四年級奧數(shù)-教師版-第四講周期問題

指南針小升初 - 20 - 第四講 周期問題 知識導(dǎo)航 解決周期問題時，關(guān)鍵在于找到周期的長度只要能找到周期的長度，再用總數(shù)除以周期長度，得到的商就是完整的周期的個數(shù)，余數(shù)就是除去完整周期的部分后剩下的個數(shù) 例 1： 2001年 10月 1日是星期一，問 10月 25日是星期幾？ 解析 ：我們知道，每個星期有 7天，也就是說以 7天為一個周期不斷地重復(fù)。那么從 10月 1日到 10月 25日經(jīng)過了 25 1=24（天）。因此用除法算式解答。 解 ：（ 1）從 10月 1日到 10月 25 日有： 25 1=24（天） （ 2） 24 天里有多少個星期余多少天？ 24 7=3（個星 期） 3（天） （說明 24天中包含 3個星期還多 3天，最后一天起，再過 3天就應(yīng)是星期四） 答： 10 月 25 日是星期四。 (注：在計算日期的過程中，日期一般“算頭不算尾”數(shù)星期的時候也要從當(dāng)天的后面數(shù)起。本題中的當(dāng)天是星期一，應(yīng)該從星期二數(shù)起。 ) 【鞏固 1】 2001年 5月 3日是星期四，問 5月 20日是星期幾？ 解析： 天數(shù)比較少，容易計算，而且出現(xiàn)在同一個月內(nèi)。 解： 207天 17 7=2 3 從星期五數(shù)起，第三天是星期日。 【鞏固 2】公歷 2000 年 1月 1日是星期六，公歷 2008年 1月 1 日是星期幾？ 解 析： 先求出從公歷 2000年 1月 1日到公歷 2008年 1月 1日一共經(jīng)過的天數(shù)，其中平年有 6年，閏年有 2年，最后還有 2008年 1月 1日這一天。 2 9 2 3123666365 （天） 441772923 從星期六開始數(shù) 4天得星期二，所以公歷 2008年 1月 1日是星期二。 例 2： 100個 3相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 解析 ：我們只需考慮積的個位數(shù)的排列規(guī)律就可以了。 解 ：（ 1） 1 3=3 1個 3相乘積 的個位數(shù)字是： 3 （ 2） 3 3=9 2個 3相乘積的個位數(shù)字是： 9 （ 3） 3 3 3=27 3個 3相乘積的個位數(shù)字是： 7 （ 4） 3 3 3 3=81 4個 3相乘積的個位數(shù)字是： 1 指南針小升初 - 21 - （ 5） 3 3 3 3 3=243 5個 3相乘積的個位數(shù)字是： 3（已經(jīng)重復(fù)出現(xiàn)） 規(guī)律： 可以發(fā)現(xiàn)積的個位數(shù)分別以 3、 9、 7、 1不斷出重復(fù)出現(xiàn)的。即每 4個 3的積的個位數(shù)為一個周期。 所以 100個 3有多少個周期？ 100 4=25（個）（整除說明是最后一個即個位為 1） 答：積的個位數(shù)字是 1。 【鞏固 1】 23個 3相乘，積的個位數(shù)字是 幾？ 解析： 1 3=3； 3 3=9； 3 3 3=27； 3 3 3 3=51； 3 3 3 3 3=153； 四個 3為一個周期， 23 4=5 3； 3 3 3=27,余數(shù)是 3，所以積的個位是 7. 【鞏固 2】 100個 2相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 解析： 1 2=2； 2 2=4； 2 2 2=8； 2 2 2 2=16； 2 2 2 2 2=32； 4個 2尾數(shù)會循環(huán)一個周期， 100 4=以尾數(shù)是 6. 例 3： A B C A B C A B 萬 事 如 意 萬 事 如 意 上表是中，每一列兩 個符號組成一組，如第一組“ A 萬”，第二組“ B 事”，問第 20個組是什么？ 解析 ：觀察上表，發(fā)現(xiàn)有兩個獨(dú)立的排列規(guī)律。上面一組是以“ A、 B、 C”三個字母為一個周期重復(fù)出現(xiàn)的，下一組是以“萬、事、如、意”四個字為一個周期重復(fù)出現(xiàn)的。要求出第 20個組是什么，就要分別求出上下兩行各是什么才行。 解 ：（ 1）上面一組： 20 3=6（組） 2（個）（說明第 20個字母是：“ B”） （ 2）下面一組： 20 4=5（組）（說明第 20個字是：“意”） 答：第 20 個組是“ 個符號。 【鞏固】 上表中每一列兩個符號為一組，如：第一組為“ 第二組為“ 問第 25 組是什么？ 解析： 分別求出第 25 組的符號：上層： 25 4=6 1 是 A； 下層： 25 3=8 1 是 1； 所以第 25組是： A B C D A B C D 1 2 3 1 2 3 1 2 指南針小升初 - 22 - 例 4：有一列數(shù)按“ 432791864327918643279186”排列 . 那么前 54 個數(shù)字之和是多少？ 解析 ：觀察發(fā)現(xiàn)，重復(fù)出現(xiàn)的部分是“ 43279186”，周期數(shù)是 8. 要求出這列數(shù)字的和，就要求出這一列數(shù)里共有多少組“ 43279186”，再求出這組的和 . 解 ：（ 1） 54 8=6（組） 6（個） （ 2） 4+3+2+7+9+1+8+6=40 （ 3） 6 40=240 （ 4）余下的 6個數(shù)的和為： 4+3+2+7+9+1=26 （ 5） 240+26=266 答：前 54個數(shù)字之和是 266。 【鞏固】有一列數(shù)按“ 294736294736294”排 列 . 那么前 40 個數(shù)字之和是多少？ 解析： 一個周期的數(shù)字是： 294736，周期數(shù)是 6. 40 6=6（組） 4（個） 2+9+4+7+3+6=31； 31 6+2+9+4+7=208. 例 5：小紅買了一本童話書，每兩頁文字之間有 3 頁插圖，也就是說 3 頁插圖前后各有 1頁文字，如果這本書有 128頁，而第 1頁是文字，這本書共有插圖多少頁？ 解析 ：已知這本書 3 頁插圖前后各有 1 頁文字，也就是說這本書是按“ 1 頁文字 3頁插圖”的規(guī)律重復(fù)排列的，把“ 1頁文字 3頁插圖”看做一周期 。 128頁中含有： 128（ 1+3） =32（個）周期。所以這本書共有插圖： 3 32=96（頁） 解 ：（ 1） 128（ 1+3） =32（個） （ 2） 3 32=96（頁） 答：這本書共有插圖 96頁。 例 6： 聰聰把自然數(shù)按規(guī)律排列成如下圖所示的表格，你知道第一行的第 1993 個數(shù)是多少嗎？ 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 指南針小升初 - 23 - 解析： 根據(jù)數(shù)表，第一行各數(shù)依次是： 1,2,5,10,17,26 第一列各數(shù)為完全平方數(shù)，兩者一比較，課發(fā)現(xiàn)第一行的第 數(shù)值加 1. 解： 3 9 6 8 0 6 51)11 9 9 3( 2 【鞏固】把自然數(shù)按下面的規(guī)律排列， 2007排在哪一列？ 解析： 觀察圖可知：每 6個數(shù)為一個周期 循環(huán)， 333462007 ， 2007排在第 335 個周期的第 3個位置上，也就是 A B C D 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 指南針小升初 - 24 - 課后練習(xí) 1、 2008年 8月 1日是星期三，問 8月 28 日是星期幾？ 解析： 287 27 7=3 6 星期四開始， 28 號是星期二。 2、 50個 7相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 解析： 1 7=7； 7 7=49； 7 7 7=343； 7 7 7 7=2401； 7 7 7 7 7=16807；可知 4個 7為一個循環(huán)周期； 50 4=12 2 余數(shù)是 2，所以尾數(shù)是 9. 3、 有同樣大小的紅 、白、黑球共 120 個，按先 3 個紅的，后 2 個白的，再 1 個黑的排 列，問（ 1）、白球一共有多少個？（ 2）、第 68個球是什么顏色球？ 解析： 排列方式： 3紅 +2白 +1黑 =6個，一個周期是 6個； （ 1） 120 6=20（組） 20 2=40（個） （ 2） 68 6=11（組） 2（個）是紅球。 4、有一列數(shù)按“ 9453672945367294”排列。那么前 50 個數(shù)字之和是多少？ 解析： 周期數(shù)字是： 9453672，周期數(shù)是 7； 50 7=7（組） 1（個） 9+4+5+3+6+7+2=36； 36 7+9=261. 5、 81003 的個位數(shù)字是 多少？ 解析： 1 8=8； 8 8=64； 8 8 8=512； 8 8 8 8=4096； 8 8 8 8 8=32768；循環(huán)周期是 8 4 2 6； 4個 8為一個周期； 1003 4=250 3，所以個位數(shù)是 2. 指南針小升初 - 25 - 6、甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些寶石每天早上他們都要聚在一起，重新分配寶石分配的規(guī)則就是：寶石最多的人分給其他 3 人每人 1 顆如果第 1 天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有 10、 7、 5、 4 顆寶石，那么第 100 天早上分完寶石后，四個人手中各有幾顆寶石？ 解析： 先試著算一下開始幾天四人的寶石數(shù)量，可以用下面這個表格來表示， 試著再往下填幾行： 解： 第 2天早上分配完之后是 （ 7、 8、 6、 5）， 第 3天（ 8、 5、 7、 6）， 第 4天（ 5、 6、 8、 7）， 第 5天（ 6、 7、 5、 8）， 第 6天（ 7、 8、 6、 5）與第 2天相同， 所以 4天一周期 除去第 1天還有 99天， 99 4=24 3，所以 應(yīng)該與周期中的第 3個即第 4天相同， 即（ 5、 6、 8、 7） 7、將奇數(shù)如下圖排列，各列分別用 A、 B、 C、 D、