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文檔簡介
第 1 頁(共 25 頁) 2016 年江西省鷹潭市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 一、選擇題:本大題 12 小題,每小題 5分,共 60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R,集合 , B=x|6x+80,則圖中陰影部分所表示的集合為( ) A x|x0 B x|2x4 C x|0 x2 或 x4 D x|0x 2 或 x 4 2設(shè)復(fù)數(shù) z=1+a 是正實數(shù)) ,且 |z|= ,則 等于( ) A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3以下四個命題: 從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每 20 分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣 兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 在回歸直線方程 =2 中,當解釋變量 x 每增加一個單位時,預(yù)報變量 位 對分類變量 X 與 Y,它們的隨機變量 觀測值 k 來說, k 越小, “X 與 Y 有關(guān)系 ”的把握程度越大 其中正確的是( ) A B C D 4已知 ,由如程序框圖輸出的 S=( ) 第 2 頁(共 25 頁) A 1 B C D 1 5如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則在該幾何體中,最長的棱與最短的棱所成角的余弦值是( ) A B C D 6設(shè)函數(shù) f( x) = ,則滿足 f( f( m) =3f( m) 的實數(shù) m 的取值范圍是( ) A( , 0) B 0, 1C 0, +) D 1, +) 7某公司將 5 名員工分配至 3 個不同的部門,每個部門至少分配一名員工,其中甲、乙兩名員工必須分配在同一個部門的不同分配方法數(shù)為( ) A 24 B 30 C 36 D 42 8函數(shù) f( x) =x+)( 0, | )的最小正周期是 ,若其圖象向右平移 個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù) f( x)( ) A關(guān)于點( , 0)對稱 B關(guān)于點( , 0)對稱 C關(guān)于直線 x= 對稱 D關(guān)于直線 x= 對稱 9設(shè) 等差數(shù)列 足 3 , n 項和,則數(shù)列 最大項為( ) A B 0已知雙曲線 =1( a 0, b 0)的左、右焦點分別 c, 0), c, 0),若雙曲線上存在點 P,使得 ,則該曲線的離心率 e 的取值范圍是( ) A( 1, ) B C D 11如圖,已知正方體 長為 8,點 H 在棱 ,在側(cè)面 的正方形 P 是側(cè)面 一動點且點 P 到平面 F 的長,則當點 P 運動時, | 的最小值是( ) 第 3 頁(共 25 頁) A 87 B 88 C 89 D 90 12已知 a 為常數(shù),函數(shù) f( x) =x( 2兩個極值點 )( ) A f( 0, B f( 0, C f( 0, D f( 0, 二、填空題:本大題共 4小題,每小題 5分,共 20分 13 展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是 14過平面區(qū)域 內(nèi)一點 P 作圓 O: x2+ 的兩條切線,切點分別為 A, B,記 ,則當 最小時 15在平面直角坐標系 ,點 A 是橢圓 上動點 ,點 P 在直線 ,且,則線段 x 軸上的投影的最大值為 16已知數(shù)列 通項公式為 2n+p,數(shù)列 通項公式為 ,設(shè),若在數(shù)列 , ( nN*, n10),則實數(shù) p 的取值范圍是 三、解答題:本大題共 5小題,共 70分,解答應(yīng)寫出 文字說明,證明過程或演算步驟 17已知函數(shù) ( )求函數(shù) f( x)的單調(diào)遞增區(qū)間; ( )在 ,內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c已知 , a=2, ,求 面積 第 4 頁(共 25 頁) 18每逢節(jié)假日,在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚, 2016 年春節(jié)期間,小張在自己的微信校友群,向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機發(fā)放紅包,發(fā)放的規(guī)則為:每次發(fā) 放1 個,每個人搶到的概率相同 ( 1)若小張隨機發(fā)放了 3 個紅包,求甲至少得到 1 個紅包的概率; ( 2)小張在丁離線后隨機發(fā)放了 3 個紅包,其中 2 個紅包中各有 5 元, 1 個紅包中有 10 元,記乙所得紅包的總錢數(shù)為 X 元,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19如圖,在四棱錐 P , C=, , 20, E 和 F 分別是棱 中點 ( 1)求證: ( 2)求直線 平面 成的角的正弦值 20設(shè)橢圓 E: + =1( a b 0),其長軸長是短軸長的 倍,過焦點且垂直于 x 軸的直線被橢圓截得的弦長為 2 ( )求橢圓 E 的方程; ( )點 P 是橢圓 E 上橫坐標大于 2 的動 點,點 B, C 在 y 軸上,圓( x 1) 2+ 內(nèi)切于 判斷點 P 在何位置時 面積 S 最小,并證明你的判斷 21已知函數(shù) f( x) =( 2) e x( e 為自然對數(shù)的底數(shù)) ( 1)若 a= ,求函數(shù) f( x)的單調(diào)區(qū)間; ( 2)若 f( 1) =1,且方程 f( x) =1 在( 0, 1)內(nèi)有解,求實數(shù) a 的取值范圍 請考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答若多做,則按所做的第一題計 分 選修 4何證明選講 22如圖, 接于直徑為 圓 O,過點 A 作圓 O 的切線交 延長線于點 P, 平分線分別交 圓 O 于點 D、 E,若 0 ( 1)求證: ( 2)求 E 的值 第 5 頁(共 25 頁) 選修 4標系與參數(shù)方程 23已知曲線 C 的極坐標方程是 =4極點為平面直角坐標系的原點,極軸為 x 軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直 l 的參數(shù)方程是 ( t 是參數(shù)) ( 1)將曲線 C 的極坐標方程化為直角坐標方程; ( 2)若直線 l 與曲線 C 相交于 A、 B 兩點,且 | ,求直線的傾斜角 的值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f( x) =|x 3| |x a| ( 1)當 a=2 時,解不等式 f( x) ; ( 2)若存在實數(shù) x,使得不等式 f( x) a 成立,求實數(shù) a 的取值范圍 第 6 頁(共 25 頁) 2016 年江西省鷹潭市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題 12 小題,每小題 5分,共 60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R,集合 , B=x|6x+80,則圖中陰影部分所表示的集合為( ) A x|x0 B x|2x4 C x|0 x2 或 x4 D x|0x 2 或 x 4 【考點】 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用; 表達集合的關(guān)系及運算 【 分析】 由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為 A( 然后根據(jù)集合的基本運算求解即可 【解答】 解:由 可知陰影部分對應(yīng)的集合為 A( =x|x0, B=x|6x+80=x|2x4, x|x 4 或 x 2, 即 A( =x|0x 2 或 x 4, 故選: D 2設(shè)復(fù)數(shù) z=1+a 是正實數(shù)),且 |z|= ,則 等于( ) A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式即可得出 【解答】 解: 復(fù)數(shù) z=1+a 是正實數(shù)),且 |z|= , = , 解得 a=3 則 = = = = 1+i 故選: C 3以下四個命題: 從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每 20 分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣 兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 在回歸直線方程 =2 中,當解釋變量 x 每增加一個單位時,預(yù)報 變量 位 第 7 頁(共 25 頁) 對分類變量 X 與 Y,它們的隨機變量 觀測值 k 來說, k 越小, “X 與 Y 有關(guān)系 ”的把握程度越大 其中正確的是( ) A B C D 【考點】 獨立性檢驗;分層抽樣方法;線性回歸方程 【分析】 第一個命題是一個系統(tǒng)抽樣;這個說法不正確,兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1;在回歸直線方程中,代入一個 x 的值,得到的是預(yù)報值,對分類變量 X 與 Y,它們的隨機變量 觀測值 k 來說, k 越大, “X 與 Y 有 關(guān)系 ”的把握程度越大, 【解答】 解:從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上, 質(zhì)檢員每 20 分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測, 這樣的抽樣是系統(tǒng)抽樣,故 不正確, 兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 正確 在回歸直線方程 中,當解釋變量 x 每增加一個單位時, 預(yù)報變量 平均增加 位 正確, 對分類變量 X 與 Y,它們的隨機變量 觀測值 k 來說, k 越大, “X 與 Y 有關(guān)系 ”的把握程度越大, 不正確 綜上可知 正確, 故選 B 4已知 ,由如程序框圖輸出的 S=( ) A 1 B C D 1 【考點】 定積分;選擇結(jié)構(gòu) 【分析】 先根據(jù)定積分幾何意義求出 M,然后根據(jù)定積分的運算公式求出 N,最后根據(jù)選擇結(jié)構(gòu)進行求解即可 【解答】 解: M= = = 第 8 頁(共 25 頁) N= =1 M N,不滿足條件 M N 則 S=M= 故選 C 5如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則在該幾何體中,最長的棱與最短的棱所成角的余弦值是( ) A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個四棱柱 P 三視圖求出幾何元素的長度、并判斷出位置關(guān)系,從而可得最短、最長的棱長以及長度,由圖和余弦定理求出答案 【解答】 解:根 據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱柱 P 且底面是直角梯形, C=4、 , 平面 , 由圖可得,最短的棱是 , 最長的側(cè)棱長是 = = =4 , 且 , 最長的棱 最短的棱 成角是 在直角三角形 , = = , 故選: D 第 9 頁(共 25 頁) 6設(shè)函數(shù) f( x) = ,則滿足 f( f( m) =3f( m) 的實數(shù) m 的取值范圍是( ) A( , 0) B 0, 1C 0, +) D 1, +) 【考點】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 令 t=f( m),即有 f( t) =3t,當 t 1 時, 2t+1=3t,解得 t=0,進而求得 m 的值;當 t1 時, f( t) =3t,討論 m 的范圍,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得 m 的范圍 【解答】 解:令 t=f( m),即有 f( t) =3t, 當 t 1 時, 2t+1=3t( 0, 3),即為 t 1, 設(shè) g( t) =2t+1 3t,令 g( t) =0,可得 t=0, 由 f( m) =2m+1=0,可得 m= ; 當 t1 時, f( t) =3t, 若 2m+11,且 m 1,解得 0m 1; 若 3m1,且 m1,解得 m1, 可得 m0 綜上可得, m 的范圍是 0, +) 故選 C 7某公司將 5 名員工分配至 3 個不同的部門,每個部門至少分配一名員工,其中甲、乙兩名員工必須分 配在同一個部門的不同分配方法數(shù)為( ) A 24 B 30 C 36 D 42 【考點】 計數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 把甲、乙兩名員工看做一個整體,再把這 3 部分人分到 3 個不同的部門,根據(jù)據(jù)分步計數(shù)原理可得 【解答】 解:把甲、乙兩名員工看做一個整體, 5 個人變成了 4 個,再把這 4 個人分成 3 部分,每部分至少一人,共有 種方法, 再把這 3 部分人分到 3 個不同的部門,有 種方法, 根據(jù)分步計數(shù)原理,不同分法的種數(shù)為 66=36, 故選: C 第 10 頁(共 25 頁) 8函數(shù) f( x) =x+)( 0, | )的最小正周期是 ,若其圖象向右平移 個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù) f( x)( ) A關(guān)于點( , 0)對稱 B關(guān)于點( , 0)對稱 C關(guān)于直線 x= 對稱 D關(guān)于直線 x= 對稱 【 考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的對稱性進行求解即可 【解答】 解:若 f( x) =x+)( 0, | )的最小正周期是 , 則 T= ,解得 =2, 即 f( x) =2x+), 若其圖象向右平移 個單位后得到 y=( x ) +=2x+ ), 若此時函數(shù)為奇函數(shù), 則 =kZ, 解得 = +kZ, | , 當 k= 1 時, = , 即 f( x) =2x ), 由 2x = , 得 x= + , 故當 k=0 時,函數(shù)的對稱軸為 x= , 故函數(shù)關(guān)于直線 x= 對稱, 故選: C 9設(shè)等差數(shù)列 足 3 , n 項和,則數(shù)列 最大項為( ) A B 考點】 等差數(shù)列的前 n 項和 第 11 頁(共 25 頁) 【分析】 設(shè)等差數(shù)列 公差為 d,由 3用通項公式化為 29d=0,由 ,可得 d 0, Sn=d= ( n 25) 2 d利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解:設(shè)等差數(shù)列 公差為 d, 3 3( d) =5( 4d),化為 29d=0, , d 0, 等差數(shù)列 調(diào)遞減, Sn=d= + d= ( n 25) 2 d 當 n=25 時,數(shù)列 得最大值, 故選: C 10已知雙曲線 =1( a 0, b 0)的左、右焦點分別 c, 0), c, 0),若雙曲線上存在點 P,使得 ,則該曲線的離心率 e 的取值范圍是( ) A( 1, ) B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 不防設(shè)點 P( x, y)在右支曲線上,并注意到 xa利用正弦定理求得,進而根據(jù)雙曲線定義表示出 | |入,可求得 e 的范圍 【解答】 解:不妨設(shè) P( x, y)在右支曲線上,此時 xa, 由正弦定理得 ,所以 = , 雙曲線第二定義得: |a+|a, = x= a, 分子分母同時除以 a,得: a, 1 解得 1 e +1, 故答案為: D 11如圖,已知正方體 長為 8,點 H 在棱 ,在側(cè)面 的正方形 P 是側(cè)面 一動點且點 P 到平面 F 的長,則當點 P 運動時, | 的最小值是( ) 第 12 頁(共 25 頁) A 87 B 88 C 89 D 90 【考點 】 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 建立空間直角坐標系,過點 H 作 垂足為 M,連接 出 小時, 用空間直角坐標系求出 【解答】 解:建立空間直角坐標系,如圖所示, 過點 H 作 垂足為 M,連接 則 當 小時, 過 P 作 垂足為 N, 設(shè) P( x, 8, z),則 F( 2, 8, 6), M( 8, 8, 6), N( 0, 8, z),且 0x8, 0z8, F, =x,化簡得 4x 4=( z 6) 2, x 8) 2+( z 6) 2=( x 8) 2+4x 4=12x+60=( x 6) 2+2424, 當 x=6 時, 時 2+24=88 為最小值 故選: B 12已知 a 為常數(shù),函數(shù) f( x) =x( 2兩個極值點 )( ) A f( 0, B f( 0, C f( 0, D f( 0, 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 第 13 頁(共 25 頁) 【分析】 先求出 f( x),令 f( x) =0,由題意可得 1 有兩個解 數(shù) g( x)= 4且只有兩個零點 g( x)在( 0, +)上的唯一的極 值不等于 0利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出 【解答】 解: f( x) = 4 x 0) 令 f( x) =0,由題意可得 1 有兩個解 函數(shù) g( x) = 4且只有兩個零點 g( x)在( 0, +)上的唯一的極值不等于 0 g( x) = 4a= 當 a0 時, g( x) 0, f( x)單調(diào)遞增,因此 g( x) =f( x)至多有一個零點,不符合題意 ,應(yīng)舍去 當 a 0 時,令 g( x) =0,解得 x= , x( 0, ), g( x) 0,函數(shù) g( x)單調(diào)遞增; x( , +)時, g( x) 0,函數(shù) g( x)單調(diào)遞減 x= 是函數(shù) g( x)的極大值點,則 g( ) 0,即 1 1= 4a) 0, 4a) 0, 0 4a 1,即 0 a 故當 0 a 時, g( x) =0 有兩個根 g( 1) =1 4a 0, 1 而可知函數(shù) f( x)在區(qū)間( 0, 遞減,在區(qū) 間( 遞增,在區(qū)間( +)上遞減 f( f( 1) = 2a 0, f( f( 1) = 2a 故選: A 二、填空題:本大題共 4小題,每小題 5分,共 20分 13 展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是 720 【考點】 二項式定理的應(yīng)用 【分析】 由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得 n=10,再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的常數(shù)項 【解 答】 解:由題意可得 最大,故 n=10,故 = , 它的展開式的通項公式為 = , 令 =0,求得 r=2,故展開式中的常數(shù) 項是 =720, 故答案為: 720 第 14 頁(共 25 頁) 14過平面區(qū)域 內(nèi)一點 P 作圓 O: x2+ 的兩條切線,切點分別為 A, B,記 ,則當 最小時 【考點】 簡單線性規(guī)劃;直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 先依據(jù)不等式組 , 結(jié)合二元一次不等式(組)與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域,再利用圓的方程畫出圖形,確定 最小時點 P 的位置,最后利用二倍角公式計算即可 【解答】 解:如圖陰影部分表示 ,確定的平面區(qū)域, 當 P 離圓 O 最遠時 最小,此時點 P 坐標為:( 4, 2), 記 ,則 =2,則 , 則 2 2( ) 2, 計算得 , 故答案為: 15在平面直角坐標系 ,點 A 是橢圓 上動點,點 P 在直線 ,且,則線段 x 軸上的投影的最大值為 【考點】 橢圓的簡 單性質(zhì) 第 15 頁(共 25 頁) 【分析】 根據(jù)向量共線定理設(shè)設(shè) = ,得 = ,設(shè) A( x, y), P( m, n),得m=x= ,由此借助均值定理能求出線段 x 軸上的投影的最大值 【解答】 解: 點 P 在線段 延長線上, 設(shè) = ( 1),由 ,得 | |2=6,可得 = , 設(shè) A( x, y), P( m, n), 可得 m=x= x= = = , 研究點 P 橫坐標 m 的最大值,根據(jù) A 點在橢圓上,設(shè) x( 0, 4), 可得 3x+ x2 =8 ,當且僅當 3x= 取等號, m= = 由此可得:當且僅當 3x= ,即 A 點橫坐標 x= 時, P 點橫坐標的最大值為 故答案為: 16已知數(shù)列 通項公式為 2n+p,數(shù)列 通項公式為 ,設(shè),若在數(shù)列 , ( nN*, n10),則實數(shù) p 的取值范圍是 ( 24, 30) 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 當 n10 時, 得 cn= n11 時, an cn=出即可得出 【解答】 解:當 n10 時, cn= 20+p, 20+p 2,解得 p 24; 當 n11 時, an cn= 22+p 23,解得 p 30 p 的取值范圍是( 24, 30) 故答案為:( 24, 30) 三、解答題:本大題共 5小題,共 70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟 17已知函數(shù) ( )求函數(shù) f( x)的單調(diào)遞增區(qū)間; ( )在 ,內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c已知 , a=2, ,求 面積 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù);正弦函數(shù)的單調(diào) 性;正弦定理 第 16 頁(共 25 頁) 【分析】 ( )利用兩角和差的正弦公化簡函數(shù)的解析式為 2x+ ),令 22x+ 2, kz,求得 x 的范圍,即可求得 f( x)的單調(diào)遞增區(qū)間 ( )由已知 ,可得 2A+ ) = ,求得 A= ,再利用正弦定理求得 三角形內(nèi)角和公式求得 C 的值,再由 S= ab算求得結(jié)果 【解答】 解:( ) = ( = 2x+ ) 令 22x+ 2, kz,求得 x, 函數(shù) f( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 , , kz ( )由已知 ,可得 2A+ ) = , 因為 A 為 角,由題意知 0 A ,所以 2A+ , 因此, 2A+ = ,解得 A= 由正弦定理 ,得 b= , 由 A= ,由 B= ,可得 , S= ab= 18每逢節(jié)假日,在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚, 2016 年春節(jié)期間,小張在自己的微信校友群,向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機發(fā)放紅包,發(fā)放的規(guī)則為:每次發(fā)放1 個,每個人搶到的概率相同 ( 1)若小張隨機發(fā)放了 3 個紅包,求甲至少得到 1 個紅包的概率; ( 2)小張在丁離線后隨機發(fā)放了 3 個紅包,其中 2 個 紅包中各有 5 元, 1 個紅包中有 10 元,記乙所得紅包的總錢數(shù)為 X 元,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列 【分析】 ( 1)設(shè) “甲至少得 1 紅包 ”為事件 A,由題意利用 n 次獨立重復(fù)試驗中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率計算公式能求出甲至少得到 1 個紅包的概率 ( 2)由題意知 X 的可能取值為 0, 5, 10, 15, 20,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出 【解答】 解:( 1)設(shè) “甲至少得 1 紅包 ”為事件 A,由題意得: P( A) = ( ) 2+ + ( ) 3( ) 0= ( 2)由題意知 X 的可能取值為 0, 5, 10, 15, 20, 第 17 頁(共 25 頁) P( X=0) =( ) 3= , P( X=5) = = , P( X=10) =( ) 2 +( ) 2 = , P( X=15) = = , P( X=20) = = , X 的分布列為: X 0 5 10 15 20 P = 19如圖,在四棱錐 P , C=, , 20, E 和 F 分別是棱 中點 ( 1)求證: ( 2)求直線 平面 成的角的正弦值 【考點】 直線與平面所成的角;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 ( 1)推導(dǎo)出四邊形 矩形,從而 平面 而 平面 此能證明 ( 2)以 A 為原點, x 軸, y 軸 ,過 A 作平面 直線為 z 軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線 平面 成的角的正弦值 【解答】 證明:( 1) D, E 為 點, E, 四邊形 矩形, D, 而 D=A, 平面 平面 面 面 又 在平面 , 是 E=E, 面 面 又 平面 面 第 18 頁(共 25 頁) 解:( 2)以 A 為原點, x 軸, y 軸,過 A 作平面 直線為 z 軸,建立空間直角坐標系, C=, , 20, =2, =2, P( 0, 1, ), C( 2 , 2, 0), B( , 0, 0), D( 0, 2, 0), =( 0, 3, ), =( , 1, ), =( , 2, 0), 設(shè)平面 法向量 =( x, y, z), 則 ,取 z= ,得 =( , 1, ), 設(shè)直線 平面 成的角為 , 則 = = 直線 平面 成的角的正弦值為 20設(shè) 橢圓 E: + =1( a b 0),其長軸長是短軸長的 倍,過焦點且垂直于 x 軸的直線被橢圓截得的弦長為 2 ( )求橢圓 E 的方程; ( )點 P 是橢圓 E 上橫坐標大于 2 的動點,點 B, C 在 y 軸上,圓( x 1) 2+ 內(nèi)切于 判斷點 P 在何位置時 面積 S 最小,并證明你的判斷 第 19 頁(共 25 頁) 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 ( I)由已知條件推導(dǎo)出 , ,由此能求出橢圓方程 ( , B( 0, m), C( 0, n)不妨設(shè) m n,由已知條件推導(dǎo)出 m, n 是方程 的兩個根,由此能求出點 P 的橫坐標為時, 面積 S 最小 【解答】 解:( I)由已知 , , 解得: , 故所求橢圓方程為 ( , B( 0, m), C( 0, n)不妨設(shè) m n, 則直線 方程為 , 即( m) x , 又圓心( 1, 0)到直線 距離為 1, 即 , 化簡得 , 同理, , m, n 是方程 的兩個根, , 第 20 頁(共 25 頁) 則 , ( 9 分 P( 橢圓上的點, , 則 , 令 , 則 x0=t+2,令 , 化簡,得 則 , 令 f( t) =0,得 ,而 , 函數(shù) f( t)在 上單調(diào)遞減, 當 時, f( t)取到最小值, 此時 , 即點 P 的橫坐標為 時, 面積 S 最小 21已知函數(shù) f( x) =( 2) e x( e 為自然對數(shù)的底數(shù)) ( 1)若 a= ,求函數(shù) f( x)的單調(diào)區(qū)間; ( 2)若 f( 1) =1,且方程 f( x) =1 在( 0, 1)內(nèi)有解,求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 ( 1)若 a= ,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù) f( x)的單調(diào)區(qū)間; 第 21 頁(共 25 頁) ( 2)根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點問題 ,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和函數(shù)零點之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可 【解答】 解:( 1)若 a= , f( x) =( x2+) e x, 則 f( x) =( 2x+b) e x( x2+) e x= b 2) x+1 be x=( x 1) x( 1 b) e x, 由 f( x) =0 得( x 1) x( 1 b) =0,即 x=1 或 x=1 b, 若 1 b=1,即 b=0 時, f( x) =( x 1) 2e x0,此時函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減區(qū)間為( , +) 若 1 b 1,即 b 0 時,由 f( x) =( x 1) x( 1 b) e x 0 得( x 1) x( 1 b) 0,即 1 x 1 b, 此時函數(shù)單調(diào)遞增,單調(diào)遞增區(qū)間為( 1, 1 b), 由 f( x) =( x 1) x( 1 b) e x 0 得( x 1) x( 1 b) 0,即 x 1,或 x 1 b, 此時函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減區(qū)間為( , 1),( 1 b, +), 若 1 b 1,即 b 0 時,由 f( x) =( x 1) x( 1 b) e x 0 得( x 1) x( 1 b) 0,即 1 b x 1, 此時函數(shù)單調(diào)遞增,單調(diào)遞增區(qū)間為( 1 b, 1), 由 f( x) =( x 1) x( 1 b) e x 0 得( x 1) x( 1 b) 0,即 x 1 b,或x 1, 此時函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減區(qū)間為( , 1 b),( 1, +) ( 2)若 f( 1) =1,則 f( 1) =( 2a+b+1) e 1=1, 即 2a+b+1=e,則 b=e 1 2a, 若方程 f( x) =1 在( 0, 1)內(nèi)有解, 即方程 f( x) =( 2) e x=1 在( 0, 1)內(nèi)有解, 即 2=0, 1)內(nèi)有解, 即 21=0, 設(shè) g( x) =21, 則 g( x)在( 0, 1)內(nèi)有零點, 設(shè) g( x)在( 0, 1)內(nèi)的一個零點, 則 g( 0) =0, g( 1) =0,知函數(shù) g( x)在( 0, ( 1)上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減, 設(shè) h( x) =g( x), 則 h( x)在( 0, ( 1)上存在零點, 即 h( x)在( 0, 1)上至少有兩個零點, g( x) =4b, h( x) =4a, 當 a 時, h( x) 0, h( x)在( 0, 1)上遞增, h( x)不可能有兩個及以上零點, 當 a 時, h( x) 0, h( x)在( 0, 1)上遞減, h( x)不可能有兩個及以上零點, 當 a 時,令 h( x) =0,得 x=4a) ( 0, 1), 則 h( x)在( 0, 4a)上遞減,在( 4a), 1)上遞增, h( x)在( 0, 1)上存在最小值 h( 4a) 第 22 頁(共 25 頁) 若 h( x)有兩個零點,則有 h( 4a) 0, h( 0) 0, h( 1) 0, h( 4a) =4a 44a) b=6a 44a) +1 e, a , 設(shè) ( x) = x x,( 1 x e), 則 ( x) = 令 ( x) = ,得 x= , 當 1 x 時, ( x) 0,此時函數(shù) ( x)遞增, 當 x e 時, ( x) 0,此時函數(shù) ( x)遞減, 則 ( x) ( ) = +1 e 0, 則 h( 4a) 0 恒 成立, 由 h( 0) =1 b=2a e+2 0, h( 1) =e 4a b 0, 得 a , 當 a 時,設(shè) h( x)的兩個零點為 g( x)在( 0, 增, 在( 遞減,在( 1)遞增, 則 g( g( 0) =0, g( g( 1) =0, 則 g( x)在( 有零點, 綜上,實數(shù) a 的取值范圍是( , ) 請考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答若多做,則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖, 接于直徑為 圓 O,過點 A 作圓 O
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