計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第五章_異方差性

1 第五章 異 方 差 性 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 2 引子： 更為接近真實(shí)的結(jié)論是什么？ 根據(jù)四川省 2000年 21個(gè)地市州醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)資料 ， 分析醫(yī)療機(jī)構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系 ， 建立衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型 。 對(duì)模型估計(jì)的結(jié)果如下： 式中 表示衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù) （ 個(gè) ） ， 表示人口數(shù)量 （ 萬(wàn)人 ） 。 ( 2 9 1 . 5 7 7 8 ) (0 . 6 4 4 2 8 4 ) - 5 6 3 . 0 5 4 8 5 . 3 7 3 52 0 . 7 8 5 4 5 6R 2 0 . 7 7 4 1 4 6R 6 9 . 5 6 0 0 3F ( - 1 . 9 3 1 0 6 2 ) ( 8 . 3 4 0 2 6 5 )t Y 型顯示的結(jié)果和問(wèn)題 人口數(shù)量對(duì)應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差較?。?決系數(shù)和修正的可決系 數(shù)結(jié)果較好， 表明該模型的估計(jì)效果不錯(cuò)，可以認(rèn)為人口數(shù)量 每增加 1萬(wàn)人，平均說(shuō)來(lái)醫(yī)療機(jī)構(gòu)將增加 然而，這里得出的結(jié)論可能是不可靠的，平均說(shuō)來(lái)每增加 1萬(wàn)人口可能并不需要增加這樣多的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，所得結(jié)論并不符合真實(shí)情況。 有什么充分的理由說(shuō)明這一回歸結(jié)果不可靠呢？更為接近真實(shí)的結(jié)論又是什么呢？ 4 本章討論四個(gè)問(wèn)題： 異方差的實(shí)質(zhì)和產(chǎn)生的原因 異方差產(chǎn)生的后果 異方差的檢測(cè)方法 異方差的補(bǔ)救 第五章 異 方 差 性 5 第一節(jié) 異方差性的概念 本節(jié)基本內(nèi)容： 異方差性的實(shí)質(zhì) 異方差產(chǎn)生的原因 6 一、異方差性的實(shí)質(zhì) 同方差的含義 同方差性：對(duì)所有的 有： （ 因?yàn)榉讲钍嵌攘勘唤忉屪兞?的觀測(cè)值圍繞回歸線 （ 的分散程度，因此同方差性指的是所有觀測(cè)值的 分散程度相同。 1 2 2 3 3E ( ) .i ii k k X X ( 1 , 2 , ., )i i n2V a r ( ) =模型為 如果對(duì)于模型中隨機(jī)誤差項(xiàng) 有： 則稱具有異方差性。進(jìn)一步，把異方差看成是由于某個(gè)解釋變量的變化而引起的，則 異方差性的含義 2 3 3 . . . 1 , 2 , . . . ,i i i k k i X X u i n 2V a r ( ) , 1 , 2 , 3 , . . . ,i n22V a r ( ) ( )i i iu f X(8 圖形表示 一）模型中省略了某些重要的解釋變量 假設(shè)正確的計(jì)量模型是： 假如略去 ，而采用 當(dāng)被略去的 與 有呈同方向或反方向變 化的趨勢(shì)時(shí) ,隨 的有規(guī)律變化會(huì)體現(xiàn)在（ 式的 中。 3 2 3 3i i i X u 3 2 2i i u 3iX* *生異方差的原因 10 （二）模型的設(shè)定誤差 模型的設(shè)定主要包括變量的選擇和模型數(shù)學(xué)形式的確定。模型中略去了重要解釋變量常常導(dǎo)致異方差，實(shí)際就是模型設(shè)定問(wèn)題。除此而外，模型的函數(shù)形式不正確，如把變量間本來(lái)為非線性的關(guān)系設(shè)定為線性，也可能導(dǎo)致異方差。 （ 三 ） 數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差 樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差有可能隨研究范圍的擴(kuò)大 而增加 ， 或隨時(shí)間的推移逐步積累 ， 也可能隨 著觀測(cè)技術(shù)的提高而逐步減小 。 3iX* 四 ） 截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異 通常認(rèn)為 ， 截面數(shù)據(jù)較時(shí)間序列數(shù)據(jù)更容易產(chǎn)生異方差 。 這是因?yàn)橥粫r(shí)點(diǎn)不同對(duì)象的差異 ， 一般說(shuō)來(lái)會(huì)大于同一對(duì)象不同時(shí)間的差異 。 不過(guò) ，在時(shí)間序列數(shù)據(jù)發(fā)生較大變化的情況下 ， 也可能出現(xiàn)比截面數(shù)據(jù)更嚴(yán)重的異方差 。 12 第二節(jié) 異方差性的后果 本節(jié)基本內(nèi)容： 對(duì)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)特性的影響 對(duì)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的影響 對(duì)預(yù)測(cè)的影響 13 一、對(duì)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)特性的影響 （一）參數(shù)估計(jì)的無(wú)偏性仍然成立 參數(shù)估計(jì)的無(wú)偏性僅依賴于基本假定中的零均值 假定（即 ）。所以異方差的存在對(duì)無(wú)偏性 的成立沒(méi)有影響。 （二）參數(shù)估計(jì)的方差不再是最小的 同方差假定是 以隨機(jī)誤差項(xiàng)是異方差時(shí)，將不能再保證最小二 乘估計(jì)的方差最小。 E ( ) 014 二、對(duì)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的影響 由于異方差的影響，使得無(wú)法正確估計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)的 t 統(tǒng)計(jì)量的值不能正確確定，所以，如果仍用 t 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)將失去意義。 15 盡管參數(shù)的 且基于此的預(yù)測(cè)也是無(wú)偏的，但是由于參數(shù)估計(jì)量不是有效的，從而對(duì) 三、對(duì)預(yù)測(cè)的影響 16 第三節(jié) 異方差性的檢驗(yàn) 常用檢驗(yàn)方法 : 圖示檢驗(yàn)法 17 一、圖示檢驗(yàn)法 （一）相關(guān)圖形分析 方差描述的是隨機(jī)變量取值的（與其均值的）離散程度。因?yàn)楸唤忉屪兞?與隨機(jī)誤差項(xiàng) 有相同的方差，所以利用分析 與 的相關(guān)圖形，可以初略地看到 的離散程度與 之間是否有相關(guān)關(guān)系。 如果隨著 的增加， 的離散程度為逐漸增大（或減小）的變化趨勢(shì)，則認(rèn)為存在遞增型（或遞減型）的異方差。 1998年四川省各地市州農(nóng)村居民家庭消費(fèi)支出與家庭純 收入的數(shù)據(jù) ， 繪制出消費(fèi)支出對(duì)純收入的散點(diǎn)圖 ,其中用 表示農(nóng)村家庭消費(fèi)支出 ， 表示家庭純收入 。 1Y 119 設(shè)一元線性回歸模型為： 運(yùn)用 得樣本回歸模型為： 由上兩式得殘差： 繪制出 對(duì) 的散點(diǎn)圖 如果 不隨 而變化，則表明 不存在異方差 ； 如果 隨 而變化，則表明 存在異方差 。 （二）殘差圖形分析 12i i 12 + i Y2ie 、 作用 ：檢驗(yàn)遞增性 (或遞減性 )異方差。 基本思想 ：將樣本分為兩部分，然后分別對(duì)兩個(gè)樣 本進(jìn)行回歸，并計(jì)算兩個(gè)子樣的殘差平方和所構(gòu)成 的比，以此為統(tǒng)計(jì)量來(lái)判斷是否存在異方差。 （一） 檢驗(yàn)的前提條件 1、要求檢驗(yàn)使用的為大樣本容量。 2、除了同方差假定不成立外，其它假定均滿足。 21 （二）檢驗(yàn)的具體做法 將解釋變量的取值按從小到大排序。 將排列在中間的約 1/4的觀察值刪除掉，記 為 ，再將剩余的分為兩個(gè)部分，每部分觀察 值的個(gè)數(shù)為 。 2 2 2 2 20 1 1 2H : , = 1 , 2 , . . . , ; H : . ( - ) / 2統(tǒng)計(jì)量 分別對(duì)上述兩個(gè)部分的觀察值求回歸模型，由此 得到的兩個(gè)部分的殘差平方為 和 。 為前一部分樣本回歸產(chǎn)生的殘差平方和， 為后一部分樣本回歸產(chǎn)生的殘差平方和。它 們的自由度均為 ， 為參數(shù)的個(gè)數(shù)。 22 ( - ) / 2 -n c 221ie原假設(shè)成立的條件下，因 和 自由度均為 ， 分布，可導(dǎo)出： （ ( - ) / 2 -n c k 22 22 222112 ()222i i* - k e n - c n - = F - k , - c - k 21224 給定顯著性水平 ，查 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 。 如果 則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即模型中的 隨機(jī)誤差存在異方差。 - , - )22()n c n *F*- , - )22()n c n 25 要求大樣本 異方差的表現(xiàn)既可為遞增型，也可為遞減型 檢驗(yàn)結(jié)果與選擇數(shù)據(jù)刪除的個(gè)數(shù) 的大小有關(guān) 只能判斷異方差是否存在，在多個(gè)解釋變量的情下，對(duì)哪一個(gè)變量引起異方差的判斷存在局限。 c（三）檢驗(yàn)的特點(diǎn) 26 三、 （一） 基本思想 ： 不需要關(guān)于異方差的任何先驗(yàn)信息，只需要在大樣本的情況下，將 釋變量、解釋變量的平方及其交叉乘積等所構(gòu)成一個(gè)輔助回歸，利用輔助回歸建立相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)判斷異方差性。 27 (二 )檢驗(yàn)的特點(diǎn) 要求變量的取值為大樣本 不僅能夠檢驗(yàn)異方差的存在性，同時(shí)在多變量的 情況下，還能判斷出是哪一個(gè)變量引起的異方差。 28 （三）檢驗(yàn)的基本步驟： 以一個(gè)二元線性回歸模型為例，設(shè)模型為： 并且，設(shè)異方差與 的一般關(guān)系為 其中 為隨機(jī)誤差項(xiàng)。 1 2 2 3 3t t t + X+ X + 21 2 2 3 3 4 2 5 3 6 2 3t t t t t t t + X+ X+ X+ X+ X X + 用 計(jì)算殘差 ，并求殘差的平方 。 用殘差平方 作為異方差 的估計(jì)，并建立 的輔助回歸，即 （ 2 2 21 2 2 3 3 4 2 5 3 6 2 3 t t t t t t + X+ X+ X+ X+ t Y2 2 3 2 3t t t t t X , X , X , X 利用求回歸估計(jì)式（ 到輔助回歸函數(shù)的可決系數(shù) ， 為樣本容量。 0 2 6 1H 0 , H 2 , , 3 , . . . , 6j: = . . . = = : j （ = ） 不 全 為 零2nR 在零假設(shè)成立下，有 漸進(jìn)服從自由度為 5的 分布。給定顯著性水平 ,查 分布表得臨界值 ，如果 ,則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差 。 222 (5 )222 ( 5 )32 （一） 程 設(shè) 程為 為 并且 為隨機(jī)誤差 。 （二）檢驗(yàn)的基本思想 在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，可認(rèn)為存在的異方差性為 并通過(guò)檢驗(yàn)這一過(guò)程是否成立去判斷時(shí)間序列是否存在異方 差。 四、 2 2 20 1 1t t - p t - p + + . . . + +v 1 , 2i , 0 i = , . . . , p 計(jì)算 對(duì)原模型作 出殘差 ，并計(jì)算 殘差平方序列 ，以分別作為對(duì) 的估計(jì)。 2 2 2, , . . . ,t t t pe e 21t t - t - , . . . , 0 1 2 1H : = = . . . = = 0 ; H : 不 全 為 零） 驗(yàn)的基本步驟 34 （ 計(jì)算輔助回歸的可決系數(shù) 與 的乘積 。在 成立時(shí)，基于大樣本， 漸進(jìn)服從 分布。 給定顯著性水平 ，查 分布表得臨界值 ，如果 ，則拒絕原假 設(shè)，表明模型中得隨機(jī)誤差存在異方差。 2()n - p ) 2 20 1 - 1 .t t p t pe e e 22( ) ( )n - p R p2 () p2()n - p 5 變量的樣本值為大樣本 數(shù)據(jù)是時(shí)間序列數(shù)據(jù) 只能判斷模型中是否存在異方差，而不能診斷出哪一個(gè)變量引起的異方差。 （四）檢驗(yàn)的特點(diǎn) 36 五、 （ 一 ） 檢驗(yàn)的基本思想 由 取得絕對(duì)值 ， 然后將對(duì)某個(gè)解釋變量回歸 ， 根據(jù)回歸模型的顯著性和擬合優(yōu)度來(lái)判斷是否存在異方差 。 （ 二 ） 檢驗(yàn)的特點(diǎn) 不僅能對(duì)異方差的存在進(jìn)行判斷 ， 而且還能對(duì)異方差隨某個(gè)解釋變量變化的函數(shù)形式 進(jìn)行診斷 。該檢驗(yàn)要求變量的觀測(cè)值為大樣本 。 37 （三）檢驗(yàn)的步驟 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立回歸模型，并求殘差序列 與 的最佳函數(shù)形式 用殘差絕對(duì)值 對(duì) 進(jìn)行回歸，用各種函數(shù) 形式去試，尋找最佳的函數(shù)形式。 i Y - 根據(jù)選擇的函數(shù)形式作 對(duì) 的回歸 ， 作為 的替代變量 ， 對(duì)所選函數(shù)形式回歸 。 用回歸所得到的 、 、 等信息判斷 ， 若參數(shù) 顯著不為零 ，即認(rèn)為存在異方差性 。 FX t 39 第四節(jié) 異方差性的補(bǔ)救措施 主要方法 : 模型變換法 加權(quán)最小二乘法 模型的對(duì)數(shù)變換 40 以一元線性回歸模型為例： 經(jīng)檢驗(yàn) 存在異方差 ， 且 其中 是常數(shù) ， 是 的某種函數(shù) 。 12i i u a r ( ) ( )i i iu f X2 ()型變換法 41 變換模型時(shí) ， 用 除以模型的兩端得： 記 則有： ()i i i +f ( X ) f ( X ) f ( X ) f ( X )* * * 11; ; ;( ) ( ) ( ) ( )i i ii i ii i i f X f X f X * * *12i i v 42 隨機(jī)誤差項(xiàng) 的方差為 經(jīng)變換的模型的隨機(jī)誤差項(xiàng) 已是同方差， 常見(jiàn)的設(shè)定形式及對(duì)應(yīng)的 情況 函數(shù)形式 201()ia a Xv a r( )iu iv v a r( )i iX2iXia a X 01()a a X21v a r ( ) v a r ( ) v a r ( )()() f ( X )()3 二、加權(quán)最小二乘法 以一元線性回歸模型為例： 經(jīng)檢驗(yàn) 存在異方差 ， 且： 其中 是常數(shù) ， 是 的某種函數(shù) 。 12i i u 22v a r ( ) ( )i i iu f X2 () 一 ） 基本思路 區(qū)別對(duì)待不同的 。 對(duì)較小的 , 給予較大的權(quán) 數(shù) ， 對(duì)較大的 給予較小的權(quán)數(shù) ， 從而使 更 好地反映 對(duì)殘差平方和的影響 。 2二）具體做法 通常取權(quán)數(shù) ，當(dāng) 越小 時(shí)， 越大。當(dāng) 越大時(shí)， 越小。將權(quán)數(shù)與 殘差平方相乘以后再求和，得到加權(quán)的殘差平方 和： 1 , 2 , . . . , )i n * 212()i i i i iw e w Y X 2i6 的 根據(jù)最小二乘原理，若使得加權(quán)殘差平方和最小， 則： 其中 ： *i*122 2 ( ) ( )()*i i i* Y - - X Y - w X - Xi i i i* w , Y =47 三、模型的對(duì)數(shù)變換 在經(jīng)濟(jì)意義成立的情況下，如果對(duì)模型： 作對(duì)數(shù)變換， 其變量 和 分別用 和 代替，即： 對(duì)數(shù)變換后的模型通?？梢越档彤惙讲钚缘挠绊懀?運(yùn)用對(duì)數(shù)變換能使測(cè)定變量值的尺度縮小。 經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后的線性模型，其殘差表示相對(duì)誤差往往 比絕對(duì)誤差有較小的差異。 注意： 對(duì)變量取對(duì)數(shù)雖然能夠減少異方差對(duì)模型的 影響，但應(yīng)注意取對(duì)數(shù)后變量的經(jīng)濟(jì)意義。 ln i b + b X + n l ni i b + b X + 五節(jié) 案例分析 一、問(wèn)題的提出和模型設(shè)定 為了給制定醫(yī)療機(jī)構(gòu)的規(guī)劃提供依據(jù) ， 分析比較醫(yī)療機(jī)構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系 ， 建立衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型 。 假定醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)之間滿足線性約束 ，則理論模型設(shè)定為： 其中 表示衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù) ， 表示人口數(shù) 。 i b + b X + 000年各地區(qū)醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù) 地區(qū) 人口數(shù)（萬(wàn)人） 醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)） 地區(qū) 人口數(shù)（萬(wàn)人） 醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)） 成都 304 眉山 27 自貢 315 911 宜賓 530 攀枝花 103 934 廣安 589 瀘州 297 達(dá)州 403 德陽(yáng) 085 雅安 66 綿陽(yáng) 616 巴中 223 廣元 021 資陽(yáng) 361 遂寧 371 1375 阿壩 36 內(nèi)江 212 甘孜 94 樂(lè)山 132 涼山 471 南充 4064 X Y X 、參數(shù)估計(jì) 估計(jì)結(jié)果為 : 2 - 5 6 3 . 0 5 4 8 5 . 3 7 3 5( - 1 . 9 3 1 1 ) ( 8 . 3 4 0 3 )0 . 7 8 5 5 , s e 5 0 8 . 2 6 6 5 , 6 9 . 5 6 51 三、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷漠惙讲?（ 一 ） 圖形法 1. 由路徑： 入 入 ，點(diǎn) “ 得樣本回歸估計(jì)結(jié)果，見(jiàn)教材表 y c 1） 生成殘差平方序列 。 在得到表 用生成命令生成序列 ，記為 。 生 成 過(guò) 程 如 下 ， 先按路徑： 進(jìn)入 鍵入下式并點(diǎn)“ 可： 2e2 r e s i d 2e 53 254 （ 2） 繪制 對(duì) 的散點(diǎn)圖 。 選擇變量名 與 。 （ 注意選擇變量的順序 ， 先選的變量將在 圖形中表示橫軸 ， 后選的變量表示 縱軸 ） ， 進(jìn)入數(shù) 據(jù)列表 ， 再按路 徑 可得散 點(diǎn)圖 ， 見(jiàn)右圖： 22由圖可以看出 ， 殘差平方 對(duì)解釋變量 的散點(diǎn)圖主要分布在圖形中的下三角部分 ， 大致看出殘差平方 隨 的變動(dòng)呈增大的趨勢(shì) ， 因此 ， 模型很可能存在異方差 。 但是否確實(shí)存在異方差還應(yīng)通過(guò)更進(jìn)一步的檢驗(yàn) 。 2二） 1. （ 1） 對(duì)變量取值排序 （ 按遞增或遞減 ） 。 在 出現(xiàn)排序?qū)υ捒?， 鍵入 ， 如果以遞增型排序 ， 選 “ 如果以遞減型排序 ， 則應(yīng)選 “ 點(diǎn) 本例選遞增型排序 ， 這時(shí)變量 與 將以 按遞增型排序 。 （ 2） 構(gòu)造子樣本區(qū)間 ， 建立回歸模型 。 在本例中 ， 樣本容量 ， 刪除中間 1/4的觀測(cè)值 ， 即大約 5個(gè)觀測(cè)值 ， 余下部分平分得兩個(gè)樣本區(qū)間： 1 8和 14 21， 它們的樣本個(gè)數(shù)均是 8個(gè) ， 即 區(qū)間定義為 1 8，然后用 求得如下結(jié)果 (表 1) 58 在 將區(qū)間定義為 14 21，再用 表 2) 59 （ 3） 求 基于表 1和表 2中殘差平方和的 數(shù)據(jù) ， 即 由表 1計(jì)算得到 的殘差平方和為 ， 由表 2計(jì)算得到的 殘差平方和為 。 根據(jù) 21 = 1 4 4 9 5 8 2 = 7 3 4 3 5 5 . 82217 3 4 3 5 5 . 85 . 0 6 61 4 4 9 5 8 . 9 60 （ 4） 判斷 在 下，式中分子、分母的自由度均為 6， 查 因?yàn)?，所以拒絕原假設(shè)，表明模型確實(shí)存在異方差。 0 . 0 5 (6 , 6 ) 4 . 2 8F 0 . 0 55 . 0 6 6 (6 , 6 ) 4 . 2 8 61 （三） 由表 路徑 no or 進(jìn)入 根據(jù) 后一項(xiàng)為變 量的交叉乘積項(xiàng)，因?yàn)楸纠秊橐辉瘮?shù)，故無(wú)交叉 乘積項(xiàng)，因