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指南針小升初 - 20 - 第四講 周期問題 知識導(dǎo)航 解決周期問題時,關(guān)鍵在于找到周期的長度只要能找到周期的長度,再用總數(shù)除以周期長度,得到的商就是完整的周期的個數(shù),余數(shù)就是除去完整周期的部分后剩下的個數(shù) 例 1: 2001年 10月 1日是星期一,問 10月 25日是星期幾? 解析 :我們知道,每個星期有 7天,也就是說以 7天為一個周期不斷地重復(fù)。那么從 10月 1日到 10月 25日經(jīng)過了 25 1=24(天)。因此用除法算式解答。 解 :( 1)從 10月 1日到 10月 25 日有: 25 1=24(天) ( 2) 24 天里有多少個星期余多少天? 24 7=3(個星 期) 3(天) (說明 24天中包含 3個星期還多 3天,最后一天起,再過 3天就應(yīng)是星期四) 答: 10 月 25 日是星期四。 (注:在計算日期的過程中,日期一般“算頭不算尾”數(shù)星期的時候也要從當(dāng)天的后面數(shù)起。本題中的當(dāng)天是星期一,應(yīng)該從星期二數(shù)起。 ) 【鞏固 1】 2001年 5月 3日是星期四,問 5月 20日是星期幾? 解析: 天數(shù)比較少,容易計算,而且出現(xiàn)在同一個月內(nèi)。 解: 207天 17 7=2 3 從星期五數(shù)起,第三天是星期日。 【鞏固 2】公歷 2000 年 1月 1日是星期六,公歷 2008年 1月 1 日是星期幾? 解 析: 先求出從公歷 2000年 1月 1日到公歷 2008年 1月 1日一共經(jīng)過的天數(shù),其中平年有 6年,閏年有 2年,最后還有 2008年 1月 1日這一天。 2 9 2 3123666365 (天) 441772923 從星期六開始數(shù) 4天得星期二,所以公歷 2008年 1月 1日是星期二。 例 2: 100個 3相乘,積的個位數(shù)字是幾? 解析 :我們只需考慮積的個位數(shù)的排列規(guī)律就可以了。 解 :( 1) 1 3=3 1個 3相乘積 的個位數(shù)字是: 3 ( 2) 3 3=9 2個 3相乘積的個位數(shù)字是: 9 ( 3) 3 3 3=27 3個 3相乘積的個位數(shù)字是: 7 ( 4) 3 3 3 3=81 4個 3相乘積的個位數(shù)字是: 1 指南針小升初 - 21 - ( 5) 3 3 3 3 3=243 5個 3相乘積的個位數(shù)字是: 3(已經(jīng)重復(fù)出現(xiàn)) 規(guī)律: 可以發(fā)現(xiàn)積的個位數(shù)分別以 3、 9、 7、 1不斷出重復(fù)出現(xiàn)的。即每 4個 3的積的個位數(shù)為一個周期。 所以 100個 3有多少個周期? 100 4=25(個)(整除說明是最后一個即個位為 1) 答:積的個位數(shù)字是 1。 【鞏固 1】 23個 3相乘,積的個位數(shù)字是 幾? 解析: 1 3=3; 3 3=9; 3 3 3=27; 3 3 3 3=51; 3 3 3 3 3=153; 四個 3為一個周期, 23 4=5 3; 3 3 3=27,余數(shù)是 3,所以積的個位是 7. 【鞏固 2】 100個 2相乘,積的個位數(shù)字是幾? 解析: 1 2=2; 2 2=4; 2 2 2=8; 2 2 2 2=16; 2 2 2 2 2=32; 4個 2尾數(shù)會循環(huán)一個周期, 100 4=以尾數(shù)是 6. 例 3: A B C A B C A B 萬 事 如 意 萬 事 如 意 上表是中,每一列兩 個符號組成一組,如第一組“ A 萬”,第二組“ B 事”,問第 20個組是什么? 解析 :觀察上表,發(fā)現(xiàn)有兩個獨(dú)立的排列規(guī)律。上面一組是以“ A、 B、 C”三個字母為一個周期重復(fù)出現(xiàn)的,下一組是以“萬、事、如、意”四個字為一個周期重復(fù)出現(xiàn)的。要求出第 20個組是什么,就要分別求出上下兩行各是什么才行。 解 :( 1)上面一組: 20 3=6(組) 2(個)(說明第 20個字母是:“ B”) ( 2)下面一組: 20 4=5(組)(說明第 20個字是:“意”) 答:第 20 個組是“ 個符號。 【鞏固】 上表中每一列兩個符號為一組,如:第一組為“ 第二組為“ 問第 25 組是什么? 解析: 分別求出第 25 組的符號:上層: 25 4=6 1 是 A; 下層: 25 3=8 1 是 1; 所以第 25組是: A B C D A B C D 1 2 3 1 2 3 1 2 指南針小升初 - 22 - 例 4:有一列數(shù)按“ 432791864327918643279186”排列 . 那么前 54 個數(shù)字之和是多少? 解析 :觀察發(fā)現(xiàn),重復(fù)出現(xiàn)的部分是“ 43279186”,周期數(shù)是 8. 要求出這列數(shù)字的和,就要求出這一列數(shù)里共有多少組“ 43279186”,再求出這組的和 . 解 :( 1) 54 8=6(組) 6(個) ( 2) 4+3+2+7+9+1+8+6=40 ( 3) 6 40=240 ( 4)余下的 6個數(shù)的和為: 4+3+2+7+9+1=26 ( 5) 240+26=266 答:前 54個數(shù)字之和是 266。 【鞏固】有一列數(shù)按“ 294736294736294”排 列 . 那么前 40 個數(shù)字之和是多少? 解析: 一個周期的數(shù)字是: 294736,周期數(shù)是 6. 40 6=6(組) 4(個) 2+9+4+7+3+6=31; 31 6+2+9+4+7=208. 例 5:小紅買了一本童話書,每兩頁文字之間有 3 頁插圖,也就是說 3 頁插圖前后各有 1頁文字,如果這本書有 128頁,而第 1頁是文字,這本書共有插圖多少頁? 解析 :已知這本書 3 頁插圖前后各有 1 頁文字,也就是說這本書是按“ 1 頁文字 3頁插圖”的規(guī)律重復(fù)排列的,把“ 1頁文字 3頁插圖”看做一周期 。 128頁中含有: 128( 1+3) =32(個)周期。所以這本書共有插圖: 3 32=96(頁) 解 :( 1) 128( 1+3) =32(個) ( 2) 3 32=96(頁) 答:這本書共有插圖 96頁。 例 6: 聰聰把自然數(shù)按規(guī)律排列成如下圖所示的表格,你知道第一行的第 1993 個數(shù)是多少嗎? 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 指南針小升初 - 23 - 解析: 根據(jù)數(shù)表,第一行各數(shù)依次是: 1,2,5,10,17,26 第一列各數(shù)為完全平方數(shù),兩者一比較,課發(fā)現(xiàn)第一行的第 數(shù)值加 1. 解: 3 9 6 8 0 6 51)11 9 9 3( 2 【鞏固】把自然數(shù)按下面的規(guī)律排列, 2007排在哪一列? 解析: 觀察圖可知:每 6個數(shù)為一個周期 循環(huán), 333462007 , 2007排在第 335 個周期的第 3個位置上,也就是 A B C D 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 指南針小升初 - 24 - 課后練習(xí) 1、 2008年 8月 1日是星期三,問 8月 28 日是星期幾? 解析: 287 27 7=3 6 星期四開始, 28 號是星期二。 2、 50個 7相乘,積的個位數(shù)字是幾? 解析: 1 7=7; 7 7=49; 7 7 7=343; 7 7 7 7=2401; 7 7 7 7 7=16807;可知 4個 7為一個循環(huán)周期; 50 4=12 2 余數(shù)是 2,所以尾數(shù)是 9. 3、 有同樣大小的紅 、白、黑球共 120 個,按先 3 個紅的,后 2 個白的,再 1 個黑的排 列,問( 1)、白球一共有多少個?( 2)、第 68個球是什么顏色球? 解析: 排列方式: 3紅 +2白 +1黑 =6個,一個周期是 6個; ( 1) 120 6=20(組) 20 2=40(個) ( 2) 68 6=11(組) 2(個)是紅球。 4、有一列數(shù)按“ 9453672945367294”排列。那么前 50 個數(shù)字之和是多少? 解析: 周期數(shù)字是: 9453672,周期數(shù)是 7; 50 7=7(組) 1(個) 9+4+5+3+6+7+2=36; 36 7+9=261. 5、 81003 的個位數(shù)字是 多少? 解析: 1 8=8; 8 8=64; 8 8 8=512; 8 8 8 8=4096; 8 8 8 8 8=32768;循環(huán)周期是 8 4 2 6; 4個 8為一個周期; 1003 4=250 3,所以個位數(shù)是 2. 指南針小升初 - 25 - 6、甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些寶石每天早上他們都要聚在一起,重新分配寶石分配的規(guī)則就是:寶石最多的人分給其他 3 人每人 1 顆如果第 1 天早上分配完之后,甲、乙、丙、丁四人各有 10、 7、 5、 4 顆寶石,那么第 100 天早上分完寶石后,四個人手中各有幾顆寶石? 解析: 先試著算一下開始幾天四人的寶石數(shù)量,可以用下面這個表格來表示, 試著再往下填幾行: 解: 第 2天早上分配完之后是 ( 7、 8、 6、 5), 第 3天( 8、 5、 7、 6), 第 4天( 5、 6、 8、 7), 第 5天( 6、 7、 5、 8), 第 6天( 7、 8、 6、 5)與第 2天相同, 所以 4天一周期 除去第 1天還有 99天, 99 4=24 3,所以 應(yīng)該與周期中的第 3個即第 4天相同, 即( 5、 6、 8、 7) 7、將奇數(shù)如下圖排列,各列分別用 A、 B、 C、 D、

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