金融工程簡(jiǎn)介.docx

第一節(jié) 金融工程概述一、 金融工程的基本概念金融工程（Financial Engineering）是20世紀(jì)80年代中后期在西方發(fā)達(dá)國家興起的一門新興學(xué)科。1998年，美國金融學(xué)家費(fèi)納蒂（Finnerty）首次給出了金融工程的正式定義：金融工程包括新型金融工具與金融工序、開發(fā)與實(shí)施，并為金融問題提供創(chuàng)造性的解決辦法。該定義不僅強(qiáng)調(diào)了對(duì)金融工具的運(yùn)用，而且還強(qiáng)調(diào)了金融工具的重要性。金融工具重要包括各種原生金融工具和各種衍生金融工具。原生金融工具有外匯、貨幣、債券和股票交易，而衍生工具有遠(yuǎn)期、期貨、期權(quán)和互換交易等。金融工序主要指運(yùn)用金融工具和其他手段實(shí)現(xiàn)既定目標(biāo)的程序和策略，不僅包括金融工具的創(chuàng)新，而且還包括金融工具運(yùn)用的創(chuàng)新。一般來說，金融工程的概念有狹義和廣義之分。狹義的金融工程主要指利用先進(jìn)的數(shù)學(xué)及通訊工具，在各種現(xiàn)有基本金融產(chǎn)品的基礎(chǔ)上，進(jìn)行不同形式的組合分解，以設(shè)計(jì)出符合客戶需要并具有特定風(fēng)險(xiǎn)和收益的新的金融產(chǎn)品。而廣義的工程手段則是指一切利用工程化手段來解決金融問題的技術(shù)開發(fā)。他不僅包括金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)，還包括金融產(chǎn)品定價(jià)、交易策略世界、金融風(fēng)險(xiǎn)管理等各個(gè)方面。無論是廣義還是狹義的概念，作為一門新興的學(xué)科，金融工程可以被認(rèn)為是將工程思維引入金融領(lǐng)域，綜合的使用各種工程技術(shù)（主要有數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算、網(wǎng)絡(luò)圖解和仿真技術(shù)等）設(shè)計(jì)、開發(fā)和實(shí)施新型的金融工具盒金融工序，創(chuàng)造性的解決各種金融問題。它是一門將金融學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的交叉學(xué)科?！纠?】1993年，法國政府在對(duì)R-P化工公司實(shí)施私有化（Privatization）時(shí)遇到了困難。按照政府的設(shè)想，在出售股權(quán)的同時(shí)，R-P化工公司應(yīng)將一部分股權(quán)售予公司的員工，以保護(hù)公司員工的利益，同時(shí)也使他們保持工作積極性。但是，R-P公司的員工卻對(duì)這一職工持股計(jì)劃反映非常冷淡。在政府與公司決定對(duì)員工提供10%的價(jià)格折扣之后，仍僅有20%左右的員工購買本公司的股票。這樣少的員工持股無疑使R-P化工公司的管理層對(duì)員工們未來的工作積極性和人力資源流動(dòng)狀況深表憂慮，而政府和公司又不愿意提供更多的折扣，承擔(dān)更大的成本來吸引員工購股。在這兩難境地中，他們向著名的信孚銀行（Bankers Trust）求助。 信孚銀行所面臨的問題： 1、 原計(jì)劃的預(yù)期收益無法抵補(bǔ)預(yù)期所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，企業(yè)員工的投資欲望不強(qiáng)；2、 認(rèn)購比例達(dá)不到管理層的預(yù)期，違背了計(jì)劃的初衷。信孚銀行提出的方案：由R-P公司出面向員工保證其持有的股票在4年半內(nèi)獲得25%的回報(bào)率，同時(shí)其股權(quán)所代表的表決權(quán)不受影響，并且員工可以獲得未來股票二級(jí)市場(chǎng)價(jià)格上漲所帶來的資本利得的2/3，而剩余部分則作為對(duì)R-P公司所提供的最低回報(bào)率的補(bǔ)償。該方案產(chǎn)生了以下效果： R-P化工員工在不影響其股票表決權(quán)的同時(shí)還能獲得最低收益保障，這使得員工的購股興趣大增；R-P化工公司只需支付較低的成本就可以利用員工持股，在這一定程度上解決了困擾企業(yè)發(fā)展的激勵(lì)問題和信息問題；如果二級(jí)市場(chǎng)價(jià)格上升該公司還能獲得員工持股的1/3溢價(jià)部分，如果市場(chǎng)境況不佳，R-P化工公司也不無須承擔(dān)股價(jià)下跌的風(fēng)險(xiǎn)?？傊?，信孚銀行的方案是R-P公司成功地向員工出售了股票，并且只需承擔(dān)比原先折扣優(yōu)惠更低的成本。二、 金融工程的核心分析原理和技術(shù)（一） 金融工程的核心分析原理金融工程的核心分析原理是無套利均衡理論。鑒于金融產(chǎn)品和交易的特點(diǎn)，人們往往很難準(zhǔn)確描述資產(chǎn)的供求曲線和均衡時(shí)的變化特征，但如果可以將資產(chǎn)頭寸和市場(chǎng)上其他資產(chǎn)的頭寸相結(jié)合，構(gòu)造一個(gè)市場(chǎng)均衡時(shí)不能產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)收益的組合頭寸，那么，在市場(chǎng)有效性的前提下，均衡問題便迎刃而解。無套利意義下的價(jià)格均衡規(guī)定了市場(chǎng)的一種穩(wěn)定態(tài)，一旦資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生偏離，套利者的力量就會(huì)迅速引起市場(chǎng)的糾偏反應(yīng)，價(jià)格重新調(diào)整至無套利狀態(tài)。從一定意義上說，無套利均衡原理抓住了金融市場(chǎng)均衡的本質(zhì)。（二） 金融工程的核心分析技術(shù)金融工程的核心分析技術(shù)是組合和分解技術(shù)。所謂的“組合和分解技術(shù)”就是指利用基礎(chǔ)性的金融工具來組裝具有特定流動(dòng)性及收益、風(fēng)險(xiǎn)特征的金融產(chǎn)品，或者是將原有相關(guān)金融產(chǎn)品的收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行剝離，并加以重新配置，以獲得新的金融結(jié)構(gòu)，使之具備特定的風(fēng)險(xiǎn)管理功能，以有效滿足交易者的偏好和需要。組合和分解技術(shù)并不是一種隨意的“積木”游戲，而是無套利均衡原理的具體應(yīng)用。不管在多大的范圍，以何種方式進(jìn)行組合和分解，必須緊緊圍繞著“無套利均衡”這個(gè)中心。組合和分解技術(shù)又被稱為“復(fù)制技術(shù)”，即用一種（或一組）金融工具來“復(fù)制”另一種（或一組）金融工具，其要點(diǎn)是時(shí)復(fù)制組合的現(xiàn)金流與被復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復(fù)制組合和被復(fù)制組合實(shí)現(xiàn)完全對(duì)沖。（三） 金融工程運(yùn)作金融工程作為金融創(chuàng)新的手段，其運(yùn)作可分為六個(gè)步驟：1、 診斷：識(shí)別金融問題的實(shí)質(zhì)和根源。2、 分析：根據(jù)當(dāng)前的體制、技術(shù)和金融理論找出解決問題的最佳方案3、 生產(chǎn)：運(yùn)用工程技術(shù)方法從事新金融產(chǎn)品（工具或策略）的生產(chǎn)。4、 定價(jià)：在生產(chǎn)成本和收益的權(quán)衡中確定新產(chǎn)品的合理定價(jià)。5、 修正：根據(jù)不同客戶的需求進(jìn)行修正。6、 商品化：將為特定客戶設(shè)計(jì)的方案標(biāo)準(zhǔn)化，面向市場(chǎng)推廣。以上六個(gè)步驟涵蓋了可行性分析、產(chǎn)品的性能目標(biāo)確定、方案的設(shè)計(jì)優(yōu)化、產(chǎn)品的開發(fā)、定價(jià)模型的確定、仿真的模擬實(shí)驗(yàn)、小批量的應(yīng)用和反饋修正，直到大批量的銷售、推廣和應(yīng)用。在各個(gè)環(huán)節(jié)緊密有序，大部分創(chuàng)新的新進(jìn)入產(chǎn)品，成為運(yùn)用金融工程創(chuàng)造性解決其他相關(guān)金融財(cái)務(wù)問題的工具，即組合型產(chǎn)品的基本單元。三、 金融工程學(xué)的發(fā)展（一） 金融學(xué)得描述性階段在20世紀(jì)的50年代以前，金融學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)分支，但此時(shí)的研究大多依賴于經(jīng)驗(yàn)分析而不是理論上的、合乎規(guī)范的探討，也沒有在分析中引入系統(tǒng)的數(shù)量分析方法。但在這一階段提出了兩個(gè)重要的理論，為后來的金融工程學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)：一是凈現(xiàn)值法，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家費(fèi)雪（Irving Fisher）在1896年提出了關(guān)于資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值等于其未來現(xiàn)金流量折現(xiàn)之和的思想，這一思想對(duì)后來的資產(chǎn)定價(jià)理論的發(fā)展起到了奠基石的作用；二是效用理論，它是由馮諾依曼（Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）在1944年提出的，效用理論描述了投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，是一種幫助人們?cè)诟鼜V的范圍內(nèi)描述收益與風(fēng)險(xiǎn)的方法。（二） 金融學(xué)的分析性階段一般認(rèn)為現(xiàn)代金融理論起始于20世紀(jì)50年代初馬克維茲（Harry Markowitz）提出的投資組合理論。馬克維茲理論的基本結(jié)論為：在一系列理論假設(shè)的基礎(chǔ)上，證券市場(chǎng)上存在著有效的投資組合。在證券允許賣空的條件下，證券組合前沿是一條雙曲線的一支；在證券不允許賣空的條件下，證券組合前沿是若干段雙曲線的拼接。證券組合前沿的上半部分稱為有效前沿；也就是說，在有效前沿上的投資組合是收益固定是方差最小的證券組合，或者說是方差固定時(shí)收益最大的證券組合，這就將投資者的資產(chǎn)選擇問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)給定目標(biāo)函數(shù)和約束條件的線性規(guī)劃問題。該理論不僅奠定了現(xiàn)代有價(jià)證券組合理論基礎(chǔ)，而且也被看做分析金融學(xué)的開端，并對(duì)后來的現(xiàn)代證券組合理論研究產(chǎn)生了重大的影響。1965年9-10月，芝加哥大學(xué)的法犸（Fama）提出了有效市場(chǎng)假說。有效市場(chǎng)假說認(rèn)為，在一個(gè)有效市場(chǎng)上，股票的內(nèi)在價(jià)值可以通過其市場(chǎng)價(jià)格表現(xiàn)出來；一種資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)格能夠完全反映出影響這一資產(chǎn)價(jià)值的現(xiàn)在和未來經(jīng)濟(jì)基本因素的所有公開可得信息。20世紀(jì)50年代后期，金融學(xué)在研究方法上從經(jīng)濟(jì)學(xué)中獨(dú)立出來，莫迪格里亞尼(F. Modiogliani)和米勒(M.Millier)在研究公司資本結(jié)構(gòu)和公司價(jià)值的關(guān)系時(shí)發(fā)表了一系列論文，探討公司財(cái)務(wù)政策是否影響公司的價(jià)值，他們的結(jié)論是：在理想的市場(chǎng)條件下，公司的價(jià)值與這些政策無關(guān)。該結(jié)論被稱為MM定理，并為公司財(cái)務(wù)這門學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。與此同時(shí)，他們也首次提出了無套利假設(shè)，無套利假設(shè)是指在一個(gè)完備的金融市場(chǎng)中不存在套利機(jī)會(huì)（即確定的低買高賣之類的機(jī)會(huì)）。他們?cè)谡撟C過程中應(yīng)用了“無套利”（no-arbitrage）分析方法，此方法的核心內(nèi)容是對(duì)金融市場(chǎng)的某項(xiàng)“頭寸”進(jìn)行估值和定價(jià)。分析的基本方法是將這項(xiàng)頭寸與市場(chǎng)中其他金融頭寸組合起來，構(gòu)筑起一個(gè)在市場(chǎng)均衡條件下無法不承受風(fēng)險(xiǎn)的超額利潤的組合頭寸，并由此測(cè)算出該項(xiàng)頭寸在市場(chǎng)均衡時(shí)的價(jià)值。20世紀(jì)60年代早期，約翰遜（Leland Johnson）和杰羅斯（Jerose Stein）把證券組合理論拓展到套期保值的研究中，從而形成了現(xiàn)代套利保值理論。以夏普（William Sharpe）、林特納（John Lintner）和莫辛（Jan Mossin）為代表的一批學(xué)者，把注意力從馬克維茲的對(duì)單個(gè)投資者的微觀主體研究轉(zhuǎn)向整個(gè)市場(chǎng)的研究，考慮所有遵循馬克維茲假設(shè)下的投資者的共同行為將導(dǎo)致怎樣的市場(chǎng)狀態(tài)，并在1964年和1965年創(chuàng)造性的提出了著名的資本資產(chǎn)定價(jià)理論（CAPM）。但CAPM嚴(yán)格的假設(shè)條件卻給經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)證造成了很大的障礙，使得人們不得不致力于假定條件進(jìn)行修改，以使其更符合實(shí)際。20世紀(jì)70年代，邁耶斯 (Mayers)、羅伯特莫頓 (Robert Merton)、艾爾頓和格魯伯 (Elton and Gruber)為代表的學(xué)者，放松了資產(chǎn)定價(jià)模型中的某些假定條件,得出一些有意義的結(jié)論。以費(fèi)歇布萊克和梅隆斯科爾斯 (Fisher Black and Myron Scholes)、羅斯 (Ross)為代表的學(xué)者，基本放棄CAPM假定，以新假定條件為出發(fā)點(diǎn)重新建立 模型，從而分別提出：第一個(gè)完整的期權(quán)定價(jià)模型和套利定價(jià)理論,即 APT- Arbitrage Pricing Theory。期權(quán)定價(jià)模型和套利定價(jià)理論的提出，標(biāo)志著分析性現(xiàn)代理論開始走向成熟，也可以說完成了現(xiàn)代金融理論從描述性科學(xué)向分析性科學(xué)的飛躍。馬克維茲的投資組合理論以及布萊克-斯科爾斯提出的期權(quán)定價(jià)模型，是在較強(qiáng)的數(shù)學(xué)框架下得出的，并由此建立了分析金融學(xué)理論，有人稱之為“華爾街的兩次數(shù)學(xué)革命”，之后的內(nèi)容就按照這兩個(gè)理論展開的。第二節(jié) 資產(chǎn)組合理論與資本資產(chǎn)定價(jià)模型一、證券組合管理理論概述（一） 現(xiàn)代證券組合理論的產(chǎn)生1952年，哈里馬克維茲發(fā)表了一篇題為證券組合選擇的論文。這篇著名的論文標(biāo)志著現(xiàn)代證券組合理論的開端。馬克維茲考慮的問題是單期投資問題：投資者在某個(gè)時(shí)間（稱為“期初”）用一筆自有資金購買一組證券并持有一段時(shí)間（稱為“持有期”），在持有期結(jié)束時(shí)（稱為“期末”），投資者出售他在期初購買的證券并將收入用于消費(fèi)或再投資。馬克維茲在考慮這個(gè)問題時(shí)，第一次對(duì)證券投資中的風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行了正規(guī)闡述。他注意到一個(gè)典型的投資者不僅希望“收益高”，而且希望“收益盡可能確定”。這意味著投資者在尋求“預(yù)期收益最大化”的同時(shí)也追求“收益的不確定性最小”，在期初進(jìn)行決策時(shí)必然力求使這兩個(gè)相互制約的目標(biāo)達(dá)到某種平衡。馬克維茲分別用期望收益率和收益率的方差來衡量投資的預(yù)期收益水平和不確定性（風(fēng)險(xiǎn)），建立均值方差模型來闡述如何全盤考慮上述兩個(gè)目標(biāo)，從而進(jìn)行決策。推導(dǎo)出結(jié)果是，投資者應(yīng)該通過購買多種證券而不是一種證券進(jìn)行分散投資，（二） 現(xiàn)代證券組合理論的發(fā)展在投資者只關(guān)注“期望收益率”和“方差”的假設(shè)前提下，馬克維茲提供的方法是完全精確的。然而這種方法所面臨的最大問題是其計(jì)算量太大，特別是在大規(guī)模的市場(chǎng)存在著上千種證券的情況下。在當(dāng)時(shí)，即使是借助計(jì)算機(jī)也難以實(shí)現(xiàn)，更無法滿足實(shí)際市場(chǎng)在時(shí)間上近乎苛刻的要求。這嚴(yán)重阻礙了馬克維茲方法在實(shí)際中的應(yīng)用。1963年，馬克維茲的學(xué)生威廉夏普提出了一種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，這一方法通過建立“單因素”模型來實(shí)現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上后來發(fā)展出“多因素模型”，希望對(duì)實(shí)際有更精確的近似。這一簡(jiǎn)化形式使得將證券組合理論應(yīng)用與實(shí)際市場(chǎng)成為可能。特別是20世紀(jì)70年代計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場(chǎng)化，極大的促進(jìn)了現(xiàn)代證券組合理論在實(shí)際中的應(yīng)用。當(dāng)今，多因素模型已被廣泛應(yīng)用在證券組合中普通股之間的投資分配；而馬克維茲模型則是被廣泛應(yīng)用與不同類型證券之間的投資分配上，如債券、股票、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和不動(dòng)產(chǎn)等。早在證券組合理論廣泛傳播之前，夏普（William Sharpe）、林特納（John Lintner）和莫辛（Jan Mossin）三人幾乎同時(shí)獨(dú)立的提出了以下問題：“假定每個(gè)投資者都使用證券組合理論來經(jīng)營他們的投資，這將會(huì)對(duì)證劵定價(jià)產(chǎn)生怎樣的影響？”他們?cè)诨卮疬@一問題時(shí)，分別于1964年、1965年、1966年提出了著名的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）。這一模型在金融領(lǐng)域盛行十多年。1976年，理查德羅爾對(duì)這一模型提出了批評(píng)，認(rèn)為該模型永遠(yuǎn)無法用經(jīng)驗(yàn)事實(shí)來檢驗(yàn)。與此同時(shí)，史蒂夫羅斯突破性的發(fā)展了資本資產(chǎn)定價(jià)模型，提出套利定價(jià)理論（APT）。這一理論認(rèn)為，只要任何一個(gè)投資者都不能通過套利獲得收益，那么期望收益一定與風(fēng)險(xiǎn)相聯(lián)系。這一理論只需較少的假定。羅爾和羅斯在1984年認(rèn)為這一理論至少在原則上是可以檢驗(yàn)的。二、證券組合理論分析（一）投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好分析1.1 風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)厭惡在一般的投資分析中，我們都假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。風(fēng)險(xiǎn)是對(duì)投資者預(yù)期收益的背離，或者說是收益的不確定性。在投資活動(dòng)中，投資者投入的本金是當(dāng)前行為，數(shù)額是確定，目的是希望獲得預(yù)期的收益，但在持有投資資產(chǎn)的時(shí)間內(nèi)，有很多因素可能使預(yù)期收益減少甚至使本金遭受損失，而且相隔時(shí)間越長，預(yù)期收益的不確定性越大。大量事實(shí)證明，投資者普遍是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，即人們?cè)谕顿Y決策時(shí)，總是希望預(yù)期收益越大越好，而風(fēng)險(xiǎn)越小越好，即會(huì)選擇預(yù)期收益更大，而風(fēng)險(xiǎn)更小的投資，在預(yù)期收益相同時(shí)，會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)較小的投資，或在風(fēng)險(xiǎn)相同時(shí)，會(huì)選擇預(yù)期收益較大的投資，但如果預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)都要高，如下圖所示，i資產(chǎn)的承擔(dān)了較高的風(fēng)險(xiǎn)也獲得了較高的預(yù)期收益。此時(shí)投資決策就取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，即收益率的增加能否彌補(bǔ)投資者個(gè)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊?。如果投資者A認(rèn)為增加的預(yù)期收益率恰好能補(bǔ)償增加的風(fēng)險(xiǎn)，即i與j兩種資產(chǎn)的滿意程度相同，則兩種資產(chǎn)是無差異的；如果投資者B認(rèn)為增加的預(yù)期收益率不足以補(bǔ)償增加的風(fēng)險(xiǎn)，則j令他更滿意，即j比i好；如果投資者C認(rèn)為增加的預(yù)期收益率超過了增加風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，i比j更令人滿意，即i比j好。實(shí)際上，在風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下，投資者要求的預(yù)期收益率補(bǔ)償越高，表明該投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)約厭惡。在上述三位投資者中，B對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度最高，最保守，A次之，而C的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度最低，最具冒險(xiǎn)精神。1.2 投資者的無差異曲線一個(gè)特定的投資者，任意給定一個(gè)資產(chǎn)，根據(jù)他對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，按照預(yù)期收益率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊螅梢缘玫揭幌盗袧M意程度相同的證券或組合。如下圖所示，某投資者認(rèn)為經(jīng)過j的那一條曲線上所有資產(chǎn)或組合對(duì)他的滿意程度相同，這條曲線就稱為該投資者的一條無差異曲線。根據(jù)無差異曲線，任何資產(chǎn)或組合均可與資產(chǎn)j進(jìn)行比較。在圖中，對(duì)該投資者而言，資產(chǎn)i與j無差異，無差異曲線上方的資產(chǎn)k比j好，而無差異曲線下方的資產(chǎn)l比j壞。無差異曲線同樣，也有一系列資產(chǎn)或組合與k和l無差異，從而形成經(jīng)過k和l的無差異曲線。實(shí)際上，任何一個(gè)資產(chǎn)或組合都將落在某一條無差異曲線上，而落在不同的無差異曲線上則有無差異曲線族不同的滿意程度。一個(gè)資產(chǎn)或組合不會(huì)同時(shí)落在兩條不同的無差異曲線上，即兩條無差異曲線不會(huì)相交。此外，無差異曲線的位置越高，所帶來的滿意程度也越高。對(duì)于一個(gè)特定的投資者而言，所有的無差異曲線形成一個(gè)曲線族，稱為該投資者的無差異曲線族。無差異曲線的數(shù)量是無限的，而且將密布整個(gè)平面。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)回避者而言，投資者的無差異曲線具有以下特點(diǎn)：1）向右上方傾斜，表明收益與風(fēng)險(xiǎn)之間是正相關(guān)的；2）凸向坐標(biāo)軸，表明投資者邊際風(fēng)險(xiǎn)的收益替代率遞增，或邊際收益的風(fēng)險(xiǎn)替代率遞減；3）在同一坐標(biāo)軸平面不能相交；4）充滿整個(gè)坐標(biāo)平面，表明無差異曲線系統(tǒng)是對(duì)投資者滿足程度或效用的完全反映；5）左上方的無差異曲線比右下方的無差異曲線給投資者帶來的滿足程度或效用更大。1.3 風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度與無差異曲線一般情況下，無差異曲線越陡峭表明風(fēng)險(xiǎn)越大，投資者要求的邊際收益補(bǔ)償也越大，但不同投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的程度不同，也就有著不同的無差異曲線族。下圖表示了高風(fēng)險(xiǎn)厭惡者、中等風(fēng)險(xiǎn)厭惡者、輕微風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的無差異曲線族。 高度風(fēng)險(xiǎn)厭惡者 中等風(fēng)險(xiǎn)厭惡者 輕微風(fēng)險(xiǎn)厭惡者在某些極端的情況下，有些投資者只關(guān)心風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)越小越好，對(duì)預(yù)期收益毫不在意，這類投資者的無差異曲線是一族直線，而另一類投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)毫不在意，只關(guān)心預(yù)期收益，收益越高越好，這類投資者的無差異曲線是一族水平線。 只關(guān)心風(fēng)險(xiǎn)的投資者 只關(guān)心預(yù)期收益的投資者（二）資產(chǎn)的關(guān)聯(lián)性與風(fēng)險(xiǎn)分散投資組合的業(yè)績(jī)?nèi)Q于組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的收益，分散投資后的收益就是各項(xiàng)資產(chǎn)收益的加權(quán)平均，但投資組合的風(fēng)險(xiǎn)則更復(fù)雜，并不是各項(xiàng)資產(chǎn)的加權(quán)平均，而取決于兩個(gè)因素：一是單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，二是不同資產(chǎn)之間的聯(lián)動(dòng)性。2.1 相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，衡量資產(chǎn)收益之間聯(lián)動(dòng)性的一種方法是相關(guān)系數(shù)，可用來衡量任意兩種資產(chǎn)收益之間的關(guān)系程度。相關(guān)系數(shù)是一個(gè)取值范圍在-11、度量相關(guān)性的指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)為1時(shí)表示完全正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為-1時(shí)表示完全負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0表示零相關(guān)（或相互獨(dú)立）。1、完全正相關(guān)在完全正相關(guān)時(shí)，收益之間是完全的直線相關(guān)關(guān)系。投資者知道其中一種資產(chǎn)的收益就可以完全預(yù)測(cè)另一種資產(chǎn)的收益。在下表中，股票A和B在19931998年的6年中有相同的收益形態(tài)，當(dāng)股票A的收益上升時(shí)，股票B的收益也上升，反之亦然。當(dāng)收益正相關(guān)時(shí)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)就是單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均。年份股票A股票B投資組合AB（1：1）19930.360.360.361994-0.12-0.12-0.121995-0.1-0.1-0.119960.340.340.341997-0.06-0.06-0.06199平均收益2標(biāo)準(zhǔn)差0.2150.2150.215長期收益正相關(guān)的資產(chǎn)組合的收益率2、完全負(fù)相關(guān)在完全負(fù)相關(guān)的情況下，資產(chǎn)的收益是完全相反的線性關(guān)系。當(dāng)一個(gè)資產(chǎn)的收益升高時(shí)，另一個(gè)資產(chǎn)的收益則降低。下表中的股票A和C呈完全負(fù)相關(guān)的關(guān)系，其實(shí)際收益與均值（12%）之間的差異消除了，使得投資組合的收益為12%。這一投資組合沒有風(fēng)險(xiǎn)，它將在持有期內(nèi)固定產(chǎn)生每年12%的收益，而且平均收益也為12%。年份股票A股票C投資組合AC（1：1）19930.36-0.120.121994-0.120.360.121995-0.10.340.1219960.34-0.10.121997-0.060.30.1219980.3-0.060.12平均收益2標(biāo)準(zhǔn)差0.2150.2150.000長期收益負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)組合的收益率3、零相關(guān)在零相關(guān)的情況下，資產(chǎn)收益之間沒有線性相關(guān)。把兩種零相關(guān)的資產(chǎn)組合在一起可以降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。如果更多沒有相關(guān)性的資產(chǎn)加入到資產(chǎn)組合中可以更顯著的降低風(fēng)險(xiǎn)，但在這種情況下風(fēng)險(xiǎn)不能完全被消除。4、不完全正相關(guān)下表中的兩種資產(chǎn)，股票A和D正相關(guān)程度為0.55，這也是投資者通常會(huì)遇到的情況。我們可以發(fā)現(xiàn)每只股票的標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.215，平均收益為0.12，但按1：1組合后，風(fēng)險(xiǎn)在某種程度上降低了，變?yōu)?.18。任何風(fēng)險(xiǎn)的降低都不會(huì)對(duì)收益產(chǎn)生負(fù)面影響。在正相關(guān)的情況下，風(fēng)險(xiǎn)可以降低但不可能完全消除。對(duì)投資者而言，最理想的是能找到負(fù)相關(guān)或正相關(guān)性較低的資產(chǎn)，但通常遇到的資產(chǎn)都具有一定的正相關(guān)性。年份股票A股票D投資組合AD（1：1）19930.360.250.3051994-051995-4519960.340.280.311997-0.06-0.35-0.2051996平均收益2標(biāo)準(zhǔn)差0.2150.2150.1802.2 協(xié)方差1、協(xié)方差的含義由于資產(chǎn)收益之間普遍存在著相關(guān)性，因而必須量化互動(dòng)性的實(shí)際程度，并將其應(yīng)用到投資組合風(fēng)險(xiǎn)的度量中，因?yàn)檫@種互動(dòng)性影響到投資組合的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差），協(xié)方差可以做到這一點(diǎn)。協(xié)方差是兩個(gè)資產(chǎn)收益的相關(guān)程度的絕對(duì)度量方法，與相關(guān)系數(shù)相同，協(xié)方差也可以是：正數(shù)，表明兩個(gè)資產(chǎn)的收益傾向于同時(shí)同方向變動(dòng)，一個(gè)上升或下降時(shí)，另一個(gè)也做相同變動(dòng)。協(xié)方差為正數(shù)時(shí)，相關(guān)系數(shù)也為正。負(fù)數(shù)，表明兩個(gè)資產(chǎn)的收益傾向于反向變動(dòng)，一個(gè)上升或下降時(shí)，另一個(gè)做反向變動(dòng)。協(xié)方差為負(fù)數(shù)時(shí)，相關(guān)系數(shù)也為負(fù)。零，表明兩個(gè)資產(chǎn)的收益獨(dú)立變動(dòng)，并且沒有同方向或反方向變動(dòng)的趨勢(shì)。2、協(xié)方差的計(jì)算在預(yù)期基礎(chǔ)上計(jì)算協(xié)方差的公式為：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)同樣可以計(jì)算協(xié)方差：兩種資產(chǎn)的協(xié)方差有以下性質(zhì)：；如果A、B兩種資產(chǎn)相互獨(dú)立，則有3、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的聯(lián)系協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)之間關(guān)系可用下式來表示：即相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差除以兩個(gè)收益的標(biāo)準(zhǔn)差，由上式可知： 完全正相關(guān) 不完全正相關(guān) 不相關(guān) 完全負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)越小，特別是負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)組合，其分散化效應(yīng)就越大，相關(guān)系數(shù)越大，特別是正相關(guān)的資產(chǎn)組合，其分散化效應(yīng)就越小。如當(dāng)鐵路股票受損失時(shí)，航空股票就會(huì)獲益，兩者的收益率呈負(fù)相關(guān)，兩者的投資組合將會(huì)顯著降低風(fēng)險(xiǎn)，分散化效應(yīng)較為明顯；相反的，若將輪胎公司和汽車公司的股票結(jié)合在一起，由于兩者的收益率呈正相關(guān)，它們的投資組合就不會(huì)降低風(fēng)險(xiǎn)，也沒有什么分散化效應(yīng)。（三）資產(chǎn)組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)3.1 兩種資產(chǎn)組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)1、收益假設(shè)有兩種資產(chǎn)A和B，其預(yù)期收益率分別為和，則分別以xA和xB的比例投資于兩種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的預(yù)期收益為：投資組合的預(yù)期收益率是各資產(chǎn)預(yù)期收益率的一種線性組合，因?yàn)閤A+xB=1，則有xA1投資組合預(yù)期收益率與持有資產(chǎn)A比例的線性關(guān)系上圖表明投資組合預(yù)期收益率為xA的線性函數(shù)。xA可以為負(fù)，此時(shí)投資者可以賣空資產(chǎn)A，并將所得的資金連同自有資金買入資產(chǎn)B，則xB大于1。當(dāng)然在允許賣空時(shí)，xA也可以大于1，表明投資者賣空資產(chǎn)B。在上圖中，實(shí)線部分表明不允許賣空的情況，延長線則表明允許賣空的情況。2、風(fēng)險(xiǎn)A、B兩種資產(chǎn)組成的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，用收益的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算如下：由上式可見，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)大小取決于：持有的每一種資產(chǎn)的比例；持有資產(chǎn)的方差（或風(fēng)險(xiǎn)）；資產(chǎn)之間的相關(guān)程度。給定資產(chǎn)的方差和相關(guān)程度后，選擇不同的投資比例，就可以得到不同的投資組合，從而得到不同的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。例：19922001年可口可樂和Duke能源股票的平均收益率分別為12.12和15.16，標(biāo)準(zhǔn)差分別為21.58和25.97，相關(guān)系數(shù)為0.29，假定投資于每只股票的資金相同，則組合的標(biāo)準(zhǔn)差為：3、相關(guān)性與兩種資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)例：假設(shè)A、B兩公司的標(biāo)準(zhǔn)差分別為37.3%和23.3%，如果投資權(quán)重各占一半，則在不同相關(guān)系數(shù)下，該組合的標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 如果相關(guān)系數(shù)為1，組合標(biāo)準(zhǔn)差為30.3%；如果相關(guān)系數(shù)為0.5，組合標(biāo)準(zhǔn)差為26.5%；如果相關(guān)系數(shù)為0.15，組合標(biāo)準(zhǔn)差為23.4%，如果相關(guān)系數(shù)為0，組合標(biāo)準(zhǔn)差為22%；如果相關(guān)系數(shù)為-0.5，組合標(biāo)準(zhǔn)差為16%；如果相關(guān)系數(shù)為-1，組合標(biāo)準(zhǔn)差為7.0%。由上可見，如果將相關(guān)性較低的資產(chǎn)組合在一起，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)降低。1）完全正相關(guān)下兩種資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)完全正相關(guān)時(shí)，則即此時(shí)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)為投資比例的線性函數(shù)。此時(shí)A、B兩種資產(chǎn)組成的組合就是連接這兩點(diǎn)的直線，如下圖所示。E(rp)AB=1=-1=-0.5=0相關(guān)系數(shù)不同的資產(chǎn)組合2）完全負(fù)相關(guān)下兩種資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)在完全負(fù)相關(guān)時(shí)，。則此時(shí)存在一個(gè)投資比例使投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差為0，令，可得，即按上述比例進(jìn)行投資，就可以使組合的風(fēng)險(xiǎn)降為0。3）不相關(guān)下兩種資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)在不相關(guān)下，則此時(shí)存在一個(gè)最小方差組合，令，可得：， 此時(shí)最小標(biāo)準(zhǔn)差為：4）不完全相關(guān)下兩種資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)令可得最小方差組合為：，注意xA可能為負(fù)值，如果為負(fù)表明投資者需要賣空資產(chǎn)A才能得到最小方差組合。3.2 N種資產(chǎn)的情況1、收益：2、風(fēng)險(xiǎn)：投資組合風(fēng)險(xiǎn)是各單項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和資產(chǎn)之間協(xié)方差的函數(shù)，以方差來表示投資組合風(fēng)險(xiǎn)如下： （）上式可簡(jiǎn)化為：3、協(xié)方差的重要性當(dāng)我們將一個(gè)新的資產(chǎn)添加到一個(gè)由很多投資組成的投資組合之中，會(huì)發(fā)生兩種影響：一是資產(chǎn)本身的風(fēng)險(xiǎn)被加入到投資組合的風(fēng)險(xiǎn)之中；二是新資產(chǎn)與其他資產(chǎn)之間兩兩對(duì)應(yīng)的協(xié)方差也被加入到投資組合中。隨著投資組合中資產(chǎn)數(shù)量的增加，單項(xiàng)資產(chǎn)自身風(fēng)險(xiǎn)的重要性降低，而協(xié)方差的重要性逐步上升。例如一個(gè)有100種資產(chǎn)的投資組合，每種資產(chǎn)自身的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)非常小，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)基本上由資產(chǎn)之間的協(xié)方差風(fēng)險(xiǎn)組成。組合中方差與協(xié)方差的項(xiàng)數(shù)與構(gòu)成組合的證券種數(shù)之間的關(guān)系構(gòu)成組合的資產(chǎn)種數(shù)組合中方差總項(xiàng)數(shù)組合中資產(chǎn)方差的項(xiàng)數(shù)組合中協(xié)方差的項(xiàng)數(shù)111024223936101001090100100001009900NN2NN2 -N（四） 有效投資組合與最優(yōu)投資組合4.1 有效投資組合有效投資組合是指投資者以預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差作為衡量資產(chǎn)組合標(biāo)準(zhǔn)時(shí)所選擇的最優(yōu)組合。1、可行集與有效集可行集又稱機(jī)會(huì)集，是所有資產(chǎn)各種可能組合的全部集合。一般來說，投資者的可行集無窮無盡，即使在資產(chǎn)組合數(shù)目一定的情況下，由于投資比例可以有不同組合，可行集也是無法窮盡的。因此投資者不可能也沒有必要根據(jù)可行集做出投資決策。有效集是指有效投資組合，即最優(yōu)投資組合的全部集合。有效集一旦確定，投資者即可根據(jù)自身的偏好選出滿足其偏好的最優(yōu)投資組合。2、有效集的標(biāo)準(zhǔn)1）風(fēng)險(xiǎn)相同時(shí)，收益高比低好；2）收益相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)小比大好。3、有效集的確定如上圖所示，曲線圍成部分表示所有可能投資組合的可行集，每一投資者組合的風(fēng)險(xiǎn)-收益組合可被上述坐標(biāo)軸里的任意點(diǎn)所決定。從圖中可以看出，有些風(fēng)險(xiǎn)和收益組合比其他組合更令人滿意，尤其是可行集左上方的邊界，這是最滿意風(fēng)險(xiǎn)組合的集合，這就是有效邊界。位于有效邊界上的組合都優(yōu)于所有的內(nèi)部各點(diǎn)。如S和V比，收益率相同，而風(fēng)險(xiǎn)較大；S與Q比，風(fēng)險(xiǎn)相同而收益率較低。因此在S、V、Q三點(diǎn)都存在的情況下，沒有人愿意選S點(diǎn)。投資組合的可行域有效邊界上的所有點(diǎn)構(gòu)成一有效集，有效集是由那些風(fēng)險(xiǎn)一定而收益最高，或收益一定而風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合構(gòu)成。尋找有效集的過程，實(shí)際上是以下兩個(gè)問題的優(yōu)化過程：一是約束風(fēng)險(xiǎn)，求收益最大的問題；二是約束收益，求最小風(fēng)險(xiǎn)的問題。4.2 最優(yōu)投資組合的選擇根據(jù)投資者的無差異曲線和投資組合的有效集，就可以確定投資者的最優(yōu)投資組合。將無差異曲線系統(tǒng)與有效集放在一起，兩者的切點(diǎn)就是最優(yōu)投資組合。在下圖中，無差異曲線I2與有效集的切點(diǎn)B就是投資者選擇的最優(yōu)投資組合。（五）無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合在前面的分析中，有效集上的資產(chǎn)組合都是由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的，這里我們將考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)納入投資組合選擇之中的情況。首先，投資者不僅能投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，也可以投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其次投資者將被允許借入資金，但須支付與貸出相同的利率，即投資者可以賣空一定比例的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。5.1 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是指在持有期間具有確定收益率的資產(chǎn)。由于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最終價(jià)值沒有任何不確定性，故其標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為0，而且無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的協(xié)方差也為0。根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定義，由于公司發(fā)行的證券都存在違約的可能性，所以無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)只能選擇政府發(fā)行的證券，但并不是所有政府證券都可以視為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。如果投資者有一筆持有期為3個(gè)月的資金，他購買了10年到期的國債，這樣的一種資產(chǎn)是有風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)橥顿Y者不知道在投資期末這筆資產(chǎn)到底值多少錢，因?yàn)槔士赡芤圆豢深A(yù)料的方式變化，利率風(fēng)險(xiǎn)的存在使得該政府債券具有不確定性，也就不能被視為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。再考慮一種政府債券，它在投資者的持有期結(jié)束之前到期，如30天到期的政府債券，但投資者的資金持有期為3個(gè)月，此時(shí)投資者在持有期期初不知道30天以后的利率，而這個(gè)利率正是投資者將其30天到期政府債券的收益在剩下持有期內(nèi)進(jìn)行再投資的基礎(chǔ)。所有到期日少于投資者投資期的政府債券都存在這種再投資利率風(fēng)險(xiǎn)，而這種風(fēng)險(xiǎn)的存在也意味著這樣一些證券同樣不能被視為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。這樣以來，只有到期日與投資者投資期長度相匹配的政府債券才可以作為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。5.2 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合根據(jù)對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定義，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為0，預(yù)期收益率rf為一常數(shù)。由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的預(yù)期收益率為：由于，則假設(shè)，則該投資組合的預(yù)期收益率為：，標(biāo)準(zhǔn)差為：。由以上兩式可消去xA，可得：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合上圖中的直線就代表了與之間的關(guān)系，其中rf至A的線段表示以無風(fēng)險(xiǎn)利率貸出部分資金和投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合，H點(diǎn)即為上例中的組合。如果允許無風(fēng)險(xiǎn)借入，則點(diǎn)A右上方的點(diǎn)可行，表示賣空無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以籌集資金投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，借入越多，離A點(diǎn)就越遠(yuǎn)，投資者的風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益率也將隨之增大。如果把無風(fēng)險(xiǎn)貸出看作對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，則無風(fēng)險(xiǎn)借入就好比購買股票的保證金交易。假設(shè)一投資者有1萬元，再借入1萬元，全部共2萬元投資于資產(chǎn)A，則其持有比例為xA=2，1-xA=-1.0。該投資組合的預(yù)期收益為30%，標(biāo)準(zhǔn)差為57.4%?？梢?，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)借入利率低于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)借入具有提高投資組合預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)的作用。5.3 最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后，新的可行投資組合將包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與所有可行的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的再組合，這里也可以將風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合視為一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。這樣，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與所有可行的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的再組合就是從無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)發(fā)出的經(jīng)過該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的一系列射線。如上圖所示，經(jīng)無風(fēng)險(xiǎn)利率所在的F點(diǎn)作一條與有效邊界相切的切線，切點(diǎn)為M。M點(diǎn)具有以下特點(diǎn)：首先，M點(diǎn)是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，既未借入也未貸出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)組合在沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)就已是一個(gè)有效組合，現(xiàn)在仍是有效組合；其次，將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)引入資產(chǎn)組合后，所有有效組合將由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M的組合來產(chǎn)生，無論投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持何種態(tài)度，他擁有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最好組合都是M。此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度將體現(xiàn)在不同投資者會(huì)在FM這條射線上獲得不同位置，這些位置均由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M之間的組合產(chǎn)生。如果投資者相對(duì)保守一些，不愿承擔(dān)太大的風(fēng)險(xiǎn)，則可以同時(shí)買入適量的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合M，從而獲得FM之間的某個(gè)組合；如果投資者更愿意冒險(xiǎn)一些，希望承擔(dān)更大一些的風(fēng)險(xiǎn)，則投資者可以借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)并將所獲收入連同自有資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M，從而獲得M點(diǎn)右上方的組合?？梢姡L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M極大的簡(jiǎn)化了對(duì)投資組合的選擇，投資者只須根據(jù)自己的偏好程度決定借入或貸出多少無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)即可，剩余資金的投資將只有一種適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)組合M是唯一最佳的選擇。因此我們把風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合稱為最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)組合或切點(diǎn)組合。最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)組合的存在將投資者愿意承擔(dān)多大風(fēng)險(xiǎn)的所謂金融決策與具體確定持有多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例的投資決策分離開來，因此這一特性通常被稱為分離定理。5.4 切點(diǎn)組合的計(jì)算假設(shè)有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1、S2、Sn，其預(yù)期收益率分別為、，方差-協(xié)方差矩陣為：為Si收益率的方差，為Si和Sj的協(xié)方差，且；另外還存在一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)F，收益率為rf，rf是一個(gè)常數(shù)，F(xiàn)的方差為0，F(xiàn)與Si的協(xié)方差也是0。作F，S1、S2、Sn的一個(gè)組合p（y，x1，x2，xn），其中，則，這一組合的期望收益率為：組合的方差為：切點(diǎn)組合的問題就是：給定期望收益率，求x1、x2、xn使方差最小，即求解一個(gè)條件極值問題：作拉格朗日函數(shù)：將函數(shù)L對(duì)各個(gè)變量xi求導(dǎo)，并令其等于0，得到方程組：兩端除-后，移項(xiàng)得：再令，得到含有n個(gè)未知量的方程組：由于方程組的系數(shù)行列式不等于0（因?yàn)閰f(xié)方差矩陣為正定陣），故由上面方程組可以解出唯一的一組解y1、y2、yn，再令則有例：設(shè)有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1和S2，期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)分別為：，二者的協(xié)方差，再設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)F的收益率為4%，求F，S1和S2的切點(diǎn)組合和有效邊界。根據(jù)上面的結(jié)果，有代入數(shù)據(jù)得：可解得y1=1.776，y2=2.408，z1=0.424，z2=0.576切點(diǎn)組合為（42.4%，57.6%）再求切點(diǎn)組合M的坐標(biāo)：，有效邊界是連接點(diǎn)F（0，4%）和點(diǎn)M（10.33%，8.46%）的直線，它的方程是：三、資本資產(chǎn)定價(jià)模型（一） 資本市場(chǎng)均衡本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）是關(guān)于資本市場(chǎng)理論的模型，是在馬柯維茨的投資組合理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。馬柯維茨的投資組合理論通過數(shù)學(xué)規(guī)劃的原則，系統(tǒng)闡述了如何通過有效的分散化來選擇最優(yōu)的投資組合，但這一理論具有一定的局限性，即偏重規(guī)范性分析（投資者應(yīng)如何去行動(dòng)），而缺乏實(shí)證性分析（投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益如何度量）。在資產(chǎn)投資組合分析中，投資者最關(guān)心的是資產(chǎn)的收益-風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系，但馬柯維茨的投資組合理論并不能確定最高收益和所能承擔(dān)的最大風(fēng)險(xiǎn)，投資者也無從知道證券該分散到何種程度才能達(dá)到低風(fēng)險(xiǎn)高收益的最佳組合。為解決這些問題，夏普在馬柯維茨投資組合理論的基礎(chǔ)上對(duì)證券價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)-收益關(guān)系進(jìn)入了深入研究，并于1964年提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型。此后，林特納（1965）和莫森（1966）又分別獨(dú)立提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型。CAPM較好的描述了證券市場(chǎng)上投資者行為準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則導(dǎo)致了證券均衡價(jià)格、證券收益-風(fēng)險(xiǎn)的均衡狀態(tài)。1.1 資本資產(chǎn)定價(jià)模型的基本假設(shè)資本資產(chǎn)定價(jià)模型對(duì)資本資產(chǎn)的定價(jià)問題從理論上給出了一個(gè)十分完美的解答，以一個(gè)簡(jiǎn)捷的方程描述了單個(gè)資產(chǎn)收益與市場(chǎng)收益之間的關(guān)系。這一模型是建立在一些嚴(yán)格條件之上的，盡管有些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符，但還是抓住了一些主要因素，對(duì)實(shí)際問題在一定程度上給出了有力的說明，具有一定的指導(dǎo)作用。資本資產(chǎn)定價(jià)模型考慮的是一個(gè)單一期限的情形，投資者在期初進(jìn)行投資，在期末賣出資產(chǎn)，期間不考慮消費(fèi)問題，同樣假設(shè)市場(chǎng)上存在N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，同時(shí)假設(shè)：1）所有資產(chǎn)均為責(zé)任有限的，即對(duì)任何資產(chǎn)，其期末價(jià)值總是大于或等于零；2）市場(chǎng)是完備的，即不存在交易成本和稅收，而且所有資產(chǎn)均為無限可分割的；3）市場(chǎng)上有足夠多的投資者使得他們可以按市場(chǎng)價(jià)格買賣他們所想買賣的任何數(shù)量的任何可交易資產(chǎn)；4）資本市場(chǎng)上的借貸利率相等，且對(duì)所有投資者都相同；5）所有投資者均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者同時(shí)具有不滿足性，即對(duì)任何投資者，財(cái)富越多越好；6）所有投資者都追求期末財(cái)富的期望效用最大化；7）所有投資者均可免費(fèi)地獲得信息，市場(chǎng)上信息是公開的、完備的；8）所有投資者對(duì)未來具有一致性的預(yù)期，都正確地認(rèn)識(shí)到所有資產(chǎn)的收益服從聯(lián)合的正態(tài)分布；9）對(duì)于任何風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資者對(duì)其評(píng)價(jià)有兩個(gè)主要的指標(biāo)：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益辜的預(yù)期和方差，預(yù)期代表收益、方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）代表風(fēng)險(xiǎn)。前四個(gè)假設(shè)對(duì)資本市場(chǎng)的一種理想化假定，概括起來，其實(shí)質(zhì)是認(rèn)為一個(gè)理想的市場(chǎng)應(yīng)該是完備的、無摩擦的，從而對(duì)資源的配置是有效的。當(dāng)然，這種理想的市場(chǎng)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，但我們可以對(duì)這些條件進(jìn)行放松，并發(fā)現(xiàn)放松后對(duì)原來的結(jié)果影響不是根本的，即是說，這些理想的假設(shè)抓住了主要矛盾，結(jié)果也就十分有意義。同時(shí)，隨著科學(xué)技術(shù)尤其是信息技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)實(shí)中的資本市場(chǎng)也正一步一步地向這一理想市場(chǎng)靠近。假設(shè)5）、6）、8）、9）是關(guān)于投資者的假設(shè)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)是有代表性的，當(dāng)然我們并不否認(rèn)存在風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者；同時(shí)這些假設(shè)還對(duì)投資者的選擇標(biāo)準(zhǔn)給出了說明；而假設(shè)7）則是關(guān)于市場(chǎng)有效性的假設(shè)。1.2 資金借入與貸出資本市場(chǎng)理論一般假定，市場(chǎng)上存在可供投資的無風(fēng)險(xiǎn)證券，且投資者可根據(jù)其意愿以無風(fēng)險(xiǎn)利率rf隨意借入和貸出。在此基礎(chǔ)上，投資者還可以將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合M混合起來，得到要求的風(fēng)險(xiǎn)-收益率組合。假定投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為w，則無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望收益率為：考慮三種不同情形的投資選擇：一是貸出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；二是僅投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；三是借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)并投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。不同借貸組合情況下的風(fēng)險(xiǎn)與收益率無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比重w無風(fēng)險(xiǎn)利率風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比重風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差投資組合收益率投資組合的風(fēng)險(xiǎn)0.55%0.510%0.27.5%0.105%110%0.210%0.2-0.55%1.510%0.212.5%0.3圖6-1 可性集與有效集圖6-2 引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后的有效集圖6-1和6-2描述了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的借入和貸出將原來的有效集（即投資機(jī)會(huì)）改變成了直線AT，與原有效集相切于T，包含了所有風(fēng)險(xiǎn)投資組合M與無風(fēng)險(xiǎn)借貸的組合。E(Rp)rfMI1I0I2圖6-3 無風(fēng)險(xiǎn)借貸對(duì)投資者效用的影響如圖6-3所示，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的引入可以允許投資者在一系列不同風(fēng)險(xiǎn)、不同預(yù)期收益的可能組合資產(chǎn)中進(jìn)行選擇，從而得到較高的無差異曲線。若沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資者只能選擇M點(diǎn)，而引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后，直線上的所有組合都是可以選擇，激進(jìn)型的投資者會(huì)大量借入資金而購進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而保守型投資者則會(huì)將一部分資金以無風(fēng)險(xiǎn)利率水平貸出，將資產(chǎn)配置在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上面。在圖6-3中，I1代表保守型投資者的資產(chǎn)組合，I2代表激進(jìn)型投資者的資產(chǎn)組合。注意由于切點(diǎn)M代表市場(chǎng)組合，當(dāng)市場(chǎng)組合發(fā)生變動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變動(dòng)。以市場(chǎng)組合為基礎(chǔ)，就可以引申出被動(dòng)的、但有效的指數(shù)化投資策略，這種策略分兩個(gè)步驟：第一步，按市場(chǎng)的組合比例構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，這帶一定程度上實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)分散化；第二步，投資者將資金按照各自的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好分布于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。這種被動(dòng)式投資策略不但構(gòu)造簡(jiǎn)單，而且也十分方便。若投資者調(diào)低資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)，適當(dāng)增大無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例即可。在金融市場(chǎng)上，市場(chǎng)指數(shù)反映了對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)所交易的各種資產(chǎn)的構(gòu)成比例。以此指數(shù)為基礎(chǔ)而開發(fā)的指數(shù)產(chǎn)品，往往作為風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的替代品，因而這種投資策略被稱為指數(shù)化投資策略。這種被動(dòng)式的指數(shù)化投資策略在西方被養(yǎng)老基金、共同基金等金融機(jī)構(gòu)廣泛的采用，并用作評(píng)估其他主動(dòng)性投資策略績(jī)效的依據(jù)。1.3 分離定理與資本市場(chǎng)的均衡1、分離定理在資本市場(chǎng)處于均衡時(shí)，由于每個(gè)投資者對(duì)證券的期望收益率、方差、相互之間的協(xié)方差及無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)是一致的，所以每個(gè)投資者的線性有效集相同。由于所有投資者都有相同的有效集，他們選擇不同的證券組合的原因在于他們有不同的無差異曲線。因此，不同投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的偏好不同，將在同一個(gè)有效集上選擇不同的證券組合。所有的投資者，無論風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，在構(gòu)造投資組合時(shí)投資者通過資金借貸使其效用趨于最大化，將市場(chǎng)組合M和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)搭配組合。也就是說，市場(chǎng)組合M和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的不同組合產(chǎn)生機(jī)會(huì)性，將比其他風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)搭配產(chǎn)生的任何機(jī)會(huì)線都陡峭，即通過市場(chǎng)組合M，不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者都可以達(dá)到最優(yōu)的期望效用。以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行資金借貸的可能性將投資者過程分成兩個(gè)階段：首先確定市場(chǎng)組合M，然后投資者為獲得風(fēng)險(xiǎn)和收益的最優(yōu)組合，以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入或貸出，再把所有的資金按相同比例投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，從而實(shí)現(xiàn)效用的最大化。在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合中，融資的方式（即無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量）取決于投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度：風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度高的投資者將貸出更多的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度低的投資者將借入更資金更多的投資于組合M，這就是分離定理，也稱為托賓分割定理。2、資本市場(chǎng)均衡根據(jù)分離定理，可推導(dǎo)出證券市場(chǎng)均衡：如果一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率向量和無風(fēng)險(xiǎn)利率rf使對(duì)資金的借貸量相等且對(duì)所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的供給等于需求，則這種市場(chǎng)狀態(tài)成為市場(chǎng)均衡（相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格向量和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格稱為均衡價(jià)格）。若一個(gè)市場(chǎng)達(dá)到均衡狀態(tài)，則該市場(chǎng)具有如下性質(zhì)：1）每個(gè)投資者都持有正的一定數(shù)量的風(fēng)險(xiǎn)證券，即在切點(diǎn)證券組合M的構(gòu)成中都占有非零的比例，這是由分離定理決定。根據(jù)分離定理，每個(gè)投資者所選擇的證券組合中的風(fēng)險(xiǎn)證券的組成是一樣的，都選擇市場(chǎng)組合M作為資產(chǎn)組合中的風(fēng)險(xiǎn)證券組成部分；2）證券的價(jià)格使得對(duì)每種證券的需求量正好等于市場(chǎng)上存在的證券數(shù)量；3）無風(fēng)險(xiǎn)利率使得對(duì)資金的借貸量相等，即市場(chǎng)上所有無風(fēng)險(xiǎn)證券必須結(jié)清；所有個(gè)體的初始財(cái)富的和等于所有風(fēng)險(xiǎn)證券的市場(chǎng)總價(jià)值。（二）資本市場(chǎng)線與證券市場(chǎng)線資本市場(chǎng)線（CML）和證券市場(chǎng)線（SML）是CAPM的兩個(gè)主要結(jié)論，CML是投資組合理論的直接延伸。2.1 資本市場(chǎng)線資本市場(chǎng)線描述的是均衡的資本市場(chǎng)上任一投資組合的預(yù)期收益率與其風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。當(dāng)市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，市場(chǎng)組合M就為切點(diǎn)投資組合，代表了所有投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資方式。所有投資者在進(jìn)行最優(yōu)投資選擇時(shí)都是將其資金在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與M之間進(jìn)行分配，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)rf與M的連線也就是有效集這條直線形狀的有效集就是資本市場(chǎng)線