寶雞市金臺(tái)區(qū)2015-2016年高二上期末數(shù)學(xué)試卷(理)含答案解析

第 1 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 2015年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1下列語(yǔ)句是真命題的是（ ） A x 1 B若 a b，則 y=奇函數(shù)嗎？ D若 a 2 是無(wú)理數(shù)，則 a 是無(wú)理數(shù) 2已知 兩定點(diǎn)， |4，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 |4，則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是（ ） A B直線 C圓 D線段 3 “a2+0”的含義為（ ） A a， b 不全為 0 B a， b 全不為 0 C a， b 至少有一個(gè)為 0 D a 0 且 b=0，或 b 0 且 a=0 4拋物線 y=2焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A（ 0， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 0） 5命題 “對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有 2x+1 0”的否定是（ ） A對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 都有 2x+1 0 B對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有 2x+1 0 C存在實(shí)數(shù) x，有 2x+1 0 D存在實(shí)數(shù) x，有 2x+1 0 6直三棱柱 ，若 0， C=異面直線 成的角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 7過(guò)點(diǎn)（ 1， 0）與拋物線 y=1 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ） A 3 條 B 2 條 C 1 條 D 0 條 8在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是 （ ） “p q”為真是 “p q”為真的充分不必要條件； “p q”為假是 “p q”為真的充分不必要條件； “p q”為真是 “p”為假的必要不充分條件； “p”為真是 “p q”為假的必要不充分條件 A B C D 9以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為（ ） 第 2 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 是 共線的充要條件； 若 ，則存在唯一的實(shí)數(shù) ，使 ； 若 ，則 ； 若 為空間的一個(gè)基底，則 構(gòu)成空間的另一個(gè)基底； A 2 B 3 C 4 D 5 10已知雙曲線與橢圓 共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為 ，則雙曲線的方程是（ ） A B C D 11已知平行六面體 ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，且 2， 60，則 于（ ） A B C D 6 12已知 M（ 雙曲線 C： =1 上的一點(diǎn)， C 的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 0，則 取值范圍是（ ） A B CD 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13已知 ，則 在 上的投影是 14已知橢圓過(guò) A（ 3， 0）和 B（ 0， 4）兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 15雙曲線 的離心率 e （ 1， 2），則 m 的取值范圍是 16若 “任意 ”是真命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 4 小題，共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 . 17命題： “若 m 0，或 n 0，則 m+n 0” （ 1）寫出上面命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假； （ 2）說(shuō)明原命題中條件與結(jié)論的充分性與必要性 第 3 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 18已知橢圓的中心在原 點(diǎn)，焦點(diǎn)為 ，且離心率 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）求以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程 19已知 A（ 3， 0）， B、 C 兩點(diǎn)分別在 y 軸和 x 軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 為 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，并且滿足 ，試求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程 20如圖，四棱錐 P ，底面 矩形， 平面 E 為 中點(diǎn)，且 D （ 1）求證： 平 面 （ 2）求證： 平面 （ 3）設(shè)二面角 D C 為 60，且 ，求 D 到平面 距離 第 4 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 2015年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1下列語(yǔ)句是真命題的是（ ） A x 1 B若 a b，則 y=奇函數(shù)嗎？ D若 a 2 是無(wú)理數(shù) ，則 a 是無(wú)理數(shù) 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 首先判斷是否為命題，不是命題的排查，然后對(duì)命題進(jìn)行判斷，正確的為真命題，錯(cuò)誤的為假命題 【解答】 解： x 1 是一個(gè)條件命題，以 x 1 時(shí)為假，故 A 錯(cuò)誤； 若 a b，則 a 0 時(shí)成立，故 B 錯(cuò)誤； y=奇函數(shù)嗎？不是陳述句，不是命題，故 C 錯(cuò)誤； 若 a 2 是無(wú)理數(shù)，則 a 是無(wú)理數(shù)，正確 故選： D 2已知 兩定點(diǎn)， |4，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 |4，則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是（ ） A B直線 C圓 D線段 【考點(diǎn)】 橢圓的定義 【分析】 首先確定點(diǎn) M 在直線 ，再利用長(zhǎng)度關(guān)系，確定點(diǎn) M 在線段 【解答】 解：若點(diǎn) M 與 以構(gòu)成一個(gè)三角形，則 | | |4，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 |4， 點(diǎn) M 在線段 故選： D 3 “a2+0”的含義為（ ） A a， b 不全為 0 B a， b 全不為 0 C a， b 至少有一個(gè)為 0 D a 0 且 b=0，或 b 0 且 a=0 【考點(diǎn)】 全稱命題 【分析】 對(duì) a2+0 進(jìn)行解釋，找出 其等價(jià)條件，由此等價(jià)條件對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)可得正確選項(xiàng) 【解答】 解： a2+0 的等價(jià)條件是 a 0 或 b 0，即兩者中不全為 0 對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有 A 與此意思同， A 正確； B 中 a， b 全不為 0，是 a2+0 充分不必要條件； B 錯(cuò)誤 C 中 a， b 至少有一個(gè)為 0， C 錯(cuò)誤 D 中只是兩個(gè)數(shù)僅有一個(gè)為 0，概括不全面，故 D 不對(duì)； 故選 A 第 5 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 4拋物線 y=2焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A（ 0， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 0） 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得答案 【解答】 解：拋物線 y=2標(biāo)準(zhǔn)方程為： y， 故拋物線 y=2焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0， ）， 故選： C 5命題 “對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有 2x+1 0”的否定是（ ） A對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有 2x+1 0 B對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有 2x+1 0 C存在實(shí)數(shù) x，有 2x+1 0 D存在實(shí)數(shù) x，有 2x+1 0 【考點(diǎn)】 命題的否定 【分析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：命題是全稱命題，則命題的否定是：存在實(shí)數(shù) x，有 2x+1 0， 故選： D 6直三棱柱 ，若 0， C=異面直線 成的角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角 【分析】 延長(zhǎng) D，根據(jù)異面直線所成角的定義可知 是異面直線 三角形 等邊三角形，可求得此角 【解答】 解：延長(zhǎng) D，使得 C，則 平行四邊形， 是異面直線 成的角， 又 1B= 則三角形 等邊三角形， 0 故選 C 7過(guò)點(diǎn)（ 1， 0） 與拋物線 y=1 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ） A 3 條 B 2 條 C 1 條 D 0 條 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 第 6 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 【分析】 由題意可得（ 1， 0）在拋物線 y=1 上，可得與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況：一種與對(duì)稱軸平行；一種過(guò)（ 1， 0）與拋物線相切，即可得到所求條數(shù) 【解答】 解：由（ 1， 0）在拋物線 y=1 上， 可得與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況為： 當(dāng)直線與對(duì)稱軸平行，即為 x= 1； 當(dāng)直線和拋物線相切，由 y=1 的導(dǎo)數(shù)為 y=2x， 可得切線的斜率為 2，切線的方程為 y= 2（ x+1） 綜上可得，所求直線的條數(shù)為 2 故選： B 8在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是（ ） “p q”為真是 “p q”為真的充分不必要條件； “p q”為假是 “p q”為真的充分不必要條件； “p q”為真是 “p”為假的必要不充分條件； “p”為真是 “p q”為假的必要不充分條件 A B C D 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假 【分析】 先判斷命題的正誤，可知 是正確的， 是假命題，然后再根據(jù) p，必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn) 行判斷 【解答】 解： 是正確的， 是假命題， 其中 中， “p q”為假是 “p q”為真的既不充分也不必要條件， “p”為真， “p”為假， “p”為真是 “p q”為假的充分不必要條件 9以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為（ ） 是 共線的充要條件； 若 ，則存在唯一的實(shí)數(shù) ，使 ； 若 ，則 ； 若 為空間的一個(gè)基底，則 構(gòu)成空間的另一個(gè)基底； A 2 B 3 C 4 D 5 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)向量知識(shí)判斷，錯(cuò)誤的舉出反例 【解答】 解： 若 為同向共線非零向量，則 | |+| |=| |，故 錯(cuò)誤； 若 為非零向量， 為零向量，則不存在 R，使得 ，故 錯(cuò)誤； 若 為零向量，則對(duì)任意向量 ， 都有 ，故 錯(cuò)誤； 若 為空間的一個(gè)基底，則 不共面，所以 不共面，故 正確； |（ ） |=| | |=| | | | |，故 錯(cuò)誤 第 7 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 故選 C 10已知雙曲線與橢圓 共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為 ，則雙曲線的方程是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求得橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為 =1（ a， b 0），可得 c=3 即 a2+，求得橢圓的離心率，可得雙曲線的離心率，解方程可得 a， b，進(jìn)而得到雙曲線的方程 【解答】 解：橢圓 的焦點(diǎn)為（ 3， 0）， 設(shè)雙曲線的方程為 =1（ a， b 0）， 可得 c=3 即 a2+， 由橢圓的離心率為 ， 可得雙曲線的離心率為 = ， 又 c=3，可得 a=2， b= ， 即有雙曲線的方程為 =1 故選： D 11已知平行六面體 ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，且 2， 60，則 于（ ） A B C D 6 【考點(diǎn)】 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 可根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)向量加法的幾何意義有，這樣由條件便可進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算求出 的值，即求出 的值，從而得到 值 【解答】 解：如圖，根據(jù)條件： 第 8 頁(yè)（共 14 頁(yè)） = = =4+1+1+2+2+1 =11 即 故選： B 12已知 M（ 雙曲線 C： =1 上的一點(diǎn)， C 的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 0，則 取值范圍是（ ） A B CD 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合雙曲線方程，即可確定 取值范圍 【解答】 解：由題意， =（ （ =3+1 0， 所以 故選 ： A 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13已知 ，則 在 上的投影是 【考點(diǎn)】 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 第 9 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 【分析】 求出 ， | |， | |，計(jì)算夾角的余弦，代入投影公式即可 【解答】 解： = 1， = ， | |=3， = = 在 上的投影是 | | = （ ） = 故答案為 14已知橢圓過(guò) A（ 3， 0）和 B（ 0， 4）兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè)所求橢圓方程為 ， m 0， n 0， m n，利用待定系數(shù)法能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【解答】 解：設(shè)所求橢圓方程為 ， m 0， n 0， m n， 則 ，解得 m= ， n= ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 故答案為： 15雙曲線 的離心率 e （ 1， 2），則 m 的取值范圍是 （ 0， 3） 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求得雙曲線的 a， b， c， e，解不等式即可得到所求 m 的范圍 【解答】 解：雙曲線 （ m 0）， 可得 a=1， b= ， c= ， 即有 e= = （ 1， 2）， 解得 0 m 3 故答案為：（ 0， 3） 16若 “任意 ”是真命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 m 1 【考點(diǎn)】 全稱命題 【分析】 根據(jù)全稱命題為真命題，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值即可 【解答】 解：當(dāng) 0 x 時(shí)，函數(shù) y=增函數(shù)， 則 0 1， 第 10 頁(yè)（共 14 頁(yè)） 若 “任意 ”是真命題， 則 m 1， 故答案為： m 1 三、解答題：本大題共 4 小題，共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 . 17命題： “若 m 0，或 n 0，則 m+n 0” （ 1）寫出上面命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假； （ 2）說(shuō)明原命題中條件與結(jié)論 的充分性與必要性 【考點(diǎn)】 四種命題的真假關(guān)系；必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 （ 1）分別寫出其逆命題，否命題，逆否命題并判斷即可；（ 2）根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可 【解答】 解：（ 1）原命題： “若 m 0，或 n 0，則 m+n 0”，這是假命題 逆命題：若 m+n 0，則 m 0，或 n 0，這是真命題 否命題：若 m 0，且 n 0，則 m+n 0，這是真命題 逆否命題：若 m+n 0，則 m 0，且 n 0，這是假命題 （ 2）條件 p： m 0，或 n 0，結(jié)論 q： m+n 0 由（ 1）知 p 推不出 q， qp，故 p 是 q 的必要不充分條件 由（ 1）知： p 推不出 q， qp， 故 p 是 q 的必要不充分條件 18已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 ，且離心率 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）求以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由橢圓的焦點(diǎn)和離心率列出方程組，求出 a， b，由此能求出橢圓方程 （ 2）設(shè)以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn) A（ B（ 則 x1+，y1+ 2，由此利用點(diǎn)差法能求出以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程 【解答】 解：（ 1） 橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 ，且離心率 ， ，解得 a=4， c=2 ， b=2， 橢圓方程為 （ 2）設(shè)以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn) A（ B（ 則 x1+， y1+ 2， 第 11 頁(yè)（共 14 頁(yè)） ，兩式相減，并整理，得 4（ 8（ =0， k= = ， 以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為： y+1= （ x 2），即 x 2y 4=0 19已知 A（ 3， 0）， B、 C 兩點(diǎn)分別在 y 軸和 x 軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 為 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，并且滿足 ，試求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程 【考點(diǎn)】 軌跡方程 【分析】 分別設(shè)出 B、 C、 P 的坐標(biāo)，得到有關(guān)向量的坐標(biāo)，由 ，聯(lián)立求得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程 【解答】 解：設(shè) P（ x， y）， B（ 0， y）， C（ x， 0），則 ， 由 ，得 ， 即 ， B（ 0，