人教版勾股定理(第二課時(shí))精品(簡(jiǎn)單、提高).ppt

17 1勾股定理第二課時(shí) 復(fù)習(xí)鞏固 梳理知識(shí) 問(wèn)題1 請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)勾股定理的具體內(nèi)容 在Rt ABC中 C 90 AB c AC b BC a a2 b2 c2 已知a b 則c 已知a c 則b 已知c b 則a 問(wèn)題2 勾股定理應(yīng)用的條件有哪些 有兩種特殊的直角三角形 已知一邊可以求另外兩邊長(zhǎng) a 5cm時(shí)求b c c 6cm時(shí)求b a 一個(gè)門框尺寸如下圖所示 若有一塊長(zhǎng)3米 寬0 8米的薄木板 問(wèn)怎樣從門框通過(guò) 若薄木板長(zhǎng)3米 寬1 5米呢 若薄木板長(zhǎng)3米 寬2 2米呢 為什么 1m 2m 木板的寬2 2米大于1米 橫著不能從門框通過(guò) 木板的寬2 2米大于2米 豎著也不能從門框通過(guò) 只能試試斜著能否通過(guò) 對(duì)角線AC的長(zhǎng)最大 因此需要求出AC的長(zhǎng) 怎樣求呢 一 勾股定理解決門框是否通過(guò)問(wèn)題 1 一輛裝滿貨物高為1 8米 寬1 5米的卡車要通過(guò)一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道 它能順利通過(guò)嗎 O A 1 5m C D 分析 隧道寬度是足夠的 所以卡車能否通過(guò) 只要看卡車位于隧道中線一側(cè)時(shí) 其右側(cè)高度是否小于 因?yàn)? 1 8 高度上有0 2米的余量 所以卡車能通過(guò)隧道 CD 連接OD 得到Rt OCD 如何求CD呢 解 在Rt OCD中 由勾股定理得 2 5m 知識(shí)擴(kuò)展練一練 一輛裝滿貨物的卡車 其外形高2 5米 寬1 6米 要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠 問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門 分析 1 廠門的寬度足夠 所以卡車能否通過(guò) 只要看卡車位于廠門正中間時(shí) 其高度是否小于 要求CH就必須先求 而要求出CD我們可以建立Rt 2 在Rt OCD中 直角邊OD 斜邊OC CH CD OCD 1米 0 8米 CH 0 6 2 3 2 9 2 5 因此高度上有0 4米的余量 所以卡車能通過(guò)廠門 0 8m 1m 知識(shí)擴(kuò)展練一練 有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm的正方形洞口 想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口 圓的直徑至少多長(zhǎng) 結(jié)果保留整數(shù) 50dm A B C D 解 在Rt ABC中 B 90 AC BC 50 由勾股定理可知 變式練習(xí) 如圖 池塘邊有兩點(diǎn)A B 點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上的一點(diǎn) 測(cè)得CB 60m AC 20m 你能求出A B兩點(diǎn)間的距離嗎 結(jié)果保留整數(shù) 探究新知 一個(gè)2 5m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上 這時(shí)AC的距離為2 4m 如果梯子頂端A沿墻下滑0 4m 那么梯子底端B也外移0 4m嗎 D E 解 在Rt ABC中 ACB 90 AC2 BC2 AB22 42 BC2 2 52 BC 0 7m 由題意得 DE AB 2 5mDC AC AD 2 4 0 4 2m 在Rt DCE中 BE 1 5 0 7 0 8m 0 4m答 梯子底端B不是外移0 4m DCE 90 DC2 CE2 DE222 BC2 2 52 CE 1 5m 二 勾股定理解決梯子移動(dòng)問(wèn)題 如圖 一個(gè)3米長(zhǎng)的梯子AB 斜著靠在豎直的墻AO上 這時(shí)AO的距離為2 5米 求梯子的底端B距墻角O多少米 如果梯子的頂端A沿墻角下滑0 5米至C 請(qǐng)同學(xué)們 猜一猜 底端也將滑動(dòng)0 5米嗎 算一算 底端滑動(dòng)的距離近似值是多少 結(jié)果保留兩位小數(shù) 變式練習(xí) 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 中記載了一道有趣的問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題意思是 有一個(gè)水池 水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形 在水池的中央有一根蘆葦 它高出水面1尺 如果把這根蘆葦拉向岸邊 它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面 問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少 D A B C 解 設(shè)水池的深度AC為X米 則蘆葦高AD為 X 1 米 根據(jù)題意得 BC2 AC2 AB2 52 X2 X 1 2 25 X2 X2 2X 1 X 12 X 1 12 1 13 米 答 水池的深度為12米 蘆葦高為13米 三 勾股定理解決蘆葦傾斜問(wèn)題 荷花問(wèn)題平平湖水清可鑒 面上半尺生紅蓮 出泥不染亭亭立 忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊 漁人觀看忙向前 花離原位二尺遠(yuǎn) 能算諸君請(qǐng)解題 湖水如何知深淺 0 5 x x 0 5 2 答 湖水深3 75尺 探究新知 可用勾股定理建立方程 實(shí)數(shù) 數(shù)軸上的點(diǎn) 一一對(duì)應(yīng) 說(shuō)出下列數(shù)軸上各字母所表示的實(shí)數(shù) 點(diǎn)C表示 點(diǎn)D表示 點(diǎn)B表示 點(diǎn)A表示 四 利用勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù) 我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù) 有的表示無(wú)理數(shù) 你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎 0 1 2 3 4 步驟 l A B C 1 在數(shù)軸上找到點(diǎn)A 使OA 3 2 作直線L OA 在L上取一點(diǎn)B 使AB 2 3 以原點(diǎn)O為圓心 以O(shè)B為半徑作弧 弧與數(shù)軸交于C點(diǎn) 則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn) 你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)和的點(diǎn)嗎 點(diǎn)C即為表示的點(diǎn) 你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎 探究1 0 1 2 3 4 l A B C 你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)和的點(diǎn)嗎 0 1 2 3 4 A B C 你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎 探究 0 在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的 海螺型 圖案 由此可知 利用勾股定理 可以作出長(zhǎng)為 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽 1 數(shù)學(xué)海螺圖 的線段 1 丹東 中考 已知 ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形 以Rt ABC的斜邊AC為直角邊 畫第二個(gè)等腰Rt ACD 再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊 畫第三個(gè)等腰Rt ADE 依此類推 第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 2 如圖為4 4的正方形網(wǎng)格 以格點(diǎn)與點(diǎn)A為端點(diǎn) 你能畫出幾條邊長(zhǎng)為的線段 3 如圖 D 2 1 以O(shè)D為一邊畫等腰三角形 并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上 這樣的等腰三角形能畫多少個(gè) 寫出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo) x y 在 ABC中 D為BC邊上的高 已知AB 15 BC 30 AC 20 求BD的長(zhǎng) 五 利用勾股定理建立方程 方程思想 兩個(gè)直角三角形中 如果有一條公共邊 可利用勾股定理建立方程求解 變式訓(xùn)練 ABC中 AB 10 AC 17 BC邊上的高線AD 8 求線段BC的長(zhǎng)和 ABC的面積 8 6 15 6 21 或9 S ABC 84或36 當(dāng)題中沒(méi)有給出圖形時(shí) 應(yīng)考慮圖形的形狀是否確定 如果不確定 就需要分類討論 如圖 鐵路上A B兩點(diǎn)相距25km C D為兩村莊 DA AB于A CB AB于B 已知DA 15km CB 10km 現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E 使得C D兩村到E站的距離相等 則E站應(yīng)建在離A站多少km處 x 25 x 解 設(shè)AE xkm 根據(jù)勾股定理 得AD2 AE2 DE2BC2 BE2 CE2 又 DE CE AD2 AE2 BC2 BE2 即 152 x2 102 25 x 2 答 E站應(yīng)建在離A站10km處 X 10 則BE 25 x km 15 10 五 利用勾股定理建立方程 勾股定理中折疊問(wèn)題 折疊和軸對(duì)稱密不可分 利用折疊前后圖形完全重合 全等 找到對(duì)應(yīng)邊 對(duì)應(yīng)角相等便可順利解決折疊問(wèn)題 規(guī)律 矩形ABCD如圖折疊 使點(diǎn)D落在BC邊上F處 已知AB 8 BC 10 求EF的長(zhǎng) A B C D F E 解 設(shè)DE為X X 則CE為 8 X 由題意可知 EF DE X X AF AD 10 10 10 8 在Rt ABF中AB2 BF2 AF2 82 BF2 102 BF 6 CF BC BF 10 6 4 6 4 在Rt EFC中CE2 CF2 EF2 8 X 2 42 X2 解得X 5即EF 5 六 折疊問(wèn)題 8 X 2 試求下列圖形中陰影部分的面積 1 陰影部分是正方形 25cm 2 陰影部分是半圓 8 cm 七 圖形中陰影部分的面積問(wèn)題 如圖 分別以Rt ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓 其面積分別用S1 S2 S3表示 猜想S1 S2 S3之間有什么關(guān)系 請(qǐng)加以說(shuō)明 知識(shí)擴(kuò)展練一練 如圖 分別以直角三角形ABC的三邊為邊向外作正方形 然后分別以三個(gè)正方形的中心為圓心 正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作圓 求三個(gè)圓的面積之間的關(guān)系 知識(shí)擴(kuò)展練一練 如圖 已知直角三角形ABC的三邊分別為6 8 10 分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓 求圖中陰影部分的面積 知識(shí)擴(kuò)展練一練 乙 甲 八 勾股定理應(yīng)用中 航海問(wèn)題 甲輪船以 海里 時(shí)的速度從港口向東南方向航 行 乙船同時(shí)以 0海里 時(shí)速度向東北方向航行 求它們離開(kāi)港口 小時(shí)后相距多遠(yuǎn) 北 南 西 東 港口 A B 甲 乙 日常生活中常見(jiàn)的垂直關(guān)系有哪些 九 利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題 知識(shí)回顧 1 兩點(diǎn)之間 最短 2 一個(gè)圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖是 它的一邊長(zhǎng)是 它的另一邊長(zhǎng)是 線段 長(zhǎng)方形 圓柱的高 底面圓的周長(zhǎng) 請(qǐng)觀察討論 交流 動(dòng)手實(shí)踐 展平 只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開(kāi)法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 我怎么走會(huì)最近呢 例1 如圖所示 圓柱體的底面直徑為6cm 高AC為12cm 一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)B 試求出爬行的最短路程 取3 合作探究 C D 議一議 分組討論 合作交流 動(dòng)手實(shí)踐 請(qǐng)觀察討論 交流 動(dòng)手實(shí)踐 兩點(diǎn)之間線段最短 為什么這樣走最短 B C 解 如上圖 在Rt ABC中 BC r 9cm AB 15 cm 勾股定理 答 最短路程約為15cm C 高12cm B A 長(zhǎng)18cm 的值取3 AB2 92 122 81 144 225 AB 15 cm 答 螞蟻爬行的最短路程是15cm 152 解 將圓柱如圖側(cè)面展開(kāi) 在Rt ABC中 根據(jù)勾股定理 C 幾何體的表面路徑的最短的問(wèn)題 一般將立體圖形展開(kāi)為平面圖形來(lái)計(jì)算 展平 只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開(kāi)法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 展開(kāi)思想 求立體圖形中最短路程問(wèn)題的 四步法 規(guī)律 最短路程問(wèn)題 例1 如圖 一圓柱高8cm 底面半徑2cm 一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食 要爬行的最短路程 取3 是 A 20cmB 10cmC 14cmD 無(wú)法確定 B B 8 O A 2 蛋糕 A C B 周長(zhǎng)的一半 試一試 開(kāi)學(xué)了 小華的媽媽為她準(zhǔn)備了一把長(zhǎng)為85cm的雨傘和一個(gè)行李箱 行李箱長(zhǎng)為40cm 寬為30cm 高為70cm 問(wèn)能否把雨傘放進(jìn)這個(gè)行李箱中 鏈接生活 學(xué)以致用 x X2 302 402 50 AB2 602 X2 AB 米 做一做 小明要外出旅游 他所帶的行李箱如圖 長(zhǎng)40cm 寬30cm 高60cm 請(qǐng)問(wèn) 一把70cm長(zhǎng)的雨傘能否裝進(jìn)這個(gè)行李箱 解 如圖 由題意可知 ADC和 ABC都是直角三角形 如圖 正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm 側(cè)棱長(zhǎng)為8cm 一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點(diǎn)A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C1處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑是多少 解 如下圖 將四棱柱的側(cè)面展開(kāi) 連結(jié)AC1 AC 10cm CC1 8cm 已知 與上題的區(qū)別 如圖是一個(gè)長(zhǎng)8m 寬6m 高5m的倉(cāng)庫(kù) 在其內(nèi)壁的A處 長(zhǎng)的四等分點(diǎn) 處有一只壁虎 B 寬的三等分 處有一只蚊子 則壁虎抓到蚊子的最短距離的平方為m2 8 6 5 8 6 5 6 4 6 4 如圖是一個(gè)長(zhǎng)8m 寬6m 高5m的倉(cāng)庫(kù) 在其內(nèi)壁的A處 長(zhǎng)的四等分點(diǎn) 處有一只壁虎 B 寬的三等分 處有一只蚊子 則壁虎抓到蚊子的最短距離的平方為m2 8 6 5 8 5 5 6 6 4 如圖 長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 寬 高分別為8 4 2 現(xiàn)有一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā) 沿長(zhǎng)方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C 小蟲走的路程最短為多少厘米 A C C1 B1 C2 B2 8 4 2 12 2 2 B3 C3 試一試 展平 只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開(kāi)法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm 3dm 2dm A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少 3 2 3 2 3 AB2 AC2 BC2 625 AB 25 應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯?jiǎn)栴} 展平 只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開(kāi)法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng) 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 十 勾股定理解決樓梯上鋪地毯?jiǎn)栴} 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng) 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 試一試 展平 只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開(kāi)法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng) 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 展平 只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開(kāi)法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng) 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 55 10 6 解 C 如圖 將臺(tái)階展開(kāi) AC 10 6 3 48 BC 55 三角形ABC為直角三角形 AB 答 最短路線是73cm 3 如圖 邊長(zhǎng)為1的正方體中 一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是 A 3 B C 2 D 1 分析 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的 故需把正方體展開(kāi)成平面圖形 如圖 B 拔高練習(xí) 2 如圖 牧童在A處放牛 其家在B處 A B到河岸的距離分別為AC BD 且AC 3 BD 5 CD 6 若牧童從A處將牛牽到河邊飲水后再回家 試問(wèn)在何處飲水 所走路程最短 最短路程是多少 M A 模型2 軸對(duì)稱 方法總結(jié)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活 又服務(wù)與生活 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí) 首先要畫出適當(dāng)?shù)氖疽鈭D 將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題 并構(gòu)建直角三角形模型 再運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題 立體圖形中路線最短的問(wèn)題 往往是把立體圖形展開(kāi) 得到平面圖形 根據(jù) 兩點(diǎn)之間 線段最短 確定行走路線 再根據(jù)勾股定理計(jì)算出最短距離 應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路 知識(shí)擴(kuò)展練一練 利用勾股定理作出長(zhǎng)為的線段 1 1 用同樣的方法 你能否在數(shù)軸上畫出表示 提示 利用上一個(gè)直角三角形的斜邊作為下一個(gè)直角三角形的一條直角邊 在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形 如圖 已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1 2 3 正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1 S2 S3 S4 求S1 S2 S3 S4 知識(shí)擴(kuò)展練一練 2012中考 請(qǐng)閱讀下列材料 問(wèn)題 現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形 排列形式如圖1 請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形 要求 在圖 中畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形 圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1