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北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總豐富的圖形世界1. 2. 3. 球體:由球面圍成的(球面是曲面)4. 幾何圖形是由點(diǎn)、線(xiàn)、面構(gòu)成的。幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面;面與面相交得到線(xiàn);線(xiàn)與線(xiàn)相交得到點(diǎn)。5. 棱:在棱柱中,任何相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)都叫做棱。6. 側(cè)棱:相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)叫做側(cè)棱,所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等。7. 棱柱的上、下底面的形狀相同,側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方形。8. 根據(jù)底面圖形的邊數(shù),人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形9. 長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱。10. 圓柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)相同的圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形連成。11. 圓錐的表面展開(kāi)圖是由一個(gè)圓形和一個(gè)扇形連成。 有理數(shù)及其運(yùn)算數(shù)軸的三要素:原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度(三者缺一不可)。任何一個(gè)有理數(shù),都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。(反過(guò)來(lái),不能說(shuō)數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù))如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同,那么我們稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù),也稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。(0的相反數(shù)是0)在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn),位于原點(diǎn)的側(cè),且到原點(diǎn)的距離相等。數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù),右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點(diǎn)的右邊,負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊。絕對(duì)值的定義:一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的數(shù);0的絕對(duì)值是0。0-1-2-3123越來(lái)越大 或 絕對(duì)值的性質(zhì):除0外,絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè),它們互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩數(shù)(除0外)的絕對(duì)值相等;任何數(shù)的絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù),即|a|0比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小,絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟如下: 先求出兩個(gè)數(shù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值;比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小;根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷。絕對(duì)值的性質(zhì):對(duì)任何有理數(shù)a,都有|a|0若|a|=0,則|a|=0,反之亦然若|a|=b,則a=b對(duì)任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a|有理數(shù)加法法則: 同號(hào)兩數(shù)相加,取相同符號(hào),并把絕對(duì)值相加。異號(hào)兩數(shù)相加,絕對(duì)值相等時(shí)和為0;絕對(duì)值不等時(shí)取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào),并用較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)值。一個(gè)數(shù)同0相加,仍得這個(gè)數(shù)。加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。靈活運(yùn)用運(yùn)算律,使用運(yùn)算簡(jiǎn)化,通常有下列規(guī)律:互為相反的兩個(gè)數(shù),可以先相加;符號(hào)相同的數(shù),可以先相加;分母相同的數(shù),可以先相加;幾個(gè)數(shù)相加能得到整數(shù),可以先相加。有理數(shù)減法法則: 減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意兩“變”:改變運(yùn)算符號(hào);改變減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)(變?yōu)橄喾磾?shù)) 有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意一個(gè)“不變”:被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換,也就是說(shuō),減法沒(méi)有交換律。有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的步驟:寫(xiě)成省略加號(hào)的代數(shù)和。在一個(gè)算式中,若有減法,應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法,然后再省略加號(hào)和括號(hào);利用加法則,加法交換律、結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算。(注意:減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時(shí),減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)。)有理數(shù)乘法法則: 兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),絕對(duì)值相乘。任何數(shù)與0相乘,積仍為0。如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),則它們的乘積為1。(如:-2與 、 等)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟:先確定積的符號(hào);求出各因數(shù)的絕對(duì)值的積。乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。注意:零沒(méi)有倒數(shù)求分?jǐn)?shù)的倒數(shù),就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一個(gè)帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。有理數(shù)除法法則: 兩個(gè)有理數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除。0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù),否則無(wú)意義。指數(shù)底數(shù)冪有理數(shù)的乘方 注意:一個(gè)數(shù)可以看作是本身的一次方,如5=51;當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí),要先用括號(hào)將底數(shù)括上,再在右上角寫(xiě)指數(shù)。乘方的運(yùn)算性質(zhì):正數(shù)的任何次冪都是正數(shù);負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù);任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù);1的任何次冪都得1,0的任何次冪都得0;-1的偶次冪得1;-1的奇次冪得-1;在運(yùn)算過(guò)程中,首先要確定冪的符號(hào),然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值。有理數(shù)混合運(yùn)算法則:先算乘方,再算乘除,最后算加減。如果有括號(hào),先算括號(hào)里面的。 整式及其運(yùn)算代數(shù)式的概念: 用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘除、乘方、開(kāi)方等)把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。 注意:代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外,還可以有括號(hào);代數(shù)式中不含有“=、”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式,但等號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式;代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義,是實(shí)際問(wèn)題的要符合實(shí)際問(wèn)題的意義。代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式:代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào),通常省略不寫(xiě),如vt;數(shù)字與字母相乘時(shí),數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母前面,如4a;帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí),應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘,如應(yīng)寫(xiě)作;數(shù)字與數(shù)字相乘,一般仍用“”號(hào),即“”號(hào)不省略;在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí),一般按照分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě),如4(a-4)應(yīng)寫(xiě)作;注意:分?jǐn)?shù)線(xiàn)具有“”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。在表示和(或)差的代差的代數(shù)式后有單位名稱(chēng)的,則必須把代數(shù)式括起來(lái),再將單位名稱(chēng)寫(xiě)在式子的后面,如平方米代數(shù)式的系數(shù): 代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)。如3x,4y的系數(shù)分別為3,4。 注意:?jiǎn)蝹€(gè)字母的系數(shù)是1,如a的系數(shù)是1;只含字母因數(shù)的代數(shù)式的系數(shù)是1或-1,如-ab的系數(shù)是-1。a3b的系數(shù)是1代數(shù)式的項(xiàng): 代數(shù)式表示6x2、-2x、-7的和,6x2、-2x、-7是它的項(xiàng),其中把不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)注意:在交待某一項(xiàng)時(shí),應(yīng)與前面的符號(hào)一起交待。同類(lèi)項(xiàng): 所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。 注意:判斷幾個(gè)代數(shù)式是否是同類(lèi)項(xiàng)有兩個(gè)條件:a.所含字母相同;b.相同字母的指數(shù)也相同。這兩個(gè)條件缺一不可;同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān),與字母的排列順序無(wú)關(guān);幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng)。合差同類(lèi)項(xiàng):把代數(shù)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng),叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。合并同類(lèi)項(xiàng)的理論根據(jù)是逆用乘法分配律;合并同類(lèi)項(xiàng)的法則是把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加,所得結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變。 注意:如果兩個(gè)同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),合并同類(lèi)項(xiàng)后結(jié)果為0;不是同類(lèi)項(xiàng)的不能合并,不能合并的項(xiàng),在每步運(yùn)算中都要寫(xiě)上;只要不再有同類(lèi)項(xiàng),就是最后結(jié)果,結(jié)果還是代數(shù)式。根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào): 括號(hào)前面是“+”號(hào),把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào);括號(hào)前面是“”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。根據(jù)分配律去括號(hào): 括號(hào)前面是“+”號(hào)看成+1,括號(hào)前面是“”號(hào)看成-1,根據(jù)乘法的分配律用+1或-1去乘括號(hào)里的每一項(xiàng)以達(dá)到去括號(hào)的目的。注意:去括號(hào)時(shí),要連同括號(hào)前面的符號(hào)一起去掉;去括號(hào)時(shí),首先要弄清楚括號(hào)前是“+”號(hào)還是“”號(hào);改變符號(hào)時(shí),各項(xiàng)都變號(hào);不改變符號(hào)時(shí),各項(xiàng)都不變號(hào)。整式1. 單項(xiàng)式由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù),作為單項(xiàng)式的系數(shù),必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號(hào),如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積,并非沒(méi)有系數(shù).一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).2.多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).其中,不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式中,次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù),含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù),多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù).多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式,一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù).多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有它們各自的次數(shù),但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù),一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)只有一個(gè),它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次數(shù).3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.整式的加減1. 整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后,合并同類(lèi)項(xiàng),運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式.2. 括號(hào)前面是“”號(hào),去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào),一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí),這個(gè)數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘. 基本平面圖形一. 線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)1. 正確理解直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念以及它們的區(qū)別:名稱(chēng)圖形表示方法端點(diǎn)長(zhǎng)度直線(xiàn)直線(xiàn)AB(或BA)直線(xiàn)l無(wú)端點(diǎn)無(wú)法度量射線(xiàn)射線(xiàn)OM1個(gè)無(wú)法度量線(xiàn)段線(xiàn)段AB(或BA)線(xiàn)段l2個(gè)可度量長(zhǎng)度2. 直線(xiàn)公理:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn).二.比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短1. 線(xiàn)段公理:兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短;兩之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離.2. 比較線(xiàn)段長(zhǎng)短的兩種方法:圓規(guī)截取比較法;刻度尺度量比較法.3. 用刻度尺可以畫(huà)出線(xiàn)段的中點(diǎn),線(xiàn)段的和、差、倍、分;用圓規(guī)可以畫(huà)出線(xiàn)段的和、差、倍.三.角1. 角:有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角;這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn);AOB圖1這兩條射線(xiàn)叫做角的邊.b圖22. 角的表示法:角的符號(hào)為“” 用三個(gè)字母表示,如圖1所示AOB用一個(gè)字母表示,如圖2所示b1圖3圖4用一個(gè)數(shù)字表示,如圖3所示1用希臘字母表示,如圖4所示經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)。兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中,線(xiàn)段最短。終邊始邊圖5兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度,叫做這兩點(diǎn)之間的距離。1=60 1=60”角也可以看成是由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示:一條射線(xiàn)繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊和始邊成一條直線(xiàn)時(shí),平角圖6所成的角叫做平角。如圖6所示:終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)它又和始邊重合時(shí),周角圖7所成的角叫做周角。如圖7所示:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線(xiàn),把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行。如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行,那么這兩條直線(xiàn)互相平行?;ハ啻怪钡膬蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做垂足。平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。圖8CABO如圖8所示,過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn),垂足為O點(diǎn),線(xiàn)段CO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離。設(shè)一個(gè)多邊形的邊數(shù)為n(n3,且n為整數(shù)),從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線(xiàn)有(n-3)條;可以把n邊形成(n-2)個(gè)三角形;這個(gè)n邊形共有條對(duì)角線(xiàn)。圓上兩點(diǎn)之間的部分叫做弧,弧是一條曲線(xiàn)。. 扇形,由一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形。 一元一次方程1. 方程:含有未知數(shù)的等式就叫做方程.2. 一元一次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x,未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程. 例如: 1700+50x=1800, 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程. (例1)3方程的解:使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解. (例2)注: 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果,它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值),而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無(wú)解的過(guò)程. 方程的解的檢驗(yàn)方法,首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值,其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論.(二)、等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)(1):等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等.等式的性質(zhì)(1)用式子形式表示為:如果a=b,那么ac=bc 等式的性質(zhì)(2):等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等, 等式的性質(zhì)(2)用式子形式表示為:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c0),那么=(三)、移項(xiàng)法則:把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊,叫做移項(xiàng)(例3)(四)、去括號(hào)法則1. 括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù),去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同2. 括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)改變(五)、解方程的一般步驟(例4)1. 去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))2. 去括號(hào)(按去括號(hào)法則和分配律)3. 移項(xiàng)(把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊,其他項(xiàng)都移到方程的另一邊,移項(xiàng)要變號(hào))4. 合并(把方程化成ax = b (a0)形式)5. 系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解x=).一列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟 (1)審題:弄清題意(2)找出等量關(guān)系:找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系(3)設(shè)出未知數(shù),列出方程:設(shè)出未知數(shù)后,表示出有關(guān)的含字母的式子,然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程(4)解方程:解所列的方程,求出未知數(shù)的值(5)檢驗(yàn),寫(xiě)答案:檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解,是否符合實(shí)際,檢驗(yàn)后寫(xiě)出答案二、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1. 和、差、倍、分問(wèn)題:增長(zhǎng)量原有量增長(zhǎng)率 現(xiàn)在量原有量增長(zhǎng)量 (1)倍數(shù)關(guān)系:通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍,增加幾倍,增加到幾倍,增加百分之幾,增長(zhǎng)率”來(lái)體現(xiàn). (2)多少關(guān)系:通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余”來(lái)體現(xiàn).例1:兄弟二人今年分別為15歲和9歲,多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍? 解:設(shè)x年后,兄的年齡是弟的年齡的2倍, 則x年后兄的年齡是15+x,弟的年齡是9+x 由題意,得2(9+x)=15+x 18+2x=15+x,移向得:2x-x=15-18 x=-3 答:3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍(點(diǎn)撥:-3年的意義,并不是沒(méi)有意義,而是指以今年為起點(diǎn)前的3年,是與3年后具有相反意義的量)1.一個(gè)數(shù)的3倍比它的2倍多10,若設(shè)這個(gè)數(shù)為x,可得到方程_.2. 用一根長(zhǎng)80厘米的繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形,且這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多10厘米,則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是_、_.面積是_.2. 等積變形問(wèn)題:(1)“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為: 形狀面積變了,周長(zhǎng)沒(méi)變;原料體積成品體積.(2 常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式,依據(jù)形雖變,但體積不變 圓柱體的體積公式 V=底面積高Sh長(zhǎng)方體的體積 V長(zhǎng)寬高abc 例2 將一個(gè)裝滿(mǎn)水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米,300毫米和80毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的水,倒入一個(gè)內(nèi) 徑為200毫米的圓柱形水桶中,正好倒?jié)M,求圓柱形水桶的高(精確到0.1毫米,3.14)解:設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米,依題意,得 ()2x=30030080 1. 一根內(nèi)徑為3的圓柱形長(zhǎng)試管中裝滿(mǎn)了水,現(xiàn)把試管中的水逐漸滴入一個(gè)內(nèi)徑為8、高為1.8的圓柱形玻璃杯中,當(dāng)玻璃杯裝滿(mǎn)水時(shí),試管中的水的高度下降了.3. 工程問(wèn)題: 工程問(wèn)題:工作量工作效率工作時(shí)間 完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和總工作量1例3. 一件工程,甲獨(dú)做需15天完成,乙獨(dú)做需12天完成,現(xiàn)先由甲、乙合作3天后,甲有其他任務(wù),剩下工程由乙單獨(dú)完成,問(wèn)乙還要幾天才能完成全部工程? 解:設(shè)乙還需x天完成全部工程,設(shè)工作總量為單位1,由題意得,(+)3+=1 1. 甲、乙工程隊(duì)從相距100m的馬路兩端開(kāi)始挖溝,甲工程隊(duì)每天挖溝的進(jìn)度是乙工程隊(duì)的2倍少1m,若5天完工,兩隊(duì)每天各挖幾米?4.行程問(wèn)題: 路程速度時(shí)間 時(shí)間路程速度 速度路程時(shí)間 (1)相遇問(wèn)題: 快行距慢行距原距 (2)追及問(wèn)題: 快行距慢行距原距 (3)航行問(wèn)題:順?biāo)L(fēng))速度靜水(風(fēng))速度水流(風(fēng))速度 逆水(風(fēng))速度靜水(風(fēng))速度水流(風(fēng))速度 抓住兩碼頭間距離不變,水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系例4. 甲、乙兩站相距480公里,一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出,每小時(shí)行90公里,一列快車(chē)從乙站開(kāi)出,每小時(shí)行140公里。 (1)慢車(chē)先開(kāi)出1小時(shí),快車(chē)再開(kāi)。兩車(chē)相向而行。問(wèn)快車(chē)開(kāi)出多少小時(shí)后兩車(chē)相遇? (2)兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出,相背而行多少小時(shí)后兩車(chē)相距600公里? (3)兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出,慢車(chē)在快車(chē)后面同向而行,多少小時(shí)后快車(chē)與慢車(chē)相距600公里? (4)兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向而行,快車(chē)在慢車(chē)的后面,多少小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē)? (5)慢車(chē)開(kāi)出1小時(shí)后兩車(chē)同向而行,快車(chē)在慢車(chē)后面,快車(chē)開(kāi)出后多少小時(shí)追上慢車(chē)? 解:設(shè)快車(chē)開(kāi)出x小時(shí)后兩車(chē)相遇,由題意得,140x+90(x+1)=480 解:設(shè)x小時(shí)后兩車(chē)相距600公里,由題意得,(140+90)x+480=600 解:設(shè)x小時(shí)后兩車(chē)相距600公里,由題意得,(14090)x+480=600 解:設(shè)x小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē)。 由題意得,140x=90x+480 解:設(shè)快車(chē)開(kāi)出x小時(shí)后追上慢車(chē)。由題意得,140x=90(x+1)+480 例4.1. 已知輪船逆水前進(jìn)的速度為m千米/時(shí),水流速度為2千米/時(shí),則輪船在靜水中的速度是_。 1. A、B兩地相距30千米,甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行。已知甲比乙每小時(shí)多走1千米,經(jīng)過(guò)2.5小時(shí)兩人相遇,求甲、乙兩人的速度?5. 商品銷(xiāo)售問(wèn)題(1)商品利潤(rùn)率100% (2)商品銷(xiāo)售額商品銷(xiāo)售價(jià)商品銷(xiāo)售量 (3)商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)(銷(xiāo)售價(jià)成本價(jià))銷(xiāo)售量(4)商品打幾折出售,就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售,如商品打8折出售,即按原標(biāo)價(jià)的80%出售有關(guān)關(guān)系式:商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)折扣率(5)商品利潤(rùn)=商品售價(jià)商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)折扣率商品進(jìn)價(jià)例5.工藝商場(chǎng)按標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售某種工藝品時(shí),每件可獲利45元;按標(biāo)價(jià)的八五折銷(xiāo)售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷(xiāo)售該工藝品12件所獲利潤(rùn)相等.該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元?解:設(shè)該工藝品每件的進(jìn)價(jià)是元,標(biāo)價(jià)是(45+x)元.依題意,得: 8(45+x)0.85-8x=(45+x-35)12-12x1. 一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以8折優(yōu)惠賣(mài)出,結(jié)果每件仍獲利15元,這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少?6. 儲(chǔ)蓄問(wèn)題 顧客存入銀行的錢(qián)叫做本金,銀行付給顧客的酬金叫利息,本金和利息合稱(chēng)本息和,存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù),利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅 利息=本金利率期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息稅率(20%)(3) 利潤(rùn)100% 例6. 國(guó)家規(guī)定存款利息的納稅方法是:利息稅=利息20%,儲(chǔ)戶(hù)取款時(shí)由銀行代扣代收.若銀行1年定期儲(chǔ)蓄的年利率為1.98%,某儲(chǔ)戶(hù)取出1年到期的本金及利息時(shí),扣除了利息稅31.68元,則銀行向該儲(chǔ)戶(hù)支付的現(xiàn)金是多少元?1. 某同學(xué)把250元錢(qián)存入銀行,整存整取,存期為半年。半年后共得本息和252.7元,求銀行半年期的年利率是多少?(不計(jì)利息稅)7. 數(shù)字問(wèn)題 (1)要搞清楚數(shù)的表示方法:一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c 十位數(shù)可表示為10b+a, 百位數(shù)可表示為100c+10b+a 然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程(其中a、b、c均為整數(shù),且1a9, 0b9, 0c9)(2) 數(shù)字問(wèn)題中一些表示:兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系,較大的比較小的大1;偶數(shù)用2n表示,連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示;奇數(shù)用2n+1或2n1表示.例7一個(gè)兩位數(shù),十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字和是8,將十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字對(duì)調(diào),得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多l(xiāng)0求原來(lái)的兩位數(shù) 數(shù)據(jù)的收集與整理科學(xué)記數(shù)法:一般地,一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成a10n的形式,其中1a10,n是正整數(shù),這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn):折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖:能夠清晰地反映同一事物在不同時(shí)期的變化情況。條形統(tǒng)計(jì)圖:能夠清晰地反映每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目及之間的大小關(guān)系。扇形統(tǒng)計(jì)圖:能夠清晰地表示各部分在總體中所占的百分比及各部分之間的大小關(guān)系統(tǒng)計(jì)圖對(duì)統(tǒng)計(jì)的作用:(1)可以清晰有效地表達(dá)數(shù)據(jù)。(2)可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。(3)可以獲得許多的信息。(4)可以幫助人們作出合理的決策。小學(xué)數(shù)學(xué)公式匯總5 v( s. I! J8 k/ r& 一般運(yùn)算規(guī)則! u m4 R- |! P- F: b# B1、 每份數(shù)份數(shù)總數(shù) 總數(shù)每份數(shù)份數(shù) 總數(shù)份數(shù)每份數(shù)2、 1倍數(shù)倍數(shù)幾倍數(shù) 幾倍數(shù)1倍數(shù)倍數(shù) 幾倍數(shù)倍數(shù)1倍數(shù) : p) o* z D% v$ q$ P1 y1 E0 l3、 速度時(shí)間路程 路程速度時(shí)間 路程時(shí)間速度: U! I; M7 z6 ?* y3 f1 R: K4、 單價(jià)數(shù)量總價(jià) 總價(jià)單價(jià)數(shù)量 總價(jià)數(shù)量單價(jià)9 r- y1 2 y# M# ; P7 e: C5、工作效率工作時(shí)間工作總量 工作總量工作效率工作時(shí)間 工作總量工作時(shí)間工作效率6 M I) d* x: O% D6、 加數(shù)加數(shù)和 和一個(gè)加數(shù)另一個(gè)加數(shù)3 G) G% d0 X ! a! l7、 被減數(shù)減數(shù)差 被減數(shù)差減數(shù) 差減數(shù)被減數(shù)+ w/ h+ u+ M; c( a( Q+ l8、 因數(shù)因數(shù)積積一個(gè)因數(shù)另一個(gè)因數(shù)! G7 S! h6 W- f7 |9、 被除數(shù)除數(shù)商 被除數(shù)商除數(shù) 商除數(shù)被除數(shù)應(yīng)用題公式和差問(wèn)題的公式0 d/ f$ z0 j9 S/ R(和差)2大數(shù) (和差)2小數(shù)2 i. Z1 ! f. I4 ?5 p8 o2 u2 m和倍問(wèn)題的公式, T1 9 H5 h Wb O和(倍數(shù)1)小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)大數(shù) (或者 和小數(shù)大數(shù))0 e3 i$ T- 差倍問(wèn)題的公式. z9 e+ T& 3 _3 差(倍數(shù)1)小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)大數(shù) (或 小數(shù)差大數(shù))# i* D* u! B% i; o: 植樹(shù)問(wèn)題的公式% ?& u% c2 K A( C4 y5 Z1、 非封閉線(xiàn)路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線(xiàn)路的兩端都要植樹(shù),那么:株數(shù)段數(shù)1全長(zhǎng)株距1* 全長(zhǎng)株距(株數(shù)1)# L- o; ! Y Y/ 0 株距全長(zhǎng)(株數(shù)1)9 J1 h% |9 k6 b# q1 K y! h/ ?0 C6 p如果在非封閉線(xiàn)路的一端要植樹(shù),另一端不要植樹(shù),那么:b. I- I! z) n) S0 U6 I3 S7 x株數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距. z8 9 o3 p7 z8 全長(zhǎng)株距株數(shù). o0 V7 p# H& i/ 株距全長(zhǎng)株數(shù)# % H! 5 2 T9 L. 6 E S4 v如果在非封閉線(xiàn)路的兩端都不要植樹(shù),那么:) h6 g- f+ f7 V株數(shù)段數(shù)1全長(zhǎng)株距14 p$ B/ t7 : G5 e. o7 U* F全長(zhǎng)株距(株數(shù)1)% |& g1 h) W4 O6 株距全長(zhǎng)(株數(shù)1)/ 2 s% + ?& F* R2 V/ F7 L( H2 封閉線(xiàn)路上的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下- K* l2 J& H6 9 株數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距. d+ s9 o1 m7 e9 v- x# y全長(zhǎng)株距株數(shù)2 w7 I9 Jj- N1 u株距全長(zhǎng)株數(shù)% 盈虧問(wèn)題的公式 B* L! ?: d: h$ Q9 w(盈虧)兩次分配量之差參加分配的份數(shù)/ e% y6 u4 k- x4 C(大盈小盈)兩次分配量之差參加分配的份數(shù)# d$ pK9 ! 4 Ll(大虧小虧)兩次分配量之差參加分配的份數(shù)相遇問(wèn)題的公式3 V+ b* s. u4 _, t7 c: v相遇路程速度和相遇時(shí)間4 o5 y i! K& M 相遇時(shí)間相遇路程速度和7 2 J8 Y0 V/ R7 g速度和相遇路程相遇時(shí)間) q6 t7 & x4 o追及問(wèn)題的公式* T e1 I K3 a追及距離速度差追及時(shí)間% Z9 p$ v! ML& g& ( J! e追及時(shí)間追及距離速度差* J( 7 R1 V0 p, J速度差追及距離追及時(shí)間流水問(wèn)題0 U. y5 SG# b u) 順流速度靜水速度水流速度# J: R y/ A3 y5 L/ a逆流速度靜水速度水流速度 L3 R3 # R8 l) J0 S靜水速度(順流速度逆流速度)24 v3 r1 y$ j9 P8 z: 3 C水流速度(順流速度逆流速度)2. a! R* u/ n$ M: k濃度問(wèn)題的公式9 P4 U- r4 V4 T2 溶質(zhì)的重量溶劑的重量溶液的重量+ J, Y6 b4 W$ i& P1 3 m溶質(zhì)的重量溶液的重量100%濃度8 G7 M9 s: k# p: 2 9 d( a * ( 9 t溶液的重量濃度溶質(zhì)的重量 l8 4 ?+ q9 W/ ?! w$ D2 .

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