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難點 7 奇偶性與單調(diào)性 (一 ) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一,考查內(nèi)容靈活多樣 調(diào)性的定義,掌握判定方法,正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象 . 難點磁場 ( )設(shè) a0,f(x)=是 R 上的偶函數(shù), (1)求 a 的值; (2)證明: f(x)在 (0, + )上是增函數(shù) . 案例探究 例 1已知函數(shù) f(x)在 ( 1, 1)上有定義, f(21)= 1,當且僅當 00,1 ,12121 xx 0, 又 ( (1 (1)()32a+ 01). (1)證明:函數(shù) f(x)在 ( 1, + )上為增函數(shù) . (2)用反證法 證明方程 f(x)=0 沒有負數(shù)根 . 6.( )求證函數(shù) f(x)=223)1( x 1, + )上是減函數(shù) . 7.( )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足: (i)f()()( 1)()( 12 21 ; (在正常數(shù) a 使 f(a)= (1)f(x)是奇函數(shù) . (2)f(x)是周期函數(shù),且有一個周期是 4a. 8.( )已知函數(shù) f(x)的定義域為 R,且對 m、 n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且 f(21)=0,當 x21時, f(x)0. (1)求證: f(x)是單調(diào)遞增函數(shù); (2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù),并加以驗證 . 參考答案 難點磁場 (1)解:依題意,對一切 x R,有 f(x)=f( x),即+ (a(ex a,即 ,又 a0, a=1 (2)證法一:設(shè) 0 f( f( )11)(1121122121 )1( 由 ,x2 112 0,1 e 21 0, f( f( 0,即 f( f( f(x)在 (0,+ )上是增函數(shù) 證法二:由 f(x)=ex+e x,得 f (x)=e x=e x (1).當 x (0,+ )時, e x0,10. 此時 f (x)0,所以 f(x)在 0, + )上是增函數(shù) . 殲滅難點訓(xùn)練 一、 f( x)=)0( )()0( )()0( )0( 2222= f(x),故 f(x)為奇函數(shù) . 答案: C f( x)= f(x),f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱 . 答案: C 二、 t=|x+1|,則 t 在 ( , 1 上遞減,又 y=f(x)在 R 上單調(diào)遞增, y=f(|x+1|)在 ( , 1 上遞減 . 答案: ( , 1 f(0)=f(f(0, f(0)=d=0.f(x)=ax(x x a(x1+x2)x2+ b= a(x1+又 f(x)在 ) 單調(diào)遞增,故 a x,得 x1+, b= a(x1+ 0. 答案: ( ,0) 三、 : (1)設(shè) 1 + ,則 , 12 1 且 10, )1( 12112 0,又 0,0 )1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 xx , 于是 f( f( 12 xx +1212 1122 f(x)在 ( 1, +)上為遞增函數(shù) . (2)證法一:設(shè)存在 0( 1)滿足 f(0,則12000 0 1 得 01200 1,即21 2 與 0 矛盾,故 f(x)=0 沒有負數(shù)根 . 證法二:設(shè)存在 0( 1)使 f(0,若 1 0,則1200 2, 0 1, f( 1 與 f(0 矛盾, 若 1,則1200 , 00, f(0 與 f(0 矛盾,故方程 f(x)=0沒有負數(shù)根 . x 0, f(x)=22422322 )11(1)1(1)1(1, 設(shè) 1 + ,則01111,111 21222122 2211222222112222)11(1)11(1()11( f(f( f(x)在 (1, +)上是減函數(shù) .(本題也可用求導(dǎo)方法解決) (1)不 妨令 x= f( x)=f()()( 1)()()()( 1)()( 12 2121 12 = f( f(x). f(x)是奇函數(shù) . (2)要證 f(x+4a)=f(x),可先計算 f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=f x ( a) =)1)(1)( 1)()()( 1)()()()( 1)()( ).(111)( 1)(11)( 1)(1)(1)()()2( f(x+4a)=f (x+2a)+2a =)2( 1 =f(x),故 f(x)是以 4a 為周期的周期函數(shù) . 8.

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