2011高考真題重慶卷-數(shù)學(xué)理

歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷） 數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類） 滿分 150分 .考試時(shí)間 120分鐘 . 注意事項(xiàng)： 1 答題前，務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上 . 2答選擇題時(shí)，必須使用 2B 鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 .如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選其他答案標(biāo)號(hào) . 3答非選擇題時(shí)，必須使用 0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上 . 4所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效 . 5考試結(jié)束后，將試 題卷和答題卡一并交回 . 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分 .在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) 2341i i iiA 1122iB 1122iC 1122iD 1122i2“ x ”是“ x ”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要 3已知 l i m ( )xaxxx ，則 a A B 2 C 3 D 6 4 ( 1 3 ) ( 6 )nx n N n其 中 且 的展開式中 56xx與 的系數(shù)相等，則 n= A 6 B 7 C 8 D 9 5下列區(qū)間中，函數(shù) f x = ( 2 )In x（ ） 在其上為增函數(shù)的是 A（ - ,1 B 41,3C 30,2D 1,2 6若 ABC的內(nèi)角 A、 B、 C所對(duì)的邊 a、 b、 c滿足 22a b 4c （ ） ，且 C=60，則 ab的值為 A 43B 8 4 3 C 1 D 237 已知 a 0， b 0， a+b=2，則 y= 14ab的最小值是 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 A 72B 4 C 92D 5 8在圓 06222 yxyx 內(nèi)，過點(diǎn) E（ 0， 1）的最長弦和最短弦分別是 AC 和 BD，則四邊形 ABCD的面積為 A 25 B 210 C 15 2 D 220 9高為 24的四棱錐 S-ABCD的底面是邊長為 1的正方形，點(diǎn) S、 A、 B、 C、 D均在半徑為 1的同一球面上，則底面 ABCD的中心與頂點(diǎn) S之間的距離為 A 24B 22C 1 D 2 10設(shè) m， k為整數(shù)，方程 2 20m x kx 在區(qū)間（ 0,1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則 m+k的最小值為 A -8 B 8 C 12 D 13 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分，共 25分，把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上 11在等差數(shù)列 na中，3737aa，則2 4 6 8a a a a _ 12已知單位向量1e，2e的夾角為 60，則122ee_ 13將一枚均勻的硬幣投擲 6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率 _ 14已知 1s i n c o s2 ，且 0,2，則 cos 2sin 4的值為 _ 15設(shè)圓 C 位于拋物線 2 2yx 與直線 x=3 所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓 C 的半徑能取到的最大值為 _ 三、解答題：本大題共 6小題，共 75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16（本小題滿分 13分） 設(shè) aR ， 2c o s s i n c o s c o s2f x x a x x x 滿足 03ff，求函數(shù) ()fx在 11 , 4 24上的最大值和最小值 . 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 17（本小題滿分 13分）（）小問 5分，（）小問 8分） 某市公租房的房源位于 A， B， C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任 4位申請(qǐng)人中： （）恰有 2人申請(qǐng) A片區(qū)房源的概率； （）申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù) 的分布列與期望 18（本小題滿分 13分，（）小問 6分，（）小問 7分） 設(shè) ()f x x a x b x 的導(dǎo)數(shù) ()fx滿足 ( ) , ( )f a f b ，其中常數(shù),ab R （）求曲線 ()y f x 在點(diǎn) ( , ( )f處 的切線方程； （） 設(shè) ( ) ( ) xg x f x e ，求函數(shù) ()gx的極值 19（本小題滿分 12分，（）小問 5分，（）小問 7分） 如題（ 19）圖，在四面體 ABCD 中，平面 ABC 平面 ACD ， AB BC ，AD CD ， CAD （）若 AD ， AB BC ，求四面體 ABCD 的體積； （）若二面角 C AB D為 ，求異面直線 AD 與 BC 所成角的余弦值 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 20（本小題滿分 12分，（）小問 4分，（）小問 8分） 如題（ 20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn) O ，離心率 e ，一條準(zhǔn)線的方程為 x （）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 滿足： O P O M O N uuur uuur uuur， 其中 ,MN是橢圓上的點(diǎn)，直線 OM 與 ON的斜率之積為 ，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) ,FF，使得 PF PF為定值？若存在，求 ,FF的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 21 （本小題滿 分 12分，（ I）小問 5分，（ II）小問 7分） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列 na的前 n項(xiàng)和nS，滿足 )( *11 NnSaS nnn 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 （ I）若1 2 2,2a S a成等比數(shù)列，求2S和3a； （ II）求證：對(duì)1 430 3kkk a a 有參考答案 一、選擇題：本題考查基本知識(shí) 和基本運(yùn)算，每小題 5分，滿分 50分 . 1 5 CADBD 6 10 ACBCD 二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題 5分，滿分 25分 . 11 74 12 3 13 113214 14215 61 三、解答題：滿分 75 分 . 16（本題 13分） 解： 22( ) s i n c o s c o s s i nf x a x x x x s i n 2 c o s 2 .2a xx由 31( ) ( 0 ) 1 , 2 3 .3 2 2 2af f a 得 解 得因此 ( ) 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 ) .6f x x x x 當(dāng) , , 2 , , ( )4 3 6 3 2x x f x 時(shí)為增函數(shù)， 當(dāng) 1 1 3 , , 2 , , ( )3 2 4 6 2 4x x f x 時(shí)為減函數(shù)， 所以 11( ) , ( ) 2 .4 4 3f x f 在 上 的 最 大 值 為又因?yàn)?11( ) 3 , ( ) 2 ,4 2 4ff故 11( ) , 4 2 4fx 在上的最小值為 11( ) 2 .24f 17（本題 13分） 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題 . （ I）解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有 34種，恰有 2人申請(qǐng) A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式 224 2C 種，從而恰有 2人申請(qǐng) A片區(qū)房源的概率為 22442 8 .273C 解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是 4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) . 記“申請(qǐng) A片區(qū)房源”為事件 A，則 1( ) .3PA從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰發(fā)生 k次的概率計(jì)算公式知，恰有 2 人申請(qǐng) A 片區(qū)房源的概率為 2 2 244 1 2 8( 2 ) ( ) ( ) .3 3 2 7PC （ II）的所有可能值為 1， 2， 3.又 42 1 3 2 2 2 43 2 4 4 2 34431( 1 ) ,273( ) ( 2 2 )1 4 1 4( 2 ) ( ( 2 ) )2 7 2 733PC C C C C CPP 或1 2 1 2 33 4 2 4 34444( 3 ) ( ( 3 ) ) .9933C C C C APP 或 綜上知，有分布列 1 2 3 P 127 1427 49 從而有 1 1 4 4 6 51 2 3 .2 7 2 7 9 2 7E 18（本題 13分） 解：（ I）因 32( ) 1 ,f x x a x b x 故 2( ) 3 2 .f x a x b 令 1 , ( 1 ) 3 2 ,x f a b 得 由已知 ( 1 ) 2 , 3 2 2 , 3 .f a a b a b 因 此 解 得 又令 2 , ( 2 ) 1 2 4 ,x f a b 得 由已知 (2) ,fb 因此 1 2 4 ,a b b 解得 3.2a因此 3235( ) 3 1 , ( 1 )22f x x x x f 從 而歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 又因?yàn)?3(1 ) 2 ( ) 3 ,2f 故曲線 ( ) (1 , (1 ) )y f x f 在 點(diǎn) 處的切線方程為 5( ) 3 ( 1 ) , 6 2 1 0 .2y x x y 即 （ II）由（ I）知 2( ) ( 3 3 3 ) xg x x x e ， 從而有 2( ) ( 3 9 ) .xg x x x e 令 212( ) 0 , 3 9 0 , 0 , 3 .g x x x x x 得 解 得當(dāng) ( , 0 ) , ( ) 0 , ( ) ( , 0 )x g x g x 時(shí) 故 在上為減函數(shù)； 當(dāng) ( 0 , 3 ) , ( ) 0 , ( )x g x g x時(shí) 故在（ 0， 3）上為增函數(shù)； 當(dāng) (3, )x 時(shí)， ( ) 0 , ( ) ( 3 , )g x g x 故 在上為減函數(shù)； 從而函數(shù)1( ) 0g x x 在處取得極小值2( 0 ) 3 , 3gx 在處取得極大值 3(3) 15 .ge 19（本題 12分） （ I）解：如答（ 19）圖 1，設(shè) F為 AC的中點(diǎn)，由于 AD=CD，所以 DF AC. 故由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC， 即 DF是四面體 ABCD的面 ABC上的高， 且 DF=ADsin30 =1， AF=ADcos30 = 3 . 在 Rt ABC中，因 AC=2AF=23， AB=2BC， 由勾股定理易知 2 1 5 4 1 5,.55B C A B故四面體 ABCD的體積 1 1 1 4 1 5 2 1 5 4 .3 3 2 5 5 5ABCV S D F （ II）解法一：如答（ 19）圖 1，設(shè) G， H分別為邊 CD， BD的中點(diǎn)，則 FG/AD， GH/BC，從而 FGH是異面直線 AD與 BC所成的角或其補(bǔ)角 . 設(shè) E為邊 AB的中點(diǎn)，則 EF/BC，由 AB BC，知 EF AB.又由（ I）有 DF平面 ABC， 故由三垂線定理知 DE AB. 所以 DEF為二面角 C AB D的平面角，由題設(shè)知 DEF=60 設(shè) , s i n .2aA D a D F A D C A D 則在 33, c o t ,2 3 6aR t D E F E F D F D E F a 中歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 從而 13 .26G H B C E F a 因 Rt ADE Rt BDE，故 BD=AD=a，從而，在 Rt BDF中， 122aF H B D， 又 1 ,22aF G A D從而在 FGH中，因 FG=FH，由余弦定理得 2 2 2 3c o s2 2 6F G G H F H G HF G H F G G H F G 因此，異面直線 AD與 BC所成角的余弦值為 3.6解法二：如答（ 19）圖 2，過 F作 FM AC，交 AB于 M，已知 AD=CD， 平面 ABC平面 ACD，易知 FC， FD， FM 兩兩垂直，以 F 為原點(diǎn)，射線 FM， FC，F(xiàn)D 分別為 x軸， y軸， z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 F xyz. 不妨設(shè) AD=2，由 CD=AD， CAD=30，易知點(diǎn) A， C， D的坐標(biāo)分別為 ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ,( 0 , 3 , 1 ) .A C DADu u ur則顯然向量 (0, 0,1)k 是平面 ABC的法向量 . 已知二面角 C AB D為 60， 故可取平面 ABD的單位法向量 ( , , )n l m n ， 使得 1, 6 0 , .2n k n o 從 而2 2 23, 3 0 , .661 , .3n A D m n ml m n l u u ur由 有 從 而由 得設(shè)點(diǎn) B的坐標(biāo)為 6( , , 0 ) ; , ,3B x y A B B C n A B l u u ur u u ur u u ur由 取，有 22 463, ,0,9, ( )633( 3 ) 0 , 73,369xy x xyxyy 解 之 得 舍 去 易知 63l 與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去 . 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 因此點(diǎn) B的坐標(biāo)為 4 6 7 3( , , 0 ) .99B所以 4 6 2 3( , , 0 ) .99CB uuur 從而 22233 ( )39c o s , .6| | | | 4 6 2 33 1 ( ) ( )99A D C BA D C BA D C B u u u r u u uru u u r u u uru u u r u u ur 故異面直線 AD與 BC所成的角的余弦值為 3.620（本題 12分） 解：（ I）由 22 , 2 2 ,2cae ac 解得 2 2 22 , 2 , 2a c b a c ，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 221.42xy（ II）設(shè)1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )P x y M x y N x y，則由 2O P O M O Nuuur uuuur uuur得 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2( , ) ( , ) 2 ( , ) ( 2 , 2 ) ,2 , 2 .x y x y x y x x y yx x x y y y 即因?yàn)辄c(diǎn) M， N在橢圓 2224xy上，所以 2 2 2 21 1 2 22 4 , 2 4x y x y ， 故 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 ( 4 4 ) 2 ( 4 4 )x y x x x x y y y y 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2( 2 ) 4 ( 2 ) 4 ( 2 )2 0 4 ( 2 ) .x y x y x x y yx x y y 設(shè) ,OM ONkk分別為直線 OM， ON的斜率，由題設(shè)條件知 12121 ,2O M O Nyykkxx 因此1 2 1 22 0 ,x x y y所以 222 2 0 .xy 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 歡迎訪問豆丁網(wǎng)：免費(fèi)文檔下載 所以 P點(diǎn)是橢圓 22221( 2 5 ) ( 1 0 )xy上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為 F1， F2，則由橢圓的定義 |PF1|+|PF2|為定值，又因 22( 2 5 ) ( 1 0 ) 1 0c ，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 12( 1 0 , 0 ) , ( 1 0 , 0 ) .FF21（本題 12分） （ I）解：由題意 2 22 1 2222 2 1 1 22, 2,S a a SSS a S a a 得， 由 S2是等比中項(xiàng)知220 . 2 .SS 因 此由2 3 3 3 2S a S a S 解得 23222 .1 2 1 3SaS （ II）證法一：由題設(shè)條件有11,n n n nS a a S故11111 , 1 , ,11nnn n n nnnSaS a a SSa 且從而對(duì) 3k 有