高考數(shù)學難點突破_難點13__數(shù)列的通項與求和

難點 13 數(shù)列的通項與求和 數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式都可以看作項數(shù) n 的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應用 列的問題，最終歸結為對數(shù)列通項的研究，而數(shù)列的前 n 項和 通項。通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對數(shù)列問題考查中的熱點，本點的動態(tài)函數(shù)觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法 . 難點磁場 ( )設 正數(shù)組成的數(shù)列，其前 n 項和為 且對于所有的自然數(shù) n， 的等差中項等于 的等比中項 . (1)寫出數(shù)列 前 3 項 . (2)求數(shù)列 通項公式 (寫出推證過程 ) (3)令 (2111 n N*)，求n(b1+b2+ +n). 案例探究 例 1已知數(shù)列 公差為 d 的等差數(shù)列，數(shù)列 公比為 q 的 (q R 且 q 1)的等比數(shù)列，若函數(shù) f(x)=(x 1)2，且 a1=f(d 1)， a3=f(d+1)， b1=f(q+1)， b3=f(q 1)， (1)求數(shù)列 通項公式； (2)設數(shù)列 前 n 項和為 一切 n N*，都有 2111= 成立，求n 2. 命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式、數(shù)列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力 級題目 . 知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯，而 (2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前 n 項和，實質上是該數(shù)列前 n 項和與數(shù)列 關系，借助通項與前n 項和的關系求解 錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣， (1)問是基礎，但解方程求基本量 d、 q，計算不準易出錯； (2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵 . 技巧與方法：本題 (1)問運用函數(shù)思想轉化為方程問題，思路較為自然， (2)問“借雞生蛋”構造新數(shù)列 運用和與通項的關系求出 絲入扣 . 解： (1) a1=f(d 1)=(d 2)2， a3=f(d+1)= a1=(d 2)2=2d， d=2， an=n 1)d=2(n 1)；又 b1=f(q+1)=b3=f(q 1)=(q 2)2， 2213 )2( = q R，且 q 1，得 q= 2， bn=b 1=4 ( 2)n 1 (2)令 d1+ +dn=,(n N*), dn= , ,即 ( 2)n 1； 8 1 ( 2)n . 2)21(2)21()2(1)2(121222212212 例 2設 前 n 項和， 3(1)，數(shù)列 通項公式為 n+3; (1)求數(shù)列 通項公式； (2)把數(shù)列 公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列 通項公式為 2n+1; (3)設數(shù)列 第 n 項是數(shù)列 的第 r 項， 前 r 項的和； 前 n 項和， r n 4)( 命題意圖：本題考查數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式及其相互關系；集合的相關概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力 . 知識依托：利用項與和的關系求 (2)問中探尋 相通之處，須借助于二項式定理；而 (3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點 . 錯解分析：待證通項 2n+1與 意不到 r與 n 的關系，使 n，又含有 r，會使所求的極限模糊不清 . 技巧與方法 ： (1)問中項與和的關系為常規(guī)方法， (2)問中把 3 拆解為 4 1，再利用二項式定理，尋找數(shù)列通項在形式上相通之處堪稱妙筆； (3)問中挖掘出 n 與 r 的關系，正確表示 題便可迎刃而解 . 解： (1)由 3(1)，可知 =23( 1)， 3( 即=3，而 1=23(1)，得 ，所以數(shù)列是以 3為首項，公比為 3 的等比數(shù)列，數(shù)列 通項公式 n. (2) 32n+1=3 32n=3 (4 1)2n=3 42n+ 42n 1( 1)+ +C 122 4 ( 1)+( 1)2n=4n+3， 32n+1 而數(shù) 32n=(4 1)2n=42n+ 42n 1 ( 1)+ +C 122 4 ( 1)+( 1)2n=(4k+1)， 32n 而數(shù)列 2n+1. (3)由 32n+1=4 r+3，可知 r=4 3312 n ， )19(827)91(91 27,2 734 33)52(2 )347(1212 89)()(,433811389)19(827821349444241212囊妙計 注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同 列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性 . n 項和 2,1,11 作新數(shù)列法 累差疊加法 1+(1+2)+ +(歸納、猜想法 . n 項和常用求法 重要公式 1+2+ +n=21n(n+1) 12+22+ +1n(n+1)(2n+1) 13+23+ +1+2+ +n)2=41n2(n+1)2 等差數(shù)列中 Sm+n=n+比數(shù)列中 Sm+n=Sn+m+裂項求和：將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即 an=f(n+1) f(n)，然后累加時抵消中間的許多項 等)!1(1!1)!1(1,c t g 2c t i )!1(!,111)1(111錯項相消法 并項求和法 數(shù)列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法 . 殲滅難點訓練 一、填空題 1.( )設 21 i)n， (n N*)，記 + + + 則_. 2.( )作邊長為 a 的正三角形的內切圓，在這個圓內作新的內接正三角形，在新的正三角形內再作內切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長之和及面積之和分別為_. 二、解答題 3.( )數(shù)列 足 ，對于任意的 n N*都 有 0,且 (n+1) 2=0，又知數(shù)列 通項為 n 1+1. (1)求數(shù)列 通項 n 項和 (2)求數(shù)列 前 n 項和 (3)猜想 說明理由 . 4.( )數(shù)列 ， ,且滿足 =2 n N*). (1)求數(shù)列 通項公式； (2)設 + + + ,求 (3)設 12( 1 (n N*),Tn=b1+ +bn(n N*),是否存在最大的整數(shù) m，使得對任意 n N*均有 2存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由 . 5.( )設數(shù)列 前 n 項和為 m+1) n 都成立，其中 m 為常數(shù)，且 m 1. (1)求證： 等比數(shù)列； (2)設數(shù)列 公比 q=f(m)，數(shù)列 足： 1a1,bn=f(1)(n 2,n N*)當 (3lg(3221 成立？ 6.( )已知數(shù)列 等差數(shù)列， ,b1+ +45. (1)求數(shù)列 通項 (2)設數(shù)列 通項 an=+(其中 a 0 且 a 1),記 前 n 項和，試比較 的大小，并證明你的結論 . 7.( )設數(shù)列 首項 ，前 n 項和 ： 3(2t+3)1=3t(t 0,n=2,3,4 ). (1)求證：數(shù)列 等比數(shù)列； (2)設數(shù)列 公比為 f(t)，作數(shù)列 使 ,bn=f(11n=2,3,4 )，求數(shù)列 通項 (3)求和： +1. 參考答案 難點磁場 解析： (1)由題意，當 n=1 時，有11 22 2 ， S1= 11 22 2 ，解得 .當 n=2 時，有22 22 2 ， S2=a1+ 代入，整理得 (2)2=16，由 0，解得 .當 n=3 時，有33 22 2 ， S3=a1+a2+ ， 代入，整理得 (2)2=64，由 0，解得 項為 2， 6， 10. (2）解法一：由 (1）猜想數(shù)列 有通項公式 n 通項公式是 n 2， (n N*） . 當 n=1 時，因為 4 1 2=2，又在 (1)中已求出 ，所以上述結論成立 . 假設當 n=k 時，結論成立，即有 k 2，由題意，有a 22 2 ，將 k得 2k= 題意，有11 22 2 a， =Sk+，將入得 (2 21 =2(+2整理得 2 4+4 16，由 0，解得=2+4k，所以 =2+4k=4(k+1) 2，即當 n=k+1 時，上述結論成立 ，上述結論對所有的自然數(shù) n N*成立 . 解法二：由題意知a 22 2 ， (n N*)1()2,由此得 =81(+2)2， = 1 (+2)2 ()2 +( 4)=0，由題意知 +0， ，即數(shù)列 等差數(shù)列，其中 ，公差 d=4. an=n 1)d=2+4(n 1)，即通項公式為 n 2. 解法三：由已知得a 22 2 ,(n N*)，所以有11 22 2 a，由式得11 22 2 理得 2 2 1 ，解得S 21，由于數(shù)列 正項數(shù)列，而 2,211 而S 21，即 以 21以 2 為公差的 等差數(shù) 列 . 所以2 +(n 1) 2 = 2 n, 故 )2(,24)1(,21 n 2(n N*). (3)令 cn=1，則 2(2111 211(211)121121()5131()311(,121121)11212()11212(21212121 殲滅難點訓練 一、 ,)2 2(|)21()21(|:11 2(1221)2 2(12121 2 212 2222 1 答案： 1+題意所有正三角形的邊長構成等比數(shù)列 可得 2三角形的內切圓構成等比數(shù)列 可得 2163 這些圓的周長之和 c=r1+ +233 面積之和 S=n2+ +9案：周長之和233 a，面積之和9、 (1）可解得11 n 而 n，有 Sn=n2+n， (2)n+n 1. (3)n 1，驗證可知， n=1 時， 1， n=2 時 n=3 時， S3;n=4時， n=5 時， n=6 時 n 5 時， 2n 可用數(shù)學歸納法證 明 (略） . (1）由 =2 = d=14 14 2, 0 2n. (2)由 0 2n 0 可得 n 5，當 n 5 時， n，當 n 5 時， Sn=9n+40，故 5 40951 922(3)111(21)22( 1)12( 1 (2)111()3121()211(2121 n ；要使 232m 1成立，即 m 8 且 m Z，故適合條件的 m 的最大值為 7. (1）由已知 =(m+1) m+1) ,由，得 =，即 (m+1)=n 都成立 . m 為常數(shù)，且 m 1 11 1等比數(shù)列 . (2)當 n=1 時， a1=m+1 ，從而 1. 由 (1)知 q=f(m)=1 bn=f(1)=11 1 n n N*,且 n 2) 1111nn 1111nn 為等差數(shù)列 .3+(n 1)=n+2， 21 n N*). 910,101,1111151414131(33lg(1(132211(1)設數(shù)列 公差為 d，由題意得：1452 )110(1010111得 ,d=3, n 2. (2)由 n 2,知 Sn=+1)+41)+ +23 1n) =(1+1)(1+41) (1+23 1n)，3 1= 13 n . 因此要比較 31 的大小，可先比較 (1+1)(1+41) (1+23 1n)與 3 13 n 的大小， 取 n=1 時，有 (1+1) 3 113 取 n=2 時，有 (1+1)(1+41) 3 123 由此推測 (1+1)(1+41) (1+23 1n) 3 13 n 若式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質可判定： 當 a 1 時， 1， 當 0 a 1 時， 1， 下面用數(shù)學歸納法證明式 . ( )當 n=1 時，已驗證式成立 . ( )假設當 n=k 時 (k 1），式成立，即： 3 13)23 11()411)(11( 那么當 n=k+1 時， 333322223323331)1(3)1311)(2311()411)(11(1)1(343)23(1313,0)13(49)13()13)(43()23(43)23(1313)313)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(因而這就是說式當 n=k+1 時也成立 . 由 (） (）可知式對任何正整數(shù) n 都成立 . 由此證得： 當 a 1 時， 1；當 0 a 1 時， 1 . (1)由 S1=,+ 3t(1+ (2t+3)=3t. a2= 32,3