大綱高等幾何.doc

高綱0870江蘇省高等教育自學考試大綱 29790高等幾何江蘇教育學院編江蘇省高等教育自學考試委員會辦公室一、 課程性質(zhì)及其設置目的與要求（一）課程性質(zhì)與特點高等幾何是高等師范院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的重要基礎課程之一，本課程在學生具備初等幾何、解析幾何與高等代數(shù)知識的基礎上，系統(tǒng)地學習射影幾何的基本知識，使他們能用變換群觀點來看待幾何學，加深對幾何學和幾何空間概念的理解。本課程的主旨在于拓展讀者的幾何空間知識，學習了解變換群觀點，進而達到訓練理性思維的能力，提高數(shù)學修養(yǎng)的目的。本課程包括了許多著名的定理，奇妙的圖形。通過本課程的學習，可以有效地提高數(shù)學審美意識。本大綱要求本課程的內(nèi)容處理上實行解析法與綜合法并用，以解析法為主。（二）課程設置目的與要求課程內(nèi)容包括：變換群與幾何學；射影平面；射影變換；二次曲線的射影理論；射影幾何的子幾何。課程設置目的和要求：一方面使得學生拓寬眼界，擴大知識領域，提高抽象思維能力，為進一步學習其他課程打下基礎。另一方面使學生加深對中學幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解, 使得學生加深對中學幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解，從而獲得用高觀點來處理中學幾何問題的能力，為未來的中學幾何教學打下基礎。二、 課程內(nèi)容與考核目標第一章 變換群與幾何學（一）課程內(nèi)容1變換與變換群 2仿射坐標和仿射平面3仿射變換4歐氏平面和保距變換5幾何學與變換群的關系（二）學習與考核要求本章是基于變換群的觀點，對幾何學的高度抽象概括，給出研究幾何學的變換群觀點。掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和代數(shù)表達式；理解仿射坐標和圖形的仿射性質(zhì)，掌握仿射對應圖形；掌握保距變換的性質(zhì)和代數(shù)表達式；特別是基本仿射不變性-平行性和基本仿射不變量-單比，及其計算方法。第二章 射影平面（一）課程內(nèi)容1擴大仿射平面2射影平面3交比與調(diào)和共軛4對偶原理（二）學習與考核要求本章作為學習全課程的基礎和中心內(nèi)容，重點講解歐氏平面的拓展過程，在此基礎上給出射影直線和影射平面的概念和模型，使得學生明確了解歐氏直線和射影直線、歐氏平面和影射平面的區(qū)別和聯(lián)系。要求考生靈活運用Desargues 定理及其逆定理，它是證明三點共線和三線共點的有效工具之一。齊次坐標是本章的重點和難點，要求考生掌握并正確使用，會求兩點連線方程及兩直線交點坐標、會判斷三點是否共線。對偶原理是射影幾何的靈魂（包括幾何對偶和代數(shù)對偶），要求考生掌握并靈活應用，會作對偶圖形，會寫對偶命題。而交比是射影基本不變量，它是研究射影變換的工具和基礎，要求熟練掌握交比與調(diào)和比的概念、性質(zhì)、應用及計算方法。掌握完全四點形的調(diào)和性及其性質(zhì)，并能靈活運用。第三章 射影變換（一）課程內(nèi)容1一維射影變換2直射變換 3對射變換與配極（二）學習與考核要求本章是射影幾何的中心內(nèi)容和基礎理論，掌握透視對應與射影對應的關系，重點掌握一維射影對應、一維射影變換和直射（二維射影）變換的概念、性質(zhì)、代數(shù)表達式及其求法；掌握一維射影變換及直射（二維射影）變換的不動元素及其求法。掌握對合的表達式及求法與對合不動元素及其求法。掌握配極的極點、極線的概念和求法；掌握配極原則的應用、利用自極三點形化配極為標準形式。 第四章 二次曲線的射影理論（一）課程內(nèi)容1配極變換與二次曲線 2一維射影對應與二次曲線 3二階曲線的影射分類 （二）學習與考核要求本章是以二次曲線為研究對象，重點講述二階曲線和二級曲線的概念和配極理論。要求熟練掌握二階曲線的切線、極點、極線的概念和求法；熟練掌握帕斯卡定理、布利安香定理及配極原則并能靈活應用；理解二階曲線的射影分類，并掌握利用射影坐標變換化二階曲線方程為射影標準方程。第五章 射影幾何的子幾何（一）課程內(nèi)容1無窮遠直線與仿射幾何2圓環(huán)點與歐氏幾何（二）學習與考核要求熟練掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和代數(shù)表達式；熟練掌握二階曲線的中心，直徑與共軛直徑，漸進線等概念，能應用有關定義、性質(zhì)和公式求解相關問題。了解二階曲線的仿射分類，熟練掌握利用仿射坐標變換化二次曲線方程為仿射標準方程。注：本章考試內(nèi)容以第1節(jié)為主。三、 有關說明（一）教材及參考書目：自學教材：羅崇善等編著，高等幾何，高等教育出版社，2006年。參考書目：高等幾何，梅向明，劉增賢等編，高等教育出版社，第二版。高等幾何，周興和，科學出版社，2003年版。自學和命題以考試大綱為主要依據(jù)，在掌握了考試大綱要求的內(nèi)容同時，以例題和習題為重點。（二）自學方法的指導本課程作為一門專業(yè)課程，綜合性強，自學者在自學過程中應該注意以下幾點：1本課程在學生具備初等幾何、解析幾何與高等代數(shù)知識的基礎上，系統(tǒng)地學習射影幾何的基本知識，因此，自習前，要注意知識的積累與銜接。應仔細閱讀課程大綱了解課程的性質(zhì)、地位和任務，熟悉課程的基本要求，使以后的學習緊緊圍繞課程的基本要求。2所配教材只是一個參考，自學中應結(jié)合本課程大綱和參考書目，熟練掌握基本概念和方法的同時，能結(jié)合具體例子進行練習和運用，以達到本課程的要求。（三）對社會助學的要求1應熟知考試大綱對課程所提出的總的要求和各章的知識點。2對考生進行輔導時，除了以指定的教材為基礎外，應以考試大綱為依據(jù)，關注補充參考書目，注重提高學生分析問題、解決問題的能力。（四）關于命題和考試的若干規(guī)定1本大綱各章所提到的考核要求中，各條細目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到章，適當突出重點章節(jié)，加大重點內(nèi)容的覆蓋密度。2試題難度結(jié)構要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。3本課程考試試卷可能采用的題型有：填空題、作圖題、計算題、證明題（見附件題型示例）。4考試方式為閉卷筆試，考試時間為150分鐘，評分采用百分制，60分為及格。注：打 * 的章節(jié)不作要求。附錄：題型舉例填空題平行四邊形的仿射圖形是 平行四邊形 。作圖題 已知三點A、B、C，求作一點D，使（AB，CD）1（在圖中注明點D）。 解： D 即為所求 計算題例 已知四點。 1）將的坐標