2016年江西省鷹潭市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 25 頁） 2016 年江西省鷹潭市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題：本大題 12 小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R，集合 ， B=x|6x+80，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ） A x|x0 B x|2x4 C x|0 x2 或 x4 D x|0x 2 或 x 4 2設(shè)復(fù)數(shù) z=1+a 是正實數(shù)） ，且 |z|= ，則 等于（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3以下四個命題： 從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每 20 分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣 兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 在回歸直線方程 =2 中，當解釋變量 x 每增加一個單位時，預(yù)報變量 位 對分類變量 X 與 Y，它們的隨機變量 觀測值 k 來說， k 越小， “X 與 Y 有關(guān)系 ”的把握程度越大 其中正確的是（ ） A B C D 4已知 ，由如程序框圖輸出的 S=（ ） 第 2 頁（共 25 頁） A 1 B C D 1 5如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則在該幾何體中，最長的棱與最短的棱所成角的余弦值是（ ） A B C D 6設(shè)函數(shù) f（ x） = ，則滿足 f（ f（ m） =3f（ m） 的實數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B 0， 1C 0， +） D 1， +） 7某公司將 5 名員工分配至 3 個不同的部門，每個部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須分配在同一個部門的不同分配方法數(shù)為（ ） A 24 B 30 C 36 D 42 8函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若其圖象向右平移 個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù) f（ x）（ ） A關(guān)于點（ ， 0）對稱 B關(guān)于點（ ， 0）對稱 C關(guān)于直線 x= 對稱 D關(guān)于直線 x= 對稱 9設(shè) 等差數(shù)列 足 3 ， n 項和，則數(shù)列 最大項為（ ） A B 0已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點分別 c， 0）， c， 0），若雙曲線上存在點 P，使得 ，則該曲線的離心率 e 的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B C D 11如圖，已知正方體 長為 8，點 H 在棱 ，在側(cè)面 的正方形 P 是側(cè)面 一動點且點 P 到平面 F 的長，則當點 P 運動時， | 的最小值是（ ） 第 3 頁（共 25 頁） A 87 B 88 C 89 D 90 12已知 a 為常數(shù)，函數(shù) f（ x） =x（ 2兩個極值點 ）（ ） A f（ 0， B f（ 0， C f（ 0， D f（ 0， 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 13 展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是 14過平面區(qū)域 內(nèi)一點 P 作圓 O： x2+ 的兩條切線，切點分別為 A， B，記 ，則當 最小時 15在平面直角坐標系 ，點 A 是橢圓 上動點 ，點 P 在直線 ，且，則線段 x 軸上的投影的最大值為 16已知數(shù)列 通項公式為 2n+p，數(shù)列 通項公式為 ，設(shè)，若在數(shù)列 ， （ nN*， n10），則實數(shù) p 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 5小題，共 70分，解答應(yīng)寫出 文字說明，證明過程或演算步驟 17已知函數(shù) （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）在 ，內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c已知 ， a=2， ，求 面積 第 4 頁（共 25 頁） 18每逢節(jié)假日，在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚， 2016 年春節(jié)期間，小張在自己的微信校友群，向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機發(fā)放紅包，發(fā)放的規(guī)則為：每次發(fā) 放1 個，每個人搶到的概率相同 （ 1）若小張隨機發(fā)放了 3 個紅包，求甲至少得到 1 個紅包的概率； （ 2）小張在丁離線后隨機發(fā)放了 3 個紅包，其中 2 個紅包中各有 5 元， 1 個紅包中有 10 元，記乙所得紅包的總錢數(shù)為 X 元，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19如圖，在四棱錐 P ， C=， ， 20， E 和 F 分別是棱 中點 （ 1）求證： （ 2）求直線 平面 成的角的正弦值 20設(shè)橢圓 E： + =1（ a b 0），其長軸長是短軸長的 倍，過焦點且垂直于 x 軸的直線被橢圓截得的弦長為 2 （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）點 P 是橢圓 E 上橫坐標大于 2 的動 點，點 B， C 在 y 軸上，圓（ x 1） 2+ 內(nèi)切于 判斷點 P 在何位置時 面積 S 最小，并證明你的判斷 21已知函數(shù) f（ x） =（ 2） e x（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)） （ 1）若 a= ，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 f（ 1） =1，且方程 f（ x） =1 在（ 0， 1）內(nèi)有解，求實數(shù) a 的取值范圍 請考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答若多做，則按所做的第一題計 分 選修 4何證明選講 22如圖， 接于直徑為 圓 O，過點 A 作圓 O 的切線交 延長線于點 P， 平分線分別交 圓 O 于點 D、 E，若 0 （ 1）求證： （ 2）求 E 的值 第 5 頁（共 25 頁） 選修 4標系與參數(shù)方程 23已知曲線 C 的極坐標方程是 =4極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直 l 的參數(shù)方程是 （ t 是參數(shù)） （ 1）將曲線 C 的極坐標方程化為直角坐標方程； （ 2）若直線 l 與曲線 C 相交于 A、 B 兩點，且 | ，求直線的傾斜角 的值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 3| |x a| （ 1）當 a=2 時，解不等式 f（ x） ； （ 2）若存在實數(shù) x，使得不等式 f（ x） a 成立，求實數(shù) a 的取值范圍 第 6 頁（共 25 頁） 2016 年江西省鷹潭市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題 12 小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R，集合 ， B=x|6x+80，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ） A x|x0 B x|2x4 C x|0 x2 或 x4 D x|0x 2 或 x 4 【考點】 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用； 表達集合的關(guān)系及運算 【 分析】 由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為 A（ 然后根據(jù)集合的基本運算求解即可 【解答】 解：由 可知陰影部分對應(yīng)的集合為 A（ =x|x0， B=x|6x+80=x|2x4， x|x 4 或 x 2， 即 A（ =x|0x 2 或 x 4， 故選： D 2設(shè)復(fù)數(shù) z=1+a 是正實數(shù)），且 |z|= ，則 等于（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式即可得出 【解答】 解： 復(fù)數(shù) z=1+a 是正實數(shù)），且 |z|= ， = ， 解得 a=3 則 = = = = 1+i 故選： C 3以下四個命題： 從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每 20 分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣 兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 在回歸直線方程 =2 中，當解釋變量 x 每增加一個單位時，預(yù)報 變量 位 第 7 頁（共 25 頁） 對分類變量 X 與 Y，它們的隨機變量 觀測值 k 來說， k 越小， “X 與 Y 有關(guān)系 ”的把握程度越大 其中正確的是（ ） A B C D 【考點】 獨立性檢驗；分層抽樣方法；線性回歸方程 【分析】 第一個命題是一個系統(tǒng)抽樣；這個說法不正確，兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1；在回歸直線方程中，代入一個 x 的值，得到的是預(yù)報值，對分類變量 X 與 Y，它們的隨機變量 觀測值 k 來說， k 越大， “X 與 Y 有 關(guān)系 ”的把握程度越大， 【解答】 解：從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上， 質(zhì)檢員每 20 分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測， 這樣的抽樣是系統(tǒng)抽樣，故 不正確， 兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 正確 在回歸直線方程 中，當解釋變量 x 每增加一個單位時， 預(yù)報變量 平均增加 位 正確， 對分類變量 X 與 Y，它們的隨機變量 觀測值 k 來說， k 越大， “X 與 Y 有關(guān)系 ”的把握程度越大， 不正確 綜上可知 正確， 故選 B 4已知 ，由如程序框圖輸出的 S=（ ） A 1 B C D 1 【考點】 定積分；選擇結(jié)構(gòu) 【分析】 先根據(jù)定積分幾何意義求出 M，然后根據(jù)定積分的運算公式求出 N，最后根據(jù)選擇結(jié)構(gòu)進行求解即可 【解答】 解： M= = = 第 8 頁（共 25 頁） N= =1 M N，不滿足條件 M N 則 S=M= 故選 C 5如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則在該幾何體中，最長的棱與最短的棱所成角的余弦值是（ ） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個四棱柱 P 三視圖求出幾何元素的長度、并判斷出位置關(guān)系，從而可得最短、最長的棱長以及長度，由圖和余弦定理求出答案 【解答】 解：根 據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱柱 P 且底面是直角梯形， C=4、 ， 平面 ， 由圖可得，最短的棱是 ， 最長的側(cè)棱長是 = = =4 ， 且 ， 最長的棱 最短的棱 成角是 在直角三角形 ， = = ， 故選： D 第 9 頁（共 25 頁） 6設(shè)函數(shù) f（ x） = ，則滿足 f（ f（ m） =3f（ m） 的實數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B 0， 1C 0， +） D 1， +） 【考點】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 令 t=f（ m），即有 f（ t） =3t，當 t 1 時， 2t+1=3t，解得 t=0，進而求得 m 的值；當 t1 時， f（ t） =3t，討論 m 的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得 m 的范圍 【解答】 解：令 t=f（ m），即有 f（ t） =3t， 當 t 1 時， 2t+1=3t（ 0， 3），即為 t 1， 設(shè) g（ t） =2t+1 3t，令 g（ t） =0，可得 t=0， 由 f（ m） =2m+1=0，可得 m= ； 當 t1 時， f（ t） =3t， 若 2m+11，且 m 1，解得 0m 1； 若 3m1，且 m1，解得 m1， 可得 m0 綜上可得， m 的范圍是 0， +） 故選 C 7某公司將 5 名員工分配至 3 個不同的部門，每個部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須分 配在同一個部門的不同分配方法數(shù)為（ ） A 24 B 30 C 36 D 42 【考點】 計數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 把甲、乙兩名員工看做一個整體，再把這 3 部分人分到 3 個不同的部門，根據(jù)據(jù)分步計數(shù)原理可得 【解答】 解：把甲、乙兩名員工看做一個整體， 5 個人變成了 4 個，再把這 4 個人分成 3 部分，每部分至少一人，共有 種方法， 再把這 3 部分人分到 3 個不同的部門，有 種方法， 根據(jù)分步計數(shù)原理，不同分法的種數(shù)為 66=36， 故選： C 第 10 頁（共 25 頁） 8函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若其圖象向右平移 個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù) f（ x）（ ） A關(guān)于點（ ， 0）對稱 B關(guān)于點（ ， 0）對稱 C關(guān)于直線 x= 對稱 D關(guān)于直線 x= 對稱 【 考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性進行求解即可 【解答】 解：若 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ， 則 T= ，解得 =2， 即 f（ x） =2x+）， 若其圖象向右平移 個單位后得到 y=（ x ） +=2x+ ）， 若此時函數(shù)為奇函數(shù)， 則 =kZ， 解得 = +kZ， | ， 當 k= 1 時， = ， 即 f（ x） =2x ）， 由 2x = ， 得 x= + ， 故當 k=0 時，函數(shù)的對稱軸為 x= ， 故函數(shù)關(guān)于直線 x= 對稱， 故選： C 9設(shè)等差數(shù)列 足 3 ， n 項和，則數(shù)列 最大項為（ ） A B 考點】 等差數(shù)列的前 n 項和 第 11 頁（共 25 頁） 【分析】 設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，由 3用通項公式化為 29d=0，由 ，可得 d 0， Sn=d= （ n 25） 2 d利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d， 3 3（ d） =5（ 4d），化為 29d=0， ， d 0， 等差數(shù)列 調(diào)遞減， Sn=d= + d= （ n 25） 2 d 當 n=25 時，數(shù)列 得最大值， 故選： C 10已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點分別 c， 0）， c， 0），若雙曲線上存在點 P，使得 ，則該曲線的離心率 e 的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 不防設(shè)點 P（ x， y）在右支曲線上，并注意到 xa利用正弦定理求得，進而根據(jù)雙曲線定義表示出 | |入，可求得 e 的范圍 【解答】 解：不妨設(shè) P（ x， y）在右支曲線上，此時 xa， 由正弦定理得 ，所以 = ， 雙曲線第二定義得： |a+|a， = x= a， 分子分母同時除以 a，得： a， 1 解得 1 e +1， 故答案為： D 11如圖，已知正方體 長為 8，點 H 在棱 ，在側(cè)面 的正方形 P 是側(cè)面 一動點且點 P 到平面 F 的長，則當點 P 運動時， | 的最小值是（ ） 第 12 頁（共 25 頁） A 87 B 88 C 89 D 90 【考點 】 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 建立空間直角坐標系，過點 H 作 垂足為 M，連接 出 小時， 用空間直角坐標系求出 【解答】 解：建立空間直角坐標系，如圖所示， 過點 H 作 垂足為 M，連接 則 當 小時， 過 P 作 垂足為 N， 設(shè) P（ x， 8， z），則 F（ 2， 8， 6）， M（ 8， 8， 6）， N（ 0， 8， z），且 0x8， 0z8， F， =x，化簡得 4x 4=（ z 6） 2， x 8） 2+（ z 6） 2=（ x 8） 2+4x 4=12x+60=（ x 6） 2+2424， 當 x=6 時， 時 2+24=88 為最小值 故選： B 12已知 a 為常數(shù)，函數(shù) f（ x） =x（ 2兩個極值點 ）（ ） A f（ 0， B f（ 0， C f（ 0， D f（ 0， 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 第 13 頁（共 25 頁） 【分析】 先求出 f（ x），令 f（ x） =0，由題意可得 1 有兩個解 數(shù) g（ x）= 4且只有兩個零點 g（ x）在（ 0， +）上的唯一的極 值不等于 0利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出 【解答】 解： f（ x） = 4 x 0） 令 f（ x） =0，由題意可得 1 有兩個解 函數(shù) g（ x） = 4且只有兩個零點 g（ x）在（ 0， +）上的唯一的極值不等于 0 g（ x） = 4a= 當 a0 時， g（ x） 0， f（ x）單調(diào)遞增，因此 g（ x） =f（ x）至多有一個零點，不符合題意 ，應(yīng)舍去 當 a 0 時，令 g（ x） =0，解得 x= ， x（ 0， ）， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞增； x（ ， +）時， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞減 x= 是函數(shù) g（ x）的極大值點，則 g（ ） 0，即 1 1= 4a） 0， 4a） 0， 0 4a 1，即 0 a 故當 0 a 時， g（ x） =0 有兩個根 g（ 1） =1 4a 0， 1 而可知函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 遞減，在區(qū) 間（ 遞增，在區(qū)間（ +）上遞減 f（ f（ 1） = 2a 0， f（ f（ 1） = 2a 故選： A 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 13 展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是 720 【考點】 二項式定理的應(yīng)用 【分析】 由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得 n=10，再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項 【解 答】 解：由題意可得 最大，故 n=10，故 = ， 它的展開式的通項公式為 = ， 令 =0，求得 r=2，故展開式中的常數(shù) 項是 =720， 故答案為： 720 第 14 頁（共 25 頁） 14過平面區(qū)域 內(nèi)一點 P 作圓 O： x2+ 的兩條切線，切點分別為 A， B，記 ，則當 最小時 【考點】 簡單線性規(guī)劃；直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 先依據(jù)不等式組 ， 結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫出圖形，確定 最小時點 P 的位置，最后利用二倍角公式計算即可 【解答】 解：如圖陰影部分表示 ，確定的平面區(qū)域， 當 P 離圓 O 最遠時 最小，此時點 P 坐標為：（ 4， 2）， 記 ，則 =2，則 ， 則 2 2（ ） 2， 計算得 ， 故答案為： 15在平面直角坐標系 ，點 A 是橢圓 上動點，點 P 在直線 ，且，則線段 x 軸上的投影的最大值為 【考點】 橢圓的簡 單性質(zhì) 第 15 頁（共 25 頁） 【分析】 根據(jù)向量共線定理設(shè)設(shè) = ，得 = ，設(shè) A（ x， y）， P（ m， n），得m=x= ，由此借助均值定理能求出線段 x 軸上的投影的最大值 【解答】 解： 點 P 在線段 延長線上， 設(shè) = （ 1），由 ，得 | |2=6，可得 = ， 設(shè) A（ x， y）， P（ m， n）， 可得 m=x= x= = = ， 研究點 P 橫坐標 m 的最大值，根據(jù) A 點在橢圓上，設(shè) x（ 0， 4）， 可得 3x+ x2 =8 ，當且僅當 3x= 取等號， m= = 由此可得：當且僅當 3x= ，即 A 點橫坐標 x= 時， P 點橫坐標的最大值為 故答案為： 16已知數(shù)列 通項公式為 2n+p，數(shù)列 通項公式為 ，設(shè)，若在數(shù)列 ， （ nN*， n10），則實數(shù) p 的取值范圍是 （ 24， 30） 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 當 n10 時， 得 cn= n11 時， an cn=出即可得出 【解答】 解：當 n10 時， cn= 20+p， 20+p 2，解得 p 24； 當 n11 時， an cn= 22+p 23，解得 p 30 p 的取值范圍是（ 24， 30） 故答案為：（ 24， 30） 三、解答題：本大題共 5小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知函數(shù) （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）在 ，內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c已知 ， a=2， ，求 面積 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào) 性；正弦定理 第 16 頁（共 25 頁） 【分析】 （ ）利用兩角和差的正弦公化簡函數(shù)的解析式為 2x+ ），令 22x+ 2， kz，求得 x 的范圍，即可求得 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間 （ ）由已知 ，可得 2A+ ） = ，求得 A= ，再利用正弦定理求得 三角形內(nèi)角和公式求得 C 的值，再由 S= ab算求得結(jié)果 【解答】 解：（ ） = （ = 2x+ ） 令 22x+ 2， kz，求得 x， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ， kz （ ）由已知 ，可得 2A+ ） = ， 因為 A 為 角，由題意知 0 A ，所以 2A+ ， 因此， 2A+ = ，解得 A= 由正弦定理 ，得 b= ， 由 A= ，由 B= ，可得 ， S= ab= 18每逢節(jié)假日，在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚， 2016 年春節(jié)期間，小張在自己的微信校友群，向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機發(fā)放紅包，發(fā)放的規(guī)則為：每次發(fā)放1 個，每個人搶到的概率相同 （ 1）若小張隨機發(fā)放了 3 個紅包，求甲至少得到 1 個紅包的概率； （ 2）小張在丁離線后隨機發(fā)放了 3 個紅包，其中 2 個 紅包中各有 5 元， 1 個紅包中有 10 元，記乙所得紅包的總錢數(shù)為 X 元，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ 1）設(shè) “甲至少得 1 紅包 ”為事件 A，由題意利用 n 次獨立重復(fù)試驗中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率計算公式能求出甲至少得到 1 個紅包的概率 （ 2）由題意知 X 的可能取值為 0， 5， 10， 15， 20，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 【解答】 解：（ 1）設(shè) “甲至少得 1 紅包 ”為事件 A，由題意得： P（ A） = （ ） 2+ + （ ） 3（ ） 0= （ 2）由題意知 X 的可能取值為 0， 5， 10， 15， 20， 第 17 頁（共 25 頁） P（ X=0） =（ ） 3= ， P（ X=5） = = ， P（ X=10） =（ ） 2 +（ ） 2 = ， P（ X=15） = = ， P（ X=20） = = ， X 的分布列為： X 0 5 10 15 20 P = 19如圖，在四棱錐 P ， C=， ， 20， E 和 F 分別是棱 中點 （ 1）求證： （ 2）求直線 平面 成的角的正弦值 【考點】 直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出四邊形 矩形，從而 平面 而 平面 此能證明 （ 2）以 A 為原點， x 軸， y 軸 ，過 A 作平面 直線為 z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線 平面 成的角的正弦值 【解答】 證明：（ 1） D， E 為 點， E， 四邊形 矩形， D， 而 D=A， 平面 平面 面 面 又 在平面 ， 是 E=E， 面 面 又 平面 面 第 18 頁（共 25 頁） 解：（ 2）以 A 為原點， x 軸， y 軸，過 A 作平面 直線為 z 軸，建立空間直角坐標系， C=， ， 20， =2， =2， P（ 0， 1， ）， C（ 2 ， 2， 0）， B（ ， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， =（ 0， 3， ）， =（ ， 1， ）， =（ ， 2， 0）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 z= ，得 =（ ， 1， ）， 設(shè)直線 平面 成的角為 ， 則 = = 直線 平面 成的角的正弦值為 20設(shè) 橢圓 E： + =1（ a b 0），其長軸長是短軸長的 倍，過焦點且垂直于 x 軸的直線被橢圓截得的弦長為 2 （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）點 P 是橢圓 E 上橫坐標大于 2 的動點，點 B， C 在 y 軸上，圓（ x 1） 2+ 內(nèi)切于 判斷點 P 在何位置時 面積 S 最小，并證明你的判斷 第 19 頁（共 25 頁） 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ I）由已知條件推導(dǎo)出 ， ，由此能求出橢圓方程 （ ， B（ 0， m）， C（ 0， n）不妨設(shè) m n，由已知條件推導(dǎo)出 m， n 是方程 的兩個根，由此能求出點 P 的橫坐標為時， 面積 S 最小 【解答】 解：（ I）由已知 ， ， 解得： ， 故所求橢圓方程為 （ ， B（ 0， m）， C（ 0， n）不妨設(shè) m n， 則直線 方程為 ， 即（ m） x ， 又圓心（ 1， 0）到直線 距離為 1， 即 ， 化簡得 ， 同理， ， m， n 是方程 的兩個根， ， 第 20 頁（共 25 頁） 則 ， （ 9 分 P（ 橢圓上的點， ， 則 ， 令 ， 則 x0=t+2，令 ， 化簡，得 則 ， 令 f（ t） =0，得 ，而 ， 函數(shù) f（ t）在 上單調(diào)遞減， 當 時， f（ t）取到最小值， 此時 ， 即點 P 的橫坐標為 時， 面積 S 最小 21已知函數(shù) f（ x） =（ 2） e x（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)） （ 1）若 a= ，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 f（ 1） =1，且方程 f（ x） =1 在（ 0， 1）內(nèi)有解，求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）若 a= ，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； 第 21 頁（共 25 頁） （ 2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點問題 ，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可 【解答】 解：（ 1）若 a= ， f（ x） =（ x2+） e x， 則 f（ x） =（ 2x+b） e x（ x2+） e x= b 2） x+1 be x=（ x 1） x（ 1 b） e x， 由 f（ x） =0 得（ x 1） x（ 1 b） =0，即 x=1 或 x=1 b， 若 1 b=1，即 b=0 時， f（ x） =（ x 1） 2e x0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（ ， +） 若 1 b 1，即 b 0 時，由 f（ x） =（ x 1） x（ 1 b） e x 0 得（ x 1） x（ 1 b） 0，即 1 x 1 b， 此時函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（ 1， 1 b）， 由 f（ x） =（ x 1） x（ 1 b） e x 0 得（ x 1） x（ 1 b） 0，即 x 1，或 x 1 b， 此時函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（ ， 1），（ 1 b， +）， 若 1 b 1，即 b 0 時，由 f（ x） =（ x 1） x（ 1 b） e x 0 得（ x 1） x（ 1 b） 0，即 1 b x 1， 此時函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（ 1 b， 1）， 由 f（ x） =（ x 1） x（ 1 b） e x 0 得（ x 1） x（ 1 b） 0，即 x 1 b，或x 1， 此時函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（ ， 1 b），（ 1， +） （ 2）若 f（ 1） =1，則 f（ 1） =（ 2a+b+1） e 1=1， 即 2a+b+1=e，則 b=e 1 2a， 若方程 f（ x） =1 在（ 0， 1）內(nèi)有解， 即方程 f（ x） =（ 2） e x=1 在（ 0， 1）內(nèi)有解， 即 2=0， 1）內(nèi)有解， 即 21=0， 設(shè) g（ x） =21， 則 g（ x）在（ 0， 1）內(nèi)有零點， 設(shè) g（ x）在（ 0， 1）內(nèi)的一個零點， 則 g（ 0） =0， g（ 1） =0，知函數(shù) g（ x）在（ 0， （ 1）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減， 設(shè) h（ x） =g（ x）， 則 h（ x）在（ 0， （ 1）上存在零點， 即 h（ x）在（ 0， 1）上至少有兩個零點， g（ x） =4b， h（ x） =4a， 當 a 時， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， 1）上遞增， h（ x）不可能有兩個及以上零點， 當 a 時， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， 1）上遞減， h（ x）不可能有兩個及以上零點， 當 a 時，令 h（ x） =0，得 x=4a） （ 0， 1）， 則 h（ x）在（ 0， 4a）上遞減，在（ 4a）， 1）上遞增， h（ x）在（ 0， 1）上存在最小值 h（ 4a） 第 22 頁（共 25 頁） 若 h（ x）有兩個零點，則有 h（ 4a） 0， h（ 0） 0， h（ 1） 0， h（ 4a） =4a 44a） b=6a 44a） +1 e， a ， 設(shè) （ x） = x x，（ 1 x e）， 則 （ x） = 令 （ x） = ，得 x= ， 當 1 x 時， （ x） 0，此時函數(shù) （ x）遞增， 當 x e 時， （ x） 0，此時函數(shù) （ x）遞減， 則 （ x） （ ） = +1 e 0， 則 h（ 4a） 0 恒 成立， 由 h（ 0） =1 b=2a e+2 0， h（ 1） =e 4a b 0， 得 a ， 當 a 時，設(shè) h（ x）的兩個零點為 g（ x）在（ 0， 增， 在（ 遞減，在（ 1）遞增， 則 g（ g（ 0） =0， g（ g（ 1） =0， 則 g（ x）在（ 有零點， 綜上，實數(shù) a 的取值范圍是（ ， ） 請考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答若多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖， 接于直徑為 圓 O，過點 A 作圓 O