內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣2016屆高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理）含答案解析

1 內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣 2016屆高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理） 一、選擇題：共 12題 1 設(shè)集合 ,集合 為函數(shù) 的定義域，則 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算 . ， . 【備注 】集合的基本運(yùn)算為高考常考內(nèi)容 ,要求熟練掌握 . 2 若復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi) A.(4， 2) B.(4， C.(2， 4) D.(2， 【答案】 B 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力 ，則在復(fù)平面內(nèi) 4， 故本題正確答案是 B. 3 若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其體積等于 2 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本題考查三視圖、空間幾何體的體積 三棱柱的底面邊長為 2,高為 1，所以三棱柱的體積為 故選 A. 4 已知雙曲線 的一條漸近線方程是 ，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,0)，則雙曲線的方程為 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì) ， ，因?yàn)?,故選 C. 5 某程序框圖如圖所示 ,執(zhí)行該程序 ,若輸入的 4,則輸出的 n, 3 ,S=30 ,S=30 ,S=45 ,S=45 【答案】 B 【解析】程序框圖依次執(zhí)行的結(jié)果是 :S=3,n=2;S=9,n=3;S=18,n=4;S=30,n=5,結(jié)束 n=5,S=30 6 已知某批零件的長度誤差 (單位 :毫米 )服從正態(tài)分布 N(0,32),從中隨機(jī)取一件 ,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為 (附 :若隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N(,2),則 P(x1,與圖象不符 . 12 若函數(shù) 滿足 ，且 時(shí)， ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 答案】 C 7 【解析】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，函數(shù)與方程 得 是周期為 2的周期函數(shù)；畫出函數(shù) 與 的圖像 (如圖所示 )；它們在區(qū)間 內(nèi)有 8個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 . 【備注】體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想 . 二、填空題：共 4題 每題 5分 共 20分 13 甲乙兩人從 門課程中各選修兩門，則甲乙所選的課程中至少有 門 不相同 的選法共有 _. 【答案】 30 【解析】本題考查排列組合與分類計(jì)數(shù)原理 . 甲乙所選的課程中至少有 門不同的選法包含兩類情況 ,一：甲乙選的兩門課程均不同 ,有 種；二：甲乙選的課程只有一門相同 ,分兩步：先從 4門中選 1門作為相同的課程，甲再從剩余 3門中選 2門，乙從剩余 2門中選 1門 ,所以由分步計(jì)數(shù)原理 ,共有 種 甲乙所選的課程中至少有 門不同的選法種類有6+24=30種 . 14 已知 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ，則常數(shù) = _. 【答案】 1 8 【解析】本題考查二項(xiàng)式定理 ，解得 . 15 已知 為由不等式組 ，所確定的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) ，則的最大值為 _. 【答案】 4 【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積，線性規(guī)劃問題 . = ；畫出可行域 (如圖四邊形 )；當(dāng)過點(diǎn) 時(shí)， 取得最大值 . 【備注】體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想 . 16 設(shè)數(shù)列 的前 且, ，則 =_. 【答案】 9 【解析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和 . ； ； ； ； ；所以 = + + + = + + + + = = . 三、解答題：共 8題 每題 12分 共 96分 17 在銳角 a、 b、 、 B、 a 2. (1)確定角 (2)若 c ，且 ，求 a 【答案】 (1)由 a 22. ， ; C . (2) C ， ，即 6. c ， 由余弦定理得 2 7，即 7. 由 變形得 (a b)2 37. ; 將 代入 得 (a b)2 25， 故 a b 5. 10 【解析】本題考查正余弦定理，三角形的面積公式 . (1)由正弦定理得 ， C . (2)利用三角形面積公式、余弦定理可求解 . 【備注】正弦定理： ；余弦定理： ；三角形的面積公式： . 18 如圖 1在 ， ， 的點(diǎn)，且 / ，將 沿 折起到 的位置，使 ，如圖 2. (1)求證： 平面 ； (2)若 ，求 與平面 所成角的正弦值； 【答案】 (1)證明： 在 中， , / , , . 又 , , 面 . 由 面 , 11 , , . (2)如圖 ,以 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 . . 設(shè) 為平面 的一個(gè)法向量， 因?yàn)?，所以 ，令 x=2，得 . 所以 為平面 的一個(gè)法向量 . 設(shè) 與平面 所成角為 ，則 . 所 以 與平面 所成角的正弦值為 . 【解析】本題考查線面垂直，空間角，空間向量的應(yīng)用 . (1) ，又 , 面； ；而 , ； (2)如圖建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；平面 的一個(gè)法向量 . . 12 【備注】立 體幾何的相關(guān)知識：線面平行與垂直、空間角、空間向量的應(yīng)用等 . 考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力 . 19 汽車租賃公司為了調(diào)查 A,現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各 100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 : (1)從出租天數(shù)為 3天的汽車 (僅限 A,中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是 (2)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛 輛 天的概率； (3)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從 A， 你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，給出建議應(yīng)該購買哪一種車型，并說明你的理由 . 【答案】 (1)這輛汽車是 = 這輛汽車是 2)設(shè) “事件 表示一輛 ”， “事件 表示一輛 ”，其中 則該公司一輛 輛 恰好為 4天的概率為 . 13 該公司一輛 輛 天的概率為 . (3)設(shè) 為 的分布列為 設(shè) 為 的分布列為 = = = = 一輛 擇 . 【解析】本題考查古典概型，互斥事件的概率，隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望 . (1)由古典概型可得p= ； (2)所求概率為=； (3)列出分布列并求出均值，選擇 14 【備注】統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識 : 獨(dú)立性檢驗(yàn) ,古典概型，頻率分布直方圖，二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望 . 20 已知 是拋物線 上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn) 的直線 與拋物線 交于 兩點(diǎn) (不同于點(diǎn) )，直線 分別交直線 于點(diǎn) . ( )求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)； ( )已知 為原點(diǎn)，求證： 為定值并求出這個(gè)定值 【答案】 ( )將 代入 ，得 ， 所以拋物線方程為 ， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ， ( )因?yàn)橹本€ 不經(jīng)過點(diǎn) ，所以直線 一定有斜率設(shè)直線 方程為 ，與拋物線方程聯(lián)立， 消去 ，得： ， 15 則由韋達(dá)定理得： ， 直線 的方程為： ，即 ， 令 ，得 ， 同理可得 : ， 又 ， 所以 ，即 為定值 . 【解析】本題主要考查的是拋物線與直線 .( )把已知點(diǎn) 代入拋物線，便可求出拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)； ( )利用向量運(yùn)算求出 即得 為定值 . 21 設(shè)函數(shù) . 16 (1)求 的單調(diào)區(qū)間； (2)若存在實(shí)數(shù) ，使得 ，求 的取值范圍，并證明： . 【答案】 (1) ，則 . 令 ，則 . 故函數(shù) 的增區(qū)間為 ；減區(qū)間為 . (2) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，只需 ，即 ， 而此時(shí)， ，由此可得 ， 故 ，即 ， 又 , = = = . 17 【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)、不等式中的應(yīng)用 . 【備注】體會(huì)分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想 . 22 如圖， 的半徑為 6，線段 與 相交于點(diǎn) 、 ， ， ， 與 相交于點(diǎn) . (1) 求 長； (2)當(dāng) 時(shí)，求證： . 【答案】 (1) D， A， ， D=6， ， ， . (2)證明： E， A. 80 A 80 O. 【解析】本題考查圓周角定理，三角形相似 . 【備注】常考查三角形相似，圓周角定理，弦切角定理，切割線定理等 . 18 23 在直角坐標(biāo)系 中，以原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系 取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系 . 設(shè)曲線 參數(shù)方程為 為參數(shù) )，直線 的極坐標(biāo)方程為 . (1)寫出曲線 的普通方程和直線 的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線 上的點(diǎn)到直線 的最大距離 . 【答案】 (1)由 得 ， . 由 得 . (2)在 上任取一點(diǎn) ，則點(diǎn) 到直線 的距離為 . 其中 ， 當(dāng) 1， . 【解析】本題考查直線的極坐標(biāo)方程、圓錐曲線的參數(shù)方程 . 【備注】?？疾椋簶O坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化，相交弦長等內(nèi)容 . 體會(huì)化