隨機事件及其概率.ppt

通俗地講隨即事件是指隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 定義1 2隨機試驗的若干個基本結(jié)果組成的集合稱為隨機事件 簡稱事件 只含有一個基本結(jié)果的事件稱為基本事件 常用大字母A B C 表示 根據(jù)這兩說法不難發(fā)現(xiàn)隨即事件和樣本空間的子集有一一對應(yīng)關(guān)系 1 2 1隨機事件 1 2隨機事件及其概率 第1章概率論基礎(chǔ) 它們分別可以對應(yīng)了樣本空間S 1 2 3 4 5 6 的子集 1 2 3 4 和 2 4 6 點數(shù)不大于4 點數(shù)為偶數(shù) 等都為隨機事件 反過來 的每個子集都對應(yīng)了該試驗的一個隨機事件 1 2 1隨機事件 關(guān)于隨機事件概念的幾點說明 1 任一事件A是相應(yīng)樣本空間的一個子集 基本事件就是只含有一個樣本點的事件 2 當子集A中某個樣本點出現(xiàn)了 就說事件A發(fā)生了 或者說事件A發(fā)生當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)了 3 樣本空間 包含所有的樣本點 作為自身的子集 在每次試驗中它總是發(fā)生的 稱為必然事件 空集 不包含任何樣本點 它作為樣本空間的子集 在每次試驗中都不發(fā)生 稱為不可能事件 1 2 1隨機事件 例1 2 擲一顆骰子的樣本空間為 1 2 3 4 5 6 事件A 出現(xiàn)5點 它是一個基本事件 可記為A 5 事件B 出現(xiàn)奇數(shù)點 可記為B 1 3 5 事件C 出現(xiàn)的點數(shù)不大于6 是必然事件 可記為C 事件D 出現(xiàn)的點數(shù)大于6 是不可能事件 可記為D 1 2 1隨機事件 1 2 2事件間的關(guān)系及運算1 事件間的關(guān)系 1 子事件如果屬于事件A的樣本點也屬于事件B 則稱A為B的子事件 記為A B 其概率含義是 A發(fā)生B必發(fā)生 2 事件相等如果事件A與事件B滿足 A B且B A 則稱A與B相等 記為A B 其概率含義是 A B中有一個發(fā)生另一個也必發(fā)生 1 2隨機事件及其概率 3 互不相容如果事件A和B沒有相同的樣本點 則稱A與B互不相容 或互斥 其概率含義是 A B不同時發(fā)生 實例拋擲一枚硬幣 出現(xiàn)正面 與 出現(xiàn)反面 是互不相容的兩個事件 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 2 事件運算1 事件A與B的和事件A與B的和事件定義為 由至少屬于A B之一的樣本點全體組成的集合 記為A B 其概率含義是 A B至少有一個發(fā)生 實例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定 若C 產(chǎn)品不合格 B 長度不合格 與A 直徑不合格 則C A B 圖示事件A與B的和 A 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 2 事件A與B的積事件A與B的積事件定義為 由既屬于A又屬于B的樣本點組成的集合 記為A B或AB 其概率含義是 事件A與B同時發(fā)生 事件A與B互不相容當且僅當其積事件為不可能事件 即AB 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 圖示事件A與B的積事件 A B AB 實例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定 設(shè) 產(chǎn)品合格 長度合格 直徑合格 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 3 事件A與B的差 由事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件A與B的差 記作A B 圖示A與B的差 A B 實例設(shè) 長度合格但直徑不合格 長度合格 直徑合格 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 4 對立事件由在 中而不在A中的樣本點組成的集合稱為A的對立事件 逆事件 記為其概率含義是 A不發(fā)生 顯然 實例 骰子出現(xiàn)1點 骰子不出現(xiàn)1點 圖示A與B的對立 B 若A與B對立 則有 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 對立事件與互斥事件的區(qū)別 B A B對立 互逆 A B互斥 互不相容 互斥 對立 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 3 事件運算滿足的定律事件的運算性質(zhì)和集合的運算性質(zhì)相同 設(shè)A B C為事件 則有交換律 A B B A AB BA 結(jié)合律 A B C A B C AB C A BC 分配律 對偶律 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 補充例 設(shè)A B C表示三個隨機事件 試將下列事件用A B C表示出來 A 1 A發(fā)生 且B與C至少有一個發(fā)生 2 A與B發(fā)生 而C不發(fā)生 3 A B C中恰有一個發(fā)生 4 A B C中至少有兩個發(fā)生 5 A B C中至多有兩個發(fā)生 6 A B C中不多于一個發(fā)生 B C AB ABC不發(fā)生 1 2 2事件間的關(guān)系及運算 課堂練習(xí) 填空以 表示事件 甲產(chǎn)品暢銷 乙產(chǎn)品滯銷 其對立事件為 甲滯銷 乙暢銷 甲乙均暢銷 甲滯銷 甲滯銷或乙暢銷 1 2隨機事件及其概率 解設(shè) 甲暢銷 乙暢銷 則故 的對立事件為 即 甲滯銷或乙暢銷 1 2隨機事件及其概率 1 2 3事件的概率及性質(zhì)所謂隨機事件的概率 概括地說就是用來描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標 它是概率論中最基本的概念之一 1 2隨機事件及其概率 1 頻率與概率的統(tǒng)計定義首先看頻率的概念 定義1 3設(shè)E為任一隨機試驗 A為其中任一事件 在相同條件下 把E獨立的重復(fù)做n次 nA表示事件A在這n次試驗中發(fā)生的次數(shù) 稱為頻數(shù) 比值fn A nA n稱為事件A在這n次試驗中發(fā)生的頻率 頻率有如下性質(zhì) 1 對于任一事件A 有0 fn A 1 2 對于必然事件 有fn 1 3 對于互不相容的事件A B 有fn A B fn A fn B 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 試驗序號 1234567 2 3 15124 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0 4 0 6 0 2 1 0 0 2 0 4 0 8 0 44 0 50 0 42 0 48 0 36 0 54 0 502 0 498 0 512 0 494 0 524 0 516 0 50 0 502 實例將一枚硬幣拋擲5次 50次 500次 各做7遍 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率 波動最小 隨n的增大 頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 試驗者 德摩根 蒲豐 歷史上一些概率統(tǒng)計學(xué)家的試驗 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 從上述數(shù)據(jù)可得 拋硬幣次數(shù)n較小時 頻率f的隨機波動幅度較大 但隨n的增大 頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性 即當n逐漸增大時頻率R總是在0 5附近擺動 且逐漸穩(wěn)定于 5 1 頻率有隨機波動性 即對于同樣的n 所得的f不一定相同 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 概率的統(tǒng)計定義定義1 4設(shè)有隨機試驗E 若當試驗的次數(shù)n充分大時 事件A發(fā)生的頻率fn A 穩(wěn)定在某數(shù)p附近波動 則稱數(shù)p為事件A的概率 記為 P A p 概率的統(tǒng)計定義只是描述性的 一般不能用來計算事件的概率 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 根據(jù)頻率和概率的關(guān)系以及理論研究的需要 受頻率性質(zhì)的啟發(fā) 1933年 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu) 給出了概率的嚴格定義 使概率論有了迅速的發(fā)展 Born 25Apr 1903inTambov Tambovprovince RussiaDied 20Oct 1987inMoscow Russia AndreyNikolaevichKolmogorov 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 2 概率的公理化定義與性質(zhì)定義1 5設(shè) 是一隨機試驗的樣本空間 對于該隨機試驗的每一個事件A賦予一個實數(shù) 記為P A 稱為事件A的概率 如果集合函數(shù)P 滿足下列公理 1 非負性 對于每一個事件A 有P A 0 2 規(guī)范性 對于必然事件 有P 1 3 可列可加性 設(shè)A1 A2 是兩兩互不相容的事件 即對于i j AiAj i j 1 2 則有 1 1 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 概率的公理化定義使概率論成為一門嚴格的演繹科學(xué) 取得了與其他數(shù)學(xué)學(xué)科同等的地位 在公理化的基礎(chǔ)上 現(xiàn)代概率論不僅在理論上取得了一系列的突破 也在應(yīng)用上取得了巨大的成就 利用概率的公理化定義 可以導(dǎo)出概率的一些性質(zhì) 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 證明 由概率的可列可加性得 概率的性質(zhì) 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 證明 由概率的可列可加性得 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 證明 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 證明 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 性質(zhì) 對任意兩個事件A B 有P A B P A P AB 證 因為A B A AB 且AB A 所以由性質(zhì)4得 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 性質(zhì)6 加法公式 對于任意兩事件A B有P A B P A P B P AB 證 因A B A B AB 且A B AB 故由性質(zhì)2及性質(zhì)5得 1 2 3事件的概率及性質(zhì) 推廣三個事件和的情況 n個事件和的情況 1 2 3事件的概率