2016山東省高三壓軸題數(shù)學(xué)試卷(理)含答案解析

- 1 - 2016 山東省 高考?jí)狠S卷 理科 數(shù)學(xué) 一、 選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5分，共 50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1. 已知復(fù)數(shù) z 滿足 5)2( 則 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 設(shè)集合 2 3 2 0M x x x ，集合 4)21( 則 （ ） A 2 B 1 C 1 D 2 , 是兩個(gè)不同的平面，直線 m ，則“ m ” 是 “ / ” 的 ( ) 要條件 4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為 ( ). A 6 B 5 C 4 D 3 將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成 6組 ： 40， 50)， 50， 60)， 60，70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖 ，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于 60 分的學(xué)生人數(shù)為 （ ） - 2 - A 588 B 480 C 450 D 120 知輸入 x 的值為22 ， 則輸出 y 的值為 ( ) A. 7 B. 11 C. 12 D. 24 n 項(xiàng)和 , 5S（ ） A235B 35 C225D 25 m， 12的最低點(diǎn) m，風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn) 點(diǎn) h（ m）與時(shí)間 f（ 間的函數(shù)關(guān)系式是（ ） A B C D 是 ）的導(dǎo)函數(shù)， 01f ，且 33f x f x，則 4 f x f x 的解集是 ( ) A. 43B. 23C. 32 ,D. 3e ,10. 已知 點(diǎn) A 是拋物線 214對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的 交 點(diǎn) ， 點(diǎn) F 為該拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在拋物線上且滿足| | | |PF m ， 當(dāng) m 取最小值時(shí)，點(diǎn) P 恰好在以 A ， F 為焦點(diǎn)的雙曲線上 ， 則該雙曲線的離心率為 （ ） A 512B 212 C 21 D 51 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分， 共 25分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置 - 3 - 11. 已知向量 ，滿足 )3,1(a ， )()( ，則 |b . 12. 二項(xiàng)式 61展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 . 13. 若 x， 目標(biāo)函數(shù) z= 2x+y 的最小值為 在單位圓 221上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 到直線 3 4 1 0 0 與 3x 的距離分別記為1d、2d，則12小值為 _ ”；對(duì)任意實(shí)數(shù) ,1b a a b，設(shè) 2( ) ( 2 ) ( 3 )f x x x x ，若函數(shù) ( ) ( )g x f x k的圖象與 x 軸恰有二個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ 三、解答題：本大題共 6小題，共 75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟解答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi) 16.（本小題滿分 12分） 在 中，內(nèi)角 , 的對(duì)邊為 , ，已知 . （ 1）求角 C 的值； （ 2）若 2c ，且 的面積為 3 ，求 . 17. （本小題滿分 12分） 在三棱柱1 1 1 B C中 ，1 2A B B C C A A A ， 側(cè)棱1面 且 D ， E 分別是棱11 點(diǎn) F 在棱 ， 且 14B. （ 1） 求證： /面1 （ 2） 求二面角1E 的余弦值 . 18 （本小題滿分 12分） 已知等差數(shù)列 n 項(xiàng)和 30S ，10 110S ，數(shù)列 n 項(xiàng)和 1b，1 21. - 4 - （）求 （）比較說(shuō)明 理由 . 19. （本小題滿分 12分） 本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩個(gè)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi) 2元（不足 1小時(shí)的部分按 1小時(shí)計(jì)算）有甲、乙兩人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)車租騎游（各租一車一次）設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為 11,42；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為 11,24；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí) （ 1）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率； （ 2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量 ，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望 E 20. （本小題滿分 13分） 已知直線 1被圓 2232截得的弦長(zhǎng)恰與橢圓22: 1 ( 0 )a 的短軸長(zhǎng)相等，橢圓 C 的離心率 22e （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）已知過(guò)點(diǎn) 1(0, )3M 的動(dòng)直線 l 交橢圓 C 于 ,問(wèn)：在 y 軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) T ，使得無(wú)論 l 如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以 直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn) T ？若存在，求出點(diǎn) T 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 21. （本小題滿分 14分） 已知函數(shù) l n ( )( ) l n ( ) , , 0 ) , ( ) ,xf x a x x x e g x 其 中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， （ 1）當(dāng) 1a 時(shí)，討論函數(shù) )(單調(diào)性并求 )(最小值； （ 2）求證 :在 (1)的條件下，21)(|)(| （ 3）是否存在實(shí)數(shù) a ,使 )(最小值是 3 ，如果存在 ,求出 a 的值；若不存在 ,請(qǐng)說(shuō) 明理由 . 2016 山東 高考?jí)狠S卷 數(shù)學(xué)理 1.【 答案】 D 【 解析】 由題意得 5 5 ( 2 ) 22 ( 2 ) ( 2 )i i ，所以 2，所以 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選 D. 2.【 答案】 A 【 解析】 - 5 - 由已知 | 2 1A x x ， | 2N x x ，所以 | 2 M N x x U 故選 A 3.【 答案】 C 【 解析】 一條直線垂直于兩個(gè)不同的平面，則這兩個(gè)平面平行；反之也成立（面面平行的判定與性質(zhì)）。故選 C. 考點(diǎn)：充分條件和必要條件 . 4. 【 答案】 B 【 解析】 由三視圖可知幾何體為圓錐和半球的組合體 ，圓錐的高為為 22，故圓錐的母線長(zhǎng)為22( 2 2 ) 1 3，故幾何體的表面積 21 4 1 1 3 52S . 5.【 答案】 B 【 解析】 根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不少于 60 分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù) =頻率總數(shù)，可求出所求 績(jī)不少于 60 分的學(xué)生的頻率為 01 00人，利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級(jí)模塊測(cè)試成績(jī)不少于 60 分的人數(shù)為 . 6.【 答案】 D 【 解析】 由程序框圖，22 lo g 3 4x ，因此 x 值變?yōu)?22 l o g 3 1 3 l o g 3 4 ，此時(shí)計(jì)算223 l o g 3 l o g 332 2 2 8 3 2 4y 故選 D 7.【 答案】 C 【 解析】 因?yàn)?n 項(xiàng)和，1462 , 以21 1 11 1 1( 5 ) ( ) ( 1 3 )2 2 2a a a ，解得 1 32a ，所以 5 3 5 4 1 2 55 2 2 2 2S ，故選 C. 8.【 答案】 B 【 解析】 設(shè) h（ t） = ， 12 =12， = 由于最大值與最小值分別為 18， 2 - 6 - ，解得 A= 8， B=10 h（ t） = 8t+10 故選： B 9. 【 答案】 D 【 解析】 根據(jù) 01f ， 33f x f x，導(dǎo)函數(shù)于原函數(shù)之間沒(méi)有用變量 知函數(shù)與 有關(guān)，可構(gòu)造函數(shù)為 321xf x e， 4 3 3f x f x f x ，即 3， 32 1 3 ，解得 23故選 D 10.【 答案】 C. 【 解析】 如下圖所示， (0, 1)A ， (0,1)F ，過(guò) P 作準(zhǔn)線的垂線，垂足是 H ，由對(duì)稱性，不妨令 P 在第一象限，| | | | s i n| | | |P F P A P A ，問(wèn)題等價(jià)于求 的最小值， 而 211 1 1 1 1 144t a n 2 144 H x xx x x x ，當(dāng)且僅當(dāng) 11 24 時(shí) 等號(hào)成立， 此時(shí) | | | | 2 2 2 2 2 1P A P F a a ， 1 2121ce a ，故選 C 11.【 答案】 10 【 解析】 由 )()( ，即 22( ) ( ) 0a b a b a b r r r r r r，即 ab以 22| | | | 1 3 1 0 12.【 答案】 20 - 7 - 【 解析】 61中的通項(xiàng)為61 rr n ，若為常數(shù)項(xiàng)，則 3r ， 3661 20rr n rC x . 13.【 答案】 解析】 由題意作平面區(qū)域如下， ， 目標(biāo)函數(shù) z= 2x+y=2x+z， 故結(jié)合圖象可知， 當(dāng)過(guò)點(diǎn) B（ 3， 2）時(shí)， z 有最小值為 23+2= 4； 故答案為 4 14.【 答案】 4555【 解析】 設(shè) ，則13 c o s 4 s i n 1 0 432 s i n c o 5d ，而 2 3 ，所以12 485 s in c o 455 s i ，所以12小值為 4555，故答案應(yīng)填455 5 . 15.【 答案】 3 , 2 8 , 7 1 - 8 - 【 解析】 由題意得出 函數(shù) 23 4 12 1 4x x x x 或，作出函數(shù) 函數(shù) ( ) ( )g x f x k的圖象與 x 軸恰有二個(gè)公共點(diǎn)，則方程 0f x k即 f x k 恰有二個(gè)不同實(shí)根，則 1k 或23k 或 78k ，所以 k 的取值范圍是 3 , 2 8 , 7 1 ，故答案應(yīng)填 3 , 2 8 , 7 1 . 1 2 3 4 5 4,7 )C ( - 1,3 )D ( 4,8 )E ( 1, - 1 )A ( - 1,2 )16.【 答案】（ 1）3C；（ 2） 2 【 解析】 （ 1） ， s o ss ， )s 2s o ss ， s o o ss o ss ， ，21C. 又 C 是三角形的內(nèi)角，3C. （ 2） 3 33 4 又 c o ， 2)(4 2 ， 4 2 17.【 答案】（ 1）詳見(jiàn)解析；（ 2） 105. 【 解析】 - 9 - （ 1） 設(shè) O 為 中點(diǎn)，連結(jié)1 14B， O 為 中點(diǎn)， F 為 中點(diǎn)， 又 E 為11/O， 又 D 為11O 為 中點(diǎn)， 1B， 又 1 /B， 四邊形1 1 /D， 又 1/O， /D ， 又 平面1平面1 /面1 2） 建立如圖所示的坐標(biāo)系 ， 1 2A B B C C A A A ， D ， E 分別為11點(diǎn)， 14B， ( 1,0,1)E ， 1( , 0, 0)2F ， (1,0,0)B ， (0,0,2)D ， 1(0, 3,2)C ， 設(shè)平面 1法向量為 ( , , )n x y zr ， 1( , 0, 1)2 ( 1, 0, 2 ) 1 ( 1, 3 , 2 ) 20B D n x z r ， 1 3 2 0B C n x y z r ， 不妨 令 1z ，則 0y ， 2x ， (2,0,1)n r ，同理可得 平面1個(gè) 法向量為 (1, 3 , 2)m | | 1 2 ( 3 ) 0 2 1 1 0c o s ,5| | | | 2 2 5 u r ru r ru r r， 二面角 1E 的余弦值為 105 . 18.【 答案】（） 2( 2 2 )2n n n ， 13；（）當(dāng) *4( )n n N時(shí)， 2n n n nS b T a；當(dāng)*5( )n n N 時(shí)， 2n n n nS b T a ，理由見(jiàn)解析 . 【 解析】 （）設(shè)等差數(shù)列 差為 d ，由已知可得： 11545 3 021 0 91 0 1 1 02 解得 1 22， 所以 2 ( 1 ) 2 2na n n ， 2( 2 2 )2n n n 對(duì)數(shù)列 已知有2121，即222 1 3 ， - 10 - 所以213（ *） 又由已知1 21，可得 *12 1 ( 2 , ) n n N ， 兩式相減得112 ( ) 0n n n nb b T T ，即 *1 2 0 ( 2 , )n n nb b b n n N ， 整理得 *1 3 ( 2 , )b n n N 結(jié)合（ *）得1 3 （常數(shù)）， *, 所以數(shù)列 b為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列， 所以 13. （）12 1 3 1 ， 所以 213 , 2 2 3 1 ,n n nS b n n T a n 于是 2 1 2 12 3 2 3 1 3 5 2n n nS b T a n n n n n 顯然當(dāng) *4( )n n N時(shí)， 20n n n nS b T a，即 2n n n nS b T a， 當(dāng) *5( )n n N 時(shí)， 20n n n nS b T a，即 2n n n nS b T a， 所以當(dāng) *4( )n n N時(shí)， 2n n n nS b T a；當(dāng) *5( )n n N 時(shí)， 2n n n nS b T a. 19.【 答案】（ 1） 516；（ 2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望是 72 【 解析】 （ 1）由題意得，甲，乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率分別為 11,44 記甲、乙兩人所付得租車費(fèi)用相同為事件 A ，則 1 1 1 1 1 1 5()4 2 2 4 4 4 1 6 所以，甲、乙兩人所付得租車費(fèi)用 相同的概率為 516 （ 2）設(shè)甲、乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為 ， 可能取得值為 0， 2， 4， 6， 8 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5( 0 ) , ( 2 ) , ( 4 )8 4 4 2 2 1 6 4 4 2 4 2 4 1 6 P P P ， 1 1 1 1 3( 6 ) 4 4 2 4 1 6 P ， 1 1 1( 8 ) 4 4 1 6 P ， 分布列 - 11 - 所以 1 5 5 3 1 70 2 4 6 88 1 6 1 6 1 6 1 6 2E 20.【 答案】（ 1） 2 2 12x y；（ 2）存在一個(gè)定點(diǎn) (0,1)T 滿足條件 【 解析】 （ 1）則由題設(shè)可求得 1b 又 22e，則 2a ，所以橢圓 C 的方程是 2 2 12x y（ 2）解法一：假設(shè)存在點(diǎn) (0, )直線 l 的斜率存在，設(shè)其方程為 13y ，將它代入橢圓方程，并整理得 22(1 8 9 ) 1 2 1 6 0k x k 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，則 12 212 2121 8 9161 8 9 ， 因?yàn)? 1 2 2( , ) , ( , )T A x y v T B x y v u uv u 2 211,33y k x y k x ，所以221 2 1 2 1 2 1 21 2 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )3 3 9 u u v u u v T B x x y v y v k x x k k v x x v 2 2 22( 6 6 ) ( 3 2 5 )62v k v 當(dāng)且僅當(dāng) 0B 恒成立時(shí)，以 直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn) T 所以 226 6 03 2 5 0 ，解得 1v ，此時(shí)以 直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn) (0,1)T 當(dāng)直線 l 的斜率不存在， l 與 y 軸重合，以 直徑的圓為 221也過(guò)點(diǎn) (0,1)T 綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn) (0,1)T ，滿足條件分 解法二：若直線 l 與 y 軸重合，則以 直徑的圓為 221， 若直線 l 垂直于 y 軸，則以 直徑的圓為 221 1 6()39 ， - 12 - 由 222211 1 6()39 ，解得 01，由此可知所求點(diǎn) T 如果 存在，只能是 (0,1) 事實(shí)上點(diǎn) (0,1)T 就是所求的點(diǎn)，證明如下： 當(dāng)直線 l 的斜率不存在，即直線 l 與 y 軸重合時(shí)，以 直徑的圓為 221，過(guò)點(diǎn) (0,1)T ； 當(dāng)直線 l 的斜率存在，設(shè)直線方程為 13y ， 代入橢圓方程并整理得 22(1 8 9 ) 1 2 1 6 0 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為1 1 2 2( , ) , ( , )