天津市南開區(qū)2015年中考數(shù)學一模試卷含答案解析

第 1 頁（共 31 頁） 2015 年天津市南開區(qū)中考數(shù)學一模試卷 一、選擇題（本題共 12小題，每小題 3分，共 36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1 3+（ 5）的結(jié)果是（ ） A 2 B 8 C 8 D 2 2 值為（ ） A B C D 3下列四個圖形中，軸對稱圖形有（ ） A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 4第六次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，天津市常駐人口大約有 12940000 人，將 12940000 用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A 05 B 06 C 07 D 08 5與如圖所示的三視圖對應(yīng)的幾何體是（ ） A B C D 第 2 頁（共 31 頁） 6下列命題： 對角線相等的四邊形是矩形 對角線互相垂直的四邊形是菱形 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 其中正確的有（ ） A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 7正三角形內(nèi)切圓與外接圓半徑之比為（ ） A B C D 8已知兩點 函數(shù) y= 的圖象上，當 0 時，下列結(jié)論正確的是（ ） A 0 0 0 D 0 9甲、乙、丙、丁四位同 學五次數(shù)學測驗成績統(tǒng)計如表如果從這四位同學中，選出一位成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參加全國數(shù)學聯(lián)賽，那么應(yīng)選（ ） 甲 乙 丙 丁 平均數(shù) 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A甲 B乙 C丙 D丁 10如圖，將 點 P 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到 ABC，則點 P 的坐標是（ ） 第 3 頁（共 31 頁） A（ 1， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 4） 11矩形 ， 點 E 從點 C 開始沿邊 點 B 以 2cm/s 的速度運動，動點 F 從點 C 同時出發(fā)沿邊 點 D 以 1cm/s 的速度運動至點 D 停止如圖可得到矩形 運動時間為 x（單位： s），此時矩形 掉矩形 剩余部分的面積為 y（單位： 則 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（ ） A B CD 12定義 a， b， c為函數(shù) y=bx+c 的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為 2m， 1 m， 1 m的函數(shù)的一些結(jié)論： 當 m= 3 時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（ ， ）； 當 m 0 時，函數(shù)圖象截 x 軸所得的線段長度大于 ； 當 m 0 時，函數(shù)在 x 時， y 隨 x 的增大而減?。?當 m0 時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點 其中正確的結(jié)論有（ ） A B C D 第 4 頁（共 31 頁） 二、填空題（本題共 6小題，每小題 3分，共 18分） 13 a3a 2= 14若關(guān)于 2x 1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則 15一次函數(shù) y1=kx+b 與 y2=x+a 的圖象如圖，則 kx+b x+a 的解集是 16從 1， 2， 3， 4 中任取兩個不同的數(shù)，其乘積大于 4 的概率是 17一個邊長為 4等邊三角形 O 等高，如圖放置， O 與 切于點 C， O 與交于點 E，則 長為 18如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個邊長為 4 的平行四邊形 ）平行四邊形 面積是 ； （ ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，將其剪拼成一個有一邊長為 6 的矩形，畫出裁剪線（最多兩條），并簡述拼接方法 第 5 頁（共 31 頁） 三、解答題（本題共 7小題，共 66分） 19解不等式組 請結(jié)合題意填空，完成本題的解答 （ ）解不等式 ，得 （ ）解不等式 ，得 （ ）把不等式 和 的解集在數(shù)軸上表示出來； （ ）原不等式組的解集為 20某校計劃開設(shè) 4 門選修課：音樂、繪畫、體育、舞蹈，學 校采取隨機抽樣的方法進行問卷調(diào)查（ 2015南開區(qū)一模）已知， O 的直徑， C 為 O 上一點，若直線 O 相切于點 C，足為 D （ 1）如圖 ， 0， ，求 長； 第 6 頁（共 31 頁） （ 2）如果把直線 下平行移動，如圖（ 2），直線 O 于 C， G 兩點，若題目中的其他條件不變，且 ， ，求 的值 22如圖，一艘海倫位于燈塔 P 的北偏東 65方向，距離燈塔 80 海里 的 A 處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔 P 的南偏東 34方向上的 B 處，這時，海倫所在的 B 處距離燈塔 P 有多遠？（ 23某賓館有 50 個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為 180 元時，房間會全部注滿；當每個房間每天的定價增加 10 元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓客需對每個房間每天支出 20 元的各種費用，當房價定位多少元時，賓客利潤最大， 最大利潤是多少？設(shè)每個房間定價增加10x 元，賓館每天的利潤為 y 元 （ ）分析：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，用含 x 的式子填表： 原價 每個房間增加10 元 每個房間增加20 元 每個房間增加10x 元 每個房價定價 180 190 200 房住房間數(shù)量 50 49 48 （ ）由以上分析，用含 x 的式子表示 y，并求出問題的解 24如圖， 邊長為 2+ 的等邊三角形，其中 O 是坐標原點，頂點 B 在 y 軸正方向 上，將 疊，使點 A 落在邊 ，記為 A，折痕為 （ 1）當 AE x 軸時，求點 A和 E 的坐標； （ 2）當 AE x 軸，且拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過點 A和 E 時，求拋物線與 x 軸的交點的坐標； 第 7 頁（共 31 頁） （ 3）當點 A在 運動，但不與點 O、 B 重合時，能否使 A為直角三角形？若能，請求出此時點 A的坐標；若不能，請你說明理由 25已知拋物線 y=a（ x+1） 2 2 的頂點 為 A，且經(jīng)過點 B（ 2， 1） （ 1）求 A 點的坐標和拋物線 解析式； （ 2）如圖 1，將拋物線 下平移 2 個單位后得到拋物線 拋物線 B 相交于 C，D 兩點，求 S S （ 3）如圖 2，若過 P（ 4， 0）， Q（ 0， 2）的直線為 l，點 E 在（ 2）中拋物線 頂點）運動，直線 m 過點 C 和點 E問：是否存在直線 m，使直線 l， m 與 x 軸圍成的三角形和直線 l， m 與 y 軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線 m 的解析式；若不存在，說明理由 第 8 頁（共 31 頁） 2015年天津市南開區(qū)中考數(shù)學一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 12小題，每小題 3分，共 36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1 3+（ 5）的結(jié)果是（ ） A 2 B 8 C 8 D 2 【考點】 有理數(shù)的加法 【分析】 根據(jù)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加，可得答案 【解答】 解：原式 =（ 3+5） = 8 故選： B 【點評】 本題考查了有理數(shù)的加法，先確定和的符號，再進行絕對值得運算 2 值為（ ） A B C D 【考點】 特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 根據(jù) 30角的正切值，可得答案 【解答】 解： ， 故選： B 【點評】 本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵 3下 列四個圖形中，軸對稱圖形有（ ） 第 9 頁（共 31 頁） A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 【考點】 軸對稱圖形 【分析】 根據(jù)軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析 【解答】 解： 不是軸對稱圖形， 是軸對稱圖形，因此共有 3 個軸對稱圖形， 故選： B 【點評】 此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是找出圖形的對稱軸 4第六次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，天津市常駐人口大約有 12940000 人，將 12940000 用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A 05 B 06 C 07 D 08 【考點】 科學記數(shù)法 表示較大的數(shù) 【分析】 科學記數(shù)法的表示形式為 a10中 1|a| 10， n 為整數(shù)確定 n 的值時，要看把原數(shù)變成 a 時，小數(shù)點移動了多少位， n 的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當原數(shù)絕對值 1 時，n 是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值 1 時， n 是負數(shù) 【解答】 解： 12 940 000=07， 故選： C 【點評】 此題考查科學記數(shù) 法的表示方法科學記數(shù)法的表示形式為 a10中 1|a| 10，n 為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值 5與如圖所示的三視圖對應(yīng)的幾何體是（ ） A B C D 【考點】 由三視圖判斷幾何體 【分析】 主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形 【解答】 解：從正視圖可以排除 C，故 C 選項錯誤； 從左視圖可以排除 A，故 A 選項錯誤； 第 10 頁（共 31 頁） 從左視圖可以排除 D，故 D 選項錯誤； 符合條件的只有 B 故選： B 【點評】 本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學生空間想象能力及對立體圖形的認知能力，可通過排除法進行解答 6下列命題： 對角線相等的四邊形是矩形 對角線互相垂直的四邊形是菱形 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行 四邊形 其中正確的有（ ） A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 【考點】 命題與定理 【分析】 根據(jù)矩形的判定方法對 進行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對 進行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對 進行判斷；根據(jù)平行四邊形的判定方法對 進行判斷 【解答】 解：對角線相等的平行四邊形是矩形，所以 錯誤；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以 錯誤；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以 正確；一組對邊相等，且這組對邊平行的四邊形是平行四邊形，所以 錯誤 故選 D 【點評】 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語 句，叫做命題許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成 “如果 那么 ”形式有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理也考查了逆命題 7正三角形內(nèi)切圓與外接圓半徑之比為（ ） A B C D 【考點】 正 多邊形和圓 【分析】 先作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)確定它的內(nèi)切圓和外接圓的圓心；通過特殊角進行計算，用內(nèi)切圓半徑來表示外接圓半徑，最后求出比值即可 第 11 頁（共 31 頁） 【解答】 解：如圖， 等邊三角形， 高點 O 是其外接圓的圓心，由等邊三角形的三線合一得點 O 在 ，并且點 O 還是它的內(nèi)切圓的圓心 1= 4=30， B， ： 2 故選 A 【點評】 本題考查的是正多邊形和圓，熟知等邊三角形的性質(zhì)及 三角形內(nèi)切圓與外接圓的定義是解答此題的關(guān)鍵 8已知兩點 函數(shù) y= 的圖象上，當 0 時，下列結(jié)論正確的是（ ） A 0 0 0 D 0 【考點】 反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征 【專題】 計算題 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得 ， ，然后利用求差法比較 大小 【解答】 解：把點 入 y= 得 ， ， 則 = ， 0， 0， 0， 0， 第 12 頁（共 31 頁） 即 故選： A 【點評】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù) y= （ k 為常數(shù)， k0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（ x， y）的橫縱坐標的積是定值 k，即 xy=k 9甲、乙、丙、丁四位同學五次數(shù)學測驗成績統(tǒng)計如表如果從這四位同學中，選出一位成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參加全國數(shù)學聯(lián)賽，那么應(yīng)選（ ） 甲 乙 丙 丁 平均數(shù) 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A甲 B乙 C丙 D丁 【考點】 方差；算術(shù)平均數(shù) 【專題】 常規(guī)題型 【分析】 此題有兩個要求： 成績較好， 狀態(tài)穩(wěn)定于是應(yīng)選平均數(shù)大、方差小的同學參賽 【解答】 解：由于乙的方差較小、平均數(shù)較大，故選乙 故選： B 【點評】 本題考查平均數(shù)和方差的意義方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波 動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定 10如圖，將 點 P 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到 ABC，則點 P 的坐標是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 4） 【考點】 坐標與圖形變化 第 13 頁（共 31 頁） 【專題】 網(wǎng)格型 【分析】 先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點 A 的對應(yīng)點為點 A，點 B 的對應(yīng)點為點 B，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)中心在線段 垂直平分線，也在線段 垂直平分線，即兩垂直平分線的交點為旋轉(zhuǎn)中心 【解答】 解： 將 某點為旋轉(zhuǎn)中 心，順時針旋轉(zhuǎn) 90得到 ABC， 點 A 的對應(yīng)點為點 A，點 C 的對應(yīng)點為點 C， 作線段 垂直平分線，它們的交點為 P（ 1， 2）， 旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（ 1， 2） 故選： B 【點評】 本題考查了坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如： 30， 45， 60， 90， 180 11矩形 ， 點 E 從點 C 開始沿邊 點 B 以 2cm/s 的速度運動，動點 F 從點 C 同時出發(fā)沿邊 點 D 以 1cm/s 的速度運動至點 D 停止如圖可得到矩形 運動時間為 x（單位： s），此時矩形 掉矩形 剩余部分的面積為 y（單位： 則 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（ ） 第 14 頁（共 31 頁） A B CD 【考點】 動點問題的函數(shù)圖象 【專題】 壓軸題；動點型 【分析】 重點考查學生的閱讀理解能力、分析研究能力在解答時要注意先總結(jié)出函數(shù)的解析式，由解析式結(jié)合其取值范圍判斷，不要只靠感覺 【解答】 解：此題在讀懂題意的基礎(chǔ)上，分兩種情況討論： 當 x4 時， y=68（ x2x） = 28，此時函數(shù)的圖象為拋物線的一部分，它的最上點拋物線的頂點（ 0， 48），最下點為（ 4， 16）； 當 4 x6 時，點 E 停留在 B 點處，故 y=48 8x= 8x+48，此時函數(shù)的圖象為直線 y= 8x+48 的一部分，它的最上點可以為（ 4， 16），它的最下點為（ 6， 0） 結(jié)合四個選項的圖象知選 A 項 故選： A 【點評】 本題考查了二次函數(shù)及其圖象，一次函數(shù)及其圖象的知識 12定義 a， b， c為函數(shù) y=bx+c 的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為 2m， 1 m， 1 m的函數(shù)的一些結(jié)論： 當 m= 3 時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（ ， ）； 當 m 0 時 ，函數(shù)圖象截 x 軸所得的線段長度大于 ； 當 m 0 時，函數(shù)在 x 時， y 隨 x 的增大而減小； 當 m0 時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點 第 15 頁（共 31 頁） 其中正確的結(jié)論有（ ） A B C D 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【專題】 壓軸題；新定義 【分析】 當 m= 3 時，根據(jù)函數(shù)式的對應(yīng)值，可直接求頂點坐標； 當 m 0 時，直接求出圖象與 x 軸兩交點坐標，再求函數(shù)圖象截 x 軸所得的線段長度，進行判斷 ； 當 m 0 時，根據(jù)對稱軸公式，進行判斷； 當 m0 時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點 【解答】 解：根據(jù)定義可得函數(shù) y=2 1 m） x+（ 1 m）， 當 m= 3 時，函數(shù)解析式為 y= 6x+2， = = ， = = ， 頂點坐標是（ ， ），正確； 函數(shù) y=2 1 m） x+（ 1 m）與 x 軸兩交點坐標為（ 1， 0），（ ， 0）， 當 m 0 時， 1（ ） = + ，正確； 當 m 0 時，函數(shù) y=2 1 m） x+（ 1 m）開口向下，對稱軸 x= ， x 可能在對稱軸左側(cè)也可能在對稱軸右側(cè)，錯誤； y=2 1 m） x+（ 1 m） =m（ 2x 1） +x 1，若使函數(shù)圖象恒經(jīng)過一點， m0 時，應(yīng)使 2x 1=0，可得 ， ，當 x=1 時， y=0，當 x= 時， y= ，則函數(shù)一定經(jīng)過點（ 1， 0）和（ ， ），正確 故選 B 【點評】 公式法： y=bx+c 的頂點坐標為（ ， ），對稱軸是 x= 二、填空題（本題共 6小題，每小題 3分，共 18分） 13 a3a 2= 【考點】 同底數(shù)冪的除法；負整數(shù)指數(shù)冪 【分析】 根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減，可得答案 【解答】 解：原式 = 2） = 第 16 頁（共 31 頁） 故答案為： 【點評】 本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減是解題關(guān)鍵 14若關(guān)于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍是 k 1且 k0 【考點】 根的判別式 【分析】 由關(guān)于 2x 1=0有兩個不相等的實數(shù)根，即可得判別式 0且 k0，則可求得 k 的取值范圍 【解答】 解： 關(guān)于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有兩個不相等的實數(shù)根， =4 2） 2 4k（ 1） =4+4k 0， k 1， x 的一元二次方程 2x 1=0 k0， k 的取值范圍是： k 1 且 k0 故答案為： k 1 且 k0 【點評】 此題 考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式 的關(guān)系： （ 1） 0方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2） =0方程有兩個相等的實數(shù)根； （ 3） 0方程沒有實數(shù)根 15一次函數(shù) y1=kx+b 與 y2=x+a 的圖象如圖，則 kx+b x+a 的解集是 x 2 【考點】 一次函數(shù)與一元一次不等式 【專題】 整體思想 第 17 頁（共 31 頁） 【分析】 把 x= 2 代入 y1=kx+b 與 y2=x+a，由 y1=出 =2，再求不等式的解集 【解答】 解：把 x= 2 代入 y1=kx+b 得， 2k+b， 把 x= 2 代入 y2=x+a 得， 2+a， 由 y1=： 2k+b= 2+a， 解得 =2， 解 kx+b x+a 得， （ k 1） x a b， k 0， k 1 0， 解集為： x ， x 2 故答案為： x 2 【點評】 本題主要考查一次函數(shù)和 一元一次不等式，本題的關(guān)鍵是求出 =2，把 看作整體求解集 16從 1， 2， 3， 4 中任取兩個不同的數(shù)，其乘積大于 4 的概率是 【考點】 列表法與樹狀圖法 【分析】 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其乘積大于 4 的情況，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：畫樹狀圖得： 共有 12 種等可能的結(jié)果，任取兩個不同的數(shù)，其乘積大于 4 的有 6 種情況， 第 18 頁（共 31 頁） 從 1、 2、 3、 4 中任取兩個不同的數(shù)，其乘積大于 4 的概率是： = 故答案為： 【點評】 本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件用到 的知識點為：概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比 17一個邊長為 4等邊三角形 O 等高，如圖放置， O 與 切于點 C， O 與交于點 E，則 長為 3 【考點】 切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；弦切角定理 【專題】 幾何圖形問題 【分析】 連接 過點 O 作 F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的高等于底邊的 倍已知邊長為 4等邊三角形 O 等 高，說明 O 的半徑為 ，即 ，又 0，故有 0，在 ，可得出 長，利用垂徑定理即可得出 長 【解答】 解：連接 過點 O 作 F， 且 等邊三角形，邊長為 4， 故高為 2 ，即 ， 又 0，故有 0， 在 ，可得 C ， 圓心，且 據(jù)垂徑定理易知 故答案為： 3 第 19 頁（共 31 頁） 【點評】 本題主要考查了切線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目 18如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個邊長為 4 的平行四邊形 ）平行四邊形 面積是 24 ； （ ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，將其剪拼成一個有一 邊長為 6 的矩形，畫出裁剪線（最多兩條），并簡述拼接方法 1， 2， 3 【考點】 圖形的剪拼；平行四邊形的性質(zhì) 【分析】 （ 1）根據(jù)平行四邊形的面積公式：底 高計算即可； （ 2）根據(jù)剪拼前后的圖形的面積相等進行剪拼即可 【解答】 解：（ 1）平行四邊形 面積是： 46=24； （ 2）如圖 1， 2， 3， 則矩形 為所求 故答案為：（ 1） 24；（ 2） 1， 2， 3 【點評】 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和圖形的剪拼的知識，掌握平行四邊形的性質(zhì)和剪拼前后的圖形的面積相等是解題的關(guān)鍵 三、解答題（本題共 7小題，共 66分） 第 20 頁（共 31 頁） 19解不等式組 請結(jié)合題意填空，完成本題的解答 （ ）解不等式 ，得 x 3 （ ）解不等式 ，得 x0 （ ）把不等式 和 的解集在數(shù)軸上表示出來； （ ）原不等式組的解集為 x0 【考點】 解一元一次不等式 組；在數(shù)軸上表示不等式的解集 【分析】 分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來即可 【解答】 解：由 得， x 3，由 得， x0， 在數(shù)軸上表示為： ， 故不等式組的解集為： x0 故答案為： x 3， x0， x0 【點評】 本題考查的是解一元一次不等式組，熟知 “同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到 ”的原則是解答此題的關(guān)鍵 20某校計劃開設(shè) 4 門選修課：音樂、繪畫、體育、舞蹈，學校采取隨機抽樣的方法進行問 卷調(diào)查（ 2015南開區(qū)一模）已知， O 的直徑， C 為 O 上一點，若直線 O 相切于點 C，足為 D （ 1）如圖 ， 0， ，求 長； 第 21 頁（共 31 頁） （ 2）如果把直線 下平行移動，如圖（ 2），直線 O 于 C， G 兩點，若題目中的其他條件不變，且 ， ，求 的值 【考點】 切線的性質(zhì)；平移的性質(zhì) 【分析】 （ 1）先由圓周角定理得出 0= 由弦切角定理得出 B，證出 出對應(yīng)邊成比例，得出 B可求出 （ 2）先根據(jù)勾股定理求出 由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出 B，證出 出比例式即可得出結(jié)果 【解答】 解：（ 1） O 的直徑， 0， 直線 O 相切于點 C， B， 又 0= ， B02=20， ； （ 2） O 的直徑， 0， =5， 0= 又 B， 【點評】 本題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓的有關(guān)定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵 第 22 頁（共 31 頁） 22如圖，一艘海倫位于燈塔 P 的北偏東 65方向，距離燈塔 80 海里的 A 處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔 P 的南偏東 34方向上的 B 處，這時，海倫所在的 B 處距離燈塔 P 有多遠？（ 【考點】 解直角三角形的應(yīng)用 【分析】 首先根據(jù)題意得出 0 65=25，再利用解直角三角形求出即可 【解答】 解：如圖，在 ， 0 65=25， A0 在 ， B=34， = =130（海里）， 答：海輪所在的 B 處距離燈塔 P 約有 130 海里 【點評】 此題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義得出相關(guān)角度是解決本題的關(guān)鍵 23某賓館有 50 個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為 180 元時，房間會全部注滿；當每個房間每天的定價增加 10 元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓客需對每個房間每天支出 20 元的各種費用，當房價定位多少元時，賓客利潤最大，最大利潤是多少？設(shè)每個房間定價增加10x 元，賓館每天的利潤為 y 元 （ ）分析：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，用含 x 的式子填表： 原價 每個房間增加10 元 每個房間增加20 元 每個房間增加10x 元 每個房價定價 180 190 200 房住房間數(shù)量 50 49 48 （ ）由以上分析，用含 x 的式子表示 y，并求出問題的解 【考點】 二次函數(shù)的應(yīng)用 第 23 頁（共 31 頁） 【分析】 （ 1）理解每個房間的房價每增加 10x 元，房間定價（ 180+10x）元，則減少房間 x 間，居住房間數(shù)量（ 50 x）間； （ 2）根據(jù)（ 1）中代數(shù)式，賓館每天的利潤為 y=（房間定價每天支出費用） 居住房間數(shù)量 【解答】 解：（ 1）填表如下： 原價 每個房間增加10 元 每個房間增加20 元 每個房間增加10x 元 每個房價定價 180 190 200 180+10x 房住房間數(shù)量 50 49 48 50 x （ 2） y=（ 180+10x 20） （ 50 x） = 1040x+8000= 10（ x 17） 2+10890 當 x=17 時， 180+10x=350， 50 x=33 所以當房價定為 350 元時，賓館利潤最大，最大利潤是 10890 元 【點評】 本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，特別容易出現(xiàn)的錯誤是在求最值時不考慮 x 的范圍，直接求頂點坐標 24如圖， 邊長為 2+ 的等邊三角形，其中 O 是坐標原點，頂點 B 在 y 軸正方向上，將 疊，使點 A 落在邊 ，記為 A，折痕為 （ 1）當 AE x 軸時，求點 A和 E 的坐標； （ 2）當 AE x 軸，且拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過點 A和 E 時，求拋物線與 x 軸的交點的坐標； （ 3）當點 A在 運動，但不與點 O、 B 重合時，能否使 A為直角三角形？若能，請求出此時點 A的坐標；若不能，請你說明理由 【考點】 二次函數(shù)綜合題 【專題】 壓軸題 第 24 頁（共 31 頁） 【分析】 （ 1）當 AE x 軸時， A直角三角形，可根據(jù) A度數(shù)用 OA 表示出 AE，由于 AE= AE+A=2+ ，由此可求出 長，也就能求出 AE 的長據(jù)此可求出 A和 E 的坐標； （ 2）將 A， E 點的坐標代入拋物線中，即可求出其解析式進而可求出拋物線與 x 軸的交點坐標； （ 3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知： = A，因此 不可能為直角，因此要使 A為直角三角形只有兩種可能： A0，根據(jù)折疊的性質(zhì)， A 0，此時 A與 O 重合，與題意不符，因此此種情況不成立 A0，同 ，可得出此種情況也不成立 因此 A不與 O、 B 重合的情況下， A可能成為直角三角形 【解答】 解：（ 1）由已知可得 A0， AE= 由 AE x 軸，得 是直角三角形， 設(shè) A的坐標為（ 0， b）， E= b， b， b+2b=2+ ， 所以 b=1， A、 E 的坐標分別是（ 0， 1）與（ ， 1） （ 2）因為 A、 E 在拋物線上， 所以 ， 所以 ， 函數(shù)關(guān)系式為 y= x+1， 由 x+1=0， 得 ， ， 與 x 軸的兩個交點坐標分別是（ ， 0）與（ ， 0） （ 3）不可能使 A為直角三角形 = 0， 若 A為直角三角形，只能是 A0或 A0 第 25 頁（共 31 頁） 若 A0，利用對稱性，則 0， A、 E、 A 三點共線， O 與 A 重合，與已知矛盾； 同理若 A0也不可能， 所以不能使 A為直角三角形 【點評】 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性較強 25已知拋物線 y=a（ x+1） 2 2 的頂點為 A，且經(jīng)過點 B（ 2， 1） （ 1）求 A 點的坐標和拋物線 解析式； （ 2）如圖 1，將拋物線 下平移 2 個單位后得到拋物線 拋物線 B 相交于 C，D 兩點，求 S S （ 3）如圖 2，若過 P（ 4， 0）， Q（ 0， 2）的直線為 l，點 E 在（ 2）中拋物線 頂點）運動，直線 m 過點 C 和點 E問：是否存在直線 m，使直線 l， m 與 x 軸圍成的三角形和直線 l， m 與 y 軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線 m 的解析式；若不存在，說明理由 【考點】 二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的增減性 【專題】 壓軸題；存在型 【分析】 （ 1）由拋物線的頂點式易得頂點 A 坐標，把點 B 的坐標代入拋物線的解 析式即可解決問題 （ 2）根據(jù)平移法則求出拋物線 解析式，用待定系數(shù)法求出直線 解析式，再通過解方程組求出拋物線 直線 交點 C、 D 的坐標，就可以求出 S S （ 3）設(shè)直線 m 與 y 軸交于點 G，直線 l， m 與 x 軸圍成的三角形和直線 l， m 與 y 軸圍成的三角形形狀、位置隨著點 G 的變化而變化，故需對點 G 的位置進行討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減