第9講 數(shù)論之質(zhì)數(shù)合數(shù) 教師版

2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 本講中的知識點在小學(xué)課本內(nèi)已經(jīng)有所涉及，并且多以判斷題考察。質(zhì)數(shù)合數(shù)的出現(xiàn)是對自然數(shù)的另一種分類方式，但是相對于奇數(shù)偶數(shù)的劃分要復(fù)雜許多。質(zhì)數(shù)本身的無規(guī)律性也是一個研究質(zhì)數(shù)結(jié)構(gòu)的難點。在奧數(shù)數(shù)論知識體系中我們要幫助孩子樹立對質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基本認識，在這個基礎(chǔ)之上能夠會與之前的一些知識點結(jié)合運用。 分解質(zhì)因數(shù)法是一個數(shù)論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活運用。 1 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 一個數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù) (也叫做素數(shù) ) 和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù) . 要特別記?。?0和 1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù) . 常用的 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、67、 71、 73、 79、 83、 89、 97，共計 25個；除了 2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了 2和 5，其余的質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是 1， 3， 7或 9. 考點： 值得注意的是很多題都會以質(zhì)數(shù) 2的特殊性為 考點 . 除了 2和 5，其余質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是 1， 3， 7或 要大家注意 . 2 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù) 質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù) . 互質(zhì) 數(shù) ： 公約數(shù)只有 1的兩個 自然 數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù) . 分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù) . 例如： 30 2 3 5 、 3、 5叫做 30的質(zhì)因數(shù) 1 2 2 2 3 2 3 ， 2、 3都叫做 12的質(zhì)因知識點撥 教學(xué)目標 第九講：數(shù)論之質(zhì)數(shù)合數(shù) 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 數(shù)，其中后一個式子叫 做分解質(zhì)因數(shù)的標準式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標準式 為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征 . 3 唯一分解定理 任何一個大于 1的自然數(shù) ： 3121 2 3 kn p p p p 2 ka a a 且這種表示是唯一的 n 的質(zhì)因子分解式 . 例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210，求這三個數(shù) . 分析： 210=2 3 5 7，可知這三個數(shù)是 5、 6和 7. 4. 部分特殊數(shù)的分解 111 3 37 ； 1001 7 11 13 ； 11111 41 271 ； 10001 73 137 ； 1 9 9 5 3 5 7 1 9 ；1 9 9 8 2 3 3 3 3 7 ； 2 0 0 7 3 3 2 2 3 ； 2 0 0 8 2 2 2 2 5 1 ； 1 0 1 0 1 3 7 1 3 3 7 . 5. 判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法 根據(jù)定義如果能夠找到一個小于 p 的質(zhì)數(shù) q(均為整數(shù) )，使得 q 能夠整除 p，那么 p 就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于 是這樣的計算量很大，對于不太大的 p，我們可以先找一個大于且接近 K ，再列出所有不大于 K 的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除 p，如沒有能夠除盡的那么 例如： 149很接近 144 12 12 ，根據(jù)整除的性質(zhì) 149 不能被 2、 3、 5、 7、 11 整除，所以 149是質(zhì)數(shù) . 【系列一：質(zhì)數(shù)合數(shù)的基本概念的應(yīng)用】 【例 1】 下面是主試委員會為第六屆 “ 華杯賽 ” 寫的一首詩： 美少年華朋會友，幼長相親同切磋； 杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多； 九天九霄志凌云，九七共慶手相握； 聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌 請你將詩中 56 個字 第 1 行左邊第一字起逐行逐字編為 1 56 號，再 將號碼中的質(zhì)數(shù)由小到大找出來，將它們對應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話 【解析】 按要求編號排序 ，并畫出質(zhì)數(shù)號碼： 美 少 年 華 朋 會 友，幼 長 相 親 同 切 磋； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 例題精講 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 杯 賽 聯(lián) 誼 歡 聲 響，念 一 笑 慰 來 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 慶 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 華 夏 中 興 力，同 唱 移 山 壯 麗 歌 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 將質(zhì)數(shù)對應(yīng)的漢字依次寫出就是： 少年朋友親切聯(lián)歡；一九九七相聚中山 【 鞏鞏 固固 】 (2008 年南京市青少年“科學(xué)小博士”思維訓(xùn)練 )炎黃 驕子 菲爾茲獎被譽為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎”，只獎勵 40 歲以下的數(shù)學(xué)家華人數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒分別于 1982年、 2006年榮獲此獎我們知道正整數(shù)中有無窮多個質(zhì)數(shù) (素數(shù) )，陶哲軒等證明了這樣一個關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的奇妙定理：對任何正整數(shù) k，存在無窮多組含有 素數(shù) )的數(shù)組例如， 3k 時， 3， 5， 7是間隔為 2 的 3 個質(zhì)數(shù)； 5， 11， 17 是間隔為 6 的 3 個質(zhì)數(shù)：而 ， ， 是間隔為 12的 3個質(zhì)數(shù) (由小到大排列，只寫一組 3個質(zhì)數(shù)即可 ) 【解析】 最小的質(zhì)數(shù)從 2開始，現(xiàn)要求每兩個質(zhì)數(shù)間隔 12，所以 2不能 在 所要求的數(shù)組中 而且由于個位是 5的質(zhì)數(shù)只有一個 5，所以個位是 3的質(zhì)數(shù)不能作為第一個質(zhì)數(shù)和第二個質(zhì)數(shù)， 可參照下表： 第一個質(zhì)數(shù) 第二個質(zhì)數(shù) 第三個質(zhì)數(shù) 滿足要求打 5 17 29 7 19 31 17 29 41 19 31 43 29 41 53 37 49 61 47 59 71 【例 2】 兩個質(zhì)數(shù)之和為 39 ，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積是多少 . 【解析】 因 為和為奇數(shù)，所以這兩個數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個是 2 ，另一個是 37 ，乘積為 74 【 鞏鞏 固固 】 已知 3個不同質(zhì)數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這 3個質(zhì)數(shù)的乘積是多少？ 【解析】 最小的合數(shù)是 4，其平方為 16我們知道奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以這 3 個質(zhì)數(shù)中必然有 2，那么其余 2個的和是 14，只能一個是 3一個是 11，因此這 3個質(zhì)數(shù)的乘積是 2 3 11 66 【 鞏鞏 固固 】 小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼 是 四位數(shù)同時，她感到這個號碼很容易 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 記住，因為它的形式為 其中 ，而且 是質(zhì)數(shù) (a 和 b 是兩個數(shù)字 ) 具有這種形式的數(shù)共有 多少 個 ？ 【解析】 若兩位數(shù) 為質(zhì)數(shù)，則 a 、 b 均為奇數(shù)且不為 5，故有 1331， 3113， 1771， 7117， 7337，3773， 9779， 7997共 8個數(shù) 【例 3】 (“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽 )九九重陽節(jié)，一批老人決定分乘若干輛至多可乘 32人的大巴前去參觀兵馬俑如果打算每輛車坐 22個人，就 會有 1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴那么有 多少個老人？ 原有 多少 輛大巴 ？ 【解析】 仍按每車坐 22人計算，少開一輛車將有 23 人無座位，這些人剛好平均分乘余下的車， 23是質(zhì)數(shù)，所以余下 23 輛車，原有 24 輛車，原有老人 22 2 2 3 2 3 2 3 5 2 9 (個 ) 【 鞏鞏 固固 】 (全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 )從 1 9中選出 8個數(shù)排成一個圓圈，使得相鄰的兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)排好后可以從任意兩個數(shù)字之間切開，按順時針方向讀這些八位數(shù)，其中可以讀到的最大的數(shù)是 多少？ 【解析】 由于質(zhì)數(shù)除了 2 以外都是奇 數(shù)，所以數(shù)字在順時針排列時應(yīng)是奇偶相間排列 切開后的數(shù)仍然具有“相鄰兩數(shù)之和是質(zhì)數(shù)”，并且最高位與最低位之和也是質(zhì)數(shù)，考慮到“最大”的限制條件，最高位選 9，第二位選 8，第三位最大可以選 7，但 7與 8之和不是質(zhì)數(shù)，再改選 5， 8與 5之和是質(zhì)數(shù)，符合要求 第四位可選剩余的最大數(shù)字 6，如此類推十位可選 3，個位選 2 所以，可以讀到的最大數(shù)是 98567432 數(shù)字排列如 右 圖 【例 4】 9個連續(xù)的自然數(shù)，每個數(shù)都大于 80，那么其中最多有多少個質(zhì)數(shù)？ 請列舉和最小的一組 【解析】 我們知道任意連續(xù) 9個自然數(shù)中最多有 4個質(zhì)數(shù)，本題考察對 100以外的質(zhì)數(shù)的熟練情況，有 101，103， 107， 109是 4個質(zhì)數(shù)。 【 鞏鞏 固固 】 (我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營 )用 0， 1， 2， 9這 10個數(shù)字組成 6個質(zhì)數(shù)，每個數(shù)字至多用 1次，每個質(zhì)數(shù)都不大于 500，那么共有 多少 種不同的組成 6個質(zhì)數(shù)的方法請將所有方法都列出來 【解析】 除了 2 以外，質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，因為 0 9 中只有 5 個奇數(shù)，所以如果想組成 6 個質(zhì)數(shù)，則其中一定有 2 又尾數(shù)為 5 的數(shù)中只有 5是質(zhì)數(shù)，所以 5只能單獨作為 6 個質(zhì)數(shù)中的一個數(shù) 另 4 個質(zhì)數(shù)分別以 1， 3， 7， 9為個位數(shù)，從而列舉如下： 2， 3， 5， 7， 41， 89， 2， 3， 5， 7， 61， 89， 2， 3， 5， 7， 89， 401， 2， 3， 5， 7， 89，461， 2， 3， 5， 7， 61， 409， 2， 3， 5， 47， 61， 89， 2， 3， 5， 41， 67， 89， 2， 3， 5，67， 89， 401， 2， 5， 7， 43， 61， 89， 2， 5， 7， 61， 83， 409 即共有 10種不同的方法 34765892 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 【例 5】 用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9這 9個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這 9個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù) . 【解析】 要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有 2、 3、 5、 7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下 1、 4、6、 8、 9 這 5 個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用有 1、 4、 8、 9 可以組成質(zhì)數(shù) 41、 89，而 6 可以與 7 組合成質(zhì)數(shù) 67所以這 9個數(shù)字最多可以組成 6個質(zhì)數(shù) 。 【 鞏鞏 固固 】 有三張卡片，它們上面各寫著數(shù)字 1， 2， 3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來 . 【解析】 抽一張卡片，可寫出一位數(shù) 1， 2， 3；抽兩張卡片，可寫出兩位數(shù) 12， 13， 21， 23， 31， 32；抽三張卡片，可寫出三位數(shù) 123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位數(shù) 的數(shù)字和均為 6，都能被3整除，所以都是合數(shù) 質(zhì)數(shù)的有： 2， 3， 13， 23， 31. 【例 6】 7個連續(xù)質(zhì)數(shù)從大到小排列是 a、 b、 c、 d、 e、 f、 么 【解析】 因為 7個質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，所以這 7個質(zhì)數(shù)不可能都是奇數(shù) ，因此這 7個質(zhì)數(shù)中必有一個是 是最小的質(zhì)數(shù)，并且這 7個連續(xù)質(zhì)數(shù)是從大到小排列的，所以 2g 個數(shù)從大到小依次是 17、 13、 11、 7、 5、 d . 【 鞏鞏 固固 】 從 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)中選出 6 個，然后把這 6 個數(shù)分別寫在正方體木塊的 6 個面上，并且使得相對兩個面的數(shù)的和都相等 上的三個面的三個數(shù)之和可能有多少種不同的值？ 【 解解 析析 】 小于 20 的質(zhì)數(shù)有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11， 13 ， 17， 19，其中 5 1 9 7 1 7 1 1 1 3 一個，三個數(shù)的和最小是 5 5 5 15 ，最大是19 19 19 57 ，經(jīng)試驗，三個數(shù)的和可以是從 15到 57 的所有奇數(shù)，所有可能的不同值共有 22 個 。 【 鞏鞏 固固 】 將八個不同的合數(shù)填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數(shù)互質(zhì)，那么 A=（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） 【 解解 析析 】 首先列出前幾個合數(shù) 4， 6， 8， 9， 10， 12， 14， 15， 16， 18， 20， 21， 22， 24， 25， 26， 27， 28，因為相加的合數(shù)互質(zhì)，所以不能同時為偶數(shù)，要想 兩個數(shù)也不能都同時為奇數(shù)，因為奇合數(shù)比較少，找出 8 個 來 必 然 很 大 。 所 以 應(yīng) 該 是 一 奇 一 偶 ， 經(jīng) 試 驗 得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即 A 的最小值為 29。大部分的題考的都是質(zhì)數(shù)，此題考合數(shù)，重在強化合數(shù)以及互質(zhì)的概念。 【例 7】 將 60拆成 10個質(zhì) 數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì) 數(shù)是多少 【解析】 最大的質(zhì)數(shù)必大于 5，否則 10個質(zhì)數(shù)之和將不大于 50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即 8個 7與2個 2的和為 60，故其中最大的質(zhì)數(shù)是 7 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 【 鞏鞏 固固 】 將 50分拆成 10個質(zhì)數(shù)的和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則這個最大的質(zhì)數(shù)是多少？ 【解析】 若要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則其余 9 個質(zhì)數(shù)應(yīng)盡可能小，最佳的方案是 9 個 2。但是此時剩余的數(shù)為 32，不是質(zhì)數(shù)，所以退而求其次，另其余 9個數(shù)為 8個 2， 1個 3，那么第 10 個數(shù)為 31 【 鞏鞏 固固 】 將 37拆成若干個不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的 乘積中，哪個最小 ？ 【解析】 枚舉法：有些學(xué)生會問，老師：什么時候用枚舉法？ 類比 較少 能用排列組合等方法 7=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 共有 10 種不同的拆法，其中 3 5 29=435最小 【系列二：分解質(zhì)因數(shù)】 【例 8】 兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是 111555，這兩個奇數(shù) 之和是多少 ? 【解析】 111555分解 質(zhì)因數(shù)： 1 1 1 5 5 5 3 3 5 3 7 6 7 (3 3 37 ) (5 67 ) 333 335，所以和為 668 且要注意一些技巧，例如本題中的 111 3 37 。 【 鞏鞏 固固 】 把 40， 44， 45， 63， 65， 78， 99， 105這八個數(shù)平分成兩組，使每組四個數(shù)的乘積相等。 【解析】 340 2 5， 244 2 11 ， 245 5 3 ， 263 7 3 ， 65 5 13 ， 78 2 3 13 ， 299 3 11 ，105 3 5 7 ，要使每組四個數(shù)的乘積相等，需要每組含有相同的質(zhì)因數(shù)，看質(zhì)因數(shù) 2，第一組含有 40，第二組含有 44， 78，再看 11,13 ，第一組應(yīng)有 40， 99， 65，再看 5第二組應(yīng)有 44， 78，45， 105，最后看 7，第一組應(yīng)有 40， 99， 65， 63 【例 9】 4個一位數(shù)的乘積是 360，并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這 4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個是多少？ 【解析】 將 360 分解質(zhì)因數(shù)得 3 6 0 2 2 2 3 3 5 ，它是 6 個質(zhì)因數(shù)的乘積 有該合數(shù)必至少為 6 3 3 個質(zhì)因數(shù)的積，又只有 3 個 2 相乘才能是一位數(shù)，所以這 4個乘數(shù)分別為 3， 3， 5， 8，所組成的最大四位數(shù)是 8533. 【 鞏鞏 固固 】 將 1 9 九個自然數(shù)分成三組，每組三個數(shù) 8，第二組三個數(shù)的乘積是45，第三組三個數(shù)字之和最大是多少？ 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 【解析】 分解質(zhì)因 數(shù) 45 3 3 5 ， 4 8 2 2 2 2 3 ， 可 知 45只能是 1， 5， 9的乘積，而 48可能是 2，4， 6 或 2， 3， 8 或 1， 6， 8(舍去 )，則第三組的三個數(shù)可能是 3， 7， 8 或 4， 6， 7，其中和最大的是 3 7 8 18 . 【例 10】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是 209，如果它的長、 寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少 ? 【解析】 如下圖，設(shè)長、寬、高依次為 a、 b、 c，有正面和上面的和為 ac+09 ac+ab=a (c+b)=209，而 209=11 19 當 a=11時， c+b=19，當兩個質(zhì)數(shù)的和為奇數(shù) ，則其中必定有一個數(shù)為偶 質(zhì)數(shù) 2， 則 c+b=2+17; 當 a=19時， c+b=11，則 c+b=2+9， 不是質(zhì)數(shù)，所以不滿足題意 所以它們的乘積為 11 2 17=374 【 鞏鞏 固固 】 一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的 3個自然數(shù)，它的體積是 39270立方厘 米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米 ? 【解析】 39270=2 3 5 7 11 17，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘 積，而 34 34 34 最接近 39270， 39270的約數(shù)中接近或等于 34 的有 35、 34、 33，有 33 34 35=39270所以 33、 34、 35 為滿足題意的長 、 寬 、 高 則 長 方 體 的 表 面 積 為 ： 2 ( 長 寬 + 寬 高 + 高 長 )=2 (33 34+34 35+35 33)=6934(平方厘米 ) 方法二： 39270=2 3 5 7 11 17，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù) 17，如果 17 作為長、寬或高顯然不滿足 當 17 與 2 結(jié)合即 34 作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù) 7，與 34 接近的數(shù)32 36 中，只有 35含有 7，于是 7與 5的乘積作為長方體的一條 邊的長度 而 39270的質(zhì)因數(shù)中只剩下了 3和 1l，所以這個長方體的大小為 33 34 35 長方體的表面積為 2 (3927033+3927034+3927035)=2 (1190+1155+1122)=2 3467=6934(平方厘米 ) 【 鞏鞏 固固 】 一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是 1998 立方厘米，那么 它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米 ? 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 【解析】 我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接 近，和越小如 3個數(shù)的積為 18，則三個數(shù)為 2、 3、 3時和最小，為 8 1998=2 3 3 3 37， 37是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以 2 3 3 3對應(yīng)的兩個 數(shù)應(yīng)越接近越好有 2 3 3 3=6 9時，即 1998=6 9 37時，這三個自然數(shù) 最接近 它們的和為 6+9+37=52(厘米 ) 【例 11】 甲乙兩人的年齡和為一個質(zhì)數(shù)，這個數(shù)的個位與十位數(shù)字的和是 13，甲比乙大 13 歲，那么乙今年多大？ 【解析】 個位與十位數(shù)字之和為 13，那么這樣的質(zhì)數(shù)在兩位數(shù)中只有 67，三位數(shù)中為 167，再繼續(xù)則不符合常理，所以甲乙年齡有可能分別為 40,27歲，或者 90， 77歲，所以乙的年齡可能為 27 歲或 77歲。 【例 12】 甲數(shù)比乙數(shù)大 5 ，乙數(shù)比丙數(shù)大 5 ，三個數(shù)的乘積是 6384 ，求這三個數(shù) ？ 【 解解 析析 】 將 6384 分解質(zhì)因數(shù)， 6 3 8 4 2 2 2 2 3 7 1 9 ，則其中必有一個數(shù)是 19或 19的倍數(shù)；經(jīng)試算，1 9 5 1 4 2 7 ， 1 9 5 2 4 2 2 2 3 ，恰好 1 4 1 9 2 4 6 3 8 4 ，所以這三個數(shù)即為 14， 19，24 是從最大的那個質(zhì)因數(shù)去分析 9不符合要求，下一個該考慮 38 ，再下一個該 考慮 57 ，依此類推 【 鞏鞏 固固 】 如果兩數(shù)的和是 64，兩數(shù)的積可以整除 4875，那么這兩個數(shù)的差等于多少？ 【 解解 析析 】 4875=3 5 5 5 13，有 a b 為 4875 的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為 64發(fā)現(xiàn) 39=3 13、 25=5 5這兩個數(shù)的和為 64，所以 39、 25 為滿足題意的兩個數(shù)那么它們的差為 394。 【 鞏鞏 固固 】 2004 7 20 的計算結(jié)果能夠整除三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？ 【 解解 析析 】 首先分解質(zhì)因數(shù)， 2 0 0 4 7 2 0 2 2 2 2 3 5 7 1 6 7 ，其中最大的質(zhì)因數(shù)是 167，所以所要求的三個連續(xù)自然數(shù)中必定有 167 本身或者其倍數(shù) . 165 3 5 1 ， 166 2 83 ，1 6 8 2 2 2 3 7 ， 169 13 13 ，所以 165 166 167， 166 167 168， 167 168 169都沒有 4個 2，不滿足題意 67 不可行 34 167 2， 335 5 67 ， 3 3 6 2 2 2 2 3 7 ，3 3 4 3 3 5 3 3 6 2 2 2 2 2 3 5 7 6 7 1 6 7 ，包括了 2004 7 20 中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組符合題意，以此三數(shù)之和最小為 1005. 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 8 【例 13】 3 個 質(zhì)數(shù) 的倒數(shù)之和是 16611986，則這 3 個質(zhì)數(shù)之和為多少 【 解解 析析 】 設(shè)這 3 個質(zhì)數(shù)從小到大為 a 、 b 、 c ，它們的倒數(shù)分別為 1a、 1b、 1c，計算它們的和時需通分，且通分后的分母為 ，求和得到的分數(shù)為 果這個分數(shù)能夠約分，那么得到的分數(shù)的分母為 a 、 b 、 c 或它們之間的積 6611986，分母 1986 2 3 331 ，所以一定是 2a ， 3b ，331c ，檢驗 滿足 個質(zhì)數(shù)的和為 2 3 331 336 【 鞏鞏 固固 】 有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是 140如 果把所有這樣的分數(shù)從小到大排列，那么第三個分數(shù)是多少？ 【 解解 析析 】 有 140=2 2 5 7，要保證分數(shù)最簡即要讓分子與分母是互質(zhì)的， 那么兩個質(zhì)因數(shù) 2必須同時位于分子或者同時位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分數(shù)依次是 207522 7,285722 5,35475 22,140 17522 1 ， 倒數(shù)第三小的是285。 【 鞏鞏 固固 】 一個分數(shù)，分母是 901 ，分子是一個質(zhì)數(shù)現(xiàn)在有下面兩種方法： 分子和分母各加一個相同的一位數(shù) ； 分子和分母各減一個相同的一位數(shù) 用其中一種方法組成一個新分數(shù)，新分數(shù)約分后是 713那么原來分數(shù)的分子是多少 【 解解 析析 】 因為新分數(shù)約分后分母是 13，而原分母為 901，由于 9 0 1 1 3 6 9 4 以分母是加上 9 或者減去 4 若是前者則原來分數(shù)分子為 7 70 9 481 ，但 481 13 37 ，不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來分數(shù)分子是 69 7 4 487 ，而 487 是質(zhì)數(shù)所以原來分數(shù)分子為 487 【例 14】 在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字 5 看 成 8，由此得乘積為1872那么原來的乘積是多少 ? 【 解解 析析 】 1872=2 2 2 2 3 3 13=口口 口口，其中某個口為 8， 一一驗證只有： 1872=48 39， 1872=78 24 滿足 當為 1872=48 39 時，小馬虎錯把 5 看成 8，也就是錯把 45 看成 48，所以正 確的乘積應(yīng)該是45 39=1755當為 1872=78 24 時，小馬虎錯把 5看成 8，也就是錯把 75看成 78，所以正 確的乘積應(yīng)該是 75 24=1800所以原來的積為 1755或 1800 【 鞏鞏 固固 】 某校師生為貧困地區(qū)捐款 1995 元這個學(xué)校共有 35 名教師， 14 個教學(xué) 班各班學(xué)生人數(shù)相同 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 0 8 且多于 30 人不超過 45 人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整 數(shù)，那么平均每人捐款多少元 ? 【 解解 析析 】 這個學(xué)校最少有 35+14 30=455名師生，最多有 35+14 45=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除1995 1995=3 5 133，在 455 665 之間的約數(shù)只有 5 133=665，所以師生總數(shù) 為 665 人，則平均每人捐款 1995 665=3元 【例 15】 在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“ 0” (脫靶 )，或者是不超過 10 的自然數(shù)甲、乙兩名運動員各射了 5箭，每人 5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是 1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少 4環(huán)求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少 ？ 【 解解 析析 】 應(yīng)對應(yīng)為 5個小于 10 的自然數(shù)乘積通常我們會考慮將 1764的 6個質(zhì)因數(shù)組合為 5個因數(shù)，從而這 5個因數(shù)一定都是大于 1的，于是得到了如下幾種分解情況 1764=4 3 3 7 7 =2 6 3 7 7=2 2 9 7 7 但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是 環(huán)存在，從而要考慮含有因數(shù) 1的另外 2種情況 1784=1 6 6 7 7=1 4 9 7 7 所以總的情況對應(yīng)的和依次為 4+3+3+7+7=24， 2+6+3+7+7=25， 2+2+9+7+7=27， 1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28對應(yīng)的和中只有 24， 28相差 4，所以甲的 5箭環(huán)數(shù)為 4、 3、 3、 7、 7，乙的 5箭環(huán)數(shù)為 1、 4、 9、 7、 7所以甲的總環(huán)數(shù)為 24，乙的總環(huán)數(shù)為 28。 【 鞏鞏 固固 】 已知 5 個人 都屬牛，它們年齡的乘積是 589225，那么他們年齡的和為多少？ 【 解解 析析 】 基本思路與上題一樣，重點還是在“ 1”這個因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù) 得到 4937251315 8 9 2 2 5 ，五個人的年齡和為 125歲。 【系列三：質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合型題目】 【例 16】 P 是質(zhì)數(shù)， 10P ， 14P ， 210P 都是質(zhì)數(shù)求 P 是多少？ 【 解解 析析 】 由題意知 P 是一個奇數(shù)，因為 10 3 3 1L ， 14 3 4 2L ，所以 P 是 3的倍數(shù)，所以 3P 【 鞏鞏 固固 】 已知 P 是質(zhì)數(shù)， 2 1P 也是質(zhì)數(shù)，求 5 1997P 是多少？ 【 解解 析析 】 P 是質(zhì)數(shù)， 2P 必定是合數(shù)，而且大于 1又由于 2 1P 是質(zhì)數(shù)， 2P 大于 1， 2 1P 一定是奇質(zhì)數(shù)，則 2P 一定是偶數(shù)所以 P 必定是偶質(zhì)數(shù)，即 2P 551 9 9 7 2 1 9 9 7P 32 1997 2029 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 1 8 【例 17】 有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有 13 種。那么所有這樣的自然數(shù)中最小的一個是多少 【 解解 析析 】 根據(jù)題意在不計加數(shù)順序的情況下一個自然數(shù)能有 13 種表示成一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)和的形式，說明這個自然數(shù)一定比從 2開始的第 13個質(zhì)數(shù) 要大。從 2開始數(shù)的 13個質(zhì)數(shù)分別是： 2， 3， 5，7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41。那么這個數(shù)一定要比 41 大，為了滿足這個自然數(shù)能夠分別寫成上面質(zhì)數(shù)與另一個合數(shù)的和的形式，所求自然數(shù)只要是個奇數(shù)即可，這樣這個奇數(shù)與從 3開始的質(zhì)數(shù)的差只要都是一個大于 2的偶數(shù)即可滿足條件。 【 鞏鞏 固固 】 如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)是 21，那么這些質(zhì)數(shù)中最大的一個可能是多少？ 【 解解 析析 】 如果想使得這些質(zhì)數(shù)中最大的一個盡可能大，那么一定要求這些質(zhì)數(shù)在滿足平均數(shù)為 21 的條件下數(shù)量盡可能多，且比 21大的質(zhì)數(shù)只能有一個。 21以下的質(zhì)數(shù)有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19，則說明這些質(zhì)數(shù)最多可能有 8+1=9個，則大于 21的那個數(shù)為 21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112不是質(zhì)數(shù)。分析原因，發(fā)現(xiàn)在上面算式中有一個除了 21 以外的奇數(shù) 19，使得結(jié)果為偶數(shù)，說明在原來的一組質(zhì)數(shù)中不能有 2，否則無法使得比 21 大的數(shù)是質(zhì)數(shù)。去掉 2 再次求和為1123，仍然不是質(zhì)數(shù)，則可以做微調(diào) 939，即在原來的一組質(zhì)數(shù)中再去掉一個 17 即可，這組數(shù)為 3， 5， 7， 11， 13， 19， 89，最大的一個是 89。 【 鞏鞏 固固 】 求 1成兩個合數(shù)的乘積再加一個合數(shù)的最大數(shù)是多少？ 【 解解 析析 】 考慮最小的合數(shù)是 4，先把表示方法簡化為 4 合數(shù) 合數(shù) 而合數(shù)最簡單的表現(xiàn)形式就是大于等于 4的偶數(shù) 因此該表示方法進一步表示為 4 (2 n)合數(shù) 即 8n 合數(shù) (其中 n 1 即可 ) 當該數(shù)被 8整除時， 該數(shù) 可表示為 4 (2n) 8 ， n 1,所以大于等于 24的 8的倍數(shù)都可表示 當該數(shù)被 8除余 1時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 9， n 1,所以大于等于 25 的被 8除余 1的都可表示 當該數(shù)被 8 除余 2 時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 10， n 1,所以大于等于 26 的被 8 除余 2 的都可表示 當該數(shù)被 8 除余 3 時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 27， n 1,所以大于等于 43 的被 8 除余 3 的都可表示 當該數(shù)被 8除余 4時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 4，所以大于等于 20 的被 8除余 4的都可表示 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 2 8 當該數(shù)被 8除余 5時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 21，所以大于等于 37的被 8除余 5的都可表示 當該數(shù)被 8除余 6時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 6，所以大于等于 22 的被 8除余 6的都可表示 當該數(shù)被 8除余 7時，該數(shù)可表示為 4 (2n) 15，所以大于等 于 31的被 8除余 7的都可表示 綜上所述，不能表示的最大的數(shù)是 43 8 35 經(jīng)檢驗， 35的確無論如何也不能表示成合數(shù)合數(shù)合數(shù)的形式，因此我們所求的最大的數(shù)就是35 【例 18】 已知 P,且 1 1 9 3 2 0 0 3 ，則 = 【 解解 析析 】 本題充分考察質(zhì)數(shù)與數(shù)字奇偶性知識點的結(jié)合。通過觀察發(fā)現(xiàn)題目中有 2個未知數(shù)，但是都是質(zhì)數(shù)，從結(jié)果上看 2003 是一個奇數(shù)，那么前面 2 個乘積必須為 1 個奇數(shù) 1 個偶數(shù)，那么 P 和 Q 中必須有一個是 2才可以。由大小關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)只能 ，解出 P=199,P Q=398。 【 鞏鞏 固固 】 將 1到 9這 9個數(shù)字在算式 1的每一個括號內(nèi)各填入一個數(shù)字，使得算式成立，并且要求所填每一個括號內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù) ? 【 解解 析析 】 本題中括號內(nèi)所填的數(shù)字要求為個位質(zhì)數(shù)，那么只能是 2， 3， 5， 1，即有 1那么很容易發(fā)現(xiàn)只有 3 57=1。符合原式的填法為3515273 。 【例 19】 有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù) 【 解解 析析 】 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有 11、 22、 33、 44、 55、 66、 77、 88、 99 共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如 3 3 1 3 2 2 3 1 3 3 0 1 6 1 7 有 16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了 為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有 111、 222、 333、 444、 555、 666、 777、888、 999，每個數(shù)都是 111的倍數(shù)，而 111 37 3，因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是 37或 37的倍數(shù)，但只能是 37的 2倍 (想想為什么？ )3倍就不是兩位數(shù)了 . 把九個三位數(shù)分解： 111 37 3、 2 2 2 3 7 6 7 4 3 、 33 37 9、 4 4 4 3 7 1 2 7 4 6 、555 37 15、 6 6 6 3 7 1 8 7 4 9 、 777 37 21、 8 8 8 3 7 2 4 7 4 1 2 、 999 37 27 . 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 3 8 把兩個因數(shù)相加，只有 (74 3 ) 77 和 (37 18 ) 55 的兩位數(shù)字相同 4和 3， 37和 18. 【 鞏鞏 固固 】 兩個學(xué)生抄寫同一個乘法算式，兩個乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯了一個數(shù)字，于是得到兩個不同的算式，但巧合的是，他們計算的結(jié)果都是 整除，那么它等于多少？ 【 解解 析析 】 注意 936中有質(zhì)因數(shù) 13，故易見將其分解成兩個兩位數(shù)相乘的形式有 13 72 ， 26 36 ， 39 24 ，52 18 ， 78 12 這 5種可能，由于兩人各抄錯了一個數(shù)字，因此兩人的算式中應(yīng)有兩個位置上的數(shù)字相同 們所抄錯的算式可能是 (13 72 ， 18 52 )， (13 72 ， 12 78 )， (26 36 ，24 39 )或 (52 18 ， 12 78 )人抄錯的是第一個乘數(shù)的個位數(shù)字和第二個乘數(shù)的十位數(shù)字，正確的算式應(yīng)是 13 52 或 18 72 ，后者乘積是 6的倍數(shù)，與題意不符，故原算式應(yīng)為前者，正確的乘法算式是 13 52 676 得出 2 3 6 種可能的原乘法算式，但它們的結(jié)果都是 6的倍數(shù)，不合題意 76即為所求 . 【例 20】 如果某整數(shù)同時具備如下三條性質(zhì)： 這個數(shù)與 1的差是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)除以 2所得的商也是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)除以 9 所得的余數(shù)是 5，那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)。求出所有的兩位幸運數(shù) 【解析】 由條件 可知，所求的數(shù)是偶數(shù)，因此可 設(shè)所求的幸運數(shù)是質(zhì)數(shù) p 的兩倍，即此幸運數(shù)為 2p ，則 p 的所有可能取值為 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47。于是 2p 所有可能取值為 9， 13， 21， 25， 33， 37， 45， 57， 61， 73， 81， 85， 93。根據(jù)題目條件 ， 2p 此 2p 3， 37， 61或 73。再由條件 知 2p 所得的余數(shù)應(yīng)為4，于是 2p 可能是 13，從而這個幸運數(shù)只能是 2p =14。 【 鞏鞏 固固 】 如果一個數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個數(shù)，我們稱這 個數(shù)為回文數(shù)如年份數(shù) 1991，具有如下兩個性質(zhì)： 1991 是 一 個回 文 數(shù) 1991 可以分解成一個兩位質(zhì)數(shù)回 文 數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)回 文 數(shù)的積 在 1000 年到 2000 年之間的一千年中，除了 1991 外，具有性質(zhì) 和 的 年份數(shù)， 有 哪些？（） 【 解解 析析 】 這一千年間回文數(shù)年份共有 10個，除去 1991外，還有 1001， 1111， 1221， 1331， 1441， 1551，1661， 1771， 1881符合條件的兩位質(zhì)數(shù)只能是 11，所以符合條件的只有三個，即 11 101 1111， 11 131 1441， 11 15l 1661 2010 年 暑假 第 9 講 教師版 4 8 【 鞏鞏 固固 】 兩個不同的兩位質(zhì)數(shù)接起來可以得到一個四位數(shù) ,比如由 17， 19可得到一個四位數(shù) 1719,由 19，17 也可得到一個四位數(shù) 試寫出所有這樣的四位數(shù)。 【 解解 析析 】 設(shè)這 2個兩位質(zhì)數(shù)分別是 a 和 b ，則這個四位數(shù)是 100，根據(jù)條件可知： (1 0 0 )2ab , 即 ()|(200 2)，設(shè) 200 2，則 200 2a b k（ ） ， 化簡得 (200k )a ( 2k )b ，因此 2002 ,其中 k 是整數(shù)， a 和 b 均為兩位質(zhì)數(shù)，設(shè)200 k , 2k ，則兩式相加得 () 198m ，注意到 a 和 b 都是質(zhì)數(shù)即也是奇數(shù)，所以 是 198 的約數(shù) . 2198 2 3 11 ，由于 a 、 b 都是兩位不同的質(zhì)數(shù)， 因為 1 1 1 3 8 9 9 7