安徽省蚌埠市2016年高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）含答案解析

安徽省蚌埠市 2016 年高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5分，共 60 分 、 B、 C、 D 的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案的字母代號(hào)涂到答題卷相應(yīng)位置 . 1若復(fù)數(shù) z 滿足 z（ 1+i） =2 2i（ i 為虛數(shù)單位），則 |z|=（ ） A 1 B C D 2 2已知集合 M=x| 1 x 1， N=x| 0，則 MN=（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x| 1 x 1 D x| 1 x 1 3各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ， a4+于（ ） A 16 B 27 C 36 D 27 4已知 a 0，且 a 0，下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)而且又是奇函數(shù)的是（ ） A y= y= y=a y=設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足約束條件 ，則 z= 2x+3y 的取值范圍是（ ） A 6， 17 B 5， 15 C 6， 15 D 5， 17 6已知兩個(gè)非零向量 ， 滿足 （ ） =0，且 2| |=| |，則 ， =（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 x=3，則輸出 k 的值為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 8已知 別是橢圓 + =1（ a b 0）的左，右焦點(diǎn)， A， B 分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)過橢圓的右焦點(diǎn) 直線交橢圓于 C， D 兩點(diǎn) 周長為 8，且直線 C 的斜率之積為 則橢圓的方程為（ ） A + B + =1 C + D + =1 9一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 2 B 2 C 4 D 5 10命題 p： “|a|+|b| 1”；命題 q： “對任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”，則p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 11如圖，已知直線 y=kx+m 與曲線 y=f（ x）相切于兩點(diǎn)，則 F（ x） =f（ x） （ ） A 2 個(gè)零點(diǎn) B 3 個(gè)極值點(diǎn) C 2 個(gè)極大值點(diǎn) D 3 個(gè)極大值點(diǎn) 12從 1， 2， 3， 4， 5 中挑出三個(gè)不同數(shù)字組成五位數(shù)，則其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次（例如，12332）的概率為（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分，共 20 分 13已知雙曲線 的漸近線方程為 ，則它的離心率為 14 在（ x+1） 11 的展開式中， 的系數(shù)是 15在四面體 ， D=3， C=3， D=4，則該四面體的外接球的表面積為 16設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且滿足條件 ，則 的值為 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分 明過程和演算步驟 . 17設(shè)銳角三角形 內(nèi)角 A， B， C 的對 邊分別為 a， b， c， a=2 ）求 B 的大?。?（ ）求 取值范圍 18從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 100 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1 （ I）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ ）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 3 件，記這 3 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 45， 75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為 X，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望 19在四棱錐 P ， 面 平面 20，且 B= （ ）求證： 平面 （ ）求二面角 B D 的余弦值 20過拋物線 E： p 0）的準(zhǔn)線上的動(dòng)作 E 的兩條切線，斜率分別 點(diǎn)為A， B （ 1）求 （ 2） C 在 的射影 H 是否為定點(diǎn)，若是，請求出其坐標(biāo)，若不是，請說明理由 21設(shè)函數(shù) f（ x） =x 1） + （ a R） （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）當(dāng) x 2， x 1） a（ x 2）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 選修 4何證明選講 22如圖，在 ， 0， O 是以 直徑的圓， 延長線與 延長線交于點(diǎn) E （ ）求證： O 的切線； （ ）若 ， ，求 長 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23（ 2016 蚌埠三模）已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 = ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn) M（ 1，0），直線 l 與曲線 C 交于 A、 B 兩點(diǎn) （ ）寫出直線 l 的極坐標(biāo)方程與曲線 C 的 普通方程； （ ）求線段 度之積 值 選修 4等式證明選講 24 設(shè)函數(shù) f（ x） =2|x+a| |x+b|， （ ）當(dāng) a=0， b= 時(shí)，求使 f（ x） 的 x 取值范圍； （ ）若 f（ x） 恒成立，求 a b 的取值范圍 2016 年安徽省蚌埠市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大 題共 12 小題，每小題 5分，共 60 分 、 B、 C、 D 的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案的字母代號(hào)涂到答題卷相應(yīng)位置 . 1若復(fù)數(shù) z 滿足 z（ 1+i） =2 2i（ i 為虛數(shù)單位），則 |z|=（ ） A 1 B C D 2 【分析】 【方法一】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù) z，再計(jì)算 z 的模長； 【方法二】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，其模長相等，直接求出復(fù)數(shù) z 的模長也可 【解答】 解：【方法一】復(fù)數(shù) z 滿足 z（ 1+i） =2 2i（ i 為虛數(shù)單位）， z= = = = 2i， |z|=| 2i|=2 【方法二】復(fù)數(shù) z 滿足 z（ 1+i） =2 2i（ i 為虛數(shù)單位）， 則 |z（ 1+i） |=|（ 2 2i） |， 即 |z|1+i|=|2 2i|， |z| =2 ， |z|=2 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查了復(fù)數(shù)求模以及代數(shù)形式的混合運(yùn)算問題，對于復(fù)數(shù)直接求模長能夠簡化運(yùn)算，是基礎(chǔ)題目 2已知集合 M=x| 1 x 1， N=x| 0，則 MN=（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x| 1 x 1 D x| 1 x 1 【分析】 求出 N 中不等式的解集確定出 N，找出 M 與 N 的交集即可 【解答】 解：由 N 中不等式變形得： x（ x 1） 0，且 x 1 0， 解得： 0 x 1，即 N=x|0 x 1， M=x| 1 x 1， MN=x|0 x 1 故選： A 【點(diǎn)評】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 3各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ， a4+于（ ） A 16 B 27 C 36 D 27 【分析】 由 a1+， a3+，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得， a1+a2+a3，a3+a4+次構(gòu)成等比數(shù)列，由 此能求出 a4+ 【解答】 解：由 得 a1+， a3+， 由等比數(shù)列的性質(zhì)，得 a1+a2+a3+a4+次構(gòu)成等比數(shù)列， 又等比數(shù)列 各項(xiàng)均為正數(shù)， 所以 a2+= =3， a4+7 故選 B 【點(diǎn)評】 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答 4已知 a 0，且 a 0，下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)而且又是奇函數(shù)的是（ ） A y= y= y=a y=分析】 利用單調(diào)函數(shù)、函數(shù)奇偶性的定義，即可得出結(jié)論 【解答】 解： A y=奇函數(shù)，但在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不正確； B y=偶函數(shù)，故不正確； C f（ x） =a x， f（ x） =a x f（ x） = f（ x），函數(shù)是奇函數(shù)； f（ x） =a x=， a 1，函數(shù)單調(diào)遞增， 0 a 1，函數(shù)單調(diào)遞減，故 C 正確； D y=奇函數(shù)，但在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不正確 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查單調(diào)函數(shù)、函數(shù)奇偶性的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ) 5設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足約束條件 ，則 z= 2x+3y 的取值范圍是（ ） A 6， 17 B 5， 15 C 6， 15 D 5， 17 【分析】 首先由約束條件畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值 【解答】 解： 約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 目標(biāo)函數(shù)變形為 ， 所以當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過 B 時(shí) z 最小，過 大； 由方程組得到 B（ 3， 0）， C（ 3， 3） 所以 z 的最小值為 2 3+0= 6；最大值為 2 （ 3） +3 3=15； 所以 z 的取值范圍是 6， 15； 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題；利用數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)函數(shù)的最值 6已知兩個(gè)非零向量 ， 滿足 （ ） =0，且 2| |=| |，則 ， =（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【分析】 根據(jù)題意， （ ） =0，則 = ，即 | |2= ，結(jié)合 2| |=| |，將其代入， = 中可得 ， 的值，進(jìn)而可得 ， 的值，即可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意， （ ） =0，則 = ，即 | |2= ， 又由 2| |=| |， 則 ， = = = ； 即 ， =60； 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵是 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 x=3，則輸出 k 的 值為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【分析】 根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果，直到滿足條件 x 100，跳出循環(huán)體，確定輸出 k 的值 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 x=3， k=0 x=9， k=2 不滿足條件 x 100， x=21， k=4 不滿足條件 x 100， x=45， k=6 不滿足條件 x 100， x=93， k=8 不滿足條件 x 100， x=189， k=10 滿足條件 x 100，退出循環(huán)，輸出 k 的值為 10 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考 查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果是解答此類問題的常用方法 8已知 別是橢圓 + =1（ a b 0）的左，右焦點(diǎn)， A， B 分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)過橢圓的右焦點(diǎn) 直線交橢圓于 C， D 兩點(diǎn) 周長為 8，且直線 C 的斜率之積為 則橢圓的方程為（ ） A + B + =1 C + D + =1 【分析】 由 周長為 8，可得 4a=8，解得 a=2設(shè) C（ 可得 ，由于直線 斜率之積為 ，可得 = ，代入化簡可得 可得出 【解答】 解： 周長為 8， 4a=8，解得 a=2 設(shè) C（ 則 ， 直線 斜率之積為 ， = ， + =0， 化為： + =0，可得 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： + 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 9一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 2 B 2 C 4 D 5 【分析】 由三視圖可知：該幾何體為一個(gè)三棱柱截去一個(gè)四棱錐 F 可得出 【解答】 解：由三視圖 可知：該幾何體為一個(gè)三棱柱截去一個(gè)四棱錐 F 圖所示， 該幾何體的體積 V= 3 =2 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查了三視圖的有關(guān)計(jì)算、三棱柱與三棱錐的體積計(jì)算 公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 10命題 p： “|a|+|b| 1”；命題 q： “對任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”，則p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【分析】 a=b=0 時(shí)，不等式 1 恒成立 a 與 b 不全為 0 時(shí)，不等式 1 化為： x+） ，由于對任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”，可得 1，化簡即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： a=b=0 時(shí)，不等式 1 恒成立 a 與 b 不全為 0 時(shí)，不等式 1 化為： x+） ， 對任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”， 1， a2+1，畫出圖象：可知：（ a， b）表示的是以原點(diǎn)為圓心， 1 為半徑的圓及其內(nèi)部 而 |a|+|b| 1 可知：（ a， b）表示的是正方形 其內(nèi)部 p 是 q 的充分不必要條件 故選： A 【點(diǎn)評】 本題考查了三角函數(shù)求值、不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 11如圖，已知直線 y=kx+m 與曲線 y=f（ x）相切于兩點(diǎn)，則 F（ x） =f（ x） （ ） A 2 個(gè)零點(diǎn) B 3 個(gè)極值點(diǎn) C 2 個(gè)極大值點(diǎn) D 3 個(gè)極大值 點(diǎn) 【分析】 對函數(shù) F（ x） =f（ x） 導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件判斷 f（ x）與 k 的關(guān)系進(jìn)行判斷即可 【解答】 解： 直線 y=kx+m 與曲線 y=f（ x）相切于兩點(diǎn)， kx+m=f（ x）有兩個(gè)根，且 f（ x） kx+m， 由圖象知 m 0， 則 f（ x） 即則 F（ x） =f（ x） 0，則函數(shù) F（ x） =f（ x） 有零點(diǎn)， 函數(shù) f（ x）有 3 個(gè)極大值點(diǎn)， 2 個(gè)極小值點(diǎn)， 則 F（ x） =f（ x） k， 設(shè) f（ x）的三個(gè)極大值點(diǎn)分別為 a， b， c， 則在 a， b， c 的左側(cè)， f（ x） k， a， b， c 的右側(cè) f（ x） k，此時(shí)函數(shù) F（ x） =f（ x） 3 個(gè)極大值， 在 d， e 的左側(cè)， f（ x） k， d， e 的右側(cè) f（ x） k，此時(shí)函數(shù) F（ x） =f（ x） 2個(gè)極小值， 故函數(shù) F（ x） =f（ x） 5 個(gè)極值點(diǎn)， 3 個(gè)極大值， 2 個(gè)極小值， 故選： D 【點(diǎn)評】 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及極值的判斷，利用圖象求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，有一定的難度 12 從 1， 2， 3， 4， 5 中挑出三個(gè)不同數(shù)字組成五位數(shù)，則其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次（例如，12332）的概率為（ ） A B C D 【分析】 其中，選哪幾個(gè)數(shù)，結(jié)果都一樣，其概率是一樣的，分別假設(shè)所取的數(shù)為 1， 2， 3，第一種，有 1 個(gè)數(shù)字用了 3 次，第二種，其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次（即其中一 個(gè)數(shù)字只使用1 次），分別根據(jù)分類和分步計(jì)數(shù)原理求出每種情況，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可 【解答】 解：從 1， 2， 3， 4， 5 中挑出三個(gè)不同數(shù)字組成五位數(shù)，例如為 1， 2， 3， 則有 2 種情況，第一種，有 1 個(gè)數(shù)字用了 3 次，第二種，其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次（即其中一個(gè)數(shù)字只使用 1 次）， 假設(shè) 1 用了 3 次， 用分三類，當(dāng) 3 個(gè) 1 都相鄰時(shí)，有 種，當(dāng) 3 個(gè) 1 有 2 個(gè) 1 相鄰時(shí)，有 2 種，當(dāng) 3 個(gè) 1 都不相鄰時(shí)，有 種， 故共有 6+12+2=20 種， 假設(shè) 1 用了 1 次，（ 2 和 3 各用了 2 次），故有 =30 種， （其中，選哪幾個(gè)數(shù)，結(jié)果都一樣，其概率是一樣的）， 故其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次（例如， 12332）的概率為 = 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查了排列組合的古典概率的問題，關(guān)鍵是掌握分類和分步計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分，共 20 分 13已知雙曲線 的漸近線方程為 ，則它的離心率為 2 【分析】 利用雙曲線 的漸近線方程為 ，可得 ，結(jié)合離心率公式，即可求得結(jié)論 【解答】 解：由題意， 雙曲線 的漸近線方程為 ， =4 e=2 故答案為： 2 【點(diǎn)評】 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 14在（ x+1） 11 的展開式中， 的系數(shù)是 275 【分析】 （ x+1） 11 的展開式中，通項(xiàng)公式 = （ 11 r（ 1 x） r（ r=0， 1， 2， ，11）令 11 r=0， 11 r=1，解得 r，再利用通項(xiàng)公式 即可得出 【解答】 解：（ x+1） 11 的展開式中，通項(xiàng)公式 = （ 11 r（ 1 x） r（ r=0， 1，2， ， 11） 令 11 r=0，解得 r=11，則 （ 1 x） 11，（ 1 x） 11 的通項(xiàng)公式 = ，令 k=3，則可得： 的系數(shù)是 1= 165 令 11 r=1，解得 r=10，則 1 x） 10，（ 1 x） 10 的通項(xiàng)公式 = ，令 k=1，則可得： 的系數(shù)是 = 110 綜上可得： 的系數(shù)是 165 110= 275 故答案為： 275 【點(diǎn)評】 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力， 屬于中檔題 15在四面體 ， D=3， C=3， D=4，則該四面體的外接球的表面積為 17 【分析】 由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體 四個(gè)面為全等的三角形，所以四面體擴(kuò)充為一個(gè)長、寬、高分別為 x， y， z 的長方體，且面上的對角線分別為 3， 3， 4，由此能求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積 【解答】 解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體 四個(gè)面為全等的三角形， 所以四面體擴(kuò)充為一個(gè)長、寬、高分別為 x， y， z 的長方體，且面上的對角線分別為 3， 3，4， 并且 x2+， x2+， y2+6， 設(shè)球半徑為 R，則有（ 2R） 2=x2+y2+7， 47， 球的表面積為 S=47 故答案為： 17 【點(diǎn)評】 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補(bǔ)法的應(yīng)用，判斷外接球的直徑是長方體的對角線的長是解題的關(guān)鍵之一 16設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且滿足條件 ，則 的值為 【分析】 設(shè) An=n+5）， Bn=2n+2），求出通項(xiàng)，即可求出 的值 【解答】 解： 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且滿足條件 ， 設(shè) An=n+5）， Bn=2n+2）， n 1=2k（ n+2）， n 1=4 = = 故答案是： 【點(diǎn)評】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分 明過程和演算步驟 . 17設(shè)銳角三角形 內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c， a=2 ）求 B 的大小； （ ）求 取值范圍 【分析】 （ 1）先利用正弦定 理求得 值，進(jìn)而求得 B （ 2）把（ 1）中求得 B 代入 利用兩角和公式化簡整理，進(jìn)而根據(jù) A 的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得 取值范圍 【解答】 解：（ ）由 a=2據(jù)正弦定理得 所以 ， 由 銳角三角形得 （ ） = = 由 銳角三角形知， 0 A ， 0 A ， A ， ， 所以 由此有 ， 所以， 取值范圍為（ ， ） 【點(diǎn)評】 本題主要考查了正弦定理得應(yīng)用和三角函數(shù)中兩角和公式的運(yùn)用涉及了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生對三角函數(shù)知識(shí)的把握 18從某企業(yè)生產(chǎn) 的某種產(chǎn)品中抽取 100 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1 （ I）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ ）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 3 件，記這 3 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 45， 75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為 X，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望 【分析】 （ I）由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之和，利用之比為 4： 2： 1，即可求出這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ ）求出每件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45， 75）內(nèi)的概率為 用題意可得： X B（ 3， 根據(jù)概率分布知識(shí)求解即可 【解答】 解：（ I）由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之和為 1 質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1， 這 些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率為 （ ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45， 75）內(nèi)的概率為 由題意可得： X B（ 3， X 的概率分布列為 X 0 1 2 3 P 點(diǎn)評】 本題考查概率分布在實(shí)際問題中的應(yīng)用，結(jié)合了統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題 19在四棱錐 P ， 面 平面 20，且 B= （ ）求證： 平面 （ ）求二面角 B D 的余弦值 【分析】 （ ）作 E，推出 平面 后證明 平面 （ ）連 出 到 平面 G， H，連求的二面角為 90+ 解即可 【解答】 解：（ ）證明：作 E 20， 相交， 又 平面 平面 平面 平面 （ 5 分） （ ）連 由已知得 ， 0， 從而 ， 平面 從而平面 平面 G， H，連 設(shè)則所求的二面角為 90+ ， ， ，所以 （ 12 分） 【點(diǎn)評】 本題考查直線與平面垂直，二面角的平面鏡的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力 20過拋物線 E： p 0）的準(zhǔn)線上的動(dòng)作 E 的兩條切線，斜率分別 點(diǎn)為A， B （ 1）求 （ 2） C 在 的射影 H 是否為定點(diǎn)，若是，請求出其坐標(biāo) ，若不是，請說明理由 【分析】 （ 1）設(shè) C（ ， t），過 C 的切線 l 的方程為： y t=k（ x+ ），聯(lián)立拋物線 E：去 x，利用 =0，結(jié)合韋達(dá)定理求 （ 2）確定直線 過焦點(diǎn) F，直線 一個(gè)方向向量為 =（ 1 2k），證明 =0，即可得出結(jié)論 【解答】 解：（ 1）設(shè) C（ ， t），過 C 的切線 l 的方程為： y t=k（ x+ ）， 聯(lián)立拋物線 E： 去 x 得： 2py+p（ 2t+=0 l 與 E 相切時(shí)，方程 由兩個(gè)相等的實(shí)根，則 =0，即 p=0 方程 的兩根 切線 斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知： 1； （ 2）設(shè) A（ B（ 斜率為 k，則 方程 的相等實(shí)根， 由根與系數(shù)的 關(guān)系得 ，則 由題意， 斜率為 ， 同理 = 直線 方程為 y+（ x ） 令 y=0，得 x= ， 直線 過焦點(diǎn) F 由方程 得 t= ，則直線 一個(gè)方向向量為 =（ 1 2k）， =（ p， ） = （ 2k， 1 =0， C 在 的射影為定點(diǎn) F（ ， 0） 【點(diǎn)評】 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題 21設(shè)函數(shù) f（ x） =x 1） + （ a R） （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）當(dāng) x 2， x 1） a（ x 2）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【分析】 （ ）求得函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，利用 0，再對 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ） x 1） a（ x 2）恒成立，等價(jià)于 f（ x） a 0，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)（ ）討論 a 的取值，判斷 f（ x）的單調(diào)區(qū)間，即可求得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：（ ）由題易知函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?1， +）， ， （ 2 分） 設(shè) g（ x） =2a， =48a=4a（ a 2）， 當(dāng) 0，即 0 a 2 時(shí)， g（ x） 0， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）上是增函數(shù)， （ 3 分） 當(dāng) a 0 時(shí)， g（ x）的對稱軸 x=a，當(dāng) x 1 時(shí)， g（ x） g（ 1） 0， g（ x） 0，函數(shù) f（ x）在（ 1， +）上是增函數(shù)， 當(dāng) a 2 時(shí)，設(shè) 方程 2a=0 的兩個(gè)根， 則 x1=a 1， x2=a+ ， 當(dāng) 1 x x ， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， （ +）上增函數(shù)， （ 4 分） 當(dāng) x ， f（ x） 0， f（ x）在（ 是減函數(shù)； （ 5 分） 綜合以上可知：當(dāng) a 2 時(shí)， f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 1， +），無單調(diào)減區(qū)間； 當(dāng) a 2 時(shí)， f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， 單調(diào)減區(qū)間為 ； （ 6 分） （ ）當(dāng) x 2 時(shí)， ， （ 7 分） 令 h（ x） =f（ x） a，由（ ）知： 當(dāng) a 2 時(shí)， f（ x）在（ 1， +）上是增函數(shù)， h（ x）在（ 2， +）上增函數(shù)， 當(dāng) x 2 時(shí)， h（ x） h（ 2） =0，上式成立； 當(dāng) a 2 時(shí)， f（ x）在（ a ， a+ ）是減函數(shù)， h（ x）在（ 2， a+ ）是減函數(shù)， x （ 2， a+ ）時(shí)， h（ x） h（ 2） =0，上式不成立， 綜上， a 的取值范 圍是（ ， 2 （ 12 分） 【點(diǎn)評】 本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是通過分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會(huì)轉(zhuǎn)化利用已證的結(jié)論解決問題，屬于難題 選修 4何證明選講 22如圖，在 ， 0， O 是以 直徑的圓， 延長