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太倉市浮橋中學(xué)初三數(shù)學(xué)組編著 版權(quán)所有 蔡老師數(shù)學(xué) 1 蘇州市 2015 2016 學(xué)年初三 中考數(shù)學(xué)動點(diǎn) 型 題 復(fù)習(xí) 知 識 點(diǎn) 名師點(diǎn)晴 動點(diǎn)問題中的特殊圖形 等腰三角形與直角三角形 利用等腰三角形或直角三角形的特殊性質(zhì)求解動點(diǎn)問題 相似問題 利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等求解動點(diǎn)問題 動點(diǎn)問題中的計(jì)算問題 動點(diǎn)問題的最值與定值問題 理解最值或定值問題的求法 動點(diǎn)問題的面積問題 結(jié)合面積的計(jì)算方法來解決動點(diǎn)問題 動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題 一次函數(shù)或二次函數(shù)的 圖象 結(jié)合函數(shù)的圖象解決動點(diǎn)問題 歸納 1: 動點(diǎn)中的特殊圖形 基礎(chǔ)知識歸納:等腰三 角形的兩腰相等,直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,平行四邊形的對邊平行且相等,矩形的對角線相等,菱形的對角線互相垂直 基本方法歸納:動點(diǎn)問題常與等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形等特殊圖形相結(jié)合,解決此類問題要靈活運(yùn)用這些圖形的特殊性質(zhì) 注意問題歸納:注意區(qū)分等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì) 【例 1】 已知:如圖,在 , C=90, 點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿射線 1cm/s 的速度移動,設(shè)運(yùn)動的時間為 t 秒 ( 1)求 的長; ( 2)當(dāng) 直角三角形時,求 t 的值; ( 3)當(dāng) 等腰三角形時,求 t 的值 蔡老師數(shù)學(xué) 2 歸納 2: 動點(diǎn)問題中的計(jì)算問題 基礎(chǔ)知識歸納:動點(diǎn)問題的計(jì)算常常涉及到線段和的最小值、三角形周長的最小值、面積的最大值、線段或面積的定值等問題 基本方法歸納:線段和的最小值通常利用軸對稱的性質(zhì)來解答,面積采用割補(bǔ)法或面積公式,通常與二次函數(shù)、相似等內(nèi)容 注意問題歸納:在計(jì)算的過程中,要注意與相似、銳角三角函數(shù)、對稱、二次函數(shù)等內(nèi)容的結(jié)合 【例 2】 如圖,在 , 0, , , 平分線若 P, D 和 的動點(diǎn),則 Q 的最小值是( ) A 125B 4 C 245D 5 (例 2圖) 練習(xí): ( 2013日照)問題背景:如圖( a),點(diǎn) A、 B 在直線 l 的同側(cè),要在直線 l 上找一點(diǎn) C,使 距離之和最小,我們可以 作出點(diǎn) B 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn) B,連接 直線 l 交于點(diǎn) C,則點(diǎn) C 即為所求 ( 1)實(shí)踐運(yùn)用:如圖( b),已知, O 的直徑 4,點(diǎn) A 在 O 上, 0, B 為弧中點(diǎn), P 為直徑 一動點(diǎn),則 P 的最小值為 ( 2)知識拓展:如圖( c),在 , 0, 5, 平分線交 點(diǎn)D, E、 F 分別是線段 的動點(diǎn),求 F 的最小值,并寫出解答過程 蔡老師數(shù)學(xué) 3 歸納 3: 動點(diǎn)問題的圖象 基礎(chǔ)知識歸納:動點(diǎn)問題經(jīng)常與一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù) 的圖象相結(jié)合 基本方法歸納:一次函數(shù)圖象是一條直線,反比例函數(shù)圖象是雙曲線,二次函數(shù)圖象是拋物線 注意問題歸納:動點(diǎn)函數(shù)的圖象問題可以借助于相似、特殊圖形的性質(zhì)求出函數(shù)的圖象解析式,同時也可以觀察圖象的變化趨勢 【例 3】 如圖,在矩形 , ,點(diǎn) E 在邊 , 5, E,連接 P 在線段 ,過點(diǎn) P 作 點(diǎn) Q,連接 PD=x, 面積為 y,則能表示 y 與 x 函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( ) 歸納 4:函數(shù)中的動點(diǎn)問題 基礎(chǔ)知識歸納: 函數(shù)中的動點(diǎn)問 題 的 背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。)動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn),近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。 基本方法歸納: 一 是 利用動點(diǎn)(圖形)位置進(jìn)行分類,把運(yùn)動問題分割成幾個靜態(tài)問題,然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問題 ; 二 是 利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)(或所求圖形面積)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或 方程。 注意問題歸納: 化動為靜,畫出符合條件的圖形。 【例 4】 ( 2015 年 江蘇鹽城 12 分) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 ,將拋物線 2的對稱軸繞著點(diǎn) P( 0 , 2)順時針旋轉(zhuǎn) 45后與該拋物線交于 A、 B 兩點(diǎn),點(diǎn) Q 是該拋物線上的一點(diǎn) . ( 1)求直線 函數(shù)表達(dá)式; ( 2)如圖 ,若點(diǎn) Q 在直線 下方,求點(diǎn) Q 到直線 距離的最大值; ( 3)如圖 ,若點(diǎn) Q 在 y 軸左側(cè),且點(diǎn) T( 0, t)( 的圖像經(jīng)過點(diǎn) D 且與邊 于點(diǎn) E,連接 ( 1) 連接 面積為 2,則 k= ; ( 2) 連接 否平行?請說明理由; ( 3) 是否存在點(diǎn) D,使得點(diǎn) B 關(guān)于 對稱點(diǎn)在 ?若存在,求出點(diǎn) D 的坐標(biāo);若不存在,請說明理由 . 蔡老師數(shù)學(xué) 8 5. ( 2015 年 江蘇宿遷 8 分) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn) A( 8, 1), B( 0, 3),反比例函數(shù) 0圖象經(jīng)過點(diǎn) A,動直線 x=t( 0 t 8)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn) M,與直線 于點(diǎn) N ( 1)求 k 的值; ( 2) 求 積的最大值; ( 3)若 t 的值 6. ( 2015 年 江蘇常州 10 分) 如圖,一次函數(shù) 4 的圖象與 x 軸、 y 軸分別相交于點(diǎn) A、 B,過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線 l,點(diǎn) P 為直線 l 上的動點(diǎn),點(diǎn) Q 為直線 接圓的交點(diǎn),點(diǎn) P、Q 與點(diǎn) A 都不重合 ( 1)寫出點(diǎn) A 的坐標(biāo); ( 2)當(dāng)點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動時,是否存在點(diǎn) P 使得 等?如果存在,求出點(diǎn) 果不存在,請說明理由 ( 3)若點(diǎn) M 在直線 l 上,且 0,記 接圓和 接圓的面積分別是 2,求1211的值 蔡老師數(shù)學(xué) 9 參考答案 例 1. 解:( 1)在 , 2 32=16, ( ( 2)由題意知 BP=當(dāng) 直角時,點(diǎn) P 與點(diǎn) C 重合, C=4 t=4; 當(dāng) 直角時, BP= t 4) , 2+( t 4) 2,在 , : 52+32+( t 4) 2=得: t= , 故當(dāng) 直角三角形時, t=4 或 t= ; ( 3) 當(dāng) P 時, t=5; 當(dāng) P 時, t=8; 當(dāng) P 時, P=t 4| , 所以 2+( t 4) 2,解得: t= , 綜上所述:當(dāng) 等腰三角形時, t=5 或 t=8 或 t= 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識,解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用,以及分情況討論,注意不要漏解 例 2. 【答案】 C 【解析】 解:如圖,過點(diǎn) C 作 點(diǎn) M,交 點(diǎn) P,過點(diǎn) P 作 點(diǎn) Q, 平分線 M,這時 Q 有最小值,即 長度, , , 0, , S M= C, = 考點(diǎn): 短路線問題); 2角平分線的性質(zhì); 3勾股定理; 4直角三角形的面積 練習(xí): 解:( 1)作點(diǎn) B 關(guān)于 對稱點(diǎn) E,連接 點(diǎn) P,此時 B 最小,且等于直徑 連接 CE根據(jù)垂徑定理得 = 0, 0, 0, 蔡老師數(shù)學(xué) 10 0, C5,又 圓的直徑, 90, C= C5, CE=2 ,即 P 的最小值是 2 故答案為: 2 ; ( 2)如圖,在斜邊 截取 結(jié) 分 B 在 B , , B M, B0, 點(diǎn) B 與點(diǎn) B關(guān)于直線 稱過點(diǎn) B作 BF 足為 F,交 E,連結(jié) 線段 BF 的長即為所求( 點(diǎn)到直線的距離最短)在 , 5, 0, BF=AB10 =5 , F 的最小值為 例 3. 【答案】 C 【解析】 5, A=90, 等腰直角三角形, B=2, 2 2 , E, PD=x, E 2 x, E, E=2 2 x, 又 等腰直角三角形(已證),點(diǎn) Q 到 距離 = 22( 2 2 x) =2 22x, 面積 y=x( 2 22x) = 24( 2 2 x+2) = 24( x 2 ) 2+ 22, 即 y= 24( x 2 ) 2+ 22,縱觀各選項(xiàng),只有 C 選項(xiàng) 符合 考點(diǎn):動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象 例 4. 解: ( 1) 如答 圖 1,設(shè) 直線 x 軸的交點(diǎn)為 M, 45 , P( 0 , 2) , 2, 0M . 設(shè) 直線 解析式為 y kx b, 蔡老師數(shù)學(xué) 11 則 202 ,解得 12. 直線 解析式為 2 . ( 2)如答圖 2,過點(diǎn) Q 作 x 軸的垂線 點(diǎn) C,再過點(diǎn) Q 作直線 垂線,垂足為點(diǎn) D,根據(jù)條件可知, 是等腰直角三角形 . 22C. 設(shè) 2,Q m m ,則 ,2C m m , 22Q C m m . 222 2 1 9 222 2 2 8Q D m m m . 當(dāng) 12m時, 點(diǎn) Q 到直線 距離的最大值 為 928. ( 3) 45 , 中必有一角等于 45 . 由圖可知, 45 不合題意 . 若 45 , 如答圖 3,過點(diǎn) B 作 x 軸的平行線與 y 軸和拋物線 分別交于點(diǎn) ,此時, 45 . 根據(jù)拋物線的軸對稱 性質(zhì),知 45 , 是等腰直角三角形 . 與 相似,且 45 , 也是等腰直角三角形 . i)若 90 , 聯(lián)立 22,解得 11或 24. 1, 1A . 221 2 1 2 . 2,此時, 0t . 90 , 1T,此時, 1t . 若 45 , 是情況之一,答案同上 . 如答圖 4, 5,過點(diǎn) B 作 x 軸的平行線與 y 軸和拋物線分別交于點(diǎn) 1,以點(diǎn) F 為圓心, 蔡老師數(shù)學(xué) 12 半徑畫圓,則1、都在 ,設(shè) y 軸左側(cè) 的拋物線交于另一點(diǎn)2Q. 根據(jù)圓周角定理,21 45P Q B P Q B , 點(diǎn)2 設(shè) 22 , 2 0, 5533. A=3, C=5, 5k, 3k. 3335,5553 B B E . E ,即 E . ( 3) 存在 。 假設(shè)存在點(diǎn) D 滿足條件設(shè) , 5 , 3 ,53 , 則 k, 5k, k, 3k 如 答 圖 2,過點(diǎn) E 作 足為 F, 易證 B B E B 即 5 33 55. 3 2 5 53 3 3k k O C B F O F O C B F A E . 在 , 253k, k, BD=5k, 由勾股定理得, BD, 2 2 22533 5 5k k k ,整理得 21 0 1 2 3 3 6 0 0 22 4 1 5,52 (不合題意,舍去) . 24,525D . 滿足條件的點(diǎn) D 存在, D 的坐標(biāo)為 24,525 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)綜合題;單動和軸對稱問題; 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;平行的判定;相似三角形的判定和性質(zhì);勾股定理;方程思想的應(yīng)用 . 蔡老師數(shù)學(xué) 19 【分析】 ( 1) 設(shè) 3,3 , 則 , k 面積為 2, 1 3 2 423k k . ( 2) 設(shè) , 5 , 3 ,D a E b , 由 , 5 , 3 ,D a E b 在 ,得到 , 5 , 3 ,53 ,從而求得 E,即 E,進(jìn)而證得 ( 3) 設(shè) , 5 , 3 ,53 ,作輔助線“過點(diǎn) E 作 足為 F”,由 B到 B E B 求得 3從而 在 , 應(yīng)用勾股定理列方程求解即可 . ( 4 題答圖) ( 5 題答圖) 5. 解:( 1)把點(diǎn) A( 8, 1)代入反比例函數(shù) 0: k=18=8, k=8. ( 2)設(shè)直線 解析式為: y kx b, A( 8, 1), B( 0, 3), 813,解得: 123. 直線 解析式為: 1 321)得 反比例函數(shù)的解析式為: 8 設(shè) 81 32M t N t , , , 則 81 32M N . 221 8 1 1 3 1 2 53 4 32 2 4 2 4 4B M NS t t t t V. 面積是 t 的二次函數(shù) . 14 0, 面積有最大值 . 當(dāng) t=3 時, 面積的最大值為 254. 蔡老師數(shù)學(xué) 20 ( 3) 如答圖,過點(diǎn) A 作 AQ y 軸于點(diǎn) Q ,延長 y 軸于點(diǎn) P , A B Q P A Q . Q,即 848解得 16. 0, 17P A( 8, 1) , 直線 解析式為:2 17 .解 82 17x x 得, 121 ,82 . 12t . 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)綜合題 ;線動問題;待定 系數(shù)法的應(yīng)用;曲線上點(diǎn)的代代相傳壞蛋方程的關(guān)系;二次函數(shù)最值的應(yīng)用;相似三角形的判定和性質(zhì) 6. 解( 1)( 4, 0) . ( 2)存在理由 如下 :如 答 圖 1 所示: 將 x=0 代入
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