數(shù)值期末復(fù)習(xí)題.doc

數(shù)值分析分章復(fù)習(xí)第1章 引論要點(diǎn)：誤差基本概念誤差分類：截?cái)嗾`差；舍入誤差。誤差量化：絕對誤差；相對誤差；有效數(shù)字設(shè)計(jì)數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)注重的原則：注重算法穩(wěn)定性；減少運(yùn)算量；避免相近數(shù)相減；避免絕對值小的數(shù)作分母復(fù)習(xí)題：1、 設(shè)均具有5位有效數(shù)字，試估計(jì)由這些數(shù)據(jù)計(jì)算，的絕對誤差限2、 已知2.153是2.1542的近似數(shù)，問該近似數(shù)有幾位有效數(shù)字？它的絕對誤差和相對誤差各是多少？3、 已知數(shù) e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182, 那末x具有多少位有效數(shù)字4、 要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取多少位有效數(shù)字5、 設(shè)準(zhǔn)確值，以作為的近似值，其有效數(shù)字多少6、 設(shè)按遞推公式計(jì)算到，若取27.982(五位有效數(shù)字),試問計(jì)算將有多大誤差?7、 當(dāng)時(shí)，為使計(jì)算更精確，應(yīng)如何變形8、 分析下面Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并給出運(yùn)行結(jié)果a=1 2 3 4;n=length(a);t=a(n);x=10;for i=n:-1:2t=x*t+a(i-1);end9、 對于積分。（1）試給出遞推計(jì)算式（2）分析遞推式的數(shù)值穩(wěn)定性；（3）給出初始值的估計(jì)。10、 數(shù)值計(jì)算中，影響算法優(yōu)劣的主要因素有哪些？第2章 插值法要點(diǎn)：（1）多項(xiàng)式插值基本概念 （2）拉格朗日插值多項(xiàng)式；基本拉格朗日插值多項(xiàng)式性質(zhì) （3）差商表建立；差商與導(dǎo)數(shù)間關(guān)系（4）Newton插值多項(xiàng)式 （5）Hermit插值多項(xiàng)式復(fù)習(xí)題：1、 給定數(shù)表x12345f(x)0-5-632（1）寫出差商表；（2）用一次Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值；（3）用三次Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值。2、 給定函數(shù)指定節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值（如下表）x3579f(x)273-2（1） 寫出的Lagrange插值函數(shù)（2） 將寫成降冪形式：3、 已知函數(shù)，在0,1內(nèi)三點(diǎn)0，1/2，1的函數(shù)值，求其二次插值的余項(xiàng)；4、 求可導(dǎo)函數(shù)不超過2次的多項(xiàng)式，使其滿足條件：，并寫出其誤差估計(jì)。5、 求一個(gè)次數(shù)不高于3次的多項(xiàng)式，使它滿足。 請直接寫出其誤差估計(jì)式。6、 試?yán)煤瘮?shù)在點(diǎn)處函數(shù)值近似計(jì)算在點(diǎn)處近似值7、 設(shè)，取節(jié)點(diǎn)為，0，1，2。（1）試給出的三次插值多項(xiàng)式；（2）估計(jì)余項(xiàng)。8、 若f(x)=x7x31，計(jì)算：f20,21,22,23,24,25,26,27，f20,21,22,23,24,25,26,27,289、 已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法計(jì)算，x約為多少時(shí)f(x)=1。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。10、 已知函數(shù),計(jì)算函數(shù)的2階均差另外，試計(jì)算3階均差和4階均差第3章 函數(shù)逼近之曲線擬合要點(diǎn)：（1）曲線擬合的最小二乘法基本概念 （2）擬合函數(shù)空間中基函數(shù)的確定 （3）法方程組的形成及求解復(fù)習(xí)題：1、 試對如下已知數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合。012345613245652、 依據(jù)下表，求形如的擬合函數(shù)19253138440.05260.0310.02040.01360.01023、 對下面給定的數(shù)據(jù)表求直線擬合12341.92.32.83.24、 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下123458.52.39.613.330.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差第4章 數(shù)值積分要點(diǎn)：（1）數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度概念，代數(shù)精確度所蘊(yùn)含的余項(xiàng)表達(dá)式 （2）插值型求積公式的構(gòu)造及余項(xiàng)表達(dá)式 （3）插值型求積公式關(guān)于代數(shù)精確度的結(jié)論及證明 （4）梯形公式、Simpson公式的形式及余項(xiàng)表達(dá)式 （5）復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式及其余項(xiàng)表達(dá)式 （6）掌握如何根據(jù)要求的精度依據(jù)復(fù)合梯形（或Simpson）公式的余項(xiàng)確定積分區(qū)間a,b的等分次數(shù)n （7）Newton-Cotes求積分公式的特點(diǎn)以及代數(shù)精確度的結(jié)論 （8）高斯型求積公式的概念復(fù)習(xí)題：1、 已知求積公式為(1) 確定它的代數(shù)精度，并指出它是否為Gauss公式；(2) 用此求積公式計(jì)算定積分2、 對于2結(jié)點(diǎn)插值型求積公式。（1）如果求積分公式是兩結(jié)點(diǎn)牛頓科特斯求積公式，請給出求積系數(shù)，求積結(jié)點(diǎn)，并給出積分余項(xiàng)表達(dá)式（2）若使其具有最高的代數(shù)精度，試確定求積系數(shù)與求積結(jié)點(diǎn)？代數(shù)精度為多少？ 3、 分別用梯形公式和二點(diǎn)Gauss公式計(jì)算積分，比較二者的精度4、 對于積分。（1）寫出梯形公式與辛普森公式；（2）請直接指出這兩個(gè)公式的代數(shù)精度；（3）問區(qū)間0,1應(yīng)分為多少等分，用復(fù)化辛普森公式才能使誤差不超過5、 確定下列公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所得公式的代數(shù)精確度。6、 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度7、 試設(shè)計(jì)求積公式，使之代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度。8、 求積公式具有多少次代數(shù)精確度9、 試設(shè)計(jì)求積公式，使之代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度。10、 試確定下列求積公式的代數(shù)精確度 11、 試確定常數(shù),使求積公式 有盡可能高的代數(shù)精度,并指出代數(shù)精度是多少,該公式是否是Gauss型?并用此公式計(jì)算積分（結(jié)果保留5位小數(shù)）12、 求出二點(diǎn)Gauss求積公式中系數(shù)，及節(jié)點(diǎn)，。并用此公式計(jì)算積分（結(jié)果保留5位小數(shù)）13、 試證明高斯求積公式的求積系數(shù)恒為正14、 確定常數(shù)及使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，是否為Gauss型求積公式？并用上述所得公式計(jì)算積分的近似值（計(jì)算過程保留6位小數(shù)）.15、 求積公式的代數(shù)精確度為多少階16、 利用復(fù)合梯形公式近似計(jì)算定積分，要求計(jì)算誤差不小于，試估計(jì)區(qū)間等分?jǐn)?shù)第5章 線性方程組直接解法要點(diǎn)：（1）利用列主元高斯消去法求解線性方程組 （2）矩陣的Doolittle分解 （3）利用系數(shù)矩陣的Doolittle分解求解線性方程組復(fù)習(xí)題：1、 試用Doolittle三角分解法求解方程組2、 設(shè)，（1）求的Doolittle三角分解；（2）利用的Doolittle三角分解式求解3、 用列主元高斯消元法解線性方程組。4、 利用Doolittle三角分解方法求解方程組 5、 用Doolittle分解法解方程組6、 設(shè)，對作Doolittle三角分解，其中是單位下三角矩陣，是上三角矩陣7、 用矩陣的直接三角分解法（A=LU）解方程組8、 用列主元素高斯消去法求解線性方程組第6章 線性方程組迭代解法要點(diǎn)：（1）線性方程組迭代格式：Jacobi迭代，G-S迭代 （2）矩陣范數(shù)計(jì)算，矩陣譜半徑計(jì)算（3）線性方程組迭代格式的收斂性判斷 （4）Jacobi迭代，G-S迭代收斂的判斷 （5）線性方程組的性態(tài)復(fù)習(xí)題：1、 已知線性方程組為（1）寫出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式；（2）寫出Jacobi迭代矩陣和Seidel迭代矩陣；（3）判別這兩種迭代法的收斂性。2、 設(shè)方程組試問，是否可以適當(dāng)調(diào)整方程的排列順序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂？說明收斂原因3、 對方程組，驗(yàn)證Jacobi迭代法的收斂性，若發(fā)散，則說明理由，并調(diào)整方程順序使得Jacobi迭代收斂。4、 設(shè)方程組，分別寫出雅可比迭代格式和高斯-塞德爾迭代格式，并討論它們的收斂性5、 已知方程組（1）寫出解此方程組的雅可比法迭代公式；（2）證明當(dāng)時(shí)，雅可比迭代法收斂；6、 對下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式，并說明收斂的理由7、 設(shè)，試給出的范圍確保方程組的Jacobi迭代法及GaussSeidel迭代法收斂的充分必要條件8、 已知求，9、 設(shè)，求和10、 ，試計(jì)算和 這里p=1,2,11、 線性方程組用Jacobi迭代法是否收斂，為什么？其中12、 設(shè)線性方程組: ，（1） 試給出Gauss-Seidel迭代格式（2） 討論由Gauss-Seidel迭代所產(chǎn)生的向量序列是否收斂，為什么？第7章 非線性方程求根要點(diǎn)：（1）迭代公式局部收斂性及收斂性判斷（2）迭代公式收斂階概念（3）Newton迭代公式及收斂性定理復(fù)習(xí)題：1、 建立一個(gè)迭代公式計(jì)算數(shù) ，要求分析所建迭代公式的收斂性2、 對于方程，（3） 證明在區(qū)間-1.9，-1內(nèi)有唯一實(shí)根（4） 討論迭代格式 的收斂性如何？（5） 寫出求解該實(shí)根的牛頓迭代公式3、 為求在1.5附近的一個(gè)根，現(xiàn)將方程改寫成等價(jià)形式，且建立相應(yīng)的迭代公式：（1）；（2）。試分析每一種迭代的收斂性4、 對于方程在0.5附近的根。（1） 選取一個(gè)不動點(diǎn)迭代公式，判別其收斂性，并指出收斂階。（2） 給出求解該實(shí)根的牛頓迭代公式5、 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式6、 對于非線性證明方程（1） 證明在區(qū)間(1,)有一個(gè)單根.并大致估計(jì)單根的取值范圍.（2） 寫出Newton 迭代求解該根的迭代公式7、 據(jù)理證明是方程的一個(gè)二重根，并構(gòu)造計(jì)算的具有平方收斂階的Newton 迭代8、 求方程在