加法交換律教案.doc

加法交換律教案楊汛橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校 金 燕教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材P28例1教學(xué)設(shè)想：加法交換律的作用是什么？簡(jiǎn)便計(jì)算。簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)什么情況下需要加法交換律？三個(gè)及以上的數(shù)相加的時(shí)候。因此，加法交換律從兩個(gè)數(shù)的探索到幾個(gè)數(shù)的運(yùn)用，中間存在著一個(gè)中空地帶?；谶@樣的思考，本課嘗試走進(jìn)這個(gè)中空地帶，從三個(gè)數(shù)的研究開始，帶領(lǐng)學(xué)生前后連貫的行走在數(shù)學(xué)探索與運(yùn)用的道路上。教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生理解并掌握加法交換律的意義，并能正確運(yùn)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)便計(jì)算。2、通過對(duì)加法交換律的探索，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，發(fā)展學(xué)生的思維。3、通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：學(xué)生理解并掌握加法交換律的意義，并能正確運(yùn)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)便計(jì)算。教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題師：同學(xué)們，今天是什么節(jié)日？生：植樹節(jié)。師：對(duì)呀，春天是植樹的季節(jié)（展示課件）。咱們學(xué)校也組織了植樹活動(dòng)，一共有多少名同學(xué)參加這次活動(dòng)？它們一共要植多少棵樹？你們想不想知道？生：想。師：（展示課件）這是我們學(xué)校植樹的信息。這次參加植樹活動(dòng)的男生有36名，女生有22名。男生要植樹60課，女生要植樹44棵。你能算出有多少名同學(xué)參加植樹活動(dòng)，一共要植多少棵樹嗎？評(píng)析：在課的開始，教師能夠創(chuàng)造性地利用教材，創(chuàng)設(shè)了植樹節(jié)的情境。這樣處理貼近學(xué)生生活實(shí)際，情景、條件、問題學(xué)生都十分熟悉，在這種輕松的氣氛中，更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)。二、自主探究，尋找規(guī)律（一）體驗(yàn)加法的意義師：請(qǐng)你在練習(xí)本上做一做（做完的可以同桌交流）。生匯報(bào)，師板書。36+22=58（名） 22+36=58（名）60+44=104（棵） 44+60=104（棵）師：這兩個(gè)問題都是用加法計(jì)算的，誰來說一說，你為什么要用加法？學(xué)生說想法。師小結(jié)：這兩道題都是要把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)，就要用加法計(jì)算。師：在日常生活中，哪些問題還要用到加法來計(jì)算，誰來舉一個(gè)例子。一生舉例并例式解答。（師板書）師：生活中像這樣用加法解決的問題多不多？說一個(gè)給同桌聽聽。評(píng)析：結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境，體會(huì)加法的意義。（二）教學(xué)加法交換律師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們觀察這三組算式，你能發(fā)現(xiàn)些什么？把你的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)交流一下。小組交流匯報(bào)。（學(xué)生匯報(bào)時(shí)，讓學(xué)生結(jié)合第一組算式說一說，師根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)板書：36+2222+36）師：大家看，這兩個(gè)加數(shù)交換了位置，和相等。這兩個(gè)算式可以怎么樣？（板書：=）師：第二組算式可以怎樣寫？（生答，師板書：60+44=44+60）第三組算式呢？根據(jù)學(xué)生的回答，師板書。師：大家看，這幾個(gè)小組總結(jié)出了這幾道算式中的兩個(gè)加數(shù)交換了位置以后，它們的和不變。你們小組的結(jié)論和它們一樣嗎？誰能再來說一說。師：這三組算式都是兩個(gè)加數(shù)交換了位置，它們的和沒有變。是不是任意的兩個(gè)數(shù)相加，都有這么一個(gè)規(guī)律呢？誰能來任意說兩個(gè)數(shù)？生：38+56。師：咱們一起來驗(yàn)證一下。師板書：師：這兩個(gè)數(shù)相加符合這個(gè)規(guī)律，其余的數(shù)是不是也有這個(gè)規(guī)律，請(qǐng)同學(xué)們先自己在練習(xí)本上舉幾個(gè)例子驗(yàn)證一下，然后在小組內(nèi)交流一下，好嗎？小組交流，匯報(bào)。師板書。師：剛才這么多的小組說出了這么多的算式，哪個(gè)小組還愿意把你們的結(jié)論告訴同學(xué)們？師：剛才，經(jīng)過同學(xué)們的努力，發(fā)現(xiàn)了不管這兩個(gè)加數(shù)是什么，只要兩個(gè)加數(shù)交換了位置，它們的和不變。我們把這個(gè)規(guī)律叫做加法交換律。（板書）學(xué)生齊讀一遍。師：這就是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（板書課題：加法交換律）評(píng)析：在學(xué)習(xí)加法交換律時(shí)，遵循先觀察，再交流，讓學(xué)生初步感知規(guī)律；再舉例驗(yàn)證，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律，這樣一個(gè)思路來教學(xué)的。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，感受到成功的喜悅，課堂氛圍和諧、活潑、寬松。（三）學(xué)習(xí)用喜歡的方法表示師：剛才是咱們自己發(fā)現(xiàn)了加法的這個(gè)重要的規(guī)律，你能不能用喜歡的方法表示出來？師：先把你的想法和同桌交流一下。誰來說一說你的想法。生匯報(bào)，師板書：a+b=b+a（師：你能告訴同學(xué)們a、b分別表示什么嗎？提示學(xué)生這兩個(gè)字母可以是任意的兩個(gè)數(shù)。）甲+乙=乙+甲+=+師：同學(xué)們說出了這么多的辦法，通常情況下，我們可以用字母表示。學(xué)生齊讀一遍（a+b=b+a）。評(píng)析：學(xué)生用喜歡的方法表示規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感，提高了知識(shí)的抽象概括程度，為以后正式教學(xué)用字母表示數(shù)打下初步基礎(chǔ)。（四）加法的應(yīng)用師：咱們知道了加法交換律，并且會(huì)用自己喜歡的方法來表示。請(qǐng)同學(xué)們想一想，以前學(xué)過的知識(shí)中哪些地方用到過加法交換律？生：驗(yàn)算加法時(shí)。三、練習(xí)師：通過努力，同學(xué)們又學(xué)會(huì)了新的知識(shí)，掌握了新的本領(lǐng)，老師真為你們高興，你們呢？還有更高興的事情呢。（展示課件）你們看，森林王國里的小鳥和小鴨，想和同學(xué)們來交朋友，你們?cè)敢鈫?？不過他們可是有備而來，先看看大家的真本領(lǐng)。怎么樣，敢不敢來試一試？（課件）一、你能在括號(hào)里填上合適的數(shù)嗎？試試看吧。766+589=589+（ ）300+600=（ ）+（ ）257+（ ）=0+257（ ）+55=55+420a+15=（ ）+（ ）（ ）+65=（ ）+35 = 二、仔細(xì)看一看，下面的算式符合加法交換律嗎？270+380=380+270b+800=800+b三、運(yùn)用加法交換律，你能寫出幾個(gè)算式？寫寫試試吧。25+49+75=（ ）+（ ）+（ ）學(xué)生寫出算式以后，讓學(xué)生觀察這些算式，哪兩個(gè)數(shù)交換了位置，在這些算式中，你認(rèn)為哪一道計(jì)算起來比較簡(jiǎn)單？說說你的想法。師：小鳥和小鴨的問題都解決了，它們高興得不得了，想請(qǐng)同學(xué)們參觀它們的家園，高興嗎？（課件展示）評(píng)析：通過這些題目，既鞏固了今天學(xué)的新知識(shí)，又發(fā)展了學(xué)生的思維，為后面的學(xué)習(xí)做了鋪墊。四、小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了哪些新知識(shí)？加法結(jié)合律教學(xué)設(shè)計(jì)楊汛橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校 金 燕教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材P29例2教材簡(jiǎn)析：加法結(jié)合律這部分內(nèi)容是在加法意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是繼加法交換律之后的加法第二個(gè)運(yùn)算定律，學(xué)好加法結(jié)合律，對(duì)于加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確程度很有幫助。由于加法結(jié)合律是在連加法運(yùn)算順序發(fā)生變化結(jié)果不變基礎(chǔ)上，歸納概括出來的，同加法交換律相比比較抽象，因此我在設(shè)計(jì)時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例觀察嘗試探究得出加法結(jié)合律的具體內(nèi)容。這樣從具體到抽象，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，不僅能夠分散教學(xué)難點(diǎn)，而且能突出教學(xué)重點(diǎn)，解決了教學(xué)關(guān)鍵，更重要的是充分發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和能動(dòng)性。教學(xué)目的： 1.使學(xué)生理解和掌握加法結(jié)合律，并應(yīng)用結(jié)合律使計(jì)算簡(jiǎn)便。 2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括能力以及思維靈活性。 3.對(duì)學(xué)生進(jìn)行具體問題具體分析的辨證唯物主義的教育。教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握加法結(jié)合律。教學(xué)難點(diǎn)：加法結(jié)合律的推導(dǎo)。教學(xué)重點(diǎn)：通過實(shí)例引出規(guī)律。教學(xué)過程：一、演示實(shí)驗(yàn)。這一步是為了學(xué)生較為直觀的理解算理。下圖中的1、2、3、號(hào)均為大小不同的透明水杯，里面裝滿水；還有一個(gè)大玻璃罐頭瓶，為空。1、第一次實(shí)驗(yàn)先把1號(hào)倒入大瓶（4號(hào)），再把2號(hào)倒入大瓶。師：這表示把1號(hào)杯和2號(hào)杯里面的水合在一起。再將3號(hào)杯里的水倒入大瓶。師：老師是按什么樣的順序?qū)?、2、3號(hào)中的水倒入大瓶的？生：先1后2再3。師：這個(gè)過程表示什么？引導(dǎo)學(xué)生說出：這個(gè)過程表示先把1號(hào)和2號(hào)杯中的水合在一起，然后加入3號(hào)杯里面的水，也就是把三個(gè)杯子里面的水合在一起。在大瓶的水面處做好記號(hào)。2、第二次實(shí)驗(yàn)教師先把2號(hào)杯里的水倒入大瓶，再把3號(hào)杯中的倒入大瓶。這表示什么？如果再加入1號(hào)杯中的水，這表示什么？加入1號(hào)杯中的水后，你猜水面上升到何處？比原來的水面高還是低？為什么？師將1號(hào)杯中的水加入，生觀察到水面又上升到做記號(hào)處。師：倒入的順序與第一次實(shí)驗(yàn)一樣嗎？為什么水面又上升到做記號(hào)處？誰來解釋一下這種現(xiàn)象？生：最后都是把1、2、3號(hào)杯中的水合在一起，所以兩次實(shí)驗(yàn)的水面一樣高。3、第三次實(shí)驗(yàn)先把1號(hào)倒入，后把3號(hào)倒入，表示什么？如果再加入2號(hào)，你猜大瓶中的水面會(huì)上升到何處？師做實(shí)驗(yàn)，生觀察。水面又上升到做記號(hào)處，你如何解釋這種現(xiàn)象？4、小結(jié)三次實(shí)驗(yàn)有什么不同的地方？（倒入的順序不同）有什么相同的地方？（水面都上升到相同的高度。）通過實(shí)驗(yàn)，你明白了什么？5、如果大瓶又足夠的大，我們?cè)偬畹?個(gè)杯子，照上面的方法，交換水杯倒入的先后次序，把4杯水倒入大瓶，做幾次實(shí)驗(yàn)，你能推測(cè)出大瓶中的水面的變化嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？二、經(jīng)驗(yàn)遷移上面我們做了有趣的倒水實(shí)驗(yàn)，下面我們來看幾組有趣的算式。出示算式：(12+13)+1412+(13+14)(799+52)+148799+(52+148)88+76+12+24(88+12)+(76+24)1、這組算式有什么特點(diǎn)？2、你推測(cè)這三組算式左右兩邊那邊大，那邊小？3、你是如何做出如此推測(cè)的。4、師：讓我們通過計(jì)算驗(yàn)證一下自己的推測(cè)。5、你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？三、小試牛刀1、你能不能寫出兩組或三組這樣的算式？2、個(gè)人驗(yàn)證后，全班交流。3、在學(xué)生寫的許多組算式中挑幾組三個(gè)數(shù)相加的算式。我們先來看三個(gè)數(shù)相加的情況。(12+13)+1412+(13+14)(111+113)+114112+(113+114)(2+3)+11+(2+3)7(8+9) 9+8+733+56+99+56+334、這樣的算式寫完寫不完？和我們剛剛學(xué)過的哪個(gè)數(shù)學(xué)定律相類似？（加法交換律）你能用字母表達(dá)式表示出你的這種發(fā)現(xiàn)嗎？學(xué)生可能寫出 a+b+c=a+(b+c) a+b+c=c+b+aa+b+c =c+a+b a+b+c=a+(c+b)5、揭示加法結(jié)合律的概念四、解決問題1、填空25+82+18=25+(+)120+(80+4)=(120+)+2、你能運(yùn)用學(xué)過的運(yùn)算定律使計(jì)算變得簡(jiǎn)便一些嗎？487+325+7598+64+2+36五、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？六、這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了加法結(jié)合律，那么在減法、乘法、除法中存在這樣的定律嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n后算一算，試一試，看看你能發(fā)現(xiàn)什么。一、巧妙導(dǎo)課,在良好的氛圍中開始對(duì)“根”的探尋這節(jié)課,張齊華老師是這樣開始的:師:同學(xué)們,你們知道張老師是哪個(gè)學(xué)校的嗎?(張老師借華南師范大學(xué)附小的孩子上課)生:(結(jié)合屏幕提示)知道。你是江蘇省南京市北京東路小學(xué)的。師:關(guān)于張老師的學(xué)校,有一個(gè)有趣的故事,你們想聽嗎?生:想。師:我有一個(gè)朋友,有一天,他非說我調(diào)到北京去工作了。他說他在網(wǎng)上看到的我在北京市南京東路小學(xué)。原來,他把“北京”和“南京”兩個(gè)詞調(diào)換了。大家說,可以調(diào)換嗎?生:不可以。師:看來啊,有些時(shí)候位置不能任意調(diào)換。看屏幕上這句話:我騎著馬兒跑?！榜R兒”和“我”可以調(diào)換位置嗎?生:(笑)不能。師:再看:小明在釣魚?！靶∶鳌焙汀棒~”可以調(diào)換嗎?生:(笑)不能。師:25這個(gè)數(shù)中的“2”和“5”可以調(diào)換嗎?生:也不可以。師:但是,在數(shù)學(xué)中有些情況是可以交換的。今天這節(jié)課我們就來研究數(shù)學(xué)中有關(guān)交換的問題。張老師的新課導(dǎo)入,令人叫絕。利用自己學(xué)校的名稱,以幽默的方式讓學(xué)生先體會(huì)有時(shí)位置是不能調(diào)換的,變換“我騎著馬兒跑”“小明在釣魚”這兩句話中的個(gè)別詞語,成了“馬兒騎著我跑”“魚在釣小明”。這種反常規(guī)的表達(dá). (教學(xué)內(nèi)容：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（蘇教版）四年級(jí)上冊(cè)“交換律”。教學(xué)目標(biāo)：1認(rèn)識(shí)并能運(yùn)用加法交換律和乘法交換律。2經(jīng)歷“形成猜想、舉例驗(yàn)證”的完整、真實(shí)的過程，感悟數(shù)學(xué)研究的一般方法。教學(xué)過程：一、引發(fā)猜想。1介紹“朝三暮四”的故事，引導(dǎo)學(xué)生得出等式“3+4=4+3”。2引導(dǎo)學(xué)生由等式“3+4=4+3”引發(fā)猜想：是否任意兩數(shù)相加，交換位置，和都不變？二、舉例驗(yàn)證。1交流：有了猜想，我們還得驗(yàn)證。你打算怎么驗(yàn)證？2學(xué)生舉例驗(yàn)證，教師巡視指導(dǎo)。3教師呈現(xiàn)學(xué)生中通常出現(xiàn)的兩種不同的舉例方法，引導(dǎo)學(xué)生思考：你贊成哪一種，為什么？4學(xué)生交流所舉例子，教師選擇部分例子寫在黑板上。5教師根據(jù)實(shí)際情況，呈現(xiàn)某學(xué)生研究這一猜想時(shí)給出的部分例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些例子，并通過比較，體會(huì)這些例子對(duì)于驗(yàn)證這一猜想的作用。6小結(jié)舉例驗(yàn)證的方法，揭示“加法交換律”。三、類比拓展。1引導(dǎo)學(xué)生由加法類比到減法、乘法和除法，并自覺形成關(guān)于減法、乘法和除法中是否有交換律的三個(gè)新猜想。2學(xué)生選擇部分猜想，舉例進(jìn)行研究。教師參與，適時(shí)給予指導(dǎo)。3交流：哪一猜想是正確的，你們是怎么舉例驗(yàn)證得出結(jié)論的？教師板書若干例子，進(jìn)而得出結(jié)論。4探討：減法和除法中有交換律嗎？學(xué)生交流后，引導(dǎo)思考：為什么只要舉一個(gè)反例就能推翻猜想？5溝通與拓展。四、直觀論證。1深究：為什么兩數(shù)相加，交換他們的位置，和會(huì)不變呢？?jī)蓴?shù)相乘，交換他們的位置，積又為何不變呢？2借助集合圖和點(diǎn)子圖，直觀地幫助學(xué)生深入理解加法和乘法交換律，并滲透樸素的證明思想。五、溝通聯(lián)系。1溝通加法交換律、乘法交換律與以往所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系。2重新審視以往用“交換兩個(gè)加數(shù)或乘數(shù)的位置，再算一遍”的方法驗(yàn)算加法和乘法的合理性，深化對(duì)交換律的理解。六、應(yīng)用提升。依次完成幾道填空題，并相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生用含有字母的式子表示出加法和乘法的交換律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔。七、小結(jié)延伸。通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？教學(xué)交換律（張齊華） 一個(gè)例子，究竟能說明什么？ 師：喜歡聽故事嗎？ 生：喜歡。 師：那就給大家講一個(gè)“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？ 結(jié)合學(xué)生發(fā)言，教師板書：3+4=4+3。 師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。 (教師板書這句話) 師：其他同學(xué)呢？(見沒有補(bǔ)充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說些什么？ 生2：我覺得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個(gè)特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。 生3：我也同意他(生2)的觀點(diǎn)，但我覺得單就黑板上的這一個(gè)式子，就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點(diǎn)更準(zhǔn)確、更科學(xué)一些。 師：的確，僅憑一個(gè)特例就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點(diǎn)。但我們不妨把這一結(jié)論當(dāng)作一個(gè)猜想(教師隨即將生1給出的結(jié)論中的“?！备臑椤埃俊?。既然是猜想，那么我們還得 生：驗(yàn)證。 驗(yàn)證猜想，需要怎樣的例子？ 師：怎么驗(yàn)證呢？ 生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？ 師：怎樣的例子，能否具體說說？ 生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學(xué)生普遍認(rèn)可這一想法） 師：那你們覺得需要舉多少個(gè)這樣的例子呢？ 生2：五、六個(gè)吧。 生3：至少要十個(gè)以上。 生4：我覺得應(yīng)該舉無數(shù)個(gè)例子才行。不然，你永遠(yuǎn)沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個(gè)加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點(diǎn)頭贊同） 生5：我反對(duì)！舉無數(shù)個(gè)例子是不可能的，那得舉到什么時(shí)候才好？如果每次驗(yàn)證都需要這樣的話，那我們永遠(yuǎn)都別想得到結(jié)論！ 師：我個(gè)人贊同你（生5）的觀點(diǎn)，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點(diǎn)，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個(gè)例子，全班合起來那就多了。同時(shí)大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時(shí)告訴大家行嗎？ 學(xué)生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。 師：正式交流前，老師想給大家展示同學(xué)們?cè)趧偛排e例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。 （教師展示如下兩種情況：1先寫出1223和2312，計(jì)算后，再在兩個(gè)算式之間添上“”。2不計(jì)算，直接從左往右依次寫下“12232312”。） 師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？ 生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號(hào)寫上去了。這叫不負(fù)責(zé)任。（生笑） 生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個(gè)加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學(xué)只是照樣子寫了一個(gè)等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對(duì)的，不能驗(yàn)證我們的猜想。 （大家對(duì)生6、生7的發(fā)言表示贊同。） 師：哪些同學(xué)是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？ （幾位同學(xué)不好意思地舉起了手。） 師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點(diǎn)頭）為了驗(yàn)證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補(bǔ)救的機(jī)會(huì)，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。 師：其余同學(xué)，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？ 生8：我舉了三個(gè)例子，7887，2992，4774。從這些例子來看，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。 生9：我也舉了三個(gè)例子，5445，30151530，200500500200。我也覺得，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。 （注：事實(shí)上，選生8、生9進(jìn)行交流，是教師有意而為之。） 師：兩位同學(xué)舉的例子略有不同，一個(gè)全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個(gè)則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？ 生10：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡(jiǎn)單，一看就明白。 生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個(gè)一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學(xué)的。 生12：我也更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應(yīng)該這樣，要考慮到方方面面。 （多數(shù)學(xué)生表示贊同。） 師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？ 教師出示作業(yè)紙：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。 生：我們?cè)谂e例時(shí)，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。 生：他還舉到了分?jǐn)?shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變，交換兩個(gè)分?jǐn)?shù)的位置和也不變。 師：沒錯(cuò)，因?yàn)槲覀儾恢皇且f明“交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換 生：任意兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。 師：看來，舉例驗(yàn)證猜想，還有不少的學(xué)問?，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這個(gè)結(jié)論了嗎？（學(xué)生均表示認(rèn)同）有沒有誰舉例時(shí)發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個(gè)加數(shù)位置和變了？（學(xué)生搖頭）這樣看來，我們能驗(yàn)證剛才的猜想嗎？ 生：能。 （教師重新將“？”改成“。”，并補(bǔ)充成為：“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變?！保?師：回顧剛才的學(xué)習(xí)，除了得到這一結(jié)論外，你還有什么其它收獲？ 生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個(gè)例子，是沒法驗(yàn)證某個(gè)猜想的，應(yīng)該多舉一些例子才行。 生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。 師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+44+3”，進(jìn)而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗(yàn)證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？ （學(xué)生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。） 師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個(gè)加數(shù)的（板書：變） 生：位置。 師：但不變的是 生：它們的和。（板書：不變） 師：原來，“變”和“不變”有時(shí)也能這樣巧妙地結(jié)合在一起。 結(jié)論，是終點(diǎn)還是新的起點(diǎn)？ 師：從個(gè)別特例中形成猜想，并舉例驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變?！蹦敲?，在 生1：（似有所悟）減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置，差會(huì)不會(huì)也不變呢？ （學(xué)生中隨即有人作出回應(yīng)，“不可能，差肯定會(huì)變?！保?師：不急于發(fā)表意見。這是他（生1）通過聯(lián)想給出的猜想。 （教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置差不變？”） 生2：同樣，乘法中，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置積會(huì)不會(huì)也不變？ （教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置積不變？”） 生3：除法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置商會(huì)不變嗎？ （教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置商不變？”） 師：通過聯(lián)想，同學(xué)們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價(jià)值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？ 生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個(gè)加數(shù)”換成“三個(gè)加數(shù)”、“四個(gè)加數(shù)”或更多個(gè)加數(shù)，不知道和還會(huì)不會(huì)不變？ 師：這是一個(gè)與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對(duì)“加法交換律”的認(rèn)識(shí)。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個(gè)加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對(duì)嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇你最感興趣的一個(gè)，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。 （學(xué)生選擇猜想，舉例驗(yàn)證。教師參與，適當(dāng)時(shí)給予必要的指導(dǎo)。然后全班交流。） 師：哪些同學(xué)選擇了“猜想一”，又是怎樣驗(yàn)證的？ 生5：我舉了兩個(gè)例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)862，但68卻不夠減；3/51/52/5，但1/53/5卻不夠減。所以我認(rèn)為，減法中交換兩個(gè)數(shù)的位置差會(huì)變的，也就是減法中沒有交換律。 師：根據(jù)他舉的例子，你們覺得他得出的結(jié)論有道理嗎？ 生：有。 師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒變嘛。你看，330，交換兩數(shù)的位置后，33還是得0；還有，14141414，100100100100，這樣的例子多著呢。 生6：我反對(duì)，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。 生7：我還有補(bǔ)充，我只舉了一個(gè)例子，2112，我就沒有繼續(xù)往下再舉例。師：哪又是為什么呢？ 生7：因?yàn)槲矣X得，只要有一個(gè)例子不符合猜想，那猜想肯就錯(cuò)了。 師：同學(xué)們?cè)趺蠢斫馑挠^點(diǎn)。 生8：（略。） 生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說明某個(gè)猜想是對(duì)的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個(gè)猜想是錯(cuò)的，只要舉出一個(gè)不符合的例子就可以了。 師：瞧，多深刻的認(rèn)識(shí)！事實(shí)上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作 生：反例。 （有略。） 師：關(guān)于其它幾個(gè)猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？ 生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。 師：能給大家說說你舉的例子嗎？ 生10：5445，01001000，18121218。 （另有數(shù)名同學(xué)交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。） 師：那你們都得出了怎樣的結(jié)論？ 生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。 生12：我想補(bǔ)充。應(yīng)該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說更保險(xiǎn)一些。 師：你的思考很嚴(yán)密。在目前的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結(jié)論吧，等學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補(bǔ)充舉些例子試試，到時(shí)候，我們?cè)賮硗晟七@一結(jié)論，你們看行嗎？ （對(duì)猜想三、四的討論略。） 隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生選擇完成教材中的部分習(xí)題（略），從正、反兩面鞏固對(duì)加法、乘法交換律的理解，并借助實(shí)際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系。 怎樣的收獲更有價(jià)值？ 師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？ 生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。 生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才準(zhǔn)確。 生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個(gè)反例，那我們就能肯定猜想是錯(cuò)誤的。 生：舉例驗(yàn)證時(shí)，例子應(yīng)盡可能多，而且，應(yīng)盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。 師：只有一個(gè)例子，行嗎？ 生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。 （作為補(bǔ)充，教師給學(xué)生介紹了如下故事：三位學(xué)者由倫敦去蘇格蘭參加會(huì)議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊?！罢嬗幸馑迹碧煳膶W(xué)家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對(duì)吧?！蔽锢韺W(xué)家說，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數(shù)學(xué)家馬上接著說：“我覺得下面的結(jié)論可能更準(zhǔn)確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個(gè)地方，有至少一只羊，它是黑色的?！保?必要的拓展：讓結(jié)論增殖！ 師：在本課即將結(jié)束的時(shí)候，依然有一些問題需要留給大家進(jìn)一步展開思考。 （教師出示如下算式：20862068 ; 60236032） 師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？ 生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個(gè)減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個(gè)除數(shù)也交換了位置。 師：交換兩個(gè)減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會(huì)怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進(jìn)一步的舉例驗(yàn)證猜想并得出結(jié)論嗎？這些結(jié)論和我們今天得出的結(jié)論有沖突嗎，又該如何去認(rèn)識(shí)？一堂有價(jià)值的數(shù)學(xué)課，給予學(xué)生的影響應(yīng)該是多元而立體的。有知識(shí)的豐厚、技能的純熟，更有方法的領(lǐng)悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實(shí)上。數(shù)學(xué)的確擁有這一切，而且也可能傳遞這一切。 然而，出于對(duì)知識(shí)與技能的盲目追逐，當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態(tài)，知識(shí)化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數(shù)學(xué)思想、方法和精神失卻了可能生長(zhǎng)的土壤，并逐漸為數(shù)學(xué)課堂所遺忘，這不能不說是當(dāng)今眾多數(shù)學(xué)課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實(shí)到課堂教學(xué)實(shí)踐的卻不多。 可喜的是，在張齊華老師的這一節(jié)課中，我們看到了另一種努力以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數(shù)學(xué)更為豐厚的內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)教學(xué)可能呈現(xiàn)的更為開闊的景象。 對(duì)于“交換律”，一貫的教學(xué)思路是：結(jié)合具體情境，得出某一具有交換律特征的實(shí)例，由此引發(fā)猜想，并借助舉例驗(yàn)證猜想、形成結(jié)論，進(jìn)而在解釋和應(yīng)用的過程中進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)。張老師的課，在宏觀架構(gòu)上并未作太大開拓，然而，在保持其整體架構(gòu)的基礎(chǔ)上，這一堂課在更多細(xì)節(jié)上所給予的突破卻十分顯苧。我們不妨重溫課堂，去找尋這些細(xì)節(jié)，并探尋細(xì)節(jié)背后的意蘊(yùn)所在。 由“3+4=4+3”得出“交換兩數(shù)的位置和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀地介入，以“交換3和4的位置和不變”的細(xì)微變化，確又發(fā)人于深思。正如案例中所提及的，“一個(gè)例子究竟能說明什么”，是得出結(jié)論？還是僅僅是觸發(fā)猜想和驗(yàn)證的一根引線？這里關(guān)乎知識(shí)的習(xí)得，更關(guān)乎方法的生成，關(guān)乎學(xué)生對(duì)于如何從事數(shù)學(xué)思考的思考。 “驗(yàn)證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨(dú)特的教學(xué)智慧。曾經(jīng)在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學(xué)生舉例三、四，教師引導(dǎo)學(xué)生匆匆過場(chǎng)，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上？換言之，在“簡(jiǎn)潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗(yàn)證猜想”時(shí)應(yīng)該遵循的規(guī)則。張老師的嘗試與表達(dá)無疑是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的一種突破?！芭e例”不應(yīng)只追求簡(jiǎn)約。例子的多元化、特殊性恰恰是結(jié)論準(zhǔn)確和完整的前提。沒有老師適時(shí)的點(diǎn)撥與引導(dǎo)，學(xué)生如何才能有此深度體驗(yàn)？無此體驗(yàn)，我們?nèi)绾文苷f，學(xué)生已經(jīng)歷過程，并已感悟思想與方法？ 觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發(fā)了這一節(jié)課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內(nèi)容的簡(jiǎn)單擴(kuò)張？是教學(xué)結(jié)構(gòu)的適度調(diào)整？隨后的課堂，給了我清晰的答復(fù)?！凹臃ń粨Q律”只是一個(gè)觸點(diǎn)，“減法中是否也會(huì)有交換律”、“乘法、除法中呢”等新問題，則是原有觸點(diǎn)中誕生的一個(gè)個(gè)新的生長(zhǎng)點(diǎn)。統(tǒng)整到一起時(shí)，作為某一特定運(yùn)算的“交換律知識(shí)”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關(guān)系、“ 想一實(shí)驗(yàn)一驗(yàn)證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想等卻一一獲得凸顯，成為超越于知識(shí)之上的更高的數(shù)學(xué)課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價(jià)值的探索？ 課堂的結(jié)尾，我們依然看到了教師對(duì)傳統(tǒng)保守思路的背叛。確定的、可靠的結(jié)論已經(jīng)不再是一堂課的終極追求，結(jié)論的可增 殖性、結(jié)論的重新表達(dá)、問題的不斷生成和卷入，仿佛成為丁這堂課最后的價(jià)值取向，即便是顛覆原有的結(jié)論，也在所不惜。在這里，我們?cè)僖淮慰吹搅私處煂?duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的“戰(zhàn)略性”忽視，因?yàn)椋處熜闹杏写髿庀蟆?數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)可以留下些什么，數(shù)學(xué)可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數(shù)學(xué)可以在人的內(nèi)心深處培植理性的種子，可以讓你擁有一顆數(shù)學(xué)的大腦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會(huì)理性、審慎地看待問題，關(guān)注周遭，理解世界，這恰是這節(jié)課給予我們的最大啟迪。而數(shù)學(xué)的文化特性也恰在于此。交換律一課，張老師先是由師生談話開始。師：知道張老師是哪個(gè)學(xué)校的嗎？生：江蘇省南京市北京東路小學(xué)。師：關(guān)于我工作的地方，還有一個(gè)故事，大家想聽嗎？（想）師：我有一個(gè)朋友，有一天，他非說我調(diào)到北京去工作了。他說他在網(wǎng)上看到的。他說明明看到我在北京市南京東路小學(xué)。原來，他把北京和南京兩個(gè)詞調(diào)換了。大家說，可以調(diào)換嗎？（不可以）師：看來啊，有些時(shí)候是不能任意調(diào)換的?？雌聊簧线@兩句話：我騎著馬兒跑。小明在釣魚。能調(diào)換嗎？師：52這個(gè)數(shù)中的5和2可以調(diào)換嗎？師：但是，在數(shù)學(xué)中也有一些情況下是可以交換的，今天這節(jié)課我們就來研究數(shù)學(xué)中有關(guān)交換的問題。 然后，張老師出示了幾組口算題，口算的形式也很有意思。屏幕出示后，他要求學(xué)生悄悄地把計(jì)算的結(jié)果告訴同桌。第一個(gè)算式出示后，學(xué)生回答的聲音比較大，他幽默地說：還不夠悄悄?？谒泐}一共有6道3組，張老師問學(xué)生：你發(fā)現(xiàn)了什么嗎？根據(jù)學(xué)生的回答，張老師在黑板上板書了三組算式。然后問學(xué)生：觀察這些算式，你覺得有什么規(guī)律。學(xué)生說出后，師問：你還能舉出這樣的例子來嗎？學(xué)生說：可以。師：可以舉出多少呢？生：無數(shù)個(gè)。師：那似乎我們可以說，任意兩個(gè)自然數(shù)相加，交換它們的位置，和不變。板書后，師問：我們這兒只有三個(gè)例子，為了證明這句話是對(duì)的，光這幾個(gè)例子夠嗎？生：不夠。師：所以我們還要去舉一些例子，在舉例子的時(shí)候要注意什么呢？生1：不僅要舉兩位數(shù)加兩位數(shù)，還要舉三位數(shù)加三位數(shù)。生2：還要舉小數(shù)加小數(shù)。生3：還要舉分?jǐn)?shù)加分?jǐn)?shù)。（老師對(duì)這幾個(gè)同學(xué)積極鼓勵(lì)） 通過舉例驗(yàn)證了加法交換律后，張老師啟發(fā)：剛才我們研究的是加法交換位置，和不變。由加法你想到什么？生馬上想到想去研究減法，乘法，除法是否有交換律。和學(xué)生討論出這些規(guī)律的表示方法后，張老師讓學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行研究。 全班交流時(shí)，先說乘法，在這兒出現(xiàn)了很有趣的一幕。因?yàn)閷W(xué)生說，乘法他們只驗(yàn)證了整數(shù)乘法，但小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法還沒有學(xué)，他們無法驗(yàn)證，所有他們擔(dān)心會(huì)不行。所以在說這個(gè)規(guī)律時(shí)，學(xué)生要求把乘法交換律說成，兩個(gè)因數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積基本不變。 而在研究減法時(shí)，學(xué)生的思維同樣的非?；钴S，舉了幾個(gè)例子后，學(xué)生同意了減法沒有交換律，但有個(gè)同學(xué)說，兩個(gè)相同的數(shù)相減，交換它們的位置，差不變。張老師肯定了她的想法，并對(duì)她說發(fā)現(xiàn)了一個(gè)子規(guī)律。 張老師帶著孩子們得出加法和乘法有交換律后，出了幾道很簡(jiǎn)單的填空題。最后一道是（ ）+（ ）=（ ）+（ ），學(xué)生舉了幾個(gè)例子后，老師問：能填得完嗎？有沒有什么辦法表示呢？從而滲透用字母表示數(shù)。 然后，張老師又分別用集合圖和點(diǎn)陣法向?qū)W生介紹了數(shù)學(xué)家是如何證明加法交換律和乘法交換律的。 最后，張老師給學(xué)生講了一個(gè)小故事，作為這節(jié)課的結(jié)尾：天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家坐著火車在蘇格蘭的大地上奔馳。他們往外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文學(xué)家說：多么有趣，所有的蘇格蘭羊都是黑色的。物理學(xué)家反駁道：不！某些蘇格蘭羊是黑色的。數(shù)學(xué)家慢條斯理地說：在蘇格蘭至少存在著一塊田地，至少有一只羊，這只羊至少有一側(cè)是黑色的。對(duì)于教學(xué)，這本是一個(gè)再樸素不過的道理，而我卻用了整整十年的時(shí)間，才漸漸品出其中的真滋味。而且，十年教學(xué)中，自己的所見、所聞、所思、所感使我越來越堅(jiān)信：如我一樣，對(duì)這一道理不夠明白者，不在少數(shù)！想起讀師范時(shí)，無論是學(xué)校的課程設(shè)置，抑或大家對(duì)各門課程的熱衷程度，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法都要比初等數(shù)論幾何學(xué)概論等強(qiáng)得多，以至于還沒踏上講臺(tái)，“怎么教才是最重要的”已在我們這些“準(zhǔn)教師”的潛意識(shí)里扎根。難怪有人擔(dān)憂：這一代教師可能“集體缺鈣”。我以為這并非聳人聽聞，而且深知這“鈣”正是數(shù)學(xué)教師對(duì)“教什么”應(yīng)有的重視，是對(duì)數(shù)學(xué)本身必需的關(guān)注。正式走上講臺(tái)，“教什么”的問題似乎更不值得一提：“既然是數(shù)學(xué)教師，教的自然是數(shù)學(xué)?！笨雌饋恚@是無需求證的事實(shí)，但問題又恰在于此。我曾在不同年齡段的數(shù)學(xué)教師中問過同樣的問題：什么是數(shù)學(xué)？沒想到，答案千姿百態(tài)：“數(shù)學(xué)？呵，教了一輩子數(shù)學(xué)，還真沒想過。”手指數(shù)學(xué)書：“這就是數(shù)學(xué)！”“數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)的學(xué)問吧？”能道出恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)的定義者少之又少，更莫說對(duì)數(shù)學(xué)給出自己個(gè)性化的、深刻的見解了。倒是下面這位教師的回答更直截了當(dāng)：“什么是數(shù)學(xué)并不重要，只要能教會(huì)學(xué)生就行?！蔽蚁嘈?，他的觀點(diǎn)有相當(dāng)?shù)钠毡樾浴?我們沒有理由不擔(dān)心，一個(gè)“不知數(shù)學(xué)為何物”（至少是知之不多）的教師，得有多大的勇氣才能自信地走上講臺(tái)并從事好手頭的這份數(shù)學(xué)教學(xué)工作？一個(gè)“心中無數(shù)學(xué)”的教師，如何才能憑借數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育價(jià)值與文化意義？近期，關(guān)于數(shù)學(xué)課堂中“去數(shù)學(xué)化”傾向的討論，不正是上述顧慮的折射嗎？無疑，什么是數(shù)學(xué)，這不是只言片語所能解釋清楚的。但有一點(diǎn)毋庸置疑，那就是對(duì)數(shù)學(xué)的不同認(rèn)識(shí)和理解必然會(huì)深刻影響數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀，影響數(shù)學(xué)課程潛在教育價(jià)值與文化意義的實(shí)現(xiàn)。從這一意義上講，對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的了解、解讀以及持續(xù)的思索則顯得十分必要而且迫切。當(dāng)然，在此我們尤其要弄清楚這樣一些與數(shù)學(xué)有關(guān)的命題，比如“作為科學(xué)的數(shù)學(xué)”與“作為學(xué)科的數(shù)學(xué)”，“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”與“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，靜態(tài)的“文本數(shù)學(xué)”與動(dòng)態(tài)的“課堂數(shù)學(xué)”，等等。類似的思考會(huì)使我們對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)更加深入、辯證的把握，也有利于我們以一種更審慎的態(tài)度觀照數(shù)學(xué)以及我們的數(shù)學(xué)課堂。此外，作為與“教什么”密切相關(guān)的話題，我們還應(yīng)提及數(shù)學(xué)教師自身的學(xué)科素養(yǎng)問題。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)并不是教師“外在于”數(shù)學(xué)，以數(shù)學(xué)為純粹“客體”“對(duì)象”而從事的搬運(yùn)工作。教師與數(shù)學(xué)，二者理應(yīng)相互交融、合二為一。一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師站在講臺(tái)上，他就是數(shù)學(xué)！教學(xué)活動(dòng)中，他的身上應(yīng)該自然散發(fā)著一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)光華與氣息，一種源自于理性、智慧、思辨的內(nèi)在氣質(zhì)。此時(shí)的教師，恰是以一個(gè)完整的職業(yè)生命，攜自身的全部數(shù)學(xué)涵養(yǎng)融入教室、融入課堂、融入學(xué)生，學(xué)生由此而汲取數(shù)學(xué)的豐富營養(yǎng)。正是基于這樣的思考，我們?cè)诖擞窒胩峒斑@樣一個(gè)問題：作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師的我們，是否還需要有高等數(shù)學(xué)的視野，并補(bǔ)充一些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論的養(yǎng)分，以使我們所教的“數(shù)學(xué)”更豐厚些？與大家共勉。教學(xué)交換律張齊華一個(gè)例子，究竟能說明什么？師：喜歡聽故事嗎？生：喜歡。師：那就給大家講一個(gè)“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？結(jié)合學(xué)生發(fā)言，教師板書：3+4=4+3。師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。(教師板書這句話) 師：其他同學(xué)呢？(見沒有補(bǔ)充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說些什么？生2：我覺得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個(gè)特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。生3：我也同意他(生2)的觀點(diǎn)，但我覺得單就黑板上的這一個(gè)式子，就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點(diǎn)更準(zhǔn)確、更科學(xué)一些。師：的確，僅憑一個(gè)特例就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點(diǎn)。但我們不妨把這一結(jié)論當(dāng)作一個(gè)猜想(教師隨即將生1給出的結(jié)論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得生：驗(yàn)證。驗(yàn)證猜想，需要怎樣的例子？師：怎么驗(yàn)證呢？生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？師：怎樣的例子，能否具體說說？生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學(xué)生普遍認(rèn)可這一想法）師：那你們覺得需要舉多少個(gè)這樣的例子呢？生2：五、六個(gè)吧。生3：至少要十個(gè)以上。生4：我覺得應(yīng)該舉無數(shù)個(gè)例子才行。不然，你永遠(yuǎn)沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個(gè)加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點(diǎn)頭贊同）生5：我反對(duì)！舉無數(shù)個(gè)例子是不可能的，那得舉到什么時(shí)候才好？如果每次驗(yàn)證都需要這樣的話，那我們永遠(yuǎn)都別想得到結(jié)論！師：我個(gè)人贊同你（生5）的觀點(diǎn)，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點(diǎn)，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個(gè)例子，全班合起來那就多了。同時(shí)大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時(shí)告訴大家行嗎？學(xué)生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。師：正式交流前，老師想給大家展示同學(xué)們?cè)趧偛排e例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。（教師展示如下兩種情況：1先寫出1223和2312，計(jì)算后，再在兩個(gè)算式之間添上“”。2不計(jì)算，直接從左往右依次寫下“12232312”。）師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號(hào)寫上去了。這叫不負(fù)責(zé)任。（生笑）生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個(gè)加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學(xué)只是照樣子寫了一個(gè)等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對(duì)的，不能驗(yàn)證我們的猜想。（大家對(duì)生6、生7的發(fā)言表示贊同。）師：哪些同學(xué)是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？（幾位同學(xué)不好意思地舉起了手。）師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點(diǎn)頭）為了驗(yàn)證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補(bǔ)救的機(jī)會(huì)，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。師：其余同學(xué)，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？生8：我舉了三個(gè)例子，7887，2992，4774。從這些例子來看，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。生9：我也舉了三個(gè)例子，5445，30151530，200500500200。我也覺得，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。（注：事實(shí)上，選生8、生9進(jìn)行交流，是教師有意而為之。）師：兩位同學(xué)舉的例子略有不同，一個(gè)全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個(gè)則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？生10：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡(jiǎn)單，一看就明白。生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個(gè)一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學(xué)的。生12：我也更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應(yīng)該這樣，要考慮到方方面面。（多數(shù)學(xué)生表示贊同。）師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？教師出示作業(yè)紙：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。生：我們?cè)谂e例時(shí)，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。生：他還舉到了分?jǐn)?shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變，交換兩個(gè)分?jǐn)?shù)的位置和也不變。師：沒錯(cuò)，因?yàn)槲覀儾恢皇且f明“交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換生：任意兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。師：看來，舉例驗(yàn)證猜想，還有不少的學(xué)問?，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這個(gè)結(jié)論了嗎？（學(xué)生均表示認(rèn)同）有沒有誰舉例時(shí)發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個(gè)加數(shù)位置和變了？（學(xué)生搖頭）這樣看來，我們能驗(yàn)證剛才的猜想嗎？生：能。（教師重新將“？”改成“?！?，并補(bǔ)充成為：“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變?！保煟夯仡檮偛诺膶W(xué)習(xí)，除了得到這一結(jié)論外，你還有什么其它收獲？生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個(gè)例子，是沒法驗(yàn)證某個(gè)猜想的，應(yīng)該多舉一些例子才行。生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+44+3”，進(jìn)而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗(yàn)證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？（學(xué)生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個(gè)加數(shù)的（板書：變）生：位置。師：但不變的是生：它們的和。（板書：不變）師：原來，“變”和“不變”有時(shí)也能這樣巧妙地結(jié)合在一起