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數(shù)值分析分章復(fù)習(xí)第1章 引論要點(diǎn):誤差基本概念誤差分類:截?cái)嗾`差;舍入誤差。誤差量化:絕對誤差;相對誤差;有效數(shù)字設(shè)計(jì)數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)注重的原則:注重算法穩(wěn)定性;減少運(yùn)算量;避免相近數(shù)相減;避免絕對值小的數(shù)作分母復(fù)習(xí)題:1、 設(shè)均具有5位有效數(shù)字,試估計(jì)由這些數(shù)據(jù)計(jì)算,的絕對誤差限2、 已知2.153是2.1542的近似數(shù),問該近似數(shù)有幾位有效數(shù)字?它的絕對誤差和相對誤差各是多少?3、 已知數(shù) e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182, 那末x具有多少位有效數(shù)字4、 要使的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取多少位有效數(shù)字5、 設(shè)準(zhǔn)確值,以作為的近似值,其有效數(shù)字多少6、 設(shè)按遞推公式計(jì)算到,若取27.982(五位有效數(shù)字),試問計(jì)算將有多大誤差?7、 當(dāng)時(shí),為使計(jì)算更精確,應(yīng)如何變形8、 分析下面Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式,并給出運(yùn)行結(jié)果a=1 2 3 4;n=length(a);t=a(n);x=10;for i=n:-1:2t=x*t+a(i-1);end9、 對于積分。(1)試給出遞推計(jì)算式(2)分析遞推式的數(shù)值穩(wěn)定性;(3)給出初始值的估計(jì)。10、 數(shù)值計(jì)算中,影響算法優(yōu)劣的主要因素有哪些?第2章 插值法要點(diǎn):(1)多項(xiàng)式插值基本概念 (2)拉格朗日插值多項(xiàng)式;基本拉格朗日插值多項(xiàng)式性質(zhì) (3)差商表建立;差商與導(dǎo)數(shù)間關(guān)系(4)Newton插值多項(xiàng)式 (5)Hermit插值多項(xiàng)式復(fù)習(xí)題:1、 給定數(shù)表x12345f(x)0-5-632(1)寫出差商表;(2)用一次Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值;(3)用三次Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值。2、 給定函數(shù)指定節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值(如下表)x3579f(x)273-2(1) 寫出的Lagrange插值函數(shù)(2) 將寫成降冪形式:3、 已知函數(shù),在0,1內(nèi)三點(diǎn)0,1/2,1的函數(shù)值,求其二次插值的余項(xiàng);4、 求可導(dǎo)函數(shù)不超過2次的多項(xiàng)式,使其滿足條件:,并寫出其誤差估計(jì)。5、 求一個(gè)次數(shù)不高于3次的多項(xiàng)式,使它滿足。 請直接寫出其誤差估計(jì)式。6、 試?yán)煤瘮?shù)在點(diǎn)處函數(shù)值近似計(jì)算在點(diǎn)處近似值7、 設(shè),取節(jié)點(diǎn)為,0,1,2。(1)試給出的三次插值多項(xiàng)式;(2)估計(jì)余項(xiàng)。8、 若f(x)=x7x31,計(jì)算:f20,21,22,23,24,25,26,27,f20,21,22,23,24,25,26,27,289、 已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù):xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法計(jì)算,x約為多少時(shí)f(x)=1。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。10、 已知函數(shù),計(jì)算函數(shù)的2階均差另外,試計(jì)算3階均差和4階均差第3章 函數(shù)逼近之曲線擬合要點(diǎn):(1)曲線擬合的最小二乘法基本概念 (2)擬合函數(shù)空間中基函數(shù)的確定 (3)法方程組的形成及求解復(fù)習(xí)題:1、 試對如下已知數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合。012345613245652、 依據(jù)下表,求形如的擬合函數(shù)19253138440.05260.0310.02040.01360.01023、 對下面給定的數(shù)據(jù)表求直線擬合12341.92.32.83.24、 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下123458.52.39.613.330.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式,并計(jì)算均方誤差第4章 數(shù)值積分要點(diǎn):(1)數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度概念,代數(shù)精確度所蘊(yùn)含的余項(xiàng)表達(dá)式 (2)插值型求積公式的構(gòu)造及余項(xiàng)表達(dá)式 (3)插值型求積公式關(guān)于代數(shù)精確度的結(jié)論及證明 (4)梯形公式、Simpson公式的形式及余項(xiàng)表達(dá)式 (5)復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式及其余項(xiàng)表達(dá)式 (6)掌握如何根據(jù)要求的精度依據(jù)復(fù)合梯形(或Simpson)公式的余項(xiàng)確定積分區(qū)間a,b的等分次數(shù)n (7)Newton-Cotes求積分公式的特點(diǎn)以及代數(shù)精確度的結(jié)論 (8)高斯型求積公式的概念復(fù)習(xí)題:1、 已知求積公式為(1) 確定它的代數(shù)精度,并指出它是否為Gauss公式;(2) 用此求積公式計(jì)算定積分2、 對于2結(jié)點(diǎn)插值型求積公式。(1)如果求積分公式是兩結(jié)點(diǎn)牛頓科特斯求積公式,請給出求積系數(shù),求積結(jié)點(diǎn),并給出積分余項(xiàng)表達(dá)式(2)若使其具有最高的代數(shù)精度,試確定求積系數(shù)與求積結(jié)點(diǎn)?代數(shù)精度為多少? 3、 分別用梯形公式和二點(diǎn)Gauss公式計(jì)算積分,比較二者的精度4、 對于積分。(1)寫出梯形公式與辛普森公式;(2)請直接指出這兩個(gè)公式的代數(shù)精度;(3)問區(qū)間0,1應(yīng)分為多少等分,用復(fù)化辛普森公式才能使誤差不超過5、 確定下列公式中的參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指出所得公式的代數(shù)精確度。6、 確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指出其代數(shù)精度7、 試設(shè)計(jì)求積公式,使之代數(shù)精度盡量高,并指出其所具有的代數(shù)精度。8、 求積公式具有多少次代數(shù)精確度9、 試設(shè)計(jì)求積公式,使之代數(shù)精度盡量高,并指出其所具有的代數(shù)精度。10、 試確定下列求積公式的代數(shù)精確度 11、 試確定常數(shù),使求積公式 有盡可能高的代數(shù)精度,并指出代數(shù)精度是多少,該公式是否是Gauss型?并用此公式計(jì)算積分(結(jié)果保留5位小數(shù))12、 求出二點(diǎn)Gauss求積公式中系數(shù),及節(jié)點(diǎn),。并用此公式計(jì)算積分(結(jié)果保留5位小數(shù))13、 試證明高斯求積公式的求積系數(shù)恒為正14、 確定常數(shù)及使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度,是否為Gauss型求積公式?并用上述所得公式計(jì)算積分的近似值(計(jì)算過程保留6位小數(shù)).15、 求積公式的代數(shù)精確度為多少階16、 利用復(fù)合梯形公式近似計(jì)算定積分,要求計(jì)算誤差不小于,試估計(jì)區(qū)間等分?jǐn)?shù)第5章 線性方程組直接解法要點(diǎn):(1)利用列主元高斯消去法求解線性方程組 (2)矩陣的Doolittle分解 (3)利用系數(shù)矩陣的Doolittle分解求解線性方程組復(fù)習(xí)題:1、 試用Doolittle三角分解法求解方程組2、 設(shè),(1)求的Doolittle三角分解;(2)利用的Doolittle三角分解式求解3、 用列主元高斯消元法解線性方程組。4、 利用Doolittle三角分解方法求解方程組 5、 用Doolittle分解法解方程組6、 設(shè),對作Doolittle三角分解,其中是單位下三角矩陣,是上三角矩陣7、 用矩陣的直接三角分解法(A=LU)解方程組8、 用列主元素高斯消去法求解線性方程組第6章 線性方程組迭代解法要點(diǎn):(1)線性方程組迭代格式:Jacobi迭代,G-S迭代 (2)矩陣范數(shù)計(jì)算,矩陣譜半徑計(jì)算(3)線性方程組迭代格式的收斂性判斷 (4)Jacobi迭代,G-S迭代收斂的判斷 (5)線性方程組的性態(tài)復(fù)習(xí)題:1、 已知線性方程組為(1)寫出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式;(2)寫出Jacobi迭代矩陣和Seidel迭代矩陣;(3)判別這兩種迭代法的收斂性。2、 設(shè)方程組試問,是否可以適當(dāng)調(diào)整方程的排列順序,使得用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂?說明收斂原因3、 對方程組,驗(yàn)證Jacobi迭代法的收斂性,若發(fā)散,則說明理由,并調(diào)整方程順序使得Jacobi迭代收斂。4、 設(shè)方程組,分別寫出雅可比迭代格式和高斯-塞德爾迭代格式,并討論它們的收斂性5、 已知方程組(1)寫出解此方程組的雅可比法迭代公式;(2)證明當(dāng)時(shí),雅可比迭代法收斂;6、 對下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組,使之應(yīng)用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂,寫出變化后的線性方程組及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式,并說明收斂的理由7、 設(shè),試給出的范圍確保方程組的Jacobi迭代法及GaussSeidel迭代法收斂的充分必要條件8、 已知求,9、 設(shè),求和10、 ,試計(jì)算和 這里p=1,2,11、 線性方程組用Jacobi迭代法是否收斂,為什么?其中12、 設(shè)線性方程組: ,(1) 試給出Gauss-Seidel迭代格式(2) 討論由Gauss-Seidel迭代所產(chǎn)生的向量序列是否收斂,為什么?第7章 非線性方程求根要點(diǎn):(1)迭代公式局部收斂性及收斂性判斷(2)迭代公式收斂階概念(3)Newton迭代公式及收斂性定理復(fù)習(xí)題:1、 建立一個(gè)迭代公式計(jì)算數(shù) ,要求分析所建迭代公式的收斂性2、 對于方程,(3) 證明在區(qū)間-1.9,-1內(nèi)有唯一實(shí)根(4) 討論迭代格式 的收斂性如何?(5) 寫出求解該實(shí)根的牛頓迭代公式3、 為求在1.5附近的一個(gè)根,現(xiàn)將方程改寫成等價(jià)形式,且建立相應(yīng)的迭代公式:(1);(2)。試分析每一種迭代的收斂性4、 對于方程在0.5附近的根。(1) 選取一個(gè)不動點(diǎn)迭代公式,判別其收斂性,并指出收斂階。(2) 給出求解該實(shí)根的牛頓迭代公式5、 應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求的迭代公式6、 對于非線性證明方程(1) 證明在區(qū)間(1,)有一個(gè)單根.并大致估計(jì)單根的取值范圍.(2) 寫出Newton 迭代求解該根的迭代公式7、 據(jù)理證明是方程的一個(gè)二重根,并構(gòu)造計(jì)算的具有平方收斂階的Newton 迭代8、 求方程在
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