2019-2020學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣一中高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣一中高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A對(duì)于命題：，則：，B“”是“”的充分不必要條件C若命題為假命題，則，都是假命題D命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”【答案】C【解析】根據(jù)非命題的概念可知正確,根據(jù)充分不必要條件的概念可知正確,根據(jù)真值表可知不正確,根據(jù)逆否命題的概念可知正確.【詳解】對(duì)于,對(duì)于命題：，則：，是正確的;對(duì)于, “”是“”的充分不必要條件是正確的;對(duì)于,若命題為假命題，則，至少有一個(gè)是假命題,故不正確;對(duì)于,命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”是正確的.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題的真假,考查了非命題,考查了充分不必要條件,考查了真值表,考查了否命題,屬于基礎(chǔ)題.2已知A,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)于平面ABC外的任一點(diǎn)O,下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是( )ABCD【答案】D【解析】根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)共面，可得，驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面,則，只有選項(xiàng)D滿足，.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共面定理的應(yīng)用，其中熟記點(diǎn)與點(diǎn)共面時(shí)，且,則是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.3已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】 拋物線的焦點(diǎn)為故選C4設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則 ( )A2B-4C-2D4【答案】D【解析】根據(jù)平面平行得法向量平行，再根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，解之得，?yīng)選答案D【點(diǎn)睛】本題考查向量平行坐標(biāo)表示，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.5已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（ ）A虛軸長(zhǎng)為4B焦距為C離心率為D漸近線方程為【答案】D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，雙曲線的方程為，其中b=3，虛軸長(zhǎng)為6，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的方程為，其中a=2，b=3，則，則焦距為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，雙曲線的方程為，其中a=2，b=3，則，則離心率為，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，雙曲線的方程為，其中a=2，b=3，則漸近線方程為，則D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線虛軸長(zhǎng)、焦距、離心率以及漸近線方程等概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,則點(diǎn)P到三角形ABC重心G的距離為()A2BC1D【答案】D【解析】以P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得出A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出G的坐標(biāo)。最后由兩點(diǎn)間的距離公式，可得出P、G之間的距離?！驹斀狻恳訮點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA、PB、PC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。易得AB、C故G所以=【點(diǎn)睛】本題主要考察利用空間直角坐標(biāo)系求兩點(diǎn)間的距離。若三角形的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、.則其重心坐標(biāo)為 7P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是左右焦點(diǎn)，由F2向的外角平分線作垂線，垂足為Q，則Q點(diǎn)的軌跡為( )A直線B圓C雙曲線D拋物線【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)F2Q交F1P于點(diǎn)M，由已知可得：PQF2M，F(xiàn)2PQ=MPQ可得MP=F2P，點(diǎn)Q為線段F2M的中點(diǎn)連接OQ，利用三角形中位線定理、橢圓與圓的定義即可得出【詳解】如圖所示，設(shè)F2Q交F1P于點(diǎn)M，由已知可得：PQF2M，F(xiàn)2PQ=MPQMP=F2P，點(diǎn)Q為線段F2M的中點(diǎn)連接OQ，則OQ為F1F2M的中位線，MF1=F1P+F2P=2aOQ=aQ點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理、三角形中位線定理、橢圓與圓的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題8已知四棱錐中，則點(diǎn)到底面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由題設(shè)，即，即，由于，所以，故點(diǎn)到平面ABCD的距離，應(yīng)選答案D。9雙曲線和橢圓的離心率互為倒數(shù)，那么以為邊長(zhǎng)的三角形是（ ）A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D等腰三角形【答案】C【解析】試題分析：雙曲線(a0，b0)和橢圓(mb0)的離心率互為倒數(shù)，三角形一定是直角三角形【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)10如圖，正方體中，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，則和所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【解析】以為原點(diǎn), 所在直線分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,根據(jù)向量的夾角公式可得向量與的夾角的余弦值,由此可得與的夾角的余弦值.【詳解】如圖:以為原點(diǎn), 所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,所以,所以,設(shè)向量與的夾角為,則,因?yàn)?所以與的夾角即為向量與的夾角,所以與的夾角的余弦值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量求異面直線的夾角的余弦值,正確建系,寫出向量與的坐標(biāo),代入夾角公式計(jì)算是解題關(guān)鍵.11已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是( )A2B3CD【答案】A【解析】直線l2：x1為拋物線y24x的準(zhǔn)線由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y24x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，即dmin212分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)若為等邊三角形，則的面積為（ ）A8BCD16【答案】C【解析】由雙曲線的定義，可得F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2a，BF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，再在F1BF2中應(yīng)用余弦定理得，a，c的關(guān)系，即可求出BF1F2的面積【詳解】因?yàn)锳BF2為等邊三角形，不妨設(shè)AB=BF2=AF2=m，A為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B為雙曲線上一點(diǎn)，則BF2BF1=2a，BF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，在F1BF2中應(yīng)用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120，得c2=7a2，在雙曲線中：c2=a2+b2，b2=24a2=4BF1F2的面積為=24=8故選C【點(diǎn)睛】本題給出經(jīng)過雙曲線左焦點(diǎn)的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，求三角形的面積，著重考查了雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題二、填空題13在空間中，已知平面過和及軸上一點(diǎn)，如果平面與平面的夾角為，則_.【答案】【解析】設(shè),先求出平面的一個(gè)法向量,然后取平面的一個(gè)法向量,利用兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值等于,列等式可解得.【詳解】設(shè),則,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則 ,即 ,取,則,所以,取平面的一個(gè)法向量,則,又,.故答案:.【點(diǎn)睛】本題考查了求平面的一個(gè)法向量,考查了二面角的向量求法,屬于基礎(chǔ)題.14在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題:()2=3;()=0;的夾角為60;正方體的體積為|.其中正確命題的序號(hào)是_.【答案】【解析】由向量的運(yùn)算法則以及垂直向量其數(shù)量積為0，可得正確。由向量線性運(yùn)算以及空間中與垂直可知正確。易得三角形為等邊三角形。又，故夾角為與的補(bǔ)角為120，故錯(cuò)誤。|=|故錯(cuò)誤【詳解】()2=222=3故正確()=0,故正確。因?yàn)?，均為面對(duì)角線，所以三角形為等邊三角形，而的夾角為與的補(bǔ)角。所以的夾角為120，故錯(cuò)誤。正方體的體積為|，而|=|故錯(cuò)誤【點(diǎn)睛】本題主要考察空間向量的線性運(yùn)算。在求向量夾角時(shí)，注意判斷向量的方向。15如圖，若為橢圓：上一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，若以橢圓短軸為直徑的圓與相切于中點(diǎn)，則橢圓的方程為_.【答案】【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為,另一個(gè)焦點(diǎn),利用是的中位線以及橢圓的定義求得直角三角形的三邊之長(zhǎng),再利用焦點(diǎn)坐標(biāo)可求解橢圓方程.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,另一個(gè)焦點(diǎn),由題意知,又是的中位線,所以,所以,由橢圓的定義知,又,所以在直角三角形中,由勾股定理得,又,可得,因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn),所以,所以,聯(lián)立解得,所以橢圓的方程為.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義,考查了三角形的中位線定理,考查了利用求橢圓方程,本題屬于中檔題.16過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】由題意，可知E是PF的中點(diǎn)，OE為的中位線，根據(jù)三角形中中位線定理及雙曲線的定義，即可求解的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】由題意，雙曲線焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，則E是PF的中點(diǎn)，OE為的中位線，則，由雙曲線的定理可知，則，所以雙曲線的離心率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理用題設(shè)條件，借助雙曲線的定義和三角形的中位線，求得的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.三、解答題17已知命題：空間兩向量與的夾角不大于；命題：雙曲線的離心率若與均為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】【解析】先求出為真命題時(shí),的取值范圍,再根據(jù)與均為假命題,可得為真命題，為假命題,由此列式可求得答案.【詳解】解：若命題為真，則有，即，解得或；若命題為真，則有，解得：；與均為假命題，為真命題，為假命題則有，解得故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍,考查了向量的夾角,考查了根據(jù)橢圓的離心率的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.18已知直線L: yxm與拋物線y28x交于A、B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），（1）若直線L過拋物線焦點(diǎn)，求線段 |AB|的長(zhǎng)度； （2）若OAOB ，求m的值；【答案】(1)m =2,|AB|=16；(2)m=-8.【解析】（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦長(zhǎng)公式可求；（2）由于OAOB，從而有x1x2+y1y2=0，利用韋達(dá)定理可得方程，從而求出m的值【詳解】(1)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)直線L: yxm過點(diǎn)(2,0)，得m=2,直線L:y=x2與拋物線y2=8x聯(lián)立可得x212x+4=0，x1+x2=12, x1x2=4，.(2)聯(lián)立，得.OAOB,.m=0或m=8,經(jīng)檢驗(yàn)m=8.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦長(zhǎng)或垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.19如圖，平面平面，是等腰直角三角形，四邊形是直角梯形，分別為，的中點(diǎn)（1求異面直角與所成角的大小；（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1） （2）【解析】(1) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量與的夾角公式計(jì)算可得;(2) 設(shè)直線與平面所成的角為，利用計(jì)算可得答案.【詳解】（1），平面平面，平面平面，平面，平面，平面如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，.，異面直線與所成角的大小為.（2）由（1）知，.設(shè)平面的法向量為，則由，可得，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量求異面直線所成角,求直線與平面所成角,正確建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,本題屬于中檔題.20設(shè)直線l：y=2x1與雙曲線（，）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且（O為原點(diǎn)）（1）判斷是否為定值，并說明理由；（2）當(dāng)雙曲線離心率時(shí)，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）為定值5將直線y=2x1與雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理即可得到定值；（2）運(yùn)用雙曲線的離心率公式和（1）的結(jié)論，解不等式即可得到所求實(shí)軸的范圍【詳解】（1）為定值5理由如下：y=2x1與雙曲線聯(lián)立，可得（b24a2）x2+4a2xa2a2b2=0，（b2a），即有=16a4+4（b24a2）（a2+a2b2）0，化為1+b24a20，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，由（O為原點(diǎn)），可得x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x11）（2x21）=5x1x22（x1+x2）+1=0，即52+1=0，化為5a2b2+a2b2=0，即有=5，為定值 （2）由雙曲線離心率時(shí)，即為，即有2a2c23a2，由c2=a2+b2，可得a2b22a2，即，由=5，可得5，化簡(jiǎn)可得a，則雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍為（0，）【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，考查直線和雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題21如圖，在四面體中，是正三角形，是直角三角形，.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】(1) 取的中點(diǎn)，連接，可證為二面角的平面角,再根據(jù)計(jì)算可得,即二面角為直二面角,根據(jù)平面與平面垂直的定義可證平面平面;(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，以的方向?yàn)檩S正方向，以的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量,利用兩個(gè)法向量的夾角即可求得答案.【詳解】（1）證明：由題設(shè)可得，從而又是直角三角形，所以.取的中點(diǎn)，連接，則，.又因?yàn)槭钦切?，故，所以為二面角的平面角在中，又，所以，?即二面角為直二面角,所以平面平面（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，以的方向?yàn)檩S正方向，以的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的