高考數(shù)學難點突破_難點11__函數(shù)中的綜合問題

難點 11 函數(shù)中的綜合問題 函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣 握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力 . 難點磁場 ( )設函數(shù) f(x)的定義域為 R，對任意實數(shù) x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),當 x0 時f(x)0. (1)求 f(21)、 f(41); (2)證明 f(x)是周期函數(shù)； (3)記 an=f(n+求).(nn a命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù) 列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力 . 知識依托：認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件 f(x1+f( f(到問題的突破口 . 錯解分析：不會利用 f(x1+f( f(行合理變形 . 技巧與方法：由 f(x1+f( f(形為 )2()2()2()22()( 是解決問題的關鍵 . (1) 解：因為對 x1, 0,21 ,都有 f(x1+f( f(所以 f(x)= )2()22( 0, x 0,1 又因為 f(1)=f(21+21)=f(21) f(21)= f(21) 2 f(21)=f(41+41)=f(41) f(41)= f（41） 2 又 f(1)=a0 f(21)=f(41)=(2)證明：依題意設 y=f(x)關于直線 x=1 對稱，故 f(x)=f(1+1 x),即 f(x)=f(2 x),x R. 又由 f(x)是 偶函數(shù)知 f( x)=f(x),x R f( x)=f(2 x),x R. 將上式中 x 以 x 代換得 f(x)=f(x+2)，這表明 f(x)是 2 是它的一個 周期 . (3)解：由 (1)知 f(x) 0,x 0,1 f(21)=f(nf(n 1) f( f(n 1)= =f( f( f(= f( n= f(a 又 f(x)的一個周期是 2 f(2n+f(因此 an=a .0) 2甲、乙兩地相距 S 千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過 c 千米 /小時，已知汽車每小時的運輸成本 (以元為單位 )由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為 b,固定部分為 (1)把全程運輸成本 y(元 )表示為 v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； (2)為 了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ 命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數(shù)學知識解決實際問題的能力 . 知識依托：運用建模、函數(shù)、數(shù)形結合、分類討論等思想方法 . 錯解分析：不會將實際問題抽象轉化為具體的函數(shù)問題，易忽略對參變量的限制條件 . 技巧與方法：四步法： (1)讀題； (2)建模； (3)求解； (4)評價 . 解法一： (1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為程運輸成本為y=avS+(va+所求函數(shù)及其定義域為 y=S(va+v (0,c . (2)依題意知， S、 a、 b、 v 均為正數(shù) S(va+ 2S 當且僅當va= v=式中等號成立 c 則當 v= 若bac,則當 v (0,c 時，有 S(va+ S(ca+=S (va( =c v)(a c v 0,且 c a a S(va+ S(ca+當且僅當 v=c 時等號成立，也即當 v=c 時，有 綜上可知，為使全程運輸成本 y 最小，當c 時，行駛速度應為 v=v=c. 解法二： (1)同解法一 . (2)函數(shù) y=x+xk(k0),x (0,+ ),當 x (0, k )時， y 單調減小，當 x ( k ,+ )時 x= k 時 y 取得最小值，而全程運輸成本函數(shù)為 y=Sb(v+,v (0,c . 當c 時，則當 v=y 最小，若bac 時，則當 v=c 時， y 最小 錦囊妙計 在解決函數(shù)綜合問題時，要認真分析、處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數(shù)形結合等思想的綜合運用 用多種知識和技能 須全面掌握有關的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件 . 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.( )函數(shù) y=x+a 與 y=圖象可能是 ( ) 2.( )定義在區(qū)間 ( ,+ )的奇函數(shù) f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù) g(x)在區(qū)間 0， + )的圖象與 f(x)的圖象重合，設 ab0,給出下列不等式： f(b) f( a)g(a) g( b) f(b) f( a)g(b) g( a) f(a) f( b)0. 求證： )21()131()111()51( 2 . 7.( )某工廠擬建一座平面圖 (如下圖 )為矩形且面積為 200 平方米的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過 16 米，如果池外周壁建造單價為每米 400 元，中間兩條隔墻建造單價為每米 248 元，池底建造單價為每平方米 80 元 (池壁厚度忽略不計，且池無蓋 ). (1)寫出總造價 y(元 )與污水處理池長 x(米 )的函數(shù)關系式，并指出其定義域 . (2)求污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求最低總造價 . 8.( )已知函數(shù) f(x)在 ( ,0) (0,+ )上有定義，且在 (0,+ )上是增函數(shù)，f(1)=0,又 g( )= 2m, 0,2 ,設 M=m|g( )0,f( f(f ( f(f(f( f( f(因為 x0 時 f(x) 0, f( f(0 f(x)在 9， 9上是減函數(shù) 故 f(x)的最大值為 f( 9),最小值為 f(9). 而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)= 12,f( 9)= f(9)=12. f(x)在區(qū)間 9， 9上的最大值為 12，最小值為 12. 殲滅難點訓練 一、 類討論當 a1 時和當 0 a 1 時 . 答案： C 特值法，根據(jù)題意，可設 f(x)=x,g(x)=|x|,又設 a=2,b=1, 則 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a) f(b)=f(2) f( 1)=2+1=3. g(b) g( a)=g(1) g( 2)=1 2= 1. f(a) f( b)g(1) g( 2)=1 2= 1. 又 f(b) f( a)=f(1) f( 2)=1+2=3. g(a) g( b)=g(2) g(1)=2 1=1, f(b) f( a)=g(a) g( b). 即與成立 . 答案： C 二、 2x=t0，則原方程可變?yōu)?t2+at+a+1=0 方程有兩個正實根，則0100)1(421212解得： a ( 1,2 2 2 . 答案： ( 1， 2 2 2 三、 (1)當 a=0 時，函數(shù) f( x)=( x)2+| x|+1=f(x),此時 f(x)為偶函數(shù)；當 a 0 時，f(a)=,f( a)=|a|+1,f( a) f(a),f( a) f(a)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶 函數(shù) . (2)當 x a 時，函數(shù) f(x)=x+a+1=(x21)2+a+43,若 a21,則函數(shù) f(x)在 ( ,a 上單調遞減，從而，函數(shù) f(x)在 ( ,a 上的最小值為 f(a)=. 若 a21,則函數(shù) f(x)在 ( ,a 上的最小值為 f(21)=43+a,且 f(21) f(a). 當 x a 時，函數(shù) f(x)=x2+x a+1=(x+21)2 a+43;當 a21時，則函數(shù) f(x)在 a,+) 上的最 小值為 f( 21 )=43 a,且 f( 21 ) f(a).若 a 21 , f(x)在 a,+ )上單調遞增，從而，函數(shù) f(x)在 a,+上的最小值為 f(a)=. 綜上，當 a21時，函數(shù) f(x)的最小值是43 a,當21 a21時，函數(shù) f(x)的最小值是 ;當 a21時，函數(shù) f(x)的最小值是 a+43. 5.(1)證明：由02011得 f(x)的定義域為 ( 1， 1)，易判斷 f(x)在 ( 1， 1)內是減函數(shù) . (2)證明： f(0)=21, 1(21)=0,即 x=21是方程 1(x)=0 的一個解 1(x)=0 還有另一個解 1,則 1(0,由反函數(shù)的定義知 f(0)=1,與已知矛盾，故方程 1(x)=0有惟一解 . (3)解： f x(x21)21,即 f x(x21) f(0). 512104 1510)21(1)21(1 f(x)+f(y)=f(1)中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y= x,又得 f(x)+f(x)=f(0)=0,即 f( x)= f(x), f(x)在 x ( 1,1)上是奇函數(shù) 1 0,則 f( f(f(f(f(21211 ), 1 0, 0,1 .21211 0,于是由知f(21211 ) 0,從而 f( f(0,即 f(f(故 f(x)在 x ( 1,0)上是單調遞減函數(shù) f(x)在 x (0,1)上仍是遞減函數(shù)，且 f(x) 0. .),21()21()21(,0)21(,1210),21()21()21()11()41()31()31()21()131()111()51()21()11()211112111()2)(1(11)2)(1(11)2)(1(1)131(22故原結論成立有時(1)因污水處理水池的長為 寬為造價 y=400(2x+22482+80 200=800(x+1600,由題設條件 162000,160 解得 x 16,即函數(shù)定義域為 16 . (2)先研究函數(shù) y=f(x)=800(x+16000 在 6上的單調性，對于任意的 x1, 6 ,不妨設 f( f(800 (324(1211 ) =800(121324, 16. 0 162 324,213241,即 121324 0.又 , f( f( 0,即 f( f(故函數(shù) y=f(x)在 6上是減函數(shù) .當 x=16 時， y 取得最小值，此時，00(16+16324)+16000=45000(元 )，16200200 x= 綜上，當污水處理池的長為 16 米，寬為 時，總造價最低，最低為 45000 元 . f(x)是奇函數(shù)，且在 (0,+ )上是增函數(shù)， f(x)在 ( ,0)上也是增函數(shù) . 又 f(1)=0, f( 1)= f(1)=0,從而，當