兩角和與差的正弦、余弦與正切公式說課稿.doc

吾愛教育 說課稿兩角和與差的正弦、余弦、正切（第一課時） 兩角和與差的余弦這一節(jié)，分兩個課時，我現(xiàn)在要說的是第一課時，重點是公式的推導，其次是它的基礎(chǔ)一些的簡單應用。至于結(jié)合同角三角公式的應用、公式的變用、活用等提高練習則留在第二課時進行。 一、 教材分析教材的地位和作用：本節(jié)課教學內(nèi)容是高一（下）第四章4.6節(jié)第一課時（兩角和與差的余弦）。本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的基礎(chǔ)，是正弦線、余弦線和誘導公式等知識的延伸，同時，它又是兩角和、差、倍、半角等公式的“源頭”。兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有著重要的支撐作用。本課時主要講授平面內(nèi)兩點間距離公式、兩角和與差的余弦公式以及它們的簡單應用。這節(jié)內(nèi)容在高考中不但是熱點，而且一般都是中、低檔題，是一定要拿到分的題。 教學重點：兩角和與差的余弦公式的推導與運用。 教學難點：余弦和角公式的推導以及應用，學會恰當代換、逆用公式等技能。二、教學目標（一）知識目標：1、掌握利用平面內(nèi)兩點間的距離公式進行C(+)公式的推導；2、能用代換法推導C(-)公式；3、初步學會公式的簡單應用和逆用公式等基本技能。（二）能力目標：1、通過公式的推導，在培養(yǎng)學生三大能力的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學生獲得數(shù)學知識的能力和數(shù)學交流的能力；2、通過公式的靈活運用，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思想和變換能力。（三）情感目標： 1、通過觀察、對比體會公式的線形美，對稱美2、通過教師啟發(fā)引導，培養(yǎng)學生不怕困難，勇于探索勇于創(chuàng)新的求知精神。三、學情分析：根據(jù)現(xiàn)在的學生知識遷移能力差、計算能力差的特點，第一節(jié)課不要太多公式應用。四、教法分析1、創(chuàng)設(shè)情境-提出問題-探索嘗試-啟發(fā)引導-解決問題。引導學生建立一直角坐標系xOy，同時在這一坐標系內(nèi)作單位圓O，并作出角，使角的始邊為Ox，交圓O于點，終邊交圓O于點；角的始邊為O，終邊交圓O于，角的始邊為O，終邊交圓O于點，并引導學生用的三角函數(shù)標出點的坐標。并充分利用單位圓、平面內(nèi)兩點的距離公式，使學生弄懂由距離等式化得的三角恒等式，并整理成為余弦的和角公式，從而克服本課的難點。2、教具：多媒體投影系統(tǒng)。（多媒體系統(tǒng)可以有效增加課堂容量，色彩的強烈對比可以突出對比效果；動畫的應用可以將抽象的問題直觀化，體現(xiàn)直觀性原則。）五、 學法指導1、能靈活求寫角的終邊與單位圓的交點坐標，并結(jié)合平面幾何知識推證出公式。2、本節(jié)的中心公式是，然后對作不同的特值代換可得其他公式，故靈活適當?shù)拇鷵Q是學好本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)。3、讓學生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關(guān)系，培養(yǎng)學生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美。在教學過程中，啟動學生自主性學習，自得知識，自覓規(guī)律，自悟原理，主動發(fā)展思維和能力。六、教學過程（一）新課引入，產(chǎn)生對公式的需求。1、學生先討論“=cos（450+300）=cos450+cos300是否成立？”。（學生可能通過計算器、量余弦線的長度、特殊角三角函數(shù)值和余弦函數(shù)的值域三種途徑解決問題）。得出cos（450+300）cos450 +cos300。進而得出cos（+）cos+cos這個結(jié)論。那么此時又是多少， 75，15雖然不是特殊角，但有某種特殊性，即可以表示成特殊角的和與差。那么能不能由特殊角的三角函數(shù)值來表示這種和角與差角的三角函數(shù)值？2、如果特殊角可以，對一般的兩個角，當它的三角函數(shù)值已知時，能否求出和與差的三角函數(shù)值？即能否用單角的三角函數(shù)來表示復角的三角函數(shù)呢？提出cos（+）又等于什么呢？寫出標題。 （二）預備知識在解決上面的問題之前，我們先來作一點準備，解決“平面內(nèi)兩點間距離的公式”這一問題。（1）回憶初中學習過的數(shù)軸上的兩點間的距離公式（2）通過上面的復習，我們已經(jīng)熟悉了數(shù)軸上兩點間距離公式。那么，平面內(nèi)兩點間距離與這兩點的坐標有什么樣的關(guān)系呢？（通過課件演示讓學生體會平面內(nèi)兩點間距離和同一坐標軸上兩點間距離的關(guān)系）平面內(nèi)兩點間距離公式推導分析：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）由勾股定理聯(lián)想從P1、P2分別作X、Y軸的垂線，則有：M1（x1，0），M2（x2，0）,N1 （0，y1），N2（0，y2）。通過演示課件 P1Q= M1M2=x2-x1 QP2= N1N2=y2-y1 根據(jù)勾股定理寫出P1P22=P1Q2+QP22=(x2-x1)2+(y2-y1)2。由此得平面內(nèi)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）兩點間的距離公式:P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2習：P（3，-1），Q（-3，-9）求PQ（建議這部分不要花太多時間）（3）、復習單位圓上點的坐標表示，為推導公式作鋪墊。（三）公式推導我們要用、+的三角函數(shù)來表示+的余弦，那么就得作出、+的角，構(gòu)造、+的角時，聯(lián)想建坐標系、作單位圓。（1）分別指出點P1、P2、P3的坐標。（2）求出弦P1P3的長。（3）思考構(gòu)造弦P1P3的等量關(guān)系。當發(fā)現(xiàn)|P1P3|可以用cos(+)表示時，想到應該尋找與P1P3相等的弦，從而才想到作出角(-)。在直角坐標系內(nèi)做單位圓，并做出任意角,+和-。它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和P4點，單位圓與X軸交于P1。則：P1(1,0)、 P2（cos，sin）、P3（cos（+），sin（+）、1根據(jù)“同圓中相等的圓心角所對的弦相等”得到距離等式2將轉(zhuǎn)化為三角恒等式，逐步變形整理成余弦的和角公式。cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2展開，整理得2-2cos(+)=2-2coscos+2sinsin所以cos(+)=coscos-sinsin.記作注意：（1）公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩角和的余弦，右邊是兩兩同名函數(shù)的積。（2）公式的記憶口訣：哥哥撿傘傘（用音譯，讓學生覺得有趣并得以記住公式）（3）公式的用途：用單角、的三角函數(shù)來表示復角的+余弦（4）注意強調(diào)公式中、是任意角。因為、是任意角，且兩點間的距離公式具有一般性，所以此公式適用于任意角，具有一般性。以后可以用此公式導出其它公式，如用-去代替導出C(-) 。（四）公式應用正因為、的任意性，所以賦予C(+)公式的強大生命力。提問：1、請用特殊角分別代替公式中、，你會求出哪些非特殊角的值呢？讓學生動筆自由嘗試、主動探索。同學會求cos15、cos75、cos105等。 2、若固定，分別用代替，你將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？用C()公式得到證明：讓學生發(fā)現(xiàn)C()公式是誘導公式的推廣，誘導公式是C()公式的特殊情況。當其中一個角是的整數(shù)倍時用誘導公式較好。由P1P3=P2P4（同圓相等的圓心角所對弦相等）及兩點間距離公式，得： cos（+）-12+sin（+）-02=cos(-)-cos2+sin（-）-sin2 展開整理合并得：cos（+）=cos cos-sinsin這就是兩角和的余弦公式。（其中,為任意角）將其中換成-，公式仍成立：cos（+ ）=coscos -sinsincos（+（-）= coscos（-）-sinsin（-）化簡得兩角差的余弦公式：cos（-）= coscos+sinsin求證: （1） cos（ -）= sin（2） sin（ -）= cos 證明：（1）cos（ -） =cos cos+sin sin=sin（2）sin（ -）=cos -（ -）=cos 證明（1）、（2）的結(jié)論即為誘導公式。例1、利用和（差）角公式求750、150角的余弦。分析：將750可以看成450+300而450和300均為特殊角，借助它們即可求出750的余弦。（學生自己完成）解： cos750 = cos（450+300） = cos450cos300 -sin450sin300 = - = cos150 = cos（450-300） = cos450cos300+sin450sin300 = + = 例題：例1、已知sin = ，（ ，），cos=- , （， ），求cos（-）、cos（+）。 （解略）解題回顧：這是公式的直接使用，缺什么找什么。另要注意、所在區(qū)間，確定函數(shù)值的符號。練習：已知 ，求例2、求值cos80cos20+sin80sin20。（解略）解題回顧：通過觀察式子結(jié)構(gòu)，學會逆用公式。練習： （1）cos215-sin215，為二倍角公式埋下伏筆。（2） （2006年陜西高考）Cos43cos77+sin43cos167，逐步學會把不符合公式結(jié)構(gòu)變形使之符合。（3） （2004全國高考題）設(shè)，若，則，利用高考題的引用讓學生串連三角函數(shù)的相關(guān)知識。注 逆用公式是學生認識和掌握公式的重要標志。通過步步加深的練習，加強學生對公式的理解和應用，引導學生積極參與思維，培養(yǎng)學生觀察，比較等思維能力。同時滲透了一種化歸思想。（五）課堂練習:P42 1，2（3）（4），3（2）（3）（六）總結(jié)平面內(nèi)兩點間的距離公式C (+)C (-)以-代求cos15等代換誘導公式