廣東省高考數(shù)學(xué) 6.7數(shù)學(xué)歸納法配套課件 理 新人教A版.ppt

第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 三年3考高考指數(shù) 1 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 2 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 1 歸納 猜想 證明仍是高考的重點 2 常與函數(shù) 數(shù)列 不等式 平面幾何等知識結(jié)合 在知識交匯處命題 3 題型以解答題為主 難度中等偏上 1 數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進行 1 證明當n取 時命題成立 這一步是歸納奠基 第一個值n0 n0 n 2 假設(shè)n k k n0 k n 時命題成立 證明當 時命題也成立 這一步是納遞推 完成這兩個步驟 就可以斷定命題對 n k 1 成立 從n0開始的所有正整數(shù)n都 即時應(yīng)用 判斷下列各說法是否正確 請在括號中填寫 或 1 用數(shù)學(xué)歸納法驗證第一個值n0 則n0必定為1 2 數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟是缺一不可的 3 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為條時 第一步是檢驗n等于3 4 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 2 22 2n 2 2n 3 1 時 驗證n 1時 左邊式子應(yīng)為1 2 22 解析 1 錯誤 有些數(shù)學(xué)歸納法證明題 第一步驗證初始值不是1 可能為2 3 4等 2 正確 數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可 第一步是歸納奠基 第二步是歸納遞推 3 正確 第一步檢驗n 3 即三角形的對角線條數(shù)為0 4 錯誤 驗證n 1時 左邊式子應(yīng)為1 2 22 23 答案 1 2 3 4 2 數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 所有的正整數(shù)n 歸納遞推 歸納奠基 n k 1時命題也成立 即時應(yīng)用 1 已知n為正偶數(shù) 用數(shù)學(xué)歸納法證明時 若已假設(shè)n k k 2且k為偶數(shù) 時命題為真 則還需要用歸納假設(shè)再證n 時等式成立 2 凸k邊形的內(nèi)角和為f k 則凸k 1邊形的內(nèi)角和為f k 1 f k 解析 1 因為假設(shè)n k k 2且k為偶數(shù) 故下一個偶數(shù)為k 2 2 從k邊形到k 1邊形 實際是多了一個三角形 故內(nèi)角和比k時多 即f k 1 f k 答案 1 k 2 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 方法點睛 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則 1 數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義 其中兩個步驟缺一不可 缺第一步 則失去了遞推基礎(chǔ) 缺第二步 則失去了遞推依據(jù) 2 證明等式時要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 兩邊各有多少項 并注意初始值n0是多少 同時第二步由n k到n k 1時要充分利用假設(shè) 不利用n k時的假設(shè)去證明 就不是數(shù)學(xué)歸納法 例1 2012 煙臺模擬 是否存在常數(shù)a b c 使得等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c對一切正整數(shù)n都成立 若存在 求出a b c的值 若不存在 說明理由 解題指南 本題是開放式 存在性的問題 一般是先假設(shè)存在 利用特值求得a b c的值 而后用數(shù)學(xué)歸納法證明 規(guī)范解答 假設(shè)存在a b c使得所給等式成立 令n 1 2 3代入等式得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 對一切正整數(shù)n都成立 1 當n 1時 由以上可知等式成立 2 假設(shè)當n k時 等式成立 即 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 則當n k 1時 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 由 1 2 知 等式對一切正整數(shù)n都成立 反思 感悟 1 對于開放式的與n有關(guān)的等式證明問題 一般是先假設(shè)結(jié)論成立 利用n的前幾個取值求參數(shù) 而后用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 在使用數(shù)學(xué)歸納法的第二步進行證明時 事實上 歸納假設(shè) 已經(jīng)成了已知條件 n k 1時結(jié)論正確 則是求證的目標 可先用分析法的思路 借助已學(xué)過的公式 定理或運算法則進行恒等變形 把待證的目標拼湊出歸納假設(shè)的形式 再把運用歸納假設(shè)后的式子進行變形 證明 變式訓(xùn)練 已知n n 證明 證明 1 當n 1時 左邊右邊等式成立 2 假設(shè)當n k k n 時等式成立 即有 那么當n k 1時 左邊 右邊所以當n k 1時等式也成立 綜合 1 2 知對一切n n 等式都成立 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 方法點睛 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k成立 推證n k 1時也成立 證明時用上歸納假設(shè)后 可采用分析法 綜合法 求差 求商 比較法 放縮法等證明 例2 由下列不等式 你能得到一個怎樣的一般不等式 并加以證明 解題指南 由已知條件不難猜想到一般不等式 關(guān)鍵是證明 證明時由n k到n k 1時可采用放縮法 規(guī)范解答 根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第n個不等式 即一般不等式為 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下 1 當n 1時 猜想成立 2 假設(shè)當n k時 猜想成立 即則當n k 1時 即當n k 1時 猜想也正確 所以對任意的n n 不等式都成立 反思 感悟 1 本例在由n k到n k 1這一步變化中 不等式左邊增加了即增加了2k項 這一點很關(guān)鍵 若項數(shù)寫不正確 該題的證明將無法正確得出 2 當n k 1時的證明中采用了放縮法 即將已知式子分母變大 從而所得結(jié)果變小 順利地與要證的式子接軌從而得以證明 此種方法是證明不等式的常用方法 應(yīng)用時要注意是放大還是縮小 變式訓(xùn)練 證明不等式 證明 1 當n 1時 左邊 1 右邊 2 不等式成立 2 假設(shè)當n k k n 時 不等式成立 即那么當n k 1時 方法一 分析法要證只需證 因為0 1顯然成立 所以 方法二 綜合法 放縮法 方法三 綜合法 基本不等式法 這就是說 當n k 1時 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式對任意正整數(shù)n都成立 歸納 猜想 證明 方法點睛 歸納 猜想 證明類問題的解題步驟 1 利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題 存在性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論 然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性 2 歸納 猜想 證明 的基本步驟是 試驗 歸納 猜想 證明 高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題 例3 2012 南京模擬 已知數(shù)列 an 滿足sn an 2n 1 1 寫出a1 a2 a3 并推測an的表達式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論 解題指南 1 利用sn a1 a2 an 且sn an 2n 1 代入n 1 2 3得a1 a2 a3 從而猜想an 2 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時 要利用n k的假設(shè)去推證n k 1時成立 規(guī)范解答 1 將n 1 2 3分別代入可得猜想 2 由 1 得n 1時 命題成立 假設(shè)n k時 命題成立 即那么當n k 1時 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 即當n k 1時 命題也成立 根據(jù) 得 對一切n n 都成立 互動探究 若本例中sn an 2n 1變?yōu)閟n an 2n 其余不變 又將如何求解 解析 1 將n 1 2 3分別代入已知可得猜想 2 當n 1時 a1 1 猜想顯然成立 假設(shè)當n k k 1且k n 時 猜想成立 即那么 當n k 1時 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 當n k 1時猜想也成立 綜合 知 當n n 時猜想成立 反思 感悟 歸納 猜想 證明 是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式 此種方法在解探索性問題 存在性問題時起著重要的作用 特別是在數(shù)列中求an sn時更是應(yīng)用頻繁 變式備選 數(shù)列 an 中 a1 1 a2 且an 1 n 2 求a3 a4 猜想an的表達式 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 解析 因為a1 1 a2 且所以a3 同理可求得a4 歸納猜想 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確 1 當n 1時 易知猜想正確 2 假設(shè)當n k k n 時 猜想正確 即那么當n k 1時 即當n k 1時 猜想也正確 由 1 2 可知 猜想對任意正整數(shù)都正確 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題或與平面幾何有關(guān)的問題 方法點睛 數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用 1 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題主要分為兩類 是整除數(shù) 是整除代數(shù)式 這兩類證明最關(guān)鍵的問題是 配湊 要證的式子 或是叫做 提公因式 即當n k 1時 將n k時假設(shè)的式子提出來 再變形 可證 2 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與平面幾何有關(guān)的命題 其關(guān)鍵是從前幾項的情形中歸納出一個變化過程 用f k 1 f k 就可以得到增加的部分 然后理解為何是增加的 就可以從容解題 例4 證明下列問題 1 已知n為正整數(shù) a z 用數(shù)學(xué)歸納法證明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 2 有n個圓 任意兩個都相交于兩點 任意三個不交于同一點 求證 這n個圓將平面分成f n n2 n 2個部分 n n 解題指南 1 當n k 1時 把ak 2 a 1 2k 1轉(zhuǎn)化成含ak 1 a 1 2k 1的形式是解題的關(guān)鍵 2 當n k 1時 第k 1個圓與前k個圓相交 平面區(qū)域增加了2k個部分是解題的關(guān)鍵 規(guī)范解答 1 當n 1時 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 假設(shè)當n k k n 時 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么當n k 1時 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 即當n k 1時 命題也成立 根據(jù) 可知 對于任意n n an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 2 當n 1時 1個圓將平面分成兩部分 f 1 2 12 1 2 2 n 1時 命題成立 假設(shè)當n k k 1 時 k個圓把平面分成f k k2 k 2個部分 當n k 1時 在k個圓的基礎(chǔ)上再增加一個圓與原k個圓都相交 圓周被分成2k段弧 增加了2k個平面區(qū)域 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即當n k 1時 命題也成立 綜上知 對任意n n 命題都成立 互動探究 將本例 2 中的圓變?yōu)橹本€ 求證這n條直線將平面分成f n 個部分 n n 又將如何證明 證明 1 當n 1時 一條直線將平面分成兩部分 f 1 命題成立 2 假設(shè)當n k時 命題成立 即f k 那么當n k 1時 第k 1條直線被前k條直線分成 k 1 段 而每一段將它們所在區(qū)域一分為二 故增加了k 1個區(qū)域 即f k 1 f k k 1 即當n k 1時 命題也成立 由 1 2 可知 對任意n n 都有成立 反思 感悟 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 p k p k 1 的整式變形是個難點 找出它們之間的差異 然后將p k 1 進行分拆 配湊成p k 的形式 也可運用結(jié)論 p k 能被p整除且p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 2 證明與平面幾何有關(guān)的問題 其著眼點是找規(guī)律 由前幾項可找到規(guī)律 進行應(yīng)用即可 變式備選 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n 1 3n 2能被13整除 其中n為正整數(shù) 證明 1 當n 1時 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假設(shè)當n k k n 時 42k 1 3k 2能被13整除 則當n k 1時 方法一 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 42 k 1 1 3k 3能被13整除 方法二 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 42 3k 2 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 42k 1 13能被13整除 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 能被13整除 即42 k 1 1 3k 3能被13整除 當n k 1時 命題也成立 由 1 2 知 對任意n n 42n 1 3n 2都能被13整除 滿分指導(dǎo) 數(shù)學(xué)歸納法解答題的規(guī)范解答 典例 12分 2012 九江模擬 設(shè)數(shù)列 an 的前n項和為sn 并且滿足2sn an2 n an 0 n n 1 猜想 an 的通項公式 并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 2 設(shè)x 0 y 0 且x y 1 證明 解題指南 1 將n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 從而可猜想an 并用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 利用分析法 結(jié)合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可證 規(guī)范解答 1 分別令n 1 2 3 得 an 0 a1 1 a2 2 a3 3 猜想 an n 2分由2sn an2 n 可知 當n 2時 2sn 1 an 12 n 1 得2an an2 an 12 1 即an2 2an an 12 1 3分 當n 2時 a22 2a2 12 1 a2 0 a2 2 4分 假設(shè)當n k k 2 時 ak k 那么當n k 1時 ak 12 2ak 1 ak2 1 2ak 1 k2 1 ak 1 k 1 ak 1 k 1 0 ak 1 0 k 2 ak 1 k 1 0 ak 1 k 1 即當n k 1時也成立 6分 an n n 2 顯然n 1時 也成立 故對于一切n n 均有an n 7分 2 要證只要證 8分即將x y 1代入 得即只要證4 n2xy n 1 n 2 2 即4xy 1 10分 x 0 y 0 且x y 1 即xy 故4xy 1成立 所以原不等式成立 12分 閱卷人點撥 通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2012 南陽模擬 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1 2 3 n 3 n n 時 第一步驗證n 1時