天津市薊縣2015-2016學(xué)年高二上期中數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年天津市薊縣高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：每小題 5分，共 50分四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意 1如圖所示是某一幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（ ） A圓柱體 B圓錐體 C正方體 D球體 2直線 l： x+y+3=0 的傾斜角 為（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 3正方體的全面積為 a，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積是（ ） A B C 2a D 3a 4已知兩條直線 x+21=0， x 4y=0，且 滿足條件 a 的值為（ ） A B C 2 D 2 5若 l、 m、 n 是互不相同的空間直線， ， 不是重合的平面，則下列命題中為真命題的是（ ） A若 ， l， n，則 l n B若 ， l，則 l C若 l ， l，則 D若 l n， m n，則 l m 6過點(diǎn) P（ 4， 1）且與直線 3x 4y+6=0 垂直的直線方程是（ ） A 4x+3y 13=0 B 4x 3y 19=0 C 3x 4y 16=0 D 3x+4y 8=0 第 2 頁（共 17 頁） 7在 ， ， 20，若使該三角形繞直線 轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（ ） A B C D 8直線 3x+4y 13=0 與圓 x2+4x 6y+12=0 的位置關(guān)系是（ ） A相離 B相交 C相切 D無法判定 9圓心在直線 y=x 上且與 x 軸相切于點(diǎn)（ 1， 0）的圓的方程為（ ） A（ x 1） 2+ B（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 C（ x+1） 2+（ y 1） 2=1 D（ x+1） 2+（ y+1）2=1 10正方體 面角 D 的正切值為（ ） A 1 B 2 C D 二、填空題：每小題 5分，共 25分 11圓 x2+x+y 1=0 的圓心坐標(biāo)是 12有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位 則該幾何體的表面積為： 13兩圓 x2+ 和 x2+8x+6y+9=0 的位置關(guān)系是 第 3 頁（共 17 頁） 14直線 l 與平面 成角為 30， l=A， m， Am 則 m 與 l 所成角的取值范圍是 15直線 x 2y 3=0 與圓（ x 2） 2+（ y+3） 2=9 交于 E， F 兩點(diǎn)，則 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積等于 三、解答題：每小題 9分，共 45分 16已知三角形 三個(gè)頂點(diǎn)是 A（ 4， 0）， B（ 6， 7）， C（ 0， 8） （ 1）求 上的高所在直線的方程； （ 2）求 上的中線所在直線的方程 17在長(zhǎng)方體 知 C=4， （ 1）求 成的角的余弦； （ 2）求異面直線 成角的余弦值 18已知圓 C 和 y 軸相切，圓心在直線 x 3y=0 上，且被直線 y=x 截得的弦長(zhǎng)為 ，求圓 C 的方程 19如圖：四棱錐 P 面為一直角梯形， 平面 C 中點(diǎn) （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求證： 平面 第 4 頁（共 17 頁） 20已知方程 x2+2x 4y+m=0 （ 1）若此方程表示圓，求 m 的取值范圍； （ 2）若（ 1）中的圓與直線 x+2y 4=0 相交于 M、 N 兩點(diǎn)，且 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求 m； （ 3）在（ 2）的條件下，求以 直徑的圓的方程 第 5 頁（共 17 頁） 2015年天津市薊縣高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：每小題 5分，共 50分四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意 1如圖所示是某一幾何體的三視圖，則這個(gè) 幾何體是（ ） A圓柱體 B圓錐體 C正方體 D球體 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 【專題】 數(shù)形結(jié)合；整體思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 直接利用三視圖 幾何體的形狀即可 【解答】 解：由正視圖與側(cè)視圖可知，幾何體是柱體，由俯視圖可知，三視圖是圓柱體 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三視圖復(fù)原幾何體的判斷，是基礎(chǔ)題 2直線 l： x+y+3=0 的傾斜角 為（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考點(diǎn)】 直線的傾斜角 【專題】 直線與圓 【分析】 由題意可得，直線的斜率 ，再由 0 180，可得 的值 【解答】 解：由于直線 l： x+y+3=0 的傾斜角為 ，則直線的斜率 ， 再由 0 180，可得 =120， 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查直線的斜率和傾斜角，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ) 題 第 6 頁（共 17 頁） 3正方體的全面積為 a，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積是（ ） A B C 2a D 3a 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體 【分析】 設(shè)球的半徑為 R，則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為 2R，利用正方體的表面積求出與球的半徑的等式，然后求出球的表面積 【解答】 解：設(shè)球的半徑為 R，則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為 2R， 依題意知 a，即 a， S 球 =4 a= 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題是基礎(chǔ)題，解題的突破口是正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，正確進(jìn)行正方體的表面積的計(jì)算，是解好本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力 4已知兩條直線 x+21=0， x 4y=0，且 滿足條件 a 的值為（ ） A B C 2 D 2 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【專題】 直線與圓 【分析】 根據(jù)兩直線平行，直線方程中一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求得 a 的值 【解答】 解：根據(jù)兩條直線 x+21=0， x 4y=0，且 得 ，求得 a= 2， 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本 題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行，直線方程中一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，屬于基礎(chǔ)題 5若 l、 m、 n 是互不相同的空間直線， ， 不是重合的平面，則下列命題中為真命題的是（ ） A若 ， l， n，則 l n B若 ， l，則 l C若 l ， l，則 D若 l n， m n，則 l m 【考點(diǎn)】 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系 【專題】 證明題；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 根據(jù)平面與平面平行 、垂直的性質(zhì)、判定，即可得出結(jié)論 第 7 頁（共 17 頁） 【解答】 解：根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得 A 不正確； 根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)，可得 B 不正確； 根據(jù)平面與平面垂直的判定，可得 C 正確； 在空間中，垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，所以 D 錯(cuò)誤 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理 6過點(diǎn) P（ 4， 1）且與直線 3x 4y+6=0 垂直的直線方程是（ ） A 4x+3y 13=0 B 4x 3y 19=0 C 3x 4y 16=0 D 3x+4y 8=0 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系 【專題】 計(jì)算題 【分析】 要求直線方程，即要知道一點(diǎn)和斜率，所以就要求直線的斜率，根據(jù)所求直線與已知直線垂直得到斜率乘積為 1 即可求出斜率 【解答】 解：因?yàn)閮芍本€垂直，直線 3x 4y+6=0 的斜率為 ， 所以所求直線的斜率 k= 則直線方程為 y（ 1） = （ x 4）， 化簡(jiǎn)得 4x+3y 13=0 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 此題為基礎(chǔ)題，考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率乘積為 1，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程 7在 ， ， 20，若使該三角形繞直線 轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（ ） A B C D 【考點(diǎn) 】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)） 【專題】 計(jì)算題 【分析】 所形成的幾何體是以 用大圓錐的體積減去小圓錐的體積，即為所求 【解答】 解：如圖： ，繞直線 轉(zhuǎn)一周， 則所形成的幾何體是以 軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以 第 8 頁（共 17 頁） 為軸截面的小圓錐后剩余的部分 ， 20， ， 1， = ， =， V=， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用，判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀是解題的關(guān)鍵 8直線 3x+4y 13=0 與圓 x2+4x 6y+12=0 的位置關(guān)系是（ ） A相離 B相交 C相切 D無法判定 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【專題】 直線與圓 【分析】 根據(jù)題意求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到圓的圓心與半徑，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離與半徑的大小，即可得到答案 【解答】 解：由題意可得：圓 x2+4x 6y+12=0， 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（ x 2） 2+（ y 3） 2=1， 所以圓的圓心為（ 2， 3），半徑為 1， 所以圓心到直線 3x+4y 13=0 的距離為： d= =1=r， 所以直線 3x+4y 12=0 與圓 x2+4x 6y+12=0 相切 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的方程，以及熟練掌握由點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系 第 9 頁（共 17 頁） 9圓心在直線 y=x 上且與 x 軸相切于點(diǎn)（ 1， 0）的圓的方程為（ ） A（ x 1） 2+ B（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 C（ x+1） 2+（ y 1） 2=1 D（ x+1） 2+（ y+1）2=1 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專題】 直線與圓 【分析】 由題意設(shè)圓心 C（ a， a），則 a=1，半徑 r=1，由此能求出圓的方程 【解答】 解：由題意設(shè)圓心 C（ a， a）， 則 a=1，半徑 r=1， 圓的方程為（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用 10正方體 面角 D 的正切值為（ ） A 1 B 2 C D 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法 【專題】 計(jì)算題；空間角 【分析】 連接 O，則 據(jù)正方體 的性質(zhì)， 出 二面角 D 的平面角，在直角三角形 求解即可 【解答】 解：連接 O，則 根據(jù)正方體的性質(zhì)， 面 O=D， 面 二面角 D 的平面角 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1， 在直角三角形 ， ， ， = 故選 D 第 10 頁（共 17 頁） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二面角大小求解，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角是關(guān)鍵考查空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力 二、填空題：每小題 5分，共 25分 11圓 x2+x+y 1=0 的圓心坐標(biāo)是 （ ， ） 【考點(diǎn)】 圓的一般方程 【專題】 方程思想；綜合法；直線與圓 【分析】 把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，求出圓心的坐標(biāo) 【解答】 解：圓 x2+x+y 1=0，即 （ x ） 2+（ y+ ） 2 = ，故該圓的圓心為（ ， ）， 故答案為：（ ， ） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，屬于基礎(chǔ)題 12有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位 則該幾何體的表面積為： 24 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專題】 計(jì)算題 【分析】 由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長(zhǎng)是 5面直徑是 6此即可計(jì)算出答案 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線 長(zhǎng)是 5面直徑是 6 第 11 頁（共 17 頁） 該三棱錐的表面積 S=32+ =24 故答案為 24 【點(diǎn)評(píng)】 由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵 13兩圓 x2+ 和 x2+8x+6y+9=0 的位置關(guān)系是 相交 【考點(diǎn)】 圓與圓的位置關(guān)系及其判定 【專題】 計(jì)算題；直線與圓 【分析】 求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑大小，利用兩點(diǎn)的距離公式算出兩個(gè)圓心之間的距離，再比較圓心距與兩圓的半徑之和、半徑之差的大小關(guān)系，可得兩圓的位置關(guān)系 【 解答】 解： 圓 x2+8x+6y+9=0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x 4） 2+（ y+3） 2=16， 圓 x2+8x+6y+9=0 的圓心是 C（ 4， 3），半徑 =4 又 圓 x2+ 的圓心是 O（ 0， 0），半徑 | =5， |1， r1+， | | r1+得兩圓相交 故答案為：相交 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出兩圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基 礎(chǔ)題 14直線 l 與平面 成角為 30， l=A， m， Am 則 m 與 l 所成角的取值范圍是 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角 【專題】 規(guī)律型 【分析】 根據(jù)直線 l 與平面 所成角是直線 l 與平面 內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，直線 l 與平面 所成角的范圍，即可求出結(jié)果 【解答】 解：由于直線 l 與平面 所成角為 30，直線 l 與平面 所成角是直線 l 與平面 內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)， 而異面直線所成角的范圍是（ 0， ，直線 m 在平面 內(nèi)，且與直線 l 異面， 故 m 與 l 所成角的取值范圍是 第 12 頁（共 17 頁） 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線和平面所成的角的定義和范圍，判斷直線與平面所成角是直線與平面 內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，是解題的關(guān)鍵 15直線 x 2y 3=0 與圓（ x 2） 2+（ y+3） 2=9 交于 E， F 兩點(diǎn)，則 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積等于 【考點(diǎn)】 直線與圓相交的性質(zhì) 【專題】 數(shù)形結(jié)合 【分析】 先求出圓心 2， 3）到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式求得 |再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出O 到 l 的距離，代入三角形的面積公式進(jìn)行運(yùn)算 【解答】 解析：如圖：圓心 2， 3）到直線 l： x 2y 3=0 的距離為 ， 則由弦長(zhǎng)公式可得 |2 =4， O 到 l 的距離 d= = ， 故 S d| ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，求出弦長(zhǎng) | O 到 l 的距離 d，是解題的關(guān)鍵 三、解答題：每小題 9分，共 45分 16已知三角形 三個(gè)頂點(diǎn)是 A（ 4， 0）， B（ 6， 7）， C（ 0， 8） （ 1）求 上的高所在直線的方程； （ 2）求 上的中線所在直線的方程 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程 【專題】 直線與圓 【分析】 （ 1）根據(jù) B 與 C 的坐標(biāo)求出直線 斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為 1，求出 上的高所在直線的斜率，然后由 A 的坐標(biāo)和求出的斜率寫出高所在直線的方程即可； 第 13 頁（共 17 頁） （ 2）由 B 和 C 的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段 中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)和 A 的坐標(biāo)寫出直線的兩點(diǎn)式方程即可 【解答】 解：（ 1） 所 在直線的斜率為 則 上的高所在直線的斜率為 由直線的點(diǎn)斜式方程可知直線 方程為： y 0=6（ x 4） 化簡(jiǎn)得： y=6x 24 （ 2）設(shè) 中點(diǎn) E（ 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ， 即點(diǎn) 由直線的兩點(diǎn)式方程可知直線 方程為： 化簡(jiǎn)得： 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率所滿足的條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題 17在長(zhǎng)方體 知 C=4， （ 1）求 成的角的余弦； （ 2）求異面直線 成角的余弦值 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分割補(bǔ)形法 ；空間角 【分析】 （ 1）連接 平面 到 平面 成的角，分別利用勾股定理求出 可求出 成的角的余弦； 第 14 頁（共 17 頁） （ 2）連接 到 異面直線 成的角，在 ，利用余弦定理求出 值即可 【解答】 解：（ 1）連接 平面 成的角， 在 ， B=4， 根據(jù)勾股定理得： =4 ， 在 ， 根據(jù)勾股定理得： = ， 則 = = ； （ 2）連接 異面直線 成的角， 在 ， 1D=5， ， 則 = = 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，找出直線與平面所成的角 、異面直線所成的角是解本題的關(guān)鍵 18已知圓 C 和 y 軸相切，圓心在直線 x 3y=0 上，且被直線 y=x 截得的弦長(zhǎng)為 ，求圓 C 的方程 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系 【專題】 計(jì)算題 【分析】 由圓心在直線 x 3y=0 上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與 y 軸相切，得到圓心到 y 軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑 r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線 y=x 的距離 d，由弦長(zhǎng)的一半 ，圓的半徑 r 及表示出的 d 第 15 頁（共 17 頁） 利用勾股定理列出關(guān)于 t 的方程，求出方程的解得到 t 的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可 【解答】 解：設(shè)圓心為（ 3t， t），半徑為 r=|3t|， 則圓心到直線 y=x 的距離 d= =| t|， 由勾股定理及垂徑定理得：（ ） 2= 92， 解得： t=1， 圓心坐標(biāo)為（ 3， 1），半 徑為 3；圓心坐標(biāo)為（ 3， 1），半徑為 3， 則（ x 3） 2+（ y 1） 2=9 或（ x+3） 2+（ y+1） 2=9 【點(diǎn)評(píng)】 此題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵 19如圖：四棱錐 P 面為一直角梯形， 平面 C 中點(diǎn) （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求證： 平面 【考點(diǎn)】 平面與平面垂直的判定； 直線與平面平行的判定 【專題】 空間位置關(guān)系與距離 【分析】 （ 1）由題意可得： 合 線面垂直的判定定理可得 平面 利用面面垂直的判定定理得到面面垂直 （ 2）取 中點(diǎn)為