拋物線532 xxy ,則有 ( ) A b =3, c=7 B b= -9, c= -15 C b=3, c=3 D b= -9, c=21 5拋物線 cbxxy 23 是由拋物線 13 2 bxxy 向上平移 3 個單位,再向左平移 2 個單位得到的,求 b、 c 的值 6將拋物線 )0(2 aaxy 向左平移 h 個單位,再向上平移 k 個單位,其中 h 0, k 0,求所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式 本課學(xué)習(xí)體會 17 26 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 5) 本課知識重點 1能通過配方把二次函數(shù) cbxaxy 2 化成 2)( hxay +k 的形式,從而確定開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo); 2會利用對稱性畫出二次函數(shù)的圖象 MM 及創(chuàng)新思維 我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn),二次函數(shù) 1)3(2 2 xy 的圖象,可以由函數(shù) 22xy 的圖象先向 平移 個單位,再向 平移 個單位得到,因此,可以直接得出:函數(shù) 1)3(2 2 xy的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標(biāo)是 那么,對于任意一個二次函數(shù),如 232 xxy ,你能很容易地說出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo),并畫出圖象嗎? 實踐與探索 例 1通過配方,確定拋物線 642 2 xxy 的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo),再描點畫圖 解 642 2 xxy 8)1(261)1(26)112(26)2(22222xxxxxx因此,拋物線開口向下,對稱軸是直線 x=1,頂點坐標(biāo)為( 1, 8) 由對稱性列表: x -2 -1 0 1 2 3 4 642 2 xxy -10 0 6 8 6 0 -10 描點、連線,如圖 26 2 7 所示 回顧與反思 ( 1)列表時選值,應(yīng)以對稱軸 x=1 為中心,函數(shù)值 可由對稱性得到, ( 2)描點畫圖時,要根據(jù)已知拋物線的特點,一般先找出頂點,并用虛線畫對稱軸,然后再對稱描點,最后用平滑曲線順次連結(jié)各點 18 探索 對于二次函數(shù) cbxaxy 2 ,你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo)嗎?請你完成填空:對稱軸 ,頂點坐標(biāo) 例 2已知拋物線 9)2(2 xaxy 的頂點在坐標(biāo)軸上,求 a 的值 分析 頂點在坐標(biāo)軸上有兩種可 能:( 1)頂點在 x 軸上,則頂點的縱坐標(biāo)等于 0;( 2)頂點在 y 軸上,則頂點的橫坐標(biāo)等于 0 解 9)2(2 xaxy4 )2(9)2 2(22 aax , 則拋物線的頂點坐標(biāo)是 4 )2(9,2 22aa 當(dāng)頂點在 x 軸上時,有 022a, 解得 2a 當(dāng)頂點在 y 軸上時,有 04 )2(92 a , 解得 4a 或 8a 所以,當(dāng)拋物線 9)2(2 xaxy 的頂點在坐標(biāo)軸上時, a 有三個值,分別是 2, 4,8 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1( 1)二次函數(shù) xxy 22 的對稱軸是 ( 2)二次函數(shù) 122 2 xxy 的圖象的頂點是 ,當(dāng) x 時 , y 隨 x 的增大而減小 ( 3)拋物線 642 xaxy 的頂點橫坐標(biāo)是 -2,則 a = 2拋物線 cxaxy 22 的頂點是 )1,31( ,則 a 、 c 的值是多少? 本課課外作業(yè) A 組 1已知拋物線25321 2 xxy,求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo),并畫出函數(shù)的圖象 2利用配方法,把下列函數(shù)寫成 2)( hxay +k 的形式,并寫出它們的圖象的開口方向、 19 對稱軸和頂點坐標(biāo) ( 1) 162 xxy ( 2) 432 2 xxy ( 3) nxxy 2 ( 4) qpxxy 2 3已知 622)2( kkxky 是二次函數(shù),且當(dāng) 0x 時, y 隨 x 的增大而增大 ( 1)求 k 的值;( 2)求開口方向 、頂點坐標(biāo)和對稱軸 B 組 4當(dāng) 0a 時,求拋物線 22 212 aaxxy 的頂點所在的象限 5. 已知拋物線 hxxy 42 的頂點 A 在直線 14 xy 上,求拋物線的頂點坐標(biāo) 本課學(xué)習(xí)體會 26 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 6) 本課知識重點 1會通過配方求出二次函數(shù) )0(2 acbxaxy 的最大或最小值; 2在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種 數(shù)學(xué)模型的作用,會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題中的最大或最小值 MM 及創(chuàng)新思維 在實際生活中,我們常常會碰到一些帶有“最”字的問題,如 問題:某商店將每件進價為 80 元的某種商品按每件 100 元出售,一天可銷出約 100 件該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低 1 元,其銷售量可增加約 10 件將這種商品的售價降低多少時,能使銷售利潤最大? 在這個問題中,設(shè)每件商品降價 x 元,該商品每天的利潤為 y 元,則可得函數(shù)關(guān)系式為二次函數(shù) 200010010 2 xxy 那么,此問題可歸結(jié)為:自變量 x 為何值時函數(shù) y 取得最大值?你能解決嗎 ? 實踐與探索 例 1求下列函數(shù)的最大值或最小值 ( 1) 532 2 xxy ; ( 2) 432 xxy 分析 由于函數(shù) 532 2 xxy 和 432 xxy 的自變量 x的取值范圍是全體實數(shù),所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點,就可以確定函數(shù)有最大值或最小值 解 ( 1)二次函數(shù) 532 2 xxy 中的二次項系數(shù) 2 0, 20 因此拋物線 532 2 xxy 有最低點,即函數(shù)有最小值 因為 532 2 xxy =849)43(2 2 x, 所以當(dāng)43x時,函數(shù) 532 2 xxy 有最小值是849 ( 2)二次函數(shù) 432 xxy 中的二次項系數(shù) -1 0, 因此拋物線 432 xxy 有最高點,即函數(shù)有最大值 因為 432 xxy =425)23( 2 x, 所以當(dāng)23x時,函數(shù) 432 xxy 有最大值是425 回顧與反思 最大值或最小值的求法,第一步確定 a 的符號, a 0 有最小值, a 0 有最大值;第二步配方求頂點,頂點的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小值 探索 試一試,當(dāng) 2 5 x 3 5 時,求二次函數(shù) 322 xxy 的最大值或最小值 例 2某產(chǎn)品每件成本是 120 元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價 x(元)與產(chǎn)品的日銷售量 y(件)之間關(guān)系如下表: x(元) 130 150 165 y(件) 70 50 35 若日銷售量 y 是銷售價 x 的一次函數(shù),要獲得最大銷售利潤,每件產(chǎn)品的銷售價定為多少元?此時每日銷售利潤是多少? 分析 日銷售利潤 =日銷售量每件產(chǎn)品的利潤,因此主要是正確表示出這兩個量 解 由表可知 x+y=200, 因此,所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為 200 xy 設(shè)每日銷售利潤為 s 元,則有 1 6 0 0)160()120( 2 xxys 因為 01 2 0,02 0 0 xx ,所以 200120 x 所以,當(dāng)每件產(chǎn)品的銷售價定為 160 元時,銷售利潤最大,最大銷售利潤為 1600 元 回顧與反思 解決實際問題時,應(yīng)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式,再研究所得的函數(shù),得出結(jié)果 例 3如圖 26 2 8,在 Rt ABC 中, C=90, BC=4, AC=8,點 D 在斜邊 AB 上,分別作 DE AC, DF BC,垂足分別為 E、 F,得四邊形 DECF,設(shè) DE=x, DF=y 21 ( 1)用含 y 的代數(shù)式表示 AE; ( 2)求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出 x 的取值范圍; ( 3)設(shè)四邊形 DECF 的面積為 S,求 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系,并求出S 的最大值 解 ( 1)由題意可知,四邊形 DECF 為矩形,因此 yDFACAE 8 ( 2)由 DE BC ,得ACAEBCDE ,即884 yx , 所以, xy 28 , x 的取值范圍是 40 x ( 3) 8)2(282)28( 22 xxxxxxyS , 所以,當(dāng) x=2 時, S 有最大值 8 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) 1對于二次函數(shù) mxxy 22 ,當(dāng) x= 時, y 有最小值 2已知二次函數(shù) bxay 2)1( 有最小值 1,則 a 與 b 之間的大小關(guān)系是 ( ) A a b B a=b C a b D不能確定 3某商場銷售一批襯衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 件,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價 1 元,商場平均每天可多售出 2 件 ( 1)若商場平均每天要盈利 1200 元,每件襯衫應(yīng)降價多少元? ( 2)每件襯衫降價多少元時,商場平均每天盈利最多? 本課課外作業(yè) A 組 1求下列函數(shù)的最大值或最小值 ( 1) xxy 22 ; ( 2) 122 2 xxy 2已知二次函數(shù) mxxy 62 的最小值為 1,求 m 的值, 3心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生對概念的接受能力 y 與提出概念所用的時間 x(單位:分)之間滿足函數(shù)關(guān)系: )300(436.21.0 2 xxxy y 值越大,表示接受能力越強 ( 1) x 在什么范圍內(nèi),學(xué)生的接受能力逐步增強? x 在什么范圍內(nèi),學(xué)生的接受能力逐步降低? ( 2)第 10 分時,學(xué)生的接受能力是多少? ( 3)第幾分時,學(xué)生的接受能力最強? 22 B 組 4不論自變量 x 取什么 數(shù),二次函數(shù) mxxy 62 2 的函數(shù)值總是正值,求 m 的取值范圍 5如圖,有長為 24m 的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度 a 為 10m),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃設(shè)花圃的寬 AB 為 x m,面積為 S m2 ( 1)求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式; ( 2)如果要圍成面積為 45 m2 的花圃, AB 的長是多少米? ( 3)能圍成面積比 45 m2 更大的花圃嗎?如果能,請求出 最大面積,并說明圍法;如果不能,請說明理由 6如圖,矩形 ABCD 中, AB=3, BC=4,線段 EF 在對角線 AC上, EG AD, FH BC,垂足分別是 G、 H,且 EG+FH=EF ( 1)求線段 EF 的長; ( 2)設(shè) EG=x, AGE 與 CFH 的面積和為 S, 寫出 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量 x 的取值范圍, 并求出 S 的最小值 本課學(xué)習(xí)體會 26 . 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)( 7) 本課知識重點 會根據(jù)不同的條件,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式 MM 及創(chuàng)新思維 一般地,函數(shù)關(guān)系式中有幾個獨立的系數(shù),那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才能求出函數(shù)關(guān)系式例如:我們在確定一次函數(shù) )0( kbkxy 的關(guān)系式時,通常需要兩個獨立的條件:確定反比例函數(shù) )0( kxky的關(guān)系式時,通常只需要一個條件:如果要確定二次函數(shù) )0(2 acbxaxy 的關(guān)系式,又需要幾個條件呢? 實踐與探索 例 1某涵洞是拋物線形,它的截面如圖 26 2 9 所示,現(xiàn)測得水面寬 1 6m,涵洞頂點 O 到水面的距離為 2 4m,在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi),涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么? 分析 如圖,以 AB 的垂直平分線為 y 軸,以過點 O 的 y 軸的垂線為 x 軸,建立了直角坐標(biāo)系這 時,涵洞所在的拋物線的頂點在原點,對稱軸是 y 軸,開口向下,所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是)0(2 aaxy 此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式 23 解 由題意,得點 B 的坐標(biāo)為( 0 8, -2 4), 又因為點 B 在拋物線上,將它的坐標(biāo)代入 )0(2 aaxy ,得 28.04.2 a 所以 415a 因此,函 數(shù)關(guān)系式是 2415 xy 例 2根據(jù)下列條件,分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式 ( 1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 A( 0, -1)、 B( 1, 0)、 C( -1, 2); ( 2)已知拋物線的頂點為( 1, -3),且與 y 軸交于點( 0, 1); ( 3)已知拋物線與 x 軸交于點 M( -3, 0)、( 5, 0),且與 y 軸交于點( 0, -3); ( 4)已知拋物線的頂點為( 3, -2),且與 x 軸兩交點間的距離為 4 分析 ( 1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點,可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 cbxaxy 2 的形式;( 2)根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(biāo),可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 3)1( 2 xay ,再根據(jù)拋物線與 y 軸的交點可求出 a 的值;( 3)根據(jù)拋物線與 x 軸的兩個交點的坐標(biāo),可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為
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