相似三角形中的輔助線專題-教師版

相似三角形中的輔助線在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：例2. 如圖，ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點(diǎn)F，證明：ABDF=ACEF。二、作垂線3. 如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。三、作延長線例5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。 例6. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF四、作中線例7 如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。五、綜合練習(xí)題 1、在ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，E為CB延長線上的一點(diǎn)，BE=AD，DE交AB于F。求證：EFBC=ACDF2、中，AC=BC，P是AB上一點(diǎn)，Q是PC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），MN過Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求證：。3、. 理由？（用三種解法）相似三角形中的輔助線（教師版）在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證： 例1圖 例2圖 例3圖證明：過點(diǎn)C作CG/FD交AB于G。小結(jié)：本題關(guān)鍵在于ADAE這個(gè)條件怎樣使用。例2. 如圖，ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點(diǎn)F，證明：ABDF=ACEF。 分析：證明等積式問題常?；癁楸壤?，再通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運(yùn)用中間比代換得到，為構(gòu)造相似三角形，需添加平行線。 方法一：過E作EM/AB，交BC于點(diǎn)M，則EMCABC（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）。 方法二：如圖，過D作DN/EC交BC于N， 二、作垂線3. 如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。證明：過B作BMAC于M，過D作DNAC于N （1） 又 （2） （1）+（2） 又 AN=CM 三、作延長線例5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。 分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長BA、CD交于點(diǎn)P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC 例6. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF解析：欲證式即 由“三點(diǎn)定形”，BFG與CFG會(huì)相似嗎？顯然不可能。（因?yàn)锽FG為Rt），但由E為CD的中點(diǎn)，可設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與BFG相似的三角形來求解。不妨延長GF與AC的延長線交于H，則 又ED=EC FG=FH 又易證RtCFHRtGFB FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF四、作中線例7 如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中點(diǎn)M，連AM ABAC AM=CM 1=C又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC （1）又 又 EC=1 （2）由（1）（2）得， 小結(jié)：利用等腰三角形有公共底角，則這兩個(gè)三角形相似，取BC中點(diǎn)M，構(gòu)造與相似是解題關(guān)鍵五、綜合練習(xí)題 1、在ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，E為CB延長線上的一點(diǎn)，BE=AD，DE交AB于F。求證：EFBC=ACDF題一圖 題二圖2、中，AC=BC，P是AB上一點(diǎn)，Q是PC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），MN過Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求證：。3、. 理由？（用三種解法） 圖（1） 圖（2） 圖 (3)參考答案：1、過D作DGBC交AB于G，則DFG和EFB相似，BEAD,由DGBC可得ADG和ACB相似，由得，EFBCACDF2、過P作PEAC于E，PFCB于F，則CEPF為矩形 PFEC EC=PF （1） 在和中：CPMN于Q 又