北京市海淀區(qū)2016屆高三期末練習(xí)(二模)數(shù)學(xué)（理）試題分析

2016 北京市海淀區(qū)高三二模理科數(shù)學(xué)試卷分析 歷年高三二模的定位主要在查漏補(bǔ)缺和提升考生在面對接下來的高考的應(yīng)試信心上，這一點(diǎn)我們不難從昨天西城二模試卷上看出。西城二模的導(dǎo)數(shù)選擇了許久未考過的 漸近線問題，解析幾何則選擇了熟悉的向量點(diǎn)乘問題，難度較一模都有所下降 。除此之外 8、 14、 20 三道壓軸題的考查也基本走的“善良”路線。 我們再來看看今天剛考完的海淀二模數(shù)學(xué)試卷，總體來說，難度較一模也有明顯的下降，跟 2015 年高考基本持平?！扒笮隆焙汀半y度把控”是命題人永遠(yuǎn)無法逃避的兩個(gè)詞，也是命題難度之所 在。從這兩點(diǎn)來說這次海淀二模試卷出的還是很成功的，試題主要以常規(guī)題為主，在 8、 14、 18、19、 20 幾道題上都有一定量的創(chuàng)新，同時(shí)難度上也把控的相當(dāng)不錯(cuò)。 這次海淀二模選擇填空基礎(chǔ)題考查的知識(shí)點(diǎn)跟高考基本一致，解答題中的 15、 16、 17 三道題也是如此，沒有給考生設(shè)太多陷阱。在這些題上考生比較需要關(guān)注的還是自己的解題速度和準(zhǔn)確率，為后面綜合題的解答預(yù)留足夠的時(shí)間。具體知識(shí)點(diǎn)上的問題我們這里就不再一一贅述。 回到選擇填空的壓軸題，選擇壓軸使用的直線與單位圓都是考生們常見的，但是本題角度非常巧妙，如果 同學(xué)們只是畫出一個(gè)潦草的圖形，很可能會(huì)做錯(cuò)。但是如果把題目中需要表示的量都計(jì)算出來，其實(shí)答案不難得出。世上無難事，只怕有心人啊。 再來看第 14 題，這次第 14 題依然是北京高考壓軸題的?？土Ⅲw幾何，這次考查結(jié)合了常見的正方體的內(nèi)容，題型不是很新穎，相信很多學(xué)生在平時(shí)的訓(xùn)練中遇到過很多相似的題。就算沒有碰到過類似的，也對正方體這個(gè)立體圖形非常熟悉。 這次 18 題的導(dǎo)數(shù)難度一般，第一問貫徹了一如既往的送分原則，第二問雖然問法比較新穎，但依然是對函數(shù)零點(diǎn)問題的考查，相信只要學(xué)生認(rèn)真分析原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的圖像就 不難得到結(jié)論。 19 題解析幾何，命題老師竟然也祭出了拋物線這種圓錐曲線。要知道，拋物線雖然同學(xué)們平時(shí)的練習(xí)少，但是計(jì)算量相比橢圓，可是大大的容易些。同學(xué)們可以小聲在心里說聲謝謝老師了。 海淀這次的第 20 題壓軸也沒有讓我們失望，題目運(yùn)用集合的知識(shí)來命題，也算是一種常見的考點(diǎn)。核心問題類似西城一模的壓軸，平時(shí)在壓軸題方面有所練習(xí)的同學(xué)，都可以輕松完成。 對于參加 2016 年高考的孩子們來說，高考備考現(xiàn)在已進(jìn)入沖刺階段，如何利用好這剩下的二十多天至關(guān)重要。我在這簡單地提幾個(gè)意見，希望對大家的備考有 所幫助： 1、調(diào)整好心態(tài)，不要過于緊張更不要過分放松自己，學(xué)習(xí)生活一切照常就可以； 2、保持“手感”，注意訓(xùn)練，訓(xùn)練題以北京歷年的模擬題及高考真題為主，注意考試時(shí)間上的把控； 3、注意常規(guī)題型和“通法”的復(fù)習(xí)和鞏固，盡量不要在北京高考鮮有考查的知識(shí)點(diǎn)及解題方法上花太多時(shí)間； 海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí) （二模） 數(shù)學(xué)（理科） 試卷共 4 頁 ， 150 分?？荚嚂r(shí)長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上 作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題共 8小題，每小題 5 分，共 40 分 。 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 。 | 1 , | 2 ,M x x P x x 則 ()U A. |1 2 B. | 1 C. | 2 D. | 1 2x x x或 列 ， 1 2a ，且 1( 1) a n a ，則 3a 的值為 3. 若點(diǎn) (2,4)P 在直線 1,:3（ t 為參數(shù)）上，則 a 的值為 D. 1 中， 34c o s , c o s ,55則 ) A. 725925()(其中 0a )的展開式中， 2x 的系數(shù)與 3x 的系數(shù)相同，則 a 的值為 A. 2 B. 1 C. 1 ) f x x x 的零點(diǎn)個(gè) 數(shù)是 7. 如圖，在等腰梯形 ， 8 , 4 , 4A B B C C D . 點(diǎn) P 在 線段 運(yùn)動(dòng)，則 |B取值范圍是 A.6,4 4 3 B.4 2,8 C.4 3,8 D.6,12 : 1 0l a x 與 ,直線 l 與圓 22:1O x y的交點(diǎn)為 , 給出下面三個(gè)結(jié)論： 11,2A O ； 1, | | | |a A B C D ； 11,2C O 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是 A. B. C. D. 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。 9. 已知 2 1 i, 其中 i 為虛數(shù)單位， aR ，則 a _. 為了解全校高中同學(xué)五一小長假參加實(shí)踐活動(dòng)的情況，抽查了100 名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們假期參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間 , 繪成頻率分布直方圖（如圖） . 則這 100 名同學(xué)中參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在 610 小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為 _ . 11. 如圖， ,e 上的三點(diǎn)，點(diǎn) D 是劣弧 點(diǎn) B 的切線交弦 的延長線交 點(diǎn) E . 若 80o ，則 _ 12. 若點(diǎn) ( , )不等式組 2 0,2 0,1 所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則原點(diǎn) O 到直線10ax 距離的取值范圍是 _. 組 距D 3 ( , ) , ( , 1 ) , ( , 0 )6 2 4 2A B C，若這三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù) ( ) x x 的圖象上，則 正數(shù) 的最小值為 _. 1 1A B C D A B C D的棱長為 1 ，點(diǎn) P Q R， ， 分別是棱1 1 1 1 1A A A B A D， ，的中點(diǎn)，以 為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個(gè)正三棱柱的高_(dá)h . 三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。 15. （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) ( ) 2 s i n c o s 2f x x x . （ ）比較 ()4f， ()6 （ ）求函數(shù) () 16.（本小題滿分 13 分） 某家電專賣店試銷 A、 B、 C 三種新型空 調(diào)，銷售情況如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型數(shù)量（臺(tái)） 11 10 15 4數(shù)量（臺(tái)） 10 12 13 4數(shù)量（臺(tái)） 15 8 12 4 )求 A 型空調(diào)前三周的平均周銷售量； ( )根據(jù) C 型空調(diào)連續(xù) 3 周銷售 情況，預(yù)估 C 型空 調(diào)連續(xù) 5 周的平均周銷量為 10 臺(tái) . 請問：當(dāng) C 型空調(diào)周銷售量的方差最小時(shí)， 求4C，5 (注：方差 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x L，其中 x 為1x，2x， ，平均數(shù) ) （ ）為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店第二周和第三 周售出的空調(diào)中分別隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽取的兩臺(tái)空調(diào)中 A 型空調(diào)臺(tái)數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 . 17.（本小題滿分 14 分） 如圖，等腰梯形 ， B 于 E ，B 于 F ，且 2A E B F E F， 2F和 分別沿 起，使 A 、 B 兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn) M ，得到一 個(gè)四棱錐 M ，點(diǎn)G ， N ， H 分別是 ,D 中點(diǎn) . （ ） 求證： 平面 （ ） 求證： N ； （ ） 求直線 平面 成的角的大小 . 18.（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) 2( ) e ( )xf x x a x a . （ ）當(dāng) 1a 時(shí)，求函數(shù) () （ ）若關(guān)于 x 的不等式 ( ) 在 , )a 上有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； ( )若曲線 ()y f x 存在兩條互相垂直的切線，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .(只需直接寫出結(jié)果 ) 19. （本 小題滿分 13 分） 已知點(diǎn) 1 1 2 2( , ) , ( , ) (A x y D x 2)是曲線 2 4 ( 0 )y x y上的兩點(diǎn)， ,x 軸上的射 影分別為點(diǎn) , | | 2. （）當(dāng)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (1,0) 時(shí)，求直線 斜率； （）記 的面積為 1S ，梯形 面積為 2S ，求證：1214 . 20.（本小題滿分 13 分） B | ( , , , , . . . , ) , 0 , 1 n i n x x x x x 12 ，1, 2 ， ，,其中 3n . ( , , , , . . . , )i n nX x x x x 12 , 稱 X 的第 i 個(gè)坐標(biāo)分 量 . 若 ，且滿足如下兩條性質(zhì)： S 中元素個(gè)數(shù)不少于 4 個(gè)； ,X Y Z S，存在 1, 2 , ， ，使得 , 的第 m 個(gè)坐標(biāo)分量都是 1； 則稱 S 為n的一個(gè)好子集 . （ ）若 , , , S X Y Z W 為3的一個(gè)好子集，且 (1 , 1 , 0 ) , (1 , 0 , 1 )，寫出 , （ ）若 S 為n的一個(gè)好子集，求證： S 中元素個(gè)數(shù)不超過 12n ； （ ） 若 S 為n的一個(gè)好子集且 S 中恰好有 12n 個(gè)元素時(shí)， 求證： 一定存在唯一一個(gè) 1, 2,., ，使得 S 中所有元素的第 k 個(gè)坐標(biāo)分量都是 1. 海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)參考答案 數(shù)學(xué)（理科） 卷須知 : 示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。 一、 選擇題（本大題共 8 小題 ,每小題 5 分 ,共 40 分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B C A C C 二、填空題（本大題共 6 小題 ,每小題 5 分， 共 30 分） 三、解答題 (本大題共 6 小題 ,共 80 分 ) 15解：（）因?yàn)?( ) 2 s i n c o s 2f x x x 所以 ( ) 2 s i n c o s 2 24 4 4f 2 分 3( ) 2 s i n c o s 26 6 6 2f 4 分 因?yàn)?322 ,所以 ( ) ( )46 6 分 （ ）因?yàn)?2( ) 2 s i n ( 1 2 s i n )f x x x 9 分 22 s i n 2 s i n 1 2132 ( s i n )22x 令 s 1, 1 t x t ， 所以 2132 ( )22 , 11 分 因?yàn)閷ΨQ軸 12t, 根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng) 1t 時(shí)，函數(shù)取得最大值 3 13 分 9 1 10 58 12 1 ,1213 4 14 3216 解 : (I)A 型空調(diào)前三周的平均銷售量 1 1 1 0 1 5 125x 臺(tái) 2 分 （）因?yàn)?C 型空調(diào)平均周銷售量為 10 臺(tái)， 所以45 1 0 5 1 5 8 1 2 1 5 4 分 又 2 2 2 2 2 2451 ( 1 5 1 0 ) ( 8 1 0 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 0 ) ( 1 0 ) 5s c c 化簡得到 2241 1 5 9 1 2 ( ) 5 2 2 5 分 因?yàn)?c N，所以當(dāng)4 7c 或4 8c 時(shí)， 2s 取得最小值 所以當(dāng) 4578或 4587時(shí)， 2s 取得最小值 7 分 （ ） 依題意，隨機(jī)變量 X 的可能取值為 0,1,2 ， 8 分 2 0 2 5 5( 0 ) 3 0 4 0 1 2 , 1 0 2 5 2 0 1 5 1 1( 1 ) + =3 0 4 0 3 0 4 0 2 4 , 1 0 1 5 1( 2 ) 3 0 4 0 8 , 11 分 隨機(jī)變量 X 的分布列為 隨機(jī)變量 X 的期望 5 1 1 1 1 7( ) 0 1 21 2 2 4 8 2 4 . 13 分 X 0 1 2 p 51211241817 解 : （）證明：連結(jié) E， . 在 中，因?yàn)?,以 1 ， 1 分 又 1 , 所以 H P , 2 分 所以 平行四邊形，所以 3 分 又 平面 平面 4 分 所以 面 5 分 （ ）證明：方法一： 在平面 ，過點(diǎn) H 作 平行線 因?yàn)?,D E E M D E E F ,E M E F EI 所以 平面 所以 平面 所以 又在 中，因?yàn)?E M M F E F，所以 F . 以 H 為原點(diǎn)， ,F 別為 ,建立空間直角坐標(biāo)系 6 分 所以 31( 0 , 1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( , , 1 )22E M C N 7 分 所以 33( 3 , 1 , 0 ) , ( , , 1 )22E M C N u u u ur u u 8 分 所以 0N所以 N . 9 分 方法二： 取 點(diǎn) K ，連接 ,K . 又 的中位線，所以 又 所以 所以 一個(gè)平面中 . 6 分 因?yàn)?是等邊三角形，所以 K , 又 M ，所以 M , 7 分 且 N K F K KI ， 所以 平面 8 分 而 平面 所以 N . 9 分 （ ）因?yàn)?(0, 0, 2 )所以 0F 即 F , 又 N CI , 所以 平面 所以 是平面 法向量 . 11 分 又 31( , ,1)22設(shè) 平面 成的角為 ， 則有 31 222s i n | c o s , |222| | | |H G E E E M u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u 13 分 所以 平面 成的角為 4. 14 分 18 解 : （ ）函數(shù) () . 當(dāng) 1a 時(shí)， ( ) e ( 2 ) ( 1 )xf x x x 2 分 當(dāng) x 變化時(shí)， ()() x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 ( 1+ )， () 0 0 () 極大值 極小值 Z 4 分 函數(shù) () , 2) ， ( 1 ) ， ， 函數(shù) () 2, 1) . 5 分 （）解：因?yàn)?( ) 在區(qū)間 , )a 上有解， 所以 () , )a 上的最小值小于等于 因?yàn)?( ) e ( 2 ) ( )xf x x x a , 令 ( ) 0,得122,x x a . 6 分 當(dāng) 2a 時(shí)，即 2a 時(shí)， 因?yàn)?( ) 0對 , ) 成立，所以 () , )a 上單調(diào)遞增， 此時(shí) () , )a 上的最小值為 ( ),所以 22( ) e ( ) a a a a ， 解得 112a ，所以此種情形不成立， 8 分 當(dāng) 2a ，即 2a 時(shí)， 若 0a , 則 ( ) 0對 , ) 成立，所以 () , )a 上單調(diào)遞增， 此時(shí) () , )a 上的最小值為 ( ),以 22( ) e ( ) a a a a ， 解得 112a ，所以 102a. 9 分 若 0a ， 若 2a ，則 ( ) 0對 ( , )x a a成立， ( ) 0對 , ) 成立 . 則 () , )上單調(diào)遞減，在 , )a 上單調(diào)遞增， 此時(shí) () , )a 上的最小值為 ( ), 所以有 22( ) e ( ) e ea a af a a a a a ，解得 20a ， 10 分 當(dāng) 2a 時(shí)，注意到 , ) ,而 22( ) e ( ) e ea a af a a a a a ， 此時(shí)結(jié)論成立 . 11 分 綜上， a 的取值范圍是 1( , 2. 12 分 法二：因?yàn)?( ) 在區(qū)間 , )a 上有解， 所以 () , )a 上的最小值小于等于 當(dāng) 0a 時(shí)，顯然 0 , )a ，而 ( 0 ) 0 e 成立， 8 分 當(dāng) 0a 時(shí) , ( ) 0對 , ) 成立，所以 () , )a 上單調(diào)遞增， 此時(shí) () , )a 上的最小值為 () 所以有 22( ) e ( ) a a a a ， 解得 112a ，所以 102a. 11 分 綜上， 1( , 2a . 12 分 （ ） a 的取值范圍是 2a . 14 分 19 解：（ ）因?yàn)?(1,0)B ，所以 1(1, ),入 2 4，得到 1 2y ， 1 分 又 | | 2，所以 212，所以 2 3x ， 2 分 代入 2 4，得到 1 23y ， 3 分 所以21212 3 2 312 . 5 分 （） 法一：設(shè)直線 方程為 y kx m. 則1 2 11 | ( ) | | | D O M S m x x m 7 分 由2 4y kx , 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x k m x m , 所以2 2 212 2212 2( 2 4 ) 4 1 6 1 6 042k m k m k 9 分 又2 1 2 2 1 1 2 1 214( ) ( )2S y y x x y y k x m k x m k , 11 分 又注意到12 04，所以 0, 0， 所以12 1 2 4S m k mS y y ， 12 分 因?yàn)?1 6 1 6 0 ，所以 01,所以12144S . 13 分 法二： 設(shè)直線 方程為 y kx m. 由2 4y kx , 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x k m x m , 所以2 2 212 2212 2( 2 4 ) 4 1 6 1 6 042k m k m k 7 分 2 2 21 2 1 2| | 1 | | 1 | | 2 1A D k x x k x x k , 8 分 點(diǎn) O 到直線 距離為2|1, 所以1 1 | | | | | |2S A D d m m 9 分 又2 1 2 2 1 1 2 1 214( ) ( )2S y y x x y y k x m k x m k , 11 分 又注意到12 04，所以 0, 0， 所以12 1 2= 4S m k mS y y， 12 分 因?yàn)?1 6 1 6 0 ，所以 01,所以12144S . 13 分 法三： 直線 方程為22 , 6 分 所以點(diǎn) A 到直線 距離為1 2 2 122|x y x 7 分 又 22|O D x y, 8 分 所以1 1 2 2 111| | | |22S O D d x y x y 又2 1 2 2 1 1 21 ( ) ( )2S y y x x y y ， 9 分所以 1 2 2 11 1 2 2 12 1 2 1 21 |2( ) 2 ( )x y x yS x y x yS y y y y 2212211 2 1 21 2 1 2| |442 ( ) 8 ( )y y yy y y y 10 分 因?yàn)?21122244, 所以 222 1 2 14 ( ) 8y y x x 11 分 代入得到， 221 1 2 1 2 1 2 1 222 1 2 1 2| | | |8 ( ) 8 ( )S y y y y y y y yS y y y y12212() 12 分 因?yàn)? 2 1 22y y y y, 當(dāng)且僅當(dāng) 12時(shí)取等號(hào)， 所以 1 1 22 1 2144S y yS y y. 13 分 20 解：（） (1 , 0