2016年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1若集合 A=x R|3x， B=x| 1 x 2，則 A B=（ ） A x| 1 x 0 B x| 1 x 3 C x|0 x 2 D x|0 x 3 2已知直線(xiàn) y 1=0 與直線(xiàn) 3x y+2=0 互相垂直，則 a=（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 3已知 a=b=c=三個(gè) 數(shù)的大小關(guān)系是（ ） A c a b B a c b C a b c D b c a 4若 x， y 滿(mǎn)足 ，則 u=2x+y 的最大值為（ ） A 3 B C 2 D 5已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 5+9 13 21+（ 1） n 1（ 4n 3），則 ） A 21 B 19 C 19 D 21 6在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，則 “a=b”是 “（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 7如圖程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b， i 的值分別為 6， 8， 0，則輸出 a 和 i 的值分別為（ ） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 8函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?1， 1，圖象如圖 1 所示；函數(shù) g（ x）的定義域?yàn)?1， 2，圖象如圖 2 所示 A=x|f（ g（ x） =0， B=x|g（ f（ x） =0，則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為（ ） 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9若復(fù)數(shù)（ 2+2（ a R）是實(shí)數(shù)，則 a= 10以?huà)佄锞€(xiàn) x 的焦點(diǎn)為圓心，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為 11如圖，在正方體 ，點(diǎn) P 是上底面 一動(dòng)點(diǎn)，則三 棱錐 P 主視圖與左視圖的面積的比值為 12已知函數(shù) 若 f（ f（ 1） =0，則實(shí)數(shù) a= ； 在 的條件下，若直線(xiàn) y=m 與 y=f（ x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 13如圖，在矩形 ，點(diǎn) E， F 分別在 ，且滿(mǎn)足 = + （ ， R），則 += 14每年的三月十二號(hào)是植樹(shù)節(jié)，某學(xué)校組織高中 65 個(gè)學(xué)生及其父母以家庭為單位參加 “種一棵小樹(shù)，綠一方凈土 ”的義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)活動(dòng)將 65 個(gè)家庭分成 A， B 兩組， A 組負(fù)責(zé)種植150 棵銀杏樹(shù)苗， B 組負(fù)責(zé)種植 160 棵紫薇樹(shù)苗根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)，每個(gè)家庭種植一棵銀杏樹(shù)苗用時(shí) ，種植一棵紫薇樹(shù)苗用時(shí) 假定 A， B 兩組同時(shí)開(kāi)始種植，若使植樹(shù)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短，則 A 組的家庭數(shù)為 ，此時(shí)活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間為 h 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 三、解答題（共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程） 15已知函數(shù) （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 16已知公差為正數(shù)的等差 數(shù)列 足 ， 21， 成等比數(shù)列 （ ） 求 通項(xiàng)公式； （ ） 若 第 1項(xiàng)和第 2項(xiàng)，求使數(shù)列 的前 n 17如圖，在四棱錐 P ， 平面 面 菱形，點(diǎn) O 是對(duì)角線(xiàn) 交點(diǎn)， ， 0， M 是 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）平面 平面 （ ）當(dāng)三棱錐 C 體積等于 時(shí)，求 長(zhǎng) 18 “愛(ài)心包裹 ”是中國(guó)扶貧基金會(huì)依托中國(guó)郵政發(fā)起的一項(xiàng)全民公益活動(dòng)，社會(huì)各界愛(ài)心人士只需通過(guò)中國(guó)郵政網(wǎng)點(diǎn)捐購(gòu)統(tǒng)一的愛(ài)心包裹，就可以一對(duì)一地將自己的關(guān)愛(ài)送給需要幫助的人某高校青年志愿者協(xié)會(huì)響應(yīng)號(hào)召，組織大一學(xué)生作為志愿者，開(kāi)展一次愛(ài)心包裹勸募活動(dòng)將派出的志愿者分成甲、乙兩個(gè)小組，分別在兩個(gè)不同的場(chǎng)地進(jìn)行勸募，每個(gè)小組各6 人愛(ài) 心人士每捐購(gòu)一個(gè)愛(ài)心包裹，志愿者就將送出一個(gè)鑰匙扣作為紀(jì)念以下莖葉圖記錄了這兩個(gè)小組成員某天勸募包裹時(shí)送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)，且圖中甲組的一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，用 x 表示已知甲組送出鑰匙扣的平均數(shù)比乙組的平均數(shù)少 1 個(gè) （ ） 求圖中 x 的值； （ ） “愛(ài)心包裹 ”分為價(jià)值 100 元的學(xué)習(xí)包，和價(jià)值 200 元的 “學(xué)習(xí) +生活 ”包，在乙組勸募的愛(ài)心包裹中 100 元和 200 元的比例為 3： 1，若乙組送出的鑰匙扣的個(gè)數(shù)即為愛(ài)心包裹的個(gè)數(shù)，求乙組全體成員勸募的愛(ài)心包裹的價(jià)值總額； （ ）在甲組中任選 2 位志愿者，求他們送出的鑰匙扣個(gè)數(shù)都多 于乙組的平均數(shù)的概率 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 19已知 1， 0）和 1， 0）是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓 C 上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）直線(xiàn) l： y=kx+m（ m 0）與橢圓 C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與 x 軸和 y 軸分別交于點(diǎn) M， N，當(dāng) 積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線(xiàn) l 的方程 20已知函數(shù) f（ x） =a R （ ）若 f（ x）在 x=1 處取得極值，求 a 的值； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 1， +）上的最小值； （ ）在（ ）的條件下，若 h（ x） =f（ x），求證：當(dāng) 1 x ，恒有成立 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1若集合 A=x R|3x， B=x| 1 x 2，則 A B=（ ） A x| 1 x 0 B x| 1 x 3 C x|0 x 2 D x|0 x 3 【考點(diǎn)】 并集及其運(yùn)算 【分析】 求出 A 中不等式的解集確定出 A，找出 A 與 B 的并集即可 【解答】 解：由 A 中不等式變形得： x（ x 3） 0， 解得： 0 x 3，即 A=x|0 x 3， B=x| 1 x 2， A B=x| 1 x 3， 故選： B 2已知直線(xiàn) y 1=0 與直線(xiàn) 3x y+2=0 互相垂直，則 a=（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的垂直關(guān)系 【分析】 由直線(xiàn)的垂直關(guān) 系可得 a 的方程，解方程可得 a 值 【解答】 解： 直線(xiàn) y 1=0 與直線(xiàn) 3x y+2=0 互相垂直， a3+3（ 1） =0，解得 a=1 故選： C 3已知 a=b=c=三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（ ） A c a b B a c b C a b c D b c a 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【分析】 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、換底公式求解 【解答】 解： a=b= c=a= c a b 故選： A 4若 x， y 滿(mǎn)足 ，則 u=2x+y 的最大值為（ ） A 3 B C 2 D 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求 z 的取值范圍 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由 u=2x+y 得 y= 2x+u， 第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 平移直線(xiàn) y= 2x+u， 由圖象可知當(dāng)直線(xiàn) y= 2x+u 與 行時(shí)，線(xiàn)段 的任意一點(diǎn)都能使 y= 2x+u 取得最大值， 由 ，解得 ，即 C（ 0， 3）， 代入目標(biāo)函數(shù) u=2x+y 得 z=0+3=3 故選： A 5已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 5+9 13 21+（ 1） n 1（ 4n 3），則 ） A 21 B 19 C 19 D 21 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 觀察數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 特點(diǎn)， 1=4， 4） 5+41=21 【解答】 解 5+9 13+17 21+33 37+41， =（ 1 5） +（ 9 13） +（ 17 21） +（ 33 37） +41， =（ 4） 5+41=21， 故答案選： D 6在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，則 “a=b”是 “（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要 條件的判斷 【分析】 =B，即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： A， B （ 0， ），則 A， B ， =Ba=b， 故選： C 7如圖程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b， i 的值分別為 6， 8， 0，則輸出 a 和 i 的值分別為（ ） 第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的 a， b， i 的值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得： a=6， b=8， i=0， i=1，不滿(mǎn)足 a b，不滿(mǎn)足 a=b， b=8 6=2， i=2 滿(mǎn)足 a b， a=6 2=4， i=3 滿(mǎn)足 a b， a=4 2=2， i=4 不滿(mǎn)足 a b，滿(mǎn)足 a=b，輸出 a 的值為 2， i 的值為 4 故選： D 8函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?1， 1，圖象如圖 1 所示；函數(shù) g（ x）的定義域?yàn)?1， 2，圖象如圖 2 所示 A=x|f（ g（ x） =0， B=x|g（ f（ x） =0，則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象；交集及其運(yùn)算 【分析】 結(jié)合圖象，分別求出集合 A， B，再根據(jù)交集的定義求出 AB，問(wèn)題得以解決 【解答】 解：由圖象可知， 若 f（ g（ x） =0， 則 g（ x） =0 或 g（ x） =1， 由圖 2 知， g（ x） =0 時(shí)， x=0，或 x=2， g（ x） =1 時(shí)， x=1 或 x= 1 故 A= 1， 0， 1， 2， 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 若 g（ f（ x） =0， 由圖 1 知， f（ x） =0，或 f（ x） =2（舍去）， 當(dāng) f（ x） =0 時(shí)， x= 1 或 0 或 1， 故 B= 1， 0， 1， 所以 AB= 1， 0， 1， 則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為 3 個(gè) 故選： C 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9若復(fù)數(shù)（ 2+2（ a R）是實(shí)數(shù)，則 a= 0 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)（ 2+2，又已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則虛部等于 0，求解 a 值即 可 【解答】 解：（ 2+2=4+4 2=4 復(fù)數(shù)（ 2+2（ a R）是實(shí)數(shù)， 4a=0，即 a=0 故答案為： 0 10以?huà)佄锞€(xiàn) x 的焦點(diǎn)為圓心，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為 x2+2x=0 【考點(diǎn)】 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 由拋物線(xiàn) x 可求出圓心為（ 1， 0）又過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)則半徑為 R=1 再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解 【解答】 解： 拋物線(xiàn) x 焦點(diǎn)（ 1， 0） 所求圓的圓心為（ 1， 0） 又 所求圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 所求圓的半徑 R=1 所求圓的方程為（ x 1） 2+ 即 2x+ 故答案為： 2x+ 11如圖，在正方體 ，點(diǎn) P 是上底面 一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐 P 主視圖與左視圖的面積的比值為 1 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 【分析】 主視圖，左視圖，都是三角形；底面 射影都是正方體的棱長(zhǎng)， P 到底邊的距離都是正方體的棱長(zhǎng)，求出比值即可 第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【解答】 解：三棱錐 P 主視圖與左視圖都是 三角形，底面 射影都是正方體的棱長(zhǎng)， P 到底邊的距離（三角形的高）都是正方體的棱長(zhǎng)， 所以，三棱錐 P 主視圖與左視圖的面積的比值為： 1 故答案為： 1 12已知函數(shù) 若 f（ f（ 1） =0，則實(shí)數(shù) a= 1 ； 在 的條件下，若直線(xiàn) y=m 與 y=f（ x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 （ ， 0） 1， +） 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 利用分段函數(shù)的表達(dá)式，利用代入法進(jìn)行求解即可 作出函數(shù) f（ x） 的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可 【解答】 解： 由分段函數(shù)的表達(dá)式得 f（ 1） =2（ 1） =2， f（ 2） =a+1， 則由 f（ f（ 1） =0，得 f（ 2） =a+1=0，得實(shí)數(shù) a= 1； 在 的條件下， a= 1，則 f（ x） = ， 作出函數(shù) f（ x）的圖象如圖： 由圖象知當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) f（ x）為單調(diào)遞減函數(shù)，且 f（ x） 1， 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） 1， 要使直線(xiàn) y=m 與 y=f（ x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則 m 1 或 m 0， 即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ， 0） 1， +）， 故答案為： 1；（ ， 0） 1， +） 13如圖，在矩形 ，點(diǎn) E， F 分別在 ，且滿(mǎn)足 = + （ ， R），則 += 第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共面向量定理即可得出 【解答】 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系 設(shè) A（ a， 0）， C（ 0， b），則 B（ a， b） E ， F = + ， （ a， b） = + ， ，解得 += 故答案為： 14每年的三月十二號(hào)是植樹(shù)節(jié)，某學(xué)校組織高中 65 個(gè)學(xué)生及其 父母以家庭為單位參加 “種一棵小樹(shù)，綠一方凈土 ”的義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)活動(dòng)將 65 個(gè)家庭分成 A， B 兩組， A 組負(fù)責(zé)種植150 棵銀杏樹(shù)苗， B 組負(fù)責(zé)種植 160 棵紫薇樹(shù)苗根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)，每個(gè)家庭種植一棵銀杏樹(shù)苗用時(shí) ，種植一棵紫薇樹(shù)苗用時(shí) 假定 A， B 兩組同時(shí)開(kāi)始種植，若使植樹(shù)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短，則 A 組的家庭數(shù)為 25 ，此時(shí)活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間為 h 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃 【分析】 根據(jù)條件求出兩種樹(shù)苗種植的總時(shí)間，得到若使植樹(shù)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短，則兩種樹(shù)苗種植的時(shí)間和人數(shù)應(yīng)該對(duì)應(yīng)成比例，建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：若使植樹(shù)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短，則兩種樹(shù)苗種植的時(shí)間和人數(shù)應(yīng)該對(duì)應(yīng)成比例， 150 棵銀杏樹(shù)，一個(gè)家庭種植完需要的時(shí)間為 150 =60h， 160 棵紫薇樹(shù)苗，一個(gè)家庭種植完需要的時(shí)間為 160 =96h， 對(duì)應(yīng)的時(shí)間比 為 60： 96=5： 8， 則 65 個(gè)家庭安裝這個(gè)比例進(jìn)行分配，則 A 組的家庭數(shù)為 =25， 第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間為 = h， 故答案為： 25， 三、解答題（共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程） 15已知函數(shù) （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ ）由兩角差的正弦公式以及二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，由此得到周期 （ ）由 x 的范圍得到 2x+ 的范圍，由此確定最大值與最小值 【解答】 解：（ ） = 所 以 f（ x）的最小正周期 T= （ ）當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) ， 即 時(shí)， f（ x）取得最大值 2； 當(dāng) ，即 時(shí)， f（ x）取得最小值 16已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列 足 ， 21， 成等比數(shù)列 （ ） 求 通項(xiàng)公式； （ ） 若 第 1項(xiàng)和第 2項(xiàng)，求使數(shù)列 的前 n 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ ）通過(guò)設(shè)數(shù)列 公差為 d（ d 0），利用 2） = 化 簡(jiǎn)、計(jì)算可知 d=2，進(jìn)而可得結(jié)論； 第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ） 通過(guò)（ ）知數(shù)列 是以 為首項(xiàng)、以 為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化解不等式 ，計(jì)算即得結(jié)論 【解答】 解：（ ）設(shè)數(shù)列 公差為 d（ d 0）， 由已知可得 2） = ，即 2（ 1+3d+1） =（ 1+2d 1） 2， 整理得 23d 2=0， 解得： （舍去）或 d=2， 所以 通項(xiàng)公式為 n 1， n N*； （ ） 由（ ）知 b1=， b2=， 所以等比數(shù)列 公比 q=3， 于是 是以 為首項(xiàng)、以 為公比的等比數(shù)列， 所 以 ， 由 ，得 ，即 ， 則滿(mǎn)足不等式的最大正整數(shù) n=4 17如圖，在四棱錐 P ， 平面 面 菱形，點(diǎn) O 是對(duì)角線(xiàn) 交點(diǎn)， ， 0， M 是 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）平面 平面 （ ）當(dāng)三棱錐 C 體積等于 時(shí)，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線(xiàn)與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ I）由中位線(xiàn)定理可知 而 平面 （ 菱形的性質(zhì)得 平面 平面 是平面 平面 （ 據(jù) P 算出 S 入體積公式得出棱錐的高 第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【解答】 證明：（ ）在 ，因?yàn)?O， M 分別是 中點(diǎn)， 所以 面 面 所以 平面 （ ）因?yàn)榈酌?菱形， 所以 因?yàn)?平面 面 所以 A=A， 所以 平面 又 面 所以平面 平面 解：（ ）因?yàn)榈酌?菱形，且 ， 0， 所以 S 又 P 棱錐 P 高為 所以 ， 解得 18 “愛(ài)心包裹 ”是中國(guó)扶貧基金會(huì)依托中國(guó)郵政發(fā)起的一項(xiàng)全民公益活動(dòng)，社會(huì)各界愛(ài)心人士只需通過(guò)中國(guó)郵政網(wǎng)點(diǎn)捐購(gòu)統(tǒng)一的愛(ài)心包裹，就可以一對(duì)一地將自己的關(guān)愛(ài)送給需要幫助的人某高校青年志愿者協(xié)會(huì)響應(yīng)號(hào)召，組織大一學(xué)生作為志愿者，開(kāi)展一次愛(ài)心包裹勸募活動(dòng)將派出的志愿者分成甲、乙兩個(gè)小組 ，分別在兩個(gè)不同的場(chǎng)地進(jìn)行勸募，每個(gè)小組各6 人愛(ài)心人士每捐購(gòu)一個(gè)愛(ài)心包裹，志愿者就將送出一個(gè)鑰匙扣作為紀(jì)念以下莖葉圖記錄了這兩個(gè)小組成員某天勸募包裹時(shí)送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)，且圖中甲組的一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，用 x 表示已知甲組送出鑰匙扣的平均數(shù)比乙組的平均數(shù)少 1 個(gè) （ ） 求圖中 x 的值； （ ） “愛(ài)心包裹 ”分為價(jià)值 100 元的學(xué)習(xí)包，和價(jià)值 200 元的 “學(xué)習(xí) +生活 ”包，在乙組勸募的愛(ài)心包裹中 100 元和 200 元的比例為 3： 1，若乙組送出的鑰匙扣的個(gè)數(shù)即為愛(ài)心包裹的個(gè)數(shù)，求乙組全體成員勸募的愛(ài)心包裹的價(jià)值總額； （ ） 在甲組中任選 2 位志愿者，求他們送出的鑰匙扣個(gè)數(shù)都多于乙組的平均數(shù)的概率 第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖 【分析】 （ ）由莖葉圖能求出乙組送出鑰匙扣的平均數(shù)，從而得到甲組的送出鑰匙扣的平均數(shù)，由此能求出 x （ ） 乙組送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)為 96，即勸募的總包裹數(shù)為 96，按照 3： 1 的比例，價(jià)值 100元的包裹有 72 個(gè)，價(jià)值 200 元的包裹有 24 個(gè)，由此能求出所求愛(ài)心包裹的總價(jià)值 （ ）乙組送出鑰匙扣的平均數(shù)為 16 個(gè)甲組送出鑰匙扣的 個(gè)數(shù)分別為 8， 9， 14， 18， 20，21，由此利用列舉法能求出他們送出的鑰匙扣個(gè)數(shù)都多于乙組的平均數(shù)的概率 【解答】 解：（ ）由莖葉圖可知乙組送出鑰匙扣的平均數(shù)為 則甲組的送出鑰匙扣的平均數(shù)為 15 由 8+9+14+（ 10+x） +20+21=15 6=90，解得 x=8 （ ） 乙組送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)為 96，即勸募的總包裹數(shù)為 96， 按照 3： 1 的比例，價(jià)值 100 元的包裹有 72 個(gè)，價(jià)值 200 元的包裹有 24 個(gè)， 故所求愛(ài)心包 裹的總價(jià)值 =72 100+24 200=12000 元 （ ）乙組送出鑰匙扣的平均數(shù)為 16 個(gè) 甲組送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)分別為 8， 9， 14， 18， 20， 21 若從甲組中任取兩個(gè)數(shù)字，所有的基本事件為： （ 8， 9），（ 8， 14），（ 8， 18），（ 8， 20），（ 8， 21）， （ 9， 14），（ 9， 18），（ 9， 20），（ 9， 21），（ 14， 18）， （ 14， 20），（ 14， 21），（ 18， 20），（ 18， 21），（ 20， 21），共 15 個(gè)基本事件 其中符合條件的基本事件有（ 18， 20），（ 18， 21），（ 20， 21），共 3 個(gè)基本事件， 故所求概率為 19已知 1， 0）和 1， 0）是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓 C 上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）直線(xiàn) l： y=kx+m（ m 0）與橢圓 C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與 x 軸和 y 軸分別交于點(diǎn) M， N，當(dāng) 積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線(xiàn) l 的方程 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ ）由 1， 0）和 1， 0）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn) 在橢圓C 上，求出 a， b，由此能求出橢圓 C 的方程 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ）由 ，得（ 4） 12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、基本不等式、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線(xiàn)方程 【解答】 （共 13 分） 解：（ ） 1， 0）和 1， 0）是橢圓： 的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓 C 上， 依題意， c=1，又 ，故 a=2 所以 故所求橢圓 C 的方程為 （ ）由 ，消 y 得（ 4） 12=0， 由直線(xiàn) l 與橢圓 C 僅有一個(gè)公共點(diǎn)知， =644（ 4）（ 412） =0，整理得 由條件可得 k 0， ， N（ 0， m） 所以 將 代入 ，得 因?yàn)?|k| 0，所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立， S 最小值 因?yàn)?，所以 ，又 m 0，解得 故所求直線(xiàn)方程為 或 20已知函數(shù) f（ x） =a R （ ）若 f（ x）在 x=1 處取得極值，求 a 的值； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 1， +）上的最小值； （ ）在（ ）的條件下，若 h（ x） =f（ x），求證：當(dāng) 1 x ，恒 有成立 第 16 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)，由已知函數(shù) f（ x） =x2 x=1 處取得極值，即 f（ 1） =0，求出