勾股定理全章復(fù)習(xí).doc

勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問(wèn)題；（3）求作長(zhǎng)度為的線段.要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則ABC是以C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用1、如圖所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一點(diǎn)，且AE，求點(diǎn)E到CD的距離EF【思路點(diǎn)撥】連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長(zhǎng)度，即可求出EF的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H，在RtDCH中利用勾股定理即可求出DC【答案與解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H，連接DE、CE，則ADBH，ABDH， CHBCBH DHAB，在RtCDH中， CD25， 又 ， ， EF10【總結(jié)升華】（1）多邊形的面積可通過(guò)輔助線轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡(jiǎn)易方法（2）利用勾股定理求邊長(zhǎng)、面積時(shí)要注意邊長(zhǎng)、面積之間的轉(zhuǎn)換 舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的長(zhǎng)【答案】解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90在RtADC中，類型二、勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問(wèn)在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB，交CD于點(diǎn)E，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對(duì)稱性知GB的長(zhǎng)為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB交CD于點(diǎn)E，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可以知道在E點(diǎn)處飲水，所走路程最短說(shuō)明如下：在直線CD上任意取一異于點(diǎn)E的點(diǎn)I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點(diǎn)G、A關(guān)于直線CD對(duì)稱， AIGI，AEGE由“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長(zhǎng)，自點(diǎn)B作CD的垂線，自點(diǎn)G作BD的垂線交于點(diǎn)H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米【總結(jié)升華】這是一道有關(guān)極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點(diǎn)之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個(gè)量，通過(guò)與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來(lái)證明，如本題中的I點(diǎn)本題體現(xiàn)了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE3，EB1，在AC上有一點(diǎn)P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根據(jù)勾股定理得： ED0， ED5， 最短距離EPBP53、等腰直角ABC中，ACB90，E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且ECF45，如圖所示：?jiǎn)朅E、EF、BF之間有何關(guān)系?并說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】：由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若將ACE和BCF合在一起則為一特殊角45，于是想到將ACE旋轉(zhuǎn)到BCF的右外側(cè)合并，或?qū)CF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個(gè)直角，聯(lián)想勾股定理而可得到AE、EF、BF之間的關(guān)系【答案與解析】解：(1)，理由如下： 將BCF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得ACF，使BCF的BC與AC邊重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB90，ACBC， CAFB45， EAF90 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45 在ECF和ECF中： ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中， 【總結(jié)升華】若一個(gè)角的內(nèi)部含有同頂點(diǎn)的半角，(如平角內(nèi)含直角，90角內(nèi)含45角，120角內(nèi)含60角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個(gè)半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識(shí)解決問(wèn)題【高清課堂 勾股定理全章復(fù)習(xí) 例9】4、已知：如圖，ABC中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D是垂足，求AD的長(zhǎng)【答案與解析】解：作CEAB于E，則CAE18012060，在RtACE中，CEA90，AC2，ACE30由勾股定理可得BEABAE415在RtACE中，BC由三角形面積公式：. 【總結(jié)升華】勾股定理要在直角三角形中才能應(yīng)用，沒(méi)有直角三角形要構(gòu)造直角三角形.類型三、本章中的數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決5、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE12，CF5求線段EF的長(zhǎng).【答案與解析】解：連接AD因?yàn)锽AC90，ABAC又因?yàn)?AD為ABC的中線，所以 ADDCDBADBC且BADC45因?yàn)镋DAADF90又因?yàn)镃DFADF90所以EDACDF所以AEDCFD（ASA）所以 AEFC5同理：AFBE12在RtAEF中，由勾股定理得：，所以EF13.【總結(jié)升華】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí).通過(guò)此題，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解.舉一反三：【變式】已知凸四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求證： 【答案】解：將ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60由于DCAD，故點(diǎn)A轉(zhuǎn)至點(diǎn)C點(diǎn)B轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，連結(jié)BE BDDE，BDE60 BDE為等邊三角形，BEBD易證DABDCE，A2，CEAB 四邊形ADCB中ADC60，ABC30 121A270 3360(12)90 2.方程的思想方法6、如圖所示，已知ABC中，C90，A60，求、的值. 【答案與解析】解：在RtABC中，A60，B90A30，則 ，由勾股定理，得.因?yàn)?，所以，.【總結(jié)升華】在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.舉一反三：【變式】直角三角形周長(zhǎng)為12，斜邊長(zhǎng)為5，求直角三角形的面積.【答案】解：設(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是，根據(jù)題意得：由（1）得：，即 (3)(3)(2)，得：直角三角形的面積是126（）題型三：勾股定理和逆定理并用例題7 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由可以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90.注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題8 如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過(guò)程如下：解：根據(jù)題意得