復變函數(shù)精第五章 留數(shù)及其應用ppt精選課件

復變函數(shù)與積分變換,主講：李娟寧波大學理學院二零零九年九月,大學數(shù)學多媒體課件,2020/4/27,.,2,參考用書,復變函數(shù)與積分變換,華中科技大學數(shù)學系,高等教育出版社,2003.6,復變函數(shù)與積分變換學習輔導與習題全解,華中科大,高等教育出版社,復變函數(shù),西安交通大學高等數(shù)學教研室,高等教育出版社,1996.5,2020/4/27,.,3,目錄,第二章解析函數(shù),第三章復變函數(shù)的積分,第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示,第五章留數(shù)及其應用,第六章傅立葉變換,第七章拉普拉斯變換,第一章復數(shù)與復變函數(shù),2020/4/27,.,4,第五章留數(shù)及其應用,本章中心問題是留數(shù)定理，前面講的柯西定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的特殊情況，并且留數(shù)定理在作理論探討與實際應用中都具有重要意義，它是復積分與復級數(shù)理論相結合的產物，為此先對解析函數(shù)的孤立奇點進行分類,2020/4/27,.,5,第五章留數(shù)及其應用,5.1孤立奇點5.2留數(shù)5.3留數(shù)在定積分計算中的應用本章小結思考題,2020/4/27,.,6,第一節(jié)孤立奇點,一、奇點的分類,定義：,2020/4/27,.,7,孤立奇點分類：,(1)主部消失,(2)主部僅含有限項,(3)主部含有無限多項，,解析部分,主要部分,2020/4/27,.,8,例1,解：,2020/4/27,.,9,二、可去奇點,2020/4/27,.,10,2020/4/27,.,11,三、極點,2020/4/27,.,12,2020/4/27,.,13,2020/4/27,.,14,例2,解：,2020/4/27,.,15,四、本性奇點,2020/4/27,.,16,例3,解：,2020/4/27,.,17,2020/4/27,.,18,例4,解：,2020/4/27,.,19,例5,解：,2020/4/27,.,20,五、函數(shù)的零點與極點的關系,定理1,2020/4/27,.,21,證明：,2020/4/27,.,22,例6,解：,定理2,證明：,2020/4/27,.,23,2020/4/27,.,24,例7,（通過零點階數(shù)判斷極點階數(shù)）,解：,2020/4/27,.,25,例8,解：,法二：,2020/4/27,.,26,六、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài),分析：,2020/4/27,.,27,2020/4/27,.,28,這樣，對無窮遠點來說，它的特性與其洛朗級數(shù)之間的關系就跟有限遠點一樣，不過只是把正冪項與負冪項的作用互相對調就是,2020/4/27,.,29,2020/4/27,.,30,2020/4/27,.,31,例9,說明：,解：,2020/4/27,.,32,例10,例11,解：,解：,2020/4/27,.,33,例12,解：,例13,解：,2020/4/27,.,34,例14,解：,2020/4/27,.,35,例15,解：,2020/4/27,.,36,例16,解：,2020/4/27,.,37,2020/4/27,.,38,第二節(jié)留數(shù),一、留數(shù)的概念及留數(shù)定理,留數(shù)是復變函數(shù)論中重要的概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點處的洛朗展開式、柯西復合閉路定理等有著密切的聯(lián)系,1留數(shù)概念,2020/4/27,.,39,2020/4/27,.,40,留數(shù)定義：,說明：,例1,解：,2020/4/27,.,41,例2,解：,例3,解：,2020/4/27,.,42,定理1,證明：,2020/4/27,.,43,二、函數(shù)在極點的留數(shù),法則1：,證明：,結論：先知道奇點的類型，對求留數(shù)有時更為有利.,2020/4/27,.,44,例4,解：,2020/4/27,.,45,法則2：,證明：,由法則1：,2020/4/27,.,46,例5,解：,例6,解：,2020/4/27,.,47,法則3：,證明：,2020/4/27,.,48,例7,解：,例8,解：,2020/4/27,.,49,例9,解：,2020/4/27,.,50,例10,解：,再往下計算比較繁瑣！,2020/4/27,.,51,2020/4/27,.,52,三、函數(shù)在無窮遠點的留數(shù),2020/4/27,.,53,定理2,證明：,2020/4/27,.,54,法則4：,證明：,2020/4/27,.,55,例11,解：,2020/4/27,.,56,例12,解：,例13,解：,2020/4/27,.,57,第三節(jié)留數(shù)在定積分計算中的應用,留數(shù)定理為某些類型積分的計算提供了有效的方法應用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的定積分的方法稱為圍道積分法圍道積分法就是把求實變函數(shù)的積分化為復變函數(shù)沿著圍線的積分，然后利用留數(shù)定理，使沿著圍線的積分計算，歸結為留數(shù)計算要使用留數(shù)計算，需要兩個條件：一是被積函數(shù)與某個解析函數(shù)有關；其次，定積分可化為某個沿閉路的積分其實質就是用復積分來計算實積分，這一方法對有些不易求得的定積分和廣義積分常常比較有用現(xiàn)在就幾個特殊類型舉例說明,2020/4/27,.,58,一、,2020/4/27,.,59,例1,解：,2020/4/27,.,60,2020/4/27,.,61,二、,2020/4/27,.,62,2020/4/27,.,63,例2,解：,2020/4/27,.,64,三、,2020/4/27,.,65,2