2016北京市中考數(shù)學(xué)專題突破四：一元二次方程綜合(含答案)

專題突破 (四 ) 一元二次方程綜合 一元二次方程的綜合運(yùn)用 ， 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零及整數(shù)根問題是一元二次方程綜合題中的熱點(diǎn)考查內(nèi)容 2011 2015 年北京中考知識(shí)點(diǎn)對比 題型 年份 2011 2012 2013 2014 2015 題型 一次函 數(shù)與反 比例函 數(shù)綜合 一次函 數(shù)與反 比例函 數(shù)綜合 一元二 次方程 綜合 一元二 次方程 綜合 一次函數(shù) 與反比 例函數(shù) 綜 合 1 2014北京 已知關(guān)于 x 的方程 (m 2)x 2 0(m 0) (1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； (2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù) ， 求正整數(shù) m 的值 2 2013北京 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2x 2k 4 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (1)求 k 的取值范圍； (2)若 k 為正整數(shù) ， 且該方程的根都是整數(shù) ， 求 k 的值 1 2015西城一模 已 知關(guān)于 x 的 一元二次方程 2(m 1)x m(m 2) 0. (1)求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)若 x 2 是此方程的一個(gè)根 ， 求實(shí)數(shù) m 的值 2 2015海淀二模 已知關(guān)于 x 的方程 4x 3a 1 0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 (1)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2)若 a 為 正整數(shù) ， 求方程的根 3 2015朝陽一模 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 6x k 3 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (1)求 k 的取值范圍； (2)若 k 為大于 3 的整數(shù) ， 且該方程的根都是整數(shù) ， 求 k 的值 4 2014西城二模 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2x 3k 6 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (1)求實(shí)數(shù) k 的取值范圍； (2)若 k 為正整數(shù) ， 且該方程的根都是整數(shù) ， 求 k 的值 5 2015海淀 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ( )m 2 x 2 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (1)求 m 的取值范圍； (2)若 1， 求整數(shù) m 的值 6 2015海淀一模 已知關(guān)于 x 的方程 x 2k 0(k 0) (1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù) ， 求整數(shù) k 的值 7 2014石景山二模 已知關(guān)于 x 的方程 (k 2)x (2k 1) 0. (1)求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)若此方程的一個(gè)根是 1， 請求出方程的另一個(gè)根 ， 并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長 8 2015懷柔一模 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 (4k 1)x 3k 3 0(k 是整數(shù) ) (1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù) ， 求 k 的值 參考答案 北京真題體驗(yàn) (1)證明：可知 4 (m 2)2 4 2 m 4m 4 8m 4m 4 (m 2)2 0. 方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 (2)由公式法解方程可得： x b 2a （ m 2） （ m 2）2m 1； 2m. 由題意得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為整數(shù) ， 又 m 為正整數(shù) ， m 1 或 2. 2 (1)解得 m 0 且 m 2. (2)原方程的解為 x ( )m 2 ( )m 22m . x 1 或 x 2m. 1， 1. m 2. 又 m 0 且 m 2， 20， 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (2)由求根公式 ， 得 x 1 92k . 2k， 1k. 方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù) ， 且 k 是整數(shù) ， k 1 或 k 1. 7 解： (1)證明： (k 2)2 4(2k 1) (k 2)2 40， 方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (2)根據(jù)題意得 1 (k 2) (2k 1) 0， 解得 k 2， 則原方程為 4x 3 0， 解得另一個(gè)根為 x 3. 當(dāng)該直角三角形的兩直角邊長是 1、 3 時(shí) ， 由勾股定理得斜邊的長為 10， 該直角三角形的周長為 4 10； 當(dāng)該直角三角形的直角邊長和斜邊長分別是 1、 3 時(shí) ， 由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊長為 2 2， 該直角三角形的周長為 4 2 2. 8 解： (1)證明： (4k 1)2 4k(3k 3) (2k 1)2. (4k 1)x 3k 3 0 是一元二次方程 ， k 0， k 是整數(shù) ， k 12， 即 2k 1 0， (2k 1